Intégrales définies

Vue d'ensemble

L'intégrale définie est le concept central de l'analyse de seconde moitié de MPSI. Construite à partir des fonctions en escalier puis étendue par approximation aux fonctions continues par morceaux, elle code à la fois une aire géométrique et une moyenne de valeurs. Cette fiche regroupe les 9 résultats incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire (sommes de Riemann, Cauchy-Schwarz, théorème de la moyenne, positivité stricte) et les pièges qui font perdre des points au DS comme aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, construction via fonctions en escalier, linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles, inégalité triangulaire intégrale, valeur moyenne, théorème de la moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz pour intégrales, sommes de Riemann (convergence vers l'intégrale pour une fonction continue).

Prérequis

Continuité et continuité uniforme d'une fonction sur un segment (théorème de Heine)
Sup et inf, axiome de la borne supérieure dans $R$
Convergence d'une suite numérique (théorème des gendarmes notamment)
Manipulation des sommes $k = 0 \sum n - 1$ et changements d'indice

🎯 Accompagnement Majorant

L'intégrale, c'est le chapitre où l'on confond construction et calcul. Les élèves qui décrochent ici n'arrivent jamais à attaquer sereinement les séries puis les intégrales généralisées en spé. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font reconstruire l'intégrale à partir des fonctions en escalier en 2 séances ciblées — exos sur-mesure tirés de tes propres DS.

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1. Construction — des fonctions en escalier aux fonctions continues par morceaux

L'idée de la construction est tellement centrale qu'il faut la maîtriser avant tout calcul : on définit d'abord l'intégrale pour les fonctions « simples » (en escalier), puis on l'étend par approximation à toutes les fonctions continues par morceaux.

1.1 — Subdivision d'un segment

Définition 1.1 — Subdivision d'un segment [a, b]

Une subdivision $σ$ de $[a, b]$ est la donnée d'un nombre fini de points $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ tels que

a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b .

On note $S ([a, b])$ l'ensemble de toutes les subdivisions de $[a, b]$ . Le pas d'une subdivision $(x_{i})_{0 \leq i \leq n}$ est le réel :

pas (σ) = 0 \leq i \leq n - 1 max (x_{i + 1} - x_{i}) .

1.2 — Fonction en escalier et son intégrale

Définition 1.2 — Fonction en escalier

Une fonction $f : [a, b] \to R$ est en escalier sur $[a, b]$ s'il existe une subdivision $σ = (x_{i})_{0 \leq i \leq n} \in S ([a, b])$ telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $] x_{i}, x_{i + 1} [$ , de valeur notée $ℓ_{i}$ . On dit alors que $σ$ est adaptée à $f$ .

Définition 1.3 — Intégrale d'une fonction en escalier

Soit $f$ en escalier sur $[a, b]$ , de subdivision adaptée $(x_{i})$ avec valeurs $ℓ_{i}$ sur $] x_{i}, x_{i + 1} [$ . On définit l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ par :

I (f) = i = 0 \sum n - 1 ℓ_{i} (x_{i + 1} - x_{i}) not \overset{e}{ˊ} \int_{a}^{b} f (t) d t .

📝 Remarque géométrique.

I (f)

est une somme algébrique d'aires de rectangles. Elle ne dépend ni de la subdivision adaptée choisie, ni des valeurs de

f

aux points

x_{i}

(les points isolés ne pèsent rien dans l'aire).

1.3 — Fonction continue par morceaux

Définition 1.4 — Fonction continue par morceaux sur [a, b]

Une fonction $f : [a, b] \to R$ est continue par morceaux sur $[a, b]$ s'il existe une subdivision $σ = (x_{i}) \in S ([a, b])$ telle que :

$f$ est continue sur chaque intervalle ouvert $] x_{i}, x_{i + 1} [$ ;
$f$ admet en tout point de la subdivision une limite à gauche et une limite à droite finies.

Plus généralement, $f$ est continue par morceaux sur un intervalle $I$ si sa restriction à tout segment inclus dans $I$ l'est. On note $CM ([a, b])$ l'ensemble de ces fonctions.

📝 Cas particuliers à connaître. Toute fonction continue (ou en escalier) sur

[a, b]

est continue par morceaux. Une fonction continue par morceaux est bornée sur

[a, b]

: sur chaque

] x_{i}, x_{i + 1} [

elle se prolonge en une fonction continue sur le segment fermé, donc bornée.

1.4 — Théorème d'approximation par fonctions en escalier

Théorème 1.5 — Encadrement par fonctions en escalier (admis)

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ . Pour tout $ε > 0$ , il existe deux fonctions en escalier $φ, ψ$ sur $[a, b]$ telles que :

φ \leq f \leq ψ et ψ - φ \leq ε .

Repose sur le théorème de Heine (uniforme continuité) et fonde l'extension de l'intégrale aux fonctions continues par morceaux.

Définition 1.6 — Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b]$ . On admet qu'il existe un unique réel $I$ tel que, pour toutes fonctions en escalier $φ, ψ$ vérifiant $φ \leq f \leq ψ$ , on ait :

I (φ) \leq I \leq I (ψ) .

Ce nombre $I$ s'appelle l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ et se note :

\int_{a}^{b} f (x) d x ou encore \int_{[a, b]} f .

La variable $x$ est une variable muette : on peut la renommer $t, u, θ, \dots$ sans changer la valeur de l'intégrale.

⚠ Piège #1 — Le nom de la variable. Écrire

\int_{a}^{b} f (x) d x

puis dans la ligne suivante

\int_{a}^{b} f (x) d t

, c'est la même intégrale (variable muette). En revanche, dans

\int_{a}^{b} f (x, t) d t

, la variable liée est

t

et le résultat dépend du paramètre

x

. Confondre les deux statuts est une faute de logique sanctionnée systématiquement.

1.5 — Convention pour bornes inversées

Définition 1.7 — Bornes inversées

Pour $a < b$ , on pose par convention :

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x et \int_{a}^{a} f (x) d x = 0.

Cette convention rend la relation de Chasles (cf. § 2) universelle, sans avoir à discuter de l'ordre des bornes.

1.6 — Interprétation géométrique

Pour $a < b$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x$ correspond à l'aire algébrique entre le graphe de $f$ et l'axe des abscisses : comptée positivement où $f \geq 0$ , négativement où $f \leq 0$ .

2. Propriétés fondamentales de l'intégrale

Dans toute cette section, $f$ et $g$ désignent des fonctions continues par morceaux sur les segments considérés, et $λ, μ \in R$ .

2.1 — Invariance et linéarité

Proposition 2.1 — Invariance par modification finie

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ne change pas si l'on modifie la valeur de $f$ sur $[a, b]$ en un nombre fini de points. C'est cohérent avec la construction : les valeurs ponctuelles n'apportent aucune aire.

Théorème 2.2 — Linéarité de l'intégrale

Pour tous $λ, μ \in R$ et toutes $f, g \in CM ([a, b])$ :

\int_{a}^{b} [λ f (x) + μg (x)] d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x + μ \int_{a}^{b} g (x) d x .

Autrement dit, l'application $f \mapsto \int_{a}^{b} f$ est une forme linéaire sur l'espace vectoriel $CM ([a, b])$ .

2.2 — Relation de Chasles

Théorème 2.3 — Relation de Chasles

Pour toute $f$ continue par morceaux sur un intervalle $I$ contenant $a, b, c$ :

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .

L'ordre des trois points $a, b, c$ n'a aucune importance grâce à la convention $\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}$ : la relation est valable quelle que soit la position relative de $c$ par rapport à $[a, b]$ .

📐 Méthode-type — Découper une intégrale via Chasles. Quand l'intégrande change de définition ou de signe selon des seuils

c_{1} < c_{2} < \dots

Repère les valeurs critiques (zéros de $f$ , points de raccord, changements de signe).
Applique Chasles entre toutes ces valeurs successives.
Sur chaque sous-segment, l'intégrande a une expression unique → calcul direct.
Recolle les morceaux.

Exemple type :

\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x = \int_{- 1}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{2} x d x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

2.3 — Croissance et positivité

Théorème 2.4 — Croissance de l'intégrale

Si $a < b$ et si $f \leq g$ sur $[a, b]$ , alors :

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x .

Cas particulier (positivité) : si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .

Théorème 2.5 — Positivité stricte (intégrale nulle d'une fonction continue positive) ★ À savoir démontrer

Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors :

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0 ⟺ \forall x \in [a, b], f (x) = 0.

Démonstration (par contraposée + continuité)

Sens $\Leftarrow$ trivial. Pour $\Rightarrow$ , contraposée : supposons qu'il existe $x_{0} \in [a, b]$ avec $f (x_{0}) = η > 0$ . Par continuité de $f$ en $x_{0}$ , il existe $δ > 0$ tel que $\forall x \in [a, b], ∣ x - x_{0} ∣ \leq δ \Rightarrow f (x) \geq η /2$ . Quitte à réduire $δ$ , on dispose d'un sous-segment $[α, β] \subset [a, b]$ de longueur $β - α > 0$ sur lequel $f \geq η /2$ . Par Chasles et croissance :

\int_{a}^{b} f \geq \int_{α}^{β} f \geq \frac{η}{2} (β - α) > 0.

Par contraposée, $\int_{a}^{b} f = 0$ force $f \equiv 0$ . Continuité indispensable : sans elle, $f$ nulle sauf en un point a une intégrale nulle sans être identiquement nulle.

⚠ Piège #2 — Continuité OBLIGATOIRE pour la positivité stricte. L'équivalence

\int_{a}^{b} f = 0 ⟺ f \equiv 0

suppose

f

continue. Si

f

est seulement continue par morceaux, on a uniquement :

\int_{a}^{b} f = 0 \Rightarrow f = 0

sauf en un nombre fini de points. Beaucoup d'élèves oublient l'hypothèse de continuité et appliquent ce théorème à tort.

2.4 — Inégalité triangulaire intégrale

Théorème 2.6 — Inégalité triangulaire intégrale

Si $a \leq b$ et $f \in CM ([a, b])$ , alors $∣ f ∣ \in CM ([a, b])$ et :

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x .

Idée : c'est l'analogue continu de l'inégalité $∣ \sum a_{k} ∣ \leq \sum ∣ a_{k} ∣$ . Démonstration immédiate par encadrement $- ∣ f ∣ \leq f \leq ∣ f ∣$ et croissance de l'intégrale.

⚠ Piège #3 — Borne inférieure d'intégration et inégalité triangulaire. L'hypothèse

a \leq b

est essentielle. Si

a > b

, la croissance de l'intégrale est inversée et on a

\int_{a}^{b} f \leq \int_{b}^{a} ∣ f ∣ = \int_{a}^{b} ∣ f ∣

. En pratique, commence toujours par ordonner les bornes avant d'écrire l'inégalité triangulaire.

2.5 — Majoration brute par le sup

Proposition 2.7 — Majoration de l'intégrale par le sup

Si $a \leq b$ et $f \in CM ([a, b])$ , alors :

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq (b - a) \cdot x \in [a, b] sup ∣ f (x) ∣.

C'est la majoration de base, à dégainer sans réfléchir dès qu'on veut majorer une intégrale grossièrement (étude asymptotique, contrôle de reste, comparaison série-intégrale).

3. Valeur moyenne, théorème de la moyenne, Cauchy-Schwarz

3.1 — Valeur moyenne

Définition 3.1 — Valeur moyenne d'une fonction sur [a, b]

Pour $a < b$ et $f \in CM ([a, b])$ , la valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est :

μ (f) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Si $m \leq f \leq M$ sur $[a, b]$ , alors par croissance de l'intégrale, $m \leq μ (f) \leq M$ : la valeur moyenne est encadrée par le min et le max de $f$ .

3.2 — Théorème de la moyenne (1re forme)

Théorème 3.2 — Théorème de la moyenne (fonction continue) ★ À savoir démontrer

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a < b$ . Il existe $c \in [a, b]$ tel que :

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) \cdot (b - a) .

Démonstration (encadrement + TVI)

$f$ continue sur $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes : $m = min f \leq f \leq M = max f$ . Par croissance de l'intégrale : $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ , soit $m \leq μ (f) \leq M$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ prend toute valeur entre $m$ et $M$ ; il existe donc $c \in [a, b]$ avec $f (c) = μ (f)$ , d'où $\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ .

Continuité indispensable : sans elle, le TVI ne s'applique pas et le théorème devient faux.

Proposition 3.3 — Inégalité de la moyenne

Pour $a < b$ et $f, g \in CM ([a, b])$ :

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \leq x \in [a, b] sup ∣ f (x) ∣ \times \int_{a}^{b} ∣ g (x) ∣ d x .

En particulier (cas $g \equiv 1$ ) :

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq (b - a) [a, b] sup ∣ f ∣.

3.3 — Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

Théorème 3.4 — Inégalité de Cauchy-Schwarz pour intégrales ★ À savoir démontrer

Pour toutes $f, g$ continues par morceaux sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ :

(\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x)^{2} \leq (\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x) \cdot (\int_{a}^{b} g (x)^{2} d x) .

Cas d'égalité : si $f$ et $g$ sont continues, l'égalité a lieu si et seulement s'il existe $(α, β) \neq = (0, 0)$ tel que $α f + β g \equiv 0$ (c.-à-d. $f$ et $g$ colinéaires).

Démonstration (méthode du discriminant — réflexe à connaître)

Pour $λ \in R$ , posons $P (λ) = \int_{a}^{b} (λ f (x) + g (x))^{2} d x$ . On intègre une fonction positive ou nulle (carré réel), donc $P (λ) \geq 0$ pour tout $λ$ . Par linéarité :

P (λ) = λ^{2} =: A \int_{a}^{b} f^{2} + 2 λ =: B \int_{a}^{b} f g + =: C \int_{a}^{b} g^{2} .

Cas $A = 0$ : si $f$ continue, $\int f^{2} = 0$ donne $f \equiv 0$ (thm 2.5) donc $\int f g = 0$ et l'inégalité $0 \leq 0$ est triviale.

Cas $A > 0$ : $P$ est un trinôme du second degré de signe constant positif sur $R$ , son discriminant est négatif ou nul :

Δ = (2 B)^{2} - 4 A C \leq 0 ⟺ B^{2} \leq A C,

soit l'inégalité demandée. Cas d'égalité ( $f, g$ continues) : $Δ = 0$ donne une racine double $λ_{0}$ , donc $\int (λ_{0} f + g)^{2} = 0$ , soit $λ_{0} f + g \equiv 0$ (thm 2.5).

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4. Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann font le pont entre intégrale (objet continu) et suite finie. Elles donnent un outil de calcul de limites de sommes, et constituent la définition intuitive de l'intégrale (limite d'aires de rectangles à pas tendant vers $0$ ).

4.1 — Définition

Définition 4.1 — Sommes de Riemann à pas régulier

Soit $f : [a, b] \to R$ et $n \in N^{*}$ . On appelle somme de Riemann à gauche de $f$ sur $[a, b]$ avec subdivision régulière en $n$ parts :

R_{n}^{gauche} (f) = \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) .

Et la somme de Riemann à droite :

R_{n}^{droite} (f) = \frac{b - a}{n} k = 1 \sum n f (a + k \frac{b - a}{n}) .

Chacune est une somme d'aires de rectangles de largeur $(b - a) / n$ et de hauteur $f (a + k (b - a) / n)$ , c.-à-d. la valeur de $f$ au bord gauche (resp. droit) du $k$ -ième segment de la subdivision régulière.

4.2 — Théorème de convergence

Théorème 4.2 — Convergence des sommes de Riemann (fonction continue) ★ À savoir démontrer

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Alors :

n \to + \infty lim \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

La même limite vaut avec la somme de Riemann à droite (sommation pour $k = 1, \dots, n$ ).

Démonstration (Heine — uniforme continuité)

Soit $ε > 0$ . $f$ continue sur $[a, b]$ est uniformément continue (Heine) : il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - y ∣ \leq δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ε$ . Choisissons $n_{0}$ tel que $(b - a) / n_{0} \leq δ$ . Pour $n \geq n_{0}$ , notons $x_{k} = a + k (b - a) / n$ . Pour tout $t \in [x_{k}, x_{k + 1}]$ , $∣ t - x_{k} ∣ \leq (b - a) / n \leq δ$ , donc $∣ f (t) - f (x_{k}) ∣ \leq ε$ . Par Chasles puis triangulaire intégrale :

R_{n}^{gauche} (f) - \int_{a}^{b} f \leq k = 0 \sum n - 1 \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} ∣ f (x_{k}) - f (t) ∣ d t \leq ε (b - a) .

$ε$ étant arbitraire, on a convergence vers $\int_{a}^{b} f$ . Schéma à retenir : Heine → uniforme continuité → encadrement segment par segment → Chasles + triangulaire intégrale.

4.3 — Utilisation pratique

📐 Méthode-type — Reconnaître une somme de Riemann. Devant

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = ? \sum ? g (\frac{k}{n})

Identifie le segment $[a, b]$ via les bornes effectives de $k / n$ (souvent $[0, 1]$ ).
Identifie la fonction $f = g$ et vérifie qu'elle est continue.
Conclus : la limite vaut $\int_{0}^{1} g (x) d x$ .

Plus généralement :

\frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 g (a + k \frac{b - a}{n}) n \to + \infty \int_{a}^{b} g

. Ne te trompe jamais sur le facteur

(b - a) / n

en facteur de la somme.

💡 Exemple canonique. Calculer

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 cos (\frac{k π}{2 n})

.
Posons

g (x) = cos (π x /2)

. La somme s'écrit

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} g (k / n)

, donc par le théorème 4.2 (avec

[a, b] = [0, 1]

) :

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 cos (\frac{k π}{2 n}) = \int_{0}^{1} cos (\frac{π x}{2}) d x = [\frac{2}{π} sin (\frac{π x}{2})]_{0}^{1} = \frac{2}{π} .

⚠ Piège #4 — Le facteur global devant la somme. Si la somme est

k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{n + k}

, il faut factoriser $1/ n$ :

\frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + k / n}

, reconnaître

g (x) = 1/ (1 + x)

sur

[0, 1]

, et conclure que la limite vaut

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2

. Beaucoup d'élèves oublient cette étape de mise en forme et concluent à tort que la limite est nulle (« la somme de

1/ n

infiniment petits »).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des intégrales définies. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence et concernent souvent des étapes élémentaires.

⚠ Erreur 1 — Variable d'intégration et variable extérieure homonymes. Écrire

F (x) = \int_{a}^{x} f (x) d x

est une faute : la lettre

x

est à la fois variable libre (borne) et variable muette (intégrande), ce qui n'a pas de sens. Toujours utiliser une lettre différente :

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

. C'est l'erreur n°1 en début de chapitre, sanctionnée systématiquement.

⚠ Erreur 2 — Oublier le signe quand on inverse les bornes.

\int_{3}^{1} f = - \int_{1}^{3} f

, et non

\int_{1}^{3} f

. Quand tu appliques Chasles

\int_{a}^{c} + \int_{c}^{b} = \int_{a}^{b}

avec

c \in / [a, b]

, un des deux morceaux a ses bornes « à l'envers » → vérifie systématiquement le signe.

⚠ Erreur 3 — Oublier l'hypothèse de continuité dans la positivité stricte. Écrire «

\int_{a}^{b} f = 0

avec

f \geq 0

, donc

f \equiv 0

» sans avoir vérifié que

f

est continue. Si

f

est juste continue par morceaux, ce n'est plus vrai en général (cf. piège #2). Quand tu cites le théorème, écris explicitement « f étant continue et positive sur [a, b] ».

⚠ Erreur 4 — Confondre valeur moyenne et théorème de la moyenne. La valeur moyenne

μ (f) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f

est un nombre toujours défini (pour

f

continue par morceaux). Le théorème de la moyenne dit qu'il existe

c \in [a, b]

tel que

f (c) = μ (f)

, et ceci suppose

f

continue (pour appliquer le TVI). Confondre les deux mène à des conclusions fausses (existence de

c

pour des fonctions discontinues).

⚠ Erreur 5 — Mal identifier l'intervalle dans une somme de Riemann. Pour

\sum_{k = 1}^{n} f (k / n)

avec

k

jusqu'à

n

, la valeur

k / n = 1

est atteinte, donc

[a, b] = [0, 1]

et la somme converge vers

\int_{0}^{1} f

. Mais pour

\sum_{k = 1}^{n} f (k / (n + 1))

, le terme final est

n / (n + 1) \to 1

, pas

1

: il faut réécrire la somme avant d'appliquer le théorème de Riemann. La paresse sur ce point de rigueur coûte cher.

6. Pour aller plus loin

L'intégrale définie est l'infrastructure de toute la suite du programme d'analyse. Les chapitres qui la réinvestissent immédiatement :

Primitives et calcul intégral — Théorème fondamental : $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ dérivable de dérivée $f$ (f continue) ; IPP, changement de variable.
Équations différentielles — Variation de la constante, équations linéaires.
Séries et comparaison série-intégrale — $\sum 1/ k \sim ln n$ , Riemann $\sum 1/ k^{α}$ convergente ssi $α > 1$ .
Intégrales généralisées (2e année) — Extension aux fonctions sur intervalle non borné ; repose sur la construction MPSI.
Probabilités à densité (2e année) — Densité $f$ : $\int_{R} f = 1$ ; espérance et variance par intégrales.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une subdivision et le pas d'une subdivision sur $[a, b]$ ?
Sais-tu écrire $I (f) = \sum_{i} ℓ_{i} (x_{i + 1} - x_{i})$ pour une fonction en escalier sans regarder ?
Sais-tu donner la définition d'une fonction continue par morceaux (les 2 conditions) ?
Sais-tu énoncer la linéarité, la croissance, la positivité, Chasles, et l'inégalité triangulaire intégrale ?
Sais-tu démontrer que pour $f$ continue positive, $\int_{a}^{b} f = 0 ⟺ f \equiv 0$ ?
Connais-tu la définition de la valeur moyenne $μ (f) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ ?
Sais-tu démontrer le théorème de la moyenne via TVI ?
Sais-tu démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale par la méthode du discriminant ?
Sais-tu démontrer le théorème de convergence des sommes de Riemann via Heine ?
Sais-tu reconnaître et calculer une limite type somme de Riemann (méthode-type § 4.3) ?
Connais-tu les 5 erreurs classiques en copie (variable homonyme, signe Chasles, oubli continuité, valeur moyenne vs théorème, intervalle Riemann) ?

Démonstrations à savoir refaire

Positivité stricte de l'intégrale — contraposée + continuité + Chasles
Théorème de la moyenne — encadrement par min/max + TVI
Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale — discriminant du trinôme $P (λ) = \int (λ f + g)^{2}$
Convergence des sommes de Riemann — Heine → uniforme continuité → encadrement segment par segment

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Construction — des fonctions en escalier aux fonctions continues par morceaux

1.1 — Subdivision d'un segment

1.2 — Fonction en escalier et son intégrale

1.3 — Fonction continue par morceaux

1.4 — Théorème d'approximation par fonctions en escalier

1.5 — Convention pour bornes inversées

1.6 — Interprétation géométrique

2. Propriétés fondamentales de l'intégrale

2.1 — Invariance et linéarité

2.2 — Relation de Chasles

2.3 — Croissance et positivité

2.4 — Inégalité triangulaire intégrale

2.5 — Majoration brute par le sup

3. Valeur moyenne, théorème de la moyenne, Cauchy-Schwarz

3.1 — Valeur moyenne

3.2 — Théorème de la moyenne (1re forme)

3.3 — Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

4. Sommes de Riemann

4.1 — Définition

4.2 — Théorème de convergence

4.3 — Utilisation pratique

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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