🧮Mathématiques

Nombres réels

Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en MPSI : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.

Suites numériques

Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en MPSI : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.

Généralités sur les fonctions

La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en MPSI : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.

Limites et continuité

Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.

Fonctions dérivables

Tout le cours MPSI sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.

Logarithmes, exponentielles et puissances

Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en MPSI : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.

Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions trigonométriques et hyperboliques en MPSI : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.

Intégrales définies

Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en MPSI : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.

Calcul des primitives

Toutes les méthodes de calcul de primitives en MPSI : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.

Comparaisons locales

Tout sur les relations de comparaison locales en MPSI : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).

Formules de Taylor

La fiche complète des formules de Taylor en MPSI : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.

Équations différentielles linéaires

Toute l'équa diff MPSI dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Séries numériques

Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.

Rudiments de logique

La logique, grammaire silencieuse de toute la MPSI : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.

Ensembles

Le langage ensembliste fondateur de toute la MPSI : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.

Applications

Tout le chapitre Applications du programme MPSI : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.

Relations

Relations binaires en MPSI : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.

Calculs algébriques

Toute la boîte à outils calcul algébrique MPSI : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Nombres complexes

Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en MPSI : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Arithmétique dans ℤ

Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la MPSI : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Structure de groupe

Tout le chapitre groupes MPSI : LCI, associativité, neutre et symétrique uniques, axiomes (G,⋆), sous-groupes via la caractérisation x⋆y⁻¹∈H, sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, ordre, morphismes, noyau et image, isomorphismes.

Structures d'anneau et de corps

Anneaux et corps en MPSI : axiomes (A,+,×), règles de calcul, diviseurs de zéro, anneau intègre, sous-anneau, idéal, corps Q/R/C/Fp, morphismes — avec démos à savoir refaire.

Polynômes

Tout le chapitre Polynômes MPSI : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.

Arithmétique dans 𝕂[X]

L'arithmétique de ℤ transposée aux polynômes : division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X], relations coefficients-racines de Viète et fonctions symétriques élémentaires σ_k.

Fractions rationnelles

Fiche de révision Majorant MPSI sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.

Structure d'espace vectoriel

La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations MPSI à savoir refaire.

Espaces vectoriels de dimension finie

Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche MPSI complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.

Applications linéaires

Tout sur les applications linéaires en MPSI : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.

Espaces affines

Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète MPSI avec démos détaillées.

Calcul matriciel

Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.

Matrices et applications linéaires

Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.

Systèmes linéaires

Système linéaire AX = B en MPSI : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Déterminants

Déterminants en MPSI : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.

Espaces préhilbertiens réels

Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels MPSI condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.

Isométries vectorielles

Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en MPSI : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Dénombrement

Tout le dénombrement MPSI condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.

Espaces probabilisés finis

Tout le cours MPSI sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.

Probabilités conditionnelles

La fiche MPSI Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).

Variables aléatoires

Variables aléatoires finies en MPSI : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.

Espérance et variance

Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en MPSI : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.

Groupes

Tout le chapitre structures algébriques (partie groupes) en MP : sous-groupes et leur caractérisation, morphismes et noyaux, le groupe ℤ/nℤ, groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément et théorème de Lagrange. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type et les pièges relevés par les correcteurs.

Anneaux, corps et arithmétique

Anneaux, corps et toute l'arithmétique modulaire de MP : idéaux de ℤ et de K[X], inversibles de ℤ/nℤ, théorème chinois et systèmes de congruences, indicatrice et théorème d'Euler, petit théorème de Fermat, structure d'algèbre. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type (Euclide étendu, congruences) et les pièges signalés par les jurys.

Compléments d'algèbre linéaire

Les quatre outils qui préparent la réduction en MP : sommes directes de plusieurs sous-espaces et bases adaptées, sous-espaces stables et endomorphismes induits, trace et ses invariances, formes linéaires et hyperplans. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type des sommes directes et les pièges signalés par les correcteurs.

Éléments propres et polynôme caractéristique

Le premier chapitre de la réduction en MP : valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, liberté des familles de vecteurs propres et somme directe, polynôme caractéristique (coefficients trace et déterminant, racines), multiplicités et encadrement 1 ≤ dim Eλ ≤ mλ. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type de calcul de χ et les pièges des rapports de jury.

Diagonalisation et trigonalisation

Le cœur de la réduction en MP : caractérisations de la diagonalisabilité (base propre, somme directe, dimensions), critère complet χ scindé + dim Eλ = mλ, condition suffisante des n valeurs propres distinctes, trigonalisation sur ℂ, endomorphismes nilpotents et indice, calcul des puissances A^k. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Le troisième volet de la réduction en MP : polynômes d'un endomorphisme et polynôme minimal, valeurs propres et racines des annulateurs, lemme de décomposition des noyaux, critère polynomial de diagonalisabilité (annulateur scindé à racines simples), théorème de Cayley-Hamilton et ses applications (inverse, puissances). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces préhilbertiens et projection orthogonale

La géométrie du produit scalaire en MP : Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie, projection orthogonale et théorème de la meilleure approximation (moindres carrés). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Endomorphismes euclidiens et théorème spectral

Le sommet du bloc euclidien en MP : adjoint et endomorphismes symétriques, théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée, A = PDPᵀ), le réflexe AᵀA, isométries vectorielles et groupe orthogonal, classification des rotations de l'espace (axe, angle, trace = 1 + 2cos θ). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : normes, suites, ouverts et fermés

Le premier volet de la topologie en MP : normes et boules, les trois normes usuelles et leur comparaison, suites convergentes et équivalence des normes (contre-exemple xⁿ en dimension infinie), ouverts, fermés, intérieur et adhérence, caractérisations séquentielles et méthode de rédaction. Avec les démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : limites, continuité, applications linéaires continues

Le deuxième volet de la topologie en MP : limites et continuité dans les evn, caractérisation séquentielle, continuité et image réciproque des ouverts/fermés (l'outil roi pour prouver qu'une partie est fermée), applications lipschitziennes, applications linéaires continues, norme subordonnée et continuité automatique en dimension finie. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : compacité, connexité, dimension finie

Le troisième volet de la topologie en MP : parties compactes (Bolzano-Weierstrass), compact ⟹ fermé borné, image continue d'un compact et théorème des bornes atteintes, connexité par arcs et TVI généralisé, théorème de la dimension finie (équivalence des normes, fermé borné = compact, linéaire continue). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fonctions convexes

La boîte à outils des inégalités en MP : définition de la convexité (corde au-dessus de l'arc), inégalité des pentes, caractérisations par f' croissante et f'' ≥ 0, position de la courbe au-dessus de ses tangentes, inégalité de Jensen et comparaison des moyennes, propriétés analytiques. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Compléments sur les séries numériques

La boîte à outils des séries en MP : convergence absolue et semi-convergence, comparaison des séries à termes positifs (équivalents, domination, règle de d'Alembert), comparaison série-intégrale et séries de Riemann, critère spécial des séries alternées (Leibniz) et majoration du reste, produit de Cauchy. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Familles sommables

La somme « sans ordre » en MP : familles sommables de réels positifs (borne sup des sommes finies) et quelconques (sommabilité des modules), lien avec l'absolue convergence, théorème de sommation par paquets et théorème de Fubini discret pour intervertir deux sommations. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Suites de fonctions

La charnière de l'analyse en MP : convergence simple et convergence uniforme (norme infinie), continuité de la limite uniforme et théorème de la double limite, interversion limite-intégrale sur un segment, théorème de convergence dominée et dérivation d'une limite de fonctions. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries de fonctions

L'outil des fonctions-séries en MP : convergence simple, uniforme et normale (∑‖f_n‖∞ < ∞), continuité de la somme, intégration terme à terme sur segment et sur intervalle, dérivation terme à terme (convergence uniforme de la série des dérivées), étude de fonctions définies par une série (zêta). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries entières

L'outil roi de l'analyse en MP : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fonctions vectorielles

Le calcul différentiel étendu aux fonctions à valeurs vectorielles : dérivée d'une fonction vectorielle et caractérisation par les coordonnées, règles de dérivation (produit scalaire, produit vectoriel, déterminant), fonctions de classe Cᵏ, arcs paramétrés, point régulier et tangente, longueur d'un arc L = ∫||f'|| et abscisse curviligne, invariance par changement de paramétrage. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales généralisées

L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Convergence dominée

Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de MP : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales à paramètre

Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Équations différentielles linéaires

Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Calcul différentiel

La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces probabilisés

Le cadre rigoureux des probabilités sur un univers dénombrable : tribu (σ-algèbre) et espace probabilisé (Ω, A, P), axiome de σ-additivité, propriétés de continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle et indépendance (mutuelle vs deux à deux), système complet d'événements, formule des probabilités totales et formule de Bayes (paradoxe des faux positifs). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espérance et variance

Les nombres qui résument une loi : espérance E(X) = Σ x P(X=x) et théorème de transfert, variance et écart-type, linéarité de l'espérance (valable sans indépendance) et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (loi des grands nombres), fonction génératrice G_X(t) = E(t^X) et sommes de variables indépendantes, espérances et variances des lois usuelles. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Réduction des endomorphismes

L'outil algébrique central de la PC : valeurs propres et vecteurs propres, sous-espaces propres et polynôme caractéristique χ_A(λ) = det(A − λI), endomorphismes diagonalisables (A = PDP⁻¹), caractérisation par la somme directe des sous-espaces propres (Σ dim E_λ = n), conditions suffisantes (n valeurs propres distinctes), matrices semblables, et application au calcul de puissances Aⁿ = PDⁿP⁻¹. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces euclidiens

Le cadre géométrique de la PC : produit scalaire et norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale sur un sous-espace (p_F(x) = Σ ⟨x,eₖ⟩eₖ), distance à un sous-espace (le projeté minimise la distance), endomorphismes symétriques et théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries numériques

L'art de sommer une infinité de termes : convergence, somme et reste d'une série, critères pour les séries à termes positifs (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale), séries de référence (géométrique, Riemann, exponentielle), convergence absolue et semi-convergence, familles sommables (ordre indifférent, sommation par paquets, théorème de Fubini) et produit de Cauchy. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Suites et séries de fonctions

Les modes de convergence qui décident de tout : convergence simple (point par point) et uniforme (norme infinie ||fₙ−f||∞ → 0), théorème de continuité de la limite (argument ε/3), interversion limite-intégrale sur un segment et dérivation, séries de fonctions et convergence normale (Σ||uₙ||∞ < ∞ ⟹ uniforme ⟹ simple), théorème de la double limite. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries entières

L'outil roi de l'analyse en PC : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales généralisées

L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Convergence dominée

Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de PC : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales à paramètre

Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Équations différentielles linéaires

Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Calcul différentiel

La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espérance, variance, concentration

Les deux nombres qui résument une variable aléatoire et les inégalités qui la contrôlent : espérance (linéarité, transfert, produit de variables indépendantes), variance et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance et variance d'une somme, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et loi faible des grands nombres (la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Nombres réels

Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en PCSI : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.

Suites numériques

Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en PCSI : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.

Généralités sur les fonctions

La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en PCSI : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.

Limites et continuité

Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.

Fonctions dérivables

Tout le cours PCSI sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.

Logarithmes, exponentielles et puissances

Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en PCSI : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.

Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions trigonométriques et hyperboliques en PCSI : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.

Intégrales définies

Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en PCSI : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.

Calcul des primitives

Toutes les méthodes de calcul de primitives en PCSI : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.

Comparaisons locales

Tout sur les relations de comparaison locales en PCSI : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).

Formules de Taylor

La fiche complète des formules de Taylor en PCSI : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.

Équations différentielles linéaires

Toute l'équa diff PCSI dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Séries numériques

Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.

Rudiments de logique

La logique, grammaire silencieuse de toute la PCSI : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.

Ensembles

Le langage ensembliste fondateur de toute la PCSI : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.

Applications

Tout le chapitre Applications du programme PCSI : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.

Relations

Relations binaires en PCSI : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.

Calculs algébriques

Toute la boîte à outils calcul algébrique PCSI : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Nombres complexes

Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en PCSI : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Arithmétique dans ℤ

Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la PCSI : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Structure de groupe

Tout le chapitre groupes PCSI : LCI, associativité, neutre et symétrique uniques, axiomes (G,⋆), sous-groupes via la caractérisation x⋆y⁻¹∈H, sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, ordre, morphismes, noyau et image, isomorphismes.

Structures d'anneau et de corps

Anneaux et corps en PCSI : axiomes (A,+,×), règles de calcul, diviseurs de zéro, anneau intègre, sous-anneau, idéal, corps Q/R/C/Fp, morphismes — avec démos à savoir refaire.

Polynômes

Tout le chapitre Polynômes PCSI : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.

Arithmétique dans 𝕂[X]

L'arithmétique de ℤ transposée aux polynômes : division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X], relations coefficients-racines de Viète et fonctions symétriques élémentaires σ_k.

Fractions rationnelles

Fiche de révision Majorant PCSI sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.

Structure d'espace vectoriel

La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations PCSI à savoir refaire.

Espaces vectoriels de dimension finie

Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche PCSI complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.

Applications linéaires

Tout sur les applications linéaires en PCSI : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.

Espaces affines

Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète PCSI avec démos détaillées.

Calcul matriciel

Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.

Matrices et applications linéaires

Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.

Systèmes linéaires

Système linéaire AX = B en PCSI : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Déterminants

Déterminants en PCSI : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.

Espaces préhilbertiens réels

Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels PCSI condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.

Isométries vectorielles

Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en PCSI : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Dénombrement

Tout le dénombrement PCSI condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.

Espaces probabilisés finis

Tout le cours PCSI sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.

Probabilités conditionnelles

La fiche PCSI Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).

Variables aléatoires

Variables aléatoires finies en PCSI : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.

Espérance et variance

Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en PCSI : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.

Réduction des endomorphismes

L'outil algébrique central de la PSI : valeurs propres et vecteurs propres, sous-espaces propres et polynôme caractéristique χ_A(λ) = det(A − λI), endomorphismes diagonalisables (A = PDP⁻¹), caractérisation par la somme directe des sous-espaces propres (Σ dim E_λ = n), conditions suffisantes (n valeurs propres distinctes), matrices semblables, et application au calcul de puissances Aⁿ = PDⁿP⁻¹. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces euclidiens

Le cadre géométrique de la PSI : produit scalaire et norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale sur un sous-espace (p_F(x) = Σ ⟨x,eₖ⟩eₖ), distance à un sous-espace (le projeté minimise la distance), endomorphismes symétriques et théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries numériques

L'art de sommer une infinité de termes : convergence, somme et reste d'une série, critères pour les séries à termes positifs (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale), séries de référence (géométrique, Riemann, exponentielle), convergence absolue et semi-convergence, familles sommables (ordre indifférent, sommation par paquets, théorème de Fubini) et produit de Cauchy. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Suites et séries de fonctions

Les modes de convergence qui décident de tout : convergence simple (point par point) et uniforme (norme infinie ||fₙ−f||∞ → 0), théorème de continuité de la limite (argument ε/3), interversion limite-intégrale sur un segment et dérivation, séries de fonctions et convergence normale (Σ||uₙ||∞ < ∞ ⟹ uniforme ⟹ simple), théorème de la double limite. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries entières

L'outil roi de l'analyse en PSI : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales généralisées

L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Convergence dominée

Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de PSI : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales à paramètre

Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Équations différentielles linéaires

Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Calcul différentiel

La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espérance, variance, concentration

Les deux nombres qui résument une variable aléatoire et les inégalités qui la contrôlent : espérance (linéarité, transfert, produit de variables indépendantes), variance et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance et variance d'une somme, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et loi faible des grands nombres (la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Applications

Tout le chapitre Applications du programme MP2I : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.

Applications linéaires

Tout sur les applications linéaires en MP2I : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.

Arithmétique dans 𝕂[X]

L'arithmétique de ℤ transposée aux polynômes : division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, théorème de Gauss, polynômes irréductibles, décomposition unique en facteurs irréductibles dans ℝ[X] et ℂ[X], relations coefficients-racines de Viète et fonctions symétriques élémentaires σ_k.

Arithmétique dans ℤ

Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la MP2I : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Calcul matriciel

Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.

Calcul des primitives

Toutes les méthodes de calcul de primitives en MP2I : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.

Calculs algébriques

Toute la boîte à outils calcul algébrique MP2I : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Comparaisons locales

Tout sur les relations de comparaison locales en MP2I : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).

Dénombrement

Tout le dénombrement MP2I condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.

Déterminants

Déterminants en MP2I : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.

Ensembles

Le langage ensembliste fondateur de toute la MP2I : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.

Équations différentielles linéaires

Toute l'équa diff MP2I dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Espaces affines

Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète MP2I avec démos détaillées.

Espaces préhilbertiens réels

Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels MP2I condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.

Espaces probabilisés finis

Tout le cours MP2I sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.

Espérance et variance

Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en MP2I : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.

Espaces vectoriels de dimension finie

Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche MP2I complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.

Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions trigonométriques et hyperboliques en MP2I : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.

Fonctions dérivables

Tout le cours MP2I sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.

Formules de Taylor

La fiche complète des formules de Taylor en MP2I : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.

Fractions rationnelles

Fiche de révision Majorant MP2I sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.

Généralités sur les fonctions

La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en MP2I : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.

Intégrales définies

Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en MP2I : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.

Isométries vectorielles

Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en MP2I : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Limites et continuité

Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.

Logarithmes, exponentielles et puissances

Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en MP2I : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.

Matrices et applications linéaires

Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.

Nombres complexes

Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en MP2I : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Nombres réels

Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en MP2I : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.

Polynômes

Tout le chapitre Polynômes MP2I : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.

Probabilités conditionnelles

La fiche MP2I Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).

Relations

Relations binaires en MP2I : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.

Rudiments de logique

La logique, grammaire silencieuse de toute la MP2I : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.

Séries numériques

Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.

Structure d'espace vectoriel

La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations MP2I à savoir refaire.

Structure de groupe

Tout le chapitre groupes MP2I : LCI, associativité, neutre et symétrique uniques, axiomes (G,⋆), sous-groupes via la caractérisation x⋆y⁻¹∈H, sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, ordre, morphismes, noyau et image, isomorphismes.

Structures d'anneau et de corps

Anneaux et corps en MP2I : axiomes (A,+,×), règles de calcul, diviseurs de zéro, anneau intègre, sous-anneau, idéal, corps Q/R/C/Fp, morphismes — avec démos à savoir refaire.

Suites numériques

Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en MP2I : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.

Systèmes linéaires

Système linéaire AX = B en MP2I : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Variables aléatoires

Variables aléatoires finies en MP2I : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.

Applications

Tout le chapitre Applications du programme PTSI : définitions formelles (départ, arrivée, image directe f(A), image réciproque f⁻¹(B), Id_E, restriction, prolongement), composition et ses propriétés, injection / surjection / bijection avec démonstrations ★ de la composition d'injections, des réciproques partielles, de l'unicité de la réciproque d'une bijection et de sa caractérisation, plus le théorème de la bijection sur ℝ.

Applications linéaires

Tout sur les applications linéaires en PTSI : définitions (f linéaire, endomorphisme, automorphisme, GL(E)), opérations sur L(E,F), noyau et image comme sev, théorème du rang avec démonstration complète, équivalence injective/surjective/bijective en dimension finie, projecteurs (p∘p=p) et symétries (s∘s=Id). 4 démos étoilées, 5 pièges de copie.

Arithmétique dans ℤ

Tous les théorèmes d'arithmétique dans ℤ pour la PTSI : algorithme d'Euclide, Bachet-Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Calcul matriciel

Le calcul matriciel est le langage opératoire de l'algèbre linéaire. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables (associativité, non-commutativité, transposée, trace, inverse), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font basculer un DS — à commencer par la non-commutativité.

Calcul des primitives

Toutes les méthodes de calcul de primitives en PTSI : table usuelle, théorème fondamental de l'analyse, IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche, polynôme × exp/cos/sin. 3 démos à savoir refaire.

Calculs algébriques

Toute la boîte à outils calcul algébrique PTSI : sommes Σ et produits Π, télescopage, sommes classiques (k, k², k³, qᵏ), coefficients binomiaux, formule de Pascal, binôme de Newton, factorisation aⁿ−bⁿ, inégalités Cauchy-Schwarz et AM-GM. 5 définitions, 8 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Comparaisons locales

Tout sur les relations de comparaison locales en PTSI : grand O, petit o, équivalence ~, les 8 équivalents usuels en 0, croissances comparées et les pièges à éviter (somme et composition).

Dénombrement

Tout le dénombrement PTSI condensé : cardinal d'un ensemble fini, formule du crible, p-listes, arrangements A(n,p), combinaisons C(n,k), formule de Pascal, binôme de Newton, applications et injections — avec 4 démonstrations clés à savoir refaire.

Déterminants

Déterminants en PTSI : développement de Laplace, propriétés (multilinéarité, alternance, det(AB)=det(A)·det(B)), critère d'inversibilité det(A)≠0, comatrice et formule de l'inverse, méthode-type pivot de Gauss, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques en copie.

Ensembles

Le langage ensembliste fondateur de toute la PTSI : appartenance, inclusion, opérations (∩, ∪, \, Δ, ∁), lois de De Morgan, ensemble des parties 𝒫(E), produit cartésien et partitions. La méthode-reine du chapitre : la double inclusion, à automatiser dès septembre pour gagner 2-3 points par DS toute l'année.

Équations différentielles linéaires

Toute l'équa diff PTSI dans une fiche : ordre 1 (Cauchy, homogène, variation de la constante), ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, 3 cas du discriminant Δ), principe de superposition, recherche de solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial. 6 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire.

Espaces affines

Espace affine, repère, vecteur AB, sous-espace affine et direction, parallélisme, barycentre et associativité, isobarycentre, applications affines (translations, projections, symétries) — la fiche complète PTSI avec démos détaillées.

Espaces préhilbertiens réels

Tout le chapitre Espaces préhilbertiens réels PTSI condensé : produit scalaire (bilinéaire symétrique défini positif), norme et inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal et projection.

Espaces probabilisés finis

Tout le cours PTSI sur les espaces probabilisés finis : univers Ω, événements, axiomes de probabilité, formule du crible, équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance — avec 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques.

Espérance et variance

Toutes les propriétés de E(X) et V(X) en PTSI : linéarité de l'espérance, formule de Köenig-Huygens, espérances et variances des lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, covariance et variance d'une somme. 4 démos à savoir refaire au cordeau.

Espaces vectoriels de dimension finie

Toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal : c'est la dimension. Fiche PTSI complète avec théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, formule de Grassmann dim(F+G) = dim(F)+dim(G)-dim(F∩G), supplémentaires en dim finie et rang d'une famille. 4 démos à savoir refaire, 5 pièges de copie.

Fonctions circulaires et hyperboliques

Fonctions trigonométriques et hyperboliques en PTSI : définitions, formulaire complet (addition, duplication, linéarisation), réciproques arcsin/arccos/arctan et argsh/argch/argth avec leurs domaines, dérivées, identités hyperboliques et 5 démonstrations à savoir refaire.

Fonctions dérivables

Tout le cours PTSI sur la dérivabilité : nombre dérivé, chain rule, théorème de Rolle, TAF, inégalité des accroissements finis, monotonie via la dérivée, classes Cⁿ, formule de Leibniz, extrema locaux. 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges de copie décortiqués.

Formules de Taylor

La fiche complète des formules de Taylor en PTSI : TRI démontrée par IPP itérée, Taylor-Lagrange, Taylor-Young, les 9 DL usuels à connaître par cœur, opérations sur les DL (somme, produit, composition, intégration) et applications (limites, équivalents, position courbe/tangente, extrema). 4 démonstrations à savoir refaire, 5 pièges classiques de correcteur.

Fractions rationnelles

Fiche de révision Majorant PTSI sur les fractions rationnelles : corps 𝕂(X), pôles et ordres, décomposition en éléments simples dans ℂ(X) et ℝ(X), méthode de calcul des coefficients (résidu, parité, limite, identification), primitive d'une fraction rationnelle (ln, arctan), applications au télescopage et aux intégrales.

Généralités sur les fonctions

La fiche socle pour manipuler proprement les fonctions en PTSI : domaine de définition, image directe et réciproque, parité, périodicité, monotonie, extrémums, composition et théorème de la bijection. Toutes les définitions formelles, les pièges récurrents en copie et la méthode-type pour prouver la bijectivité.

Intégrales définies

Tous les théorèmes incontournables sur l'intégrale d'une fonction continue par morceaux en PTSI : propriétés, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz et sommes de Riemann, avec 4 démos à savoir refaire.

Isométries vectorielles

Tout pour maîtriser les isométries vectorielles en PTSI : triple équivalence (norme, produit scalaire, base orthonormée), matrices orthogonales O_n(ℝ) et SO_n(ℝ), classification des isométries du plan (rotation, réflexion) et de l'espace ℝ³ (rotation, antirotation), avec 3 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Limites et continuité

Limites en un point ou à l'infini, opérations, caractérisation séquentielle, continuité, prolongement, TVI, bornes atteintes sur un segment et théorème de Heine. 7 définitions, 12 théorèmes et 4 démonstrations à savoir refaire, avec pièges concours sourcés des rapports de jury.

Logarithmes, exponentielles et puissances

Logarithme népérien, exponentielle, puissances réelles et croissances comparées en PTSI : définitions, propriété fonctionnelle, dérivées, 7 limites usuelles, équations log/exp et pièges de copie.

Matrices et applications linéaires

Matrice d'une AL, isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂), composition et produit matriciel, matrices de passage, formules de changement de base pour vecteur (X=PX') et pour endomorphisme (A'=P⁻¹AP), matrices semblables, rang d'une matrice et invariance par opérations élémentaires.

Nombres complexes

Tout ce qu'il faut maîtriser sur ℂ en PTSI : conjugué, module, argument, forme exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines n-ièmes et interprétation géométrique — avec les 4 démonstrations à savoir refaire.

Nombres réels

Tout ce qu'il faut maîtriser sur \(\mathbb{R}\) en PTSI : axiome de la borne supérieure, caractérisation \(\varepsilon\), propriété d'Archimède, partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), inégalités triangulaires — avec les 5 démonstrations à savoir refaire.

Polynômes

Tout le chapitre Polynômes PTSI : structure de 𝕂[X], division euclidienne, polynôme dérivé et formule de Taylor, racines et ordre de multiplicité, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations coefficients-racines, interpolation de Lagrange.

Probabilités conditionnelles

La fiche PTSI Majorant sur les probabilités conditionnelles : définition de P(A|B), formules des probabilités composées, totales et de Bayes, indépendance de deux événements, indépendance mutuelle vs 2 à 2 (contre-exemple de Bernstein), arbres de probabilités et exemples canoniques (test diagnostic médical, tirages sans remise).

Relations

Relations binaires en PTSI : propriétés (réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive), relations d'équivalence et classes-partition, relations d'ordre (total, partiel), maximum vs élément maximal, majorant et borne supérieure. 15 définitions, 3 théorèmes, 3 démonstrations à savoir refaire.

Rudiments de logique

La logique, grammaire silencieuse de toute la PTSI : connecteurs, tables de vérité, lois de De Morgan, négation des phrases quantifiées et les six grands schémas de raisonnement (direct, contraposée, absurde, analyse-synthèse, disjonction des cas, récurrence). 6 démonstrations à savoir refaire.

Séries numériques

Définitions, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), critères de comparaison, comparaison série-intégrale, convergence absolue, critère de Leibniz et produit de Cauchy — avec 4 démonstrations à savoir refaire.

Structure d'espace vectoriel

La structure de 𝕂-espace vectoriel : axiomes, sous-espaces, somme directe et supplémentaires, combinaisons linéaires, Vect(X), familles libres, génératrices et bases — avec les 4 démonstrations PTSI à savoir refaire.

Suites numériques

Tous les théorèmes incontournables sur les suites numériques en PTSI : convergence, opérations sur les limites, gendarmes, limite monotone, Bolzano-Weierstrass et suites adjacentes — avec les démonstrations qu'il faut absolument savoir refaire.

Systèmes linéaires

Système linéaire AX = B en PTSI : interprétation par l'application linéaire fA, structure « solution particulière + noyau », théorème de Rouché-Fontené, méthode du pivot de Gauss et systèmes de Cramer. 9 définitions, 7 théorèmes, 4 démonstrations à savoir refaire et 5 pièges classiques de copie.

Variables aléatoires

Variables aléatoires finies en PTSI : définition (X : Ω → ℝ), loi, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couples (loi conjointe et marginales), indépendance, loi de Y=f(X) et de X+Y. 4 démos à savoir refaire.

Anneaux, corps et arithmétique

Anneaux, corps et toute l'arithmétique modulaire de MPI : idéaux de ℤ et de K[X], inversibles de ℤ/nℤ, théorème chinois et systèmes de congruences, indicatrice et théorème d'Euler, petit théorème de Fermat, structure d'algèbre. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type (Euclide étendu, congruences) et les pièges signalés par les jurys.

Calcul différentiel

La dérivation des fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et gradient ∇f, fonction de classe C¹ et développement limité à l'ordre 1 (approximation affine locale), règle de la chaîne pour dériver une composée le long d'un arc (∇f·γ'), changements de variables (polaires), recherche d'extrema (point critique ∇f = 0, condition nécessaire du premier ordre, point-selle), théorème de Schwarz. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : compacité, connexité, dimension finie

Le troisième volet de la topologie en MPI : parties compactes (Bolzano-Weierstrass), compact ⟹ fermé borné, image continue d'un compact et théorème des bornes atteintes, connexité par arcs et TVI généralisé, théorème de la dimension finie (équivalence des normes, fermé borné = compact, linéaire continue). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Compléments d'algèbre linéaire

Les quatre outils qui préparent la réduction en MPI : sommes directes de plusieurs sous-espaces et bases adaptées, sous-espaces stables et endomorphismes induits, trace et ses invariances, formes linéaires et hyperplans. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type des sommes directes et les pièges signalés par les correcteurs.

Convergence dominée

Les théorèmes de convergence qui couronnent l'analyse de MPI : théorème de convergence dominée (convergence simple + domination par une fonction intégrable indépendante de n) pour échanger limite et intégrale, théorème d'intégration terme à terme (hypothèse Σ∫|uₙ| < ∞) pour intervertir somme et intégrale, avec deux applications canoniques (lim ∫₀ⁿ (1−t/n)ⁿ dt = 1 et ∫₀¹ −ln(1−t)/t dt = π²/6). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Diagonalisation et trigonalisation

Le cœur de la réduction en MPI : caractérisations de la diagonalisabilité (base propre, somme directe, dimensions), critère complet χ scindé + dim Eλ = mλ, condition suffisante des n valeurs propres distinctes, trigonalisation sur ℂ, endomorphismes nilpotents et indice, calcul des puissances A^k. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Éléments propres et polynôme caractéristique

Le premier chapitre de la réduction en MPI : valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, liberté des familles de vecteurs propres et somme directe, polynôme caractéristique (coefficients trace et déterminant, racines), multiplicités et encadrement 1 ≤ dim Eλ ≤ mλ. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire, la méthode-type de calcul de χ et les pièges des rapports de jury.

Endomorphismes euclidiens et théorème spectral

Le sommet du bloc euclidien en MPI : adjoint et endomorphismes symétriques, théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée, A = PDPᵀ), le réflexe AᵀA, isométries vectorielles et groupe orthogonal, classification des rotations de l'espace (axe, angle, trace = 1 + 2cos θ). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Équations différentielles linéaires

Le pont entre algèbre linéaire et analyse : systèmes différentiels linéaires X' = A(t)X + B(t), théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité globale sur I tout entier), structure de l'espace des solutions (homogène = espace vectoriel de dimension n, général = espace affine), système fondamental et wronskien, résolution des systèmes à coefficients constants par réduction (modes propres e^(λt)V), équation scalaire d'ordre n. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces préhilbertiens et projection orthogonale

La géométrie du produit scalaire en MPI : Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie, projection orthogonale et théorème de la meilleure approximation (moindres carrés). Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espaces probabilisés

Le cadre rigoureux des probabilités sur un univers dénombrable : tribu (σ-algèbre) et espace probabilisé (Ω, A, P), axiome de σ-additivité, propriétés de continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle et indépendance (mutuelle vs deux à deux), système complet d'événements, formule des probabilités totales et formule de Bayes (paradoxe des faux positifs). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Espérance et variance

Les nombres qui résument une loi : espérance E(X) = Σ x P(X=x) et théorème de transfert, variance et écart-type, linéarité de l'espérance (valable sans indépendance) et formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − E(X)², covariance, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (loi des grands nombres), fonction génératrice G_X(t) = E(t^X) et sommes de variables indépendantes, espérances et variances des lois usuelles. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Familles sommables

La somme « sans ordre » en MPI : familles sommables de réels positifs (borne sup des sommes finies) et quelconques (sommabilité des modules), lien avec l'absolue convergence, théorème de sommation par paquets et théorème de Fubini discret pour intervertir deux sommations. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fonctions convexes

La boîte à outils des inégalités en MPI : définition de la convexité (corde au-dessus de l'arc), inégalité des pentes, caractérisations par f' croissante et f'' ≥ 0, position de la courbe au-dessus de ses tangentes, inégalité de Jensen et comparaison des moyennes, propriétés analytiques. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Fonctions vectorielles

Le calcul différentiel étendu aux fonctions à valeurs vectorielles : dérivée d'une fonction vectorielle et caractérisation par les coordonnées, règles de dérivation (produit scalaire, produit vectoriel, déterminant), fonctions de classe Cᵏ, arcs paramétrés, point régulier et tangente, longueur d'un arc L = ∫||f'|| et abscisse curviligne, invariance par changement de paramétrage. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Groupes

Tout le chapitre structures algébriques (partie groupes) en MPI : sous-groupes et leur caractérisation, morphismes et noyaux, le groupe ℤ/nℤ, groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément et théorème de Lagrange. Avec les 5 démonstrations à savoir refaire, les méthodes-type et les pièges relevés par les correcteurs.

Intégrales à paramètre

Les fonctions définies par une intégrale f(x) = ∫ g(x,t) dt : théorème de continuité sous le signe intégrale (domination), formule de Leibniz pour dériver sous l'intégrale (domination de ∂ₓg), technique de calcul d'intégrales par dérivation (F(x) = ∫₀¹ (tˣ−1)/ln t dt = ln(x+1)), et la fonction Gamma d'Euler avec son équation fonctionnelle Γ(x+1) = xΓ(x) et Γ(n+1) = n!. Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Intégrales généralisées

L'intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée comme limite, nature (convergence/divergence), intégrales de Riemann de référence (∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1, ∫₀¹ dt/tᵅ ssi α < 1), critères pour fonctions positives (comparaison, négligeabilité, équivalents), fonction intégrable et convergence absolue, semi-convergence (Dirichlet). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Le troisième volet de la réduction en MPI : polynômes d'un endomorphisme et polynôme minimal, valeurs propres et racines des annulateurs, lemme de décomposition des noyaux, critère polynomial de diagonalisabilité (annulateur scindé à racines simples), théorème de Cayley-Hamilton et ses applications (inverse, puissances). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries de fonctions

L'outil des fonctions-séries en MPI : convergence simple, uniforme et normale (∑‖f_n‖∞ < ∞), continuité de la somme, intégration terme à terme sur segment et sur intervalle, dérivation terme à terme (convergence uniforme de la série des dérivées), étude de fonctions définies par une série (zêta). Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Séries entières

L'outil roi de l'analyse en MPI : rayon et disque de convergence (lemme d'Abel, règle de d'Alembert), convergence normale sur tout compact, somme C∞ dérivable et intégrable terme à terme, unicité des coefficients et série de Taylor, développements en série entière usuels et méthode de l'équation différentielle. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Compléments sur les séries numériques

La boîte à outils des séries en MPI : convergence absolue et semi-convergence, comparaison des séries à termes positifs (équivalents, domination, règle de d'Alembert), comparaison série-intégrale et séries de Riemann, critère spécial des séries alternées (Leibniz) et majoration du reste, produit de Cauchy. Avec les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Suites de fonctions

La charnière de l'analyse en MPI : convergence simple et convergence uniforme (norme infinie), continuité de la limite uniforme et théorème de la double limite, interversion limite-intégrale sur un segment, théorème de convergence dominée et dérivation d'une limite de fonctions. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : limites, continuité, applications linéaires continues

Le deuxième volet de la topologie en MPI : limites et continuité dans les evn, caractérisation séquentielle, continuité et image réciproque des ouverts/fermés (l'outil roi pour prouver qu'une partie est fermée), applications lipschitziennes, applications linéaires continues, norme subordonnée et continuité automatique en dimension finie. Avec les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Topologie des evn : normes, suites, ouverts et fermés

Le premier volet de la topologie en MPI : normes et boules, les trois normes usuelles et leur comparaison, suites convergentes et équivalence des normes (contre-exemple xⁿ en dimension infinie), ouverts, fermés, intérieur et adhérence, caractérisations séquentielles et méthode de rédaction. Avec les démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

Variables aléatoires discrètes

Les variables aléatoires à valeurs dénombrables : définition, loi de probabilité et système complet, indépendance de variables, et les lois usuelles incontournables — binomiale (somme de Bernoulli indépendantes), géométrique (rang du premier succès, propriété d'absence de mémoire), Poisson (événements rares, limite de la binomiale). Avec les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges des rapports de jury.

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