Logarithmes, exponentielles et puissances

Vue d'ensemble

Logarithme, exponentielle, puissances réelles : un trio inséparable, omniprésent dans toute la suite du programme — séries, équations différentielles, probabilités, analyse asymptotique. Cette fiche regroupe les 8 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire, les 7 limites usuelles et la table des dérivées à connaître par cœur. Tu y trouveras aussi les croissances comparées — l'argument-massue qui termine 8 calculs de limites sur 10 en MPSI.

Au programme MPSI (officiel) — Fonction logarithme népérien (définition par

(ln)^{'} = 1/ x

, propriété fonctionnelle

ln (ab) = ln a + ln b

), fonction exponentielle (réciproque de

ln

), propriétés algébriques, logarithme et exponentielle de base

a \in R_{+}^{*}

, fonctions puissances

x^{α} = e^{α l n x}

pour

α \in R

, croissances comparées entre

ln

, puissances et exponentielles, équations et inéquations log/exp.

Prérequis

Notion de fonction réciproque (bijection, graphe symétrique par rapport à $y = x$ )
Dérivation, théorème des fonctions composées $(f \circ g)^{'} = (f^{'} \circ g) \cdot g^{'}$
Théorème de la bijection continue strictement monotone sur un intervalle
Calcul intégral élémentaire (intégrale comme primitive)

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1. Fonction logarithme népérien

1.1 — Définition et premières propriétés

Définition 1.1 — Logarithme népérien

Le logarithme népérien est l'unique fonction $ln : R_{+}^{*} \to R$ dérivable telle que :

ln (1) = 0 et \forall x > 0, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} .

De manière équivalente : $ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ . La fonction $ln$ est strictement croissante, concave, de classe $C^{\infty}$ sur $R_{+}^{*}$ .

Définition 1.2 — Le nombre e

L'unique solution de l'équation $ln x = 1$ sur $R_{+}^{*}$ est notée $e$ . Numériquement, $e \approx 2, 718$ . On a aussi la caractérisation par limite :

e = n \to + \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} .

Proposition 1.3 — Limites aux bornes

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ \quad et \quad $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ . En particulier, $ln$ réalise une bijection de $R_{+}^{*}$ sur $R$ .

1.2 — Propriété fonctionnelle

Théorème 1.4 — Propriété fonctionnelle du logarithme ★ À savoir démontrer

Pour tous $a, b > 0$ et tout $r \in Q$ :

ln (ab) = ln a + ln b, ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b, ln (a^{r}) = r ln a .

Démonstration (par dérivation à

b

fixé)

Fixons $b > 0$ et posons $φ : x \mapsto ln (x b) - ln x$ sur $R_{+}^{*}$ . Par dérivation composée :

φ^{'} (x) = \frac{b}{x b} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0.

Donc $φ$ est constante sur $R_{+}^{*}$ . On évalue en $x = 1$ : $φ (1) = ln (b) - ln (1) = ln b$ . Ainsi $φ (x) = ln b$ pour tout $x > 0$ , soit $ln (x b) = ln x + ln b$ . En posant $x = a$ , on obtient $ln (ab) = ln a + ln b$ .

La formule $ln (a / b) = ln a - ln b$ s'en déduit en écrivant $ln a = ln ((a / b) \cdot b) = ln (a / b) + ln b$ . Enfin, pour $r = p / q \in Q$ avec $q > 0$ , on a $(a^{p / q})^{q} = a^{p}$ , donc en passant au logarithme et en utilisant l'additivité $n$ fois, $q ln (a^{p / q}) = p ln a$ , d'où $ln (a^{r}) = r ln a$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — $ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ . La propriété fonctionnelle concerne le produit, pas la somme.

ln (a + b)

n'a aucune expression simple en général. C'est l'erreur la plus sanctionnée en DS de MPSI : écris-la une dernière fois en gros sur ta fiche puis ne la refais plus jamais.

2. Fonction exponentielle

2.1 — Définition par réciprocité

Définition 2.1 — Exponentielle

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $x \mapsto e^{x}$ , est la réciproque de $ln$ . Elle est définie sur $R$ , à valeurs dans $R_{+}^{*}$ , strictement croissante, de classe $C^{\infty}$ . Par définition :

\forall x \in R, \forall y > 0, y = e^{x} ⟺ x = ln y .

Proposition 2.2 — Dérivée et limites

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ pour tout $x \in R$ (équation différentielle fondamentale $y^{'} = y$ , $y (0) = 1$ ).
$x \to - \infty lim e^{x} = 0$ et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ .
$e^{0} = 1$ , $e^{1} = e$ , $e^{l n x} = x$ pour $x > 0$ , $ln (e^{x}) = x$ pour $x \in R$ .

Théorème 2.3 — Propriétés algébriques de l'exponentielle

Pour tous $a, b \in R$ et tout $r \in Q$ :

e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}, e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}, e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}, (e^{a})^{r} = e^{r a} .

Démonstration immédiate par réciprocité à partir du théorème 1.4 : on applique $ln$ aux deux membres et on retrouve une identité connue.

2.2 — Limite caractéristique et nombre e

Théorème 2.4 — Caractérisation de e par limite ★ À savoir démontrer

$n \to + \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ .

Démonstration (via le logarithme et le taux d'accroissement)

Posons $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ pour $n \geq 1$ . On a $u_{n} > 0$ donc on peut passer au logarithme :

ln u_{n} = n ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{ln ( 1 + \frac{1}{n} ) - ln ( 1 )}{\frac{1}{n}} .

On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction $ln$ entre $1$ et $1 + \frac{1}{n}$ . Comme $\frac{1}{n} \to 0$ et que $ln$ est dérivable en $1$ avec $(ln)^{'} (1) = 1$ , ce taux tend vers $1$ . Donc $ln u_{n} \to 1$ . Par continuité de $exp$ , on obtient $u_{n} = e^{l n u_{n}} \to e^{1} = e$ .

📝 Variante utile. Plus généralement, pour tout

x \in R

n \to + \infty lim (1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x}

. La démonstration est identique en remplaçant

\frac{1}{n}

par

\frac{x}{n}

. Cette identité est centrale en probabilités (loi de Poisson) et en équations différentielles.

3. Logarithme et exponentielle de base a

3.1 — Logarithme de base a

Définition 3.1 — Logarithme de base a

Pour $a > 0$ et $a \neq = 1$ , la fonction logarithme de base $a$ est définie sur $R_{+}^{*}$ par :

\forall x > 0, lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a} .

Cas particuliers : $lo g_{e} = ln$ ; $lo g_{10}$ , aussi noté $lo g$ , est le logarithme décimal ; $lo g_{2}$ , utile en informatique, vérifie $lo g_{2} (2^{n}) = n$ .

Proposition 3.2 — Dérivée et propriétés

$(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x ln a}$ . Les propriétés algébriques sont identiques à celles de $ln$ (additivité sur les produits, etc.). Le sens de variation dépend du signe de $ln a$ : croissante si $a > 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ .

3.2 — Exponentielle de base a

Définition 3.3 — Exponentielle de base a

Pour $a > 0$ , la fonction exponentielle de base $a$ est définie sur $R$ par :

\forall x \in R, exp_{a} (x) = a^{x} = e^{x l n a} .

Pour $a \neq = 1$ , c'est la fonction réciproque de $lo g_{a}$ : $y = a^{x} ⟺ x = lo g_{a} (y)$ . Sa dérivée vaut $(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x}$ . Variation : croissante si $a > 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ , constante égale à $1$ si $a = 1$ .

⚠ Piège — Ne confonds pas $a^{x}$ et $x^{a}$ . Dans

a^{x}

, la base est constante et la variable est en exposant : c'est une exponentielle. Dans

x^{a}

, la base est variable et l'exposant est constant : c'est une fonction puissance. Les dérivées sont radicalement différentes :

(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x} vs (x^{a})^{'} = a x^{a - 1} .

Cette confusion explose en début de chapitre — vérifie systématiquement « qui est la variable ? ».

4. Fonctions puissances et croissances comparées

4.1 — Définition générale x^α pour α ∈ ℝ

Définition 4.1 — Puissance réelle

Pour $x > 0$ et $α \in R$ , on pose :

x^{α} = e^{α l n x} .

Cette définition prolonge la puissance rationnelle $x^{p / q}$ déjà connue : elle est cohérente lorsqu' $α \in Q$ . Les règles algébriques classiques se prolongent : $x^{α + β} = x^{α} \cdot x^{β}$ , $(x^{α})^{β} = x^{α β}$ , $(x y)^{α} = x^{α} y^{α}$ pour $x, y > 0$ .

Théorème 4.2 — Dérivée de

x^{α}

pour α ∈ ℝ ★ À savoir démontrer

Pour tout $α \in R$ , la fonction $x \mapsto x^{α}$ est dérivable sur $R_{+}^{*}$ et :

\forall x > 0, (x^{α})^{'} = α x^{α - 1} .

Démonstration (par dérivation composée)

Par définition, $x^{α} = e^{α l n x}$ . Posons $u (x) = α ln x$ ; alors $u^{'} (x) = α / x$ . La fonction $x \mapsto e^{u (x)}$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables, et :

(x^{α})^{'} = u^{'} (x) \cdot e^{u (x)} = \frac{α}{x} \cdot e^{α l n x} = \frac{α}{x} \cdot x^{α} = α x^{α - 1} .

Pour le dernier passage, on a utilisé $x^{α} / x = x^{α} \cdot x^{- 1} = x^{α - 1}$ .

📝 Cas particuliers à connaître.

α = 1/2

x = x^{1/2}

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

α = - 1

1/ x = x^{- 1}

(1/ x)^{'} = - 1/ x^{2}

α = 0

x^{0} = 1

(fonction constante). Le résultat

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}

contient ces formules.

4.2 — Croissances comparées (théorème-massue)

Théorème 4.3 — Croissances comparées en +∞ ★ À savoir démontrer

Pour tous $a > 1$ et $b > 0$ , on a :

x \to + \infty lim \frac{a ^{x}}{x ^{b}} = + \infty, x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{b}} = 0, x \to + \infty lim \frac{ln x}{a ^{x}} = 0.

Slogan à graver : « à l'infini, exp écrase puissance écrase log ».

Démonstration (cas

x^{α} / e^{x}

— schéma à savoir reproduire)

Montrons $x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{e ^{x}} = 0$ pour tout $α > 0$ (le cas général s'y ramène).

Étape 1 — Inégalité de base. Pour tout $t \geq 0$ , $e^{t} \geq 1 + t + \frac{t ^{2}}{2}$ (par convexité de $exp$ , ou par étude de $t \mapsto e^{t} - 1 - t - t^{2} /2$ dont la dérivée seconde est $e^{t} - 1 \geq 0$ ). Donc pour $t \geq 0$ , $e^{t} \geq t^{2} /2$ .

Étape 2 — Cas $α = 1$ . Pour $x > 0$ , on a $e^{x} \geq x^{2} /2$ , donc $0 \leq x / e^{x} \leq 2/ x \to 0$ . Par les gendarmes, $x / e^{x} \to 0$ .

Étape 3 — Cas général. Soit $α > 0$ . On écrit, pour $x > 0$ :

\frac{x ^{α}}{e ^{x}} = (\frac{x}{e ^{x / α}})^{α} = α^{α} \cdot (\frac{x / α}{e ^{x / α}})^{α} .

En posant $y = x / α \to + \infty$ , on a $y / e^{y} \to 0$ (étape 2), donc le membre de droite tend vers $0$ . D'où $x^{α} / e^{x} \to 0$ .

Les deux autres limites ( $ln x / x^{b}$ et $ln x / a^{x}$ ) se déduisent par le changement de variable $y = ln x$ (ou $y = b ln x$ ) qui ramène à la limite précédente.

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Proposition 4.4 — Variante en 0⁺

Pour tout $b > 0$ : $x \to 0^{+} lim x^{b} ln x = 0$ . En particulier, $x ln x \to 0$ et $x ln x \to 0$ quand $x \to 0^{+}$ . Démonstration : poser $y = 1/ x \to + \infty$ , alors $x^{b} ln x = - \frac{ln y}{y ^{b}} \to 0$ par le théorème 4.3.

4.3 — Les 7 limites usuelles à connaître par cœur

Théorème 4.5 — Limites usuelles (taux d'accroissement)

$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{α} - 1}{x} = α$ , pour $α \in R$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{b}} = 0$ pour $b > 0$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{b}} = + \infty$ pour $b > 0$
$x \to 0^{+} lim x^{b} ln x = 0$ pour $b > 0$
$n \to + \infty lim (1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x}$ pour $x \in R$

Les trois premières sont des taux d'accroissement en $0$ ; les trois suivantes sont les croissances comparées ; la dernière est la caractérisation de e par limite. Quatre d'entre elles sont des conséquences directes du théorème 4.3.

4.4 — Table des dérivées à connaître

📝 Récap des dérivées (à réciter sans hésiter).

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $R_{+}^{*}$
$(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ sur $R^{*}$ (utile pour les primitives)
$(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$ sur $R_{+}^{*}$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ sur $R$
$(a^{x})^{'} = ln a \cdot a^{x}$ sur $R$
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ sur $R_{+}^{*}$ pour tout $α \in R$
$(u (x)^{v (x)})^{'} = u^{v} \cdot (v^{'} ln u + v \cdot \frac{u ^{'}}{u})$ en écrivant $u^{v} = e^{v l n u}$

5. Équations et inéquations log/exp — méthodes

📐 Méthode-type — Résolution d'une équation logarithmique.

Domaine. Identifier le domaine de validité : tous les arguments de $ln$ doivent être strictement positifs. Étape la plus négligée — elle coûte cher.
Regroupement. Utiliser la propriété fonctionnelle pour ramener l'équation à la forme $ln (A) = ln (B)$ ou $ln (A) = c$ .
Inversion. Par stricte croissance de $ln$ : $ln A = ln B ⟺ A = B$ (sous réserve du domaine). $ln A = c ⟺ A = e^{c}$ .
Vérification. Reporter les solutions candidates dans le domaine de validité initial : éliminer celles qui violent une positivité.

💡 Exemple canonique — Résoudre $ln (x + 1) + ln (x + 5) = ln 96$ .

Domaine : $x + 1 > 0$ et $x + 5 > 0$ , soit $x > - 1$ . Regroupement : $ln ((x + 1) (x + 5)) = ln 96$ . Inversion : $(x + 1) (x + 5) = 96$ , soit $x^{2} + 6 x + 5 = 96$ , donc $x^{2} + 6 x - 91 = 0$ . Discriminant $Δ = 36 + 364 = 400 = 2 0^{2}$ , solutions $x = \frac{- 6 \pm 20}{2}$ , soit $x = 7$ ou $x = - 13$ . Vérification : $x = - 13 < - 1$ , à éliminer. Donc l'unique solution est $x = 7$ .

📐 Méthode-type — Résolution d'une inéquation exponentielle.

Changement de variable. Si l'inéquation fait intervenir $e^{2 x}$ , $e^{x}$ , $e^{- x}$ , poser $t = e^{x} > 0$ pour ramener à un polynôme/rationnelle en $t$ .
Résolution algébrique. Résoudre dans $R_{+}^{*}$ (puisque $t > 0$ ).
Retour à $x$ . Par stricte croissance de $ln$ : $t < t_{0} ⟺ x < ln t_{0}$ (si $t_{0} > 0$ ).

💡 Exemple — Résoudre $e^{2 x} - e^{x + 2} - e^{2 - x} + 1 < 0$ .

Multiplier par $e^{x} > 0$ (inégalité préservée) : $e^{3 x} - e^{2 x + 2} - e^{2} + e^{x} < 0$ . Réécrire : $e^{3 x} + e^{x} - e^{2} (e^{2 x} + 1) < 0$ , soit $e^{x} (e^{2 x} + 1) - e^{2} (e^{2 x} + 1) < 0$ , donc $(e^{x} - e^{2}) (e^{2 x} + 1) < 0$ . Comme $e^{2 x} + 1 > 0$ , il reste $e^{x} - e^{2} < 0$ , soit $x < 2$ . Solution : $] - \infty, 2 [$ .

⚠ Piège — Valeurs absolues dans un logarithme. L'équation

ln ∣ x + 1∣ + ln ∣ x + 5∣ = ln 96

a un domaine de validité différent :

x \neq = - 1

x \neq = - 5

. Après regroupement

∣ x + 1∣ \cdot ∣ x + 5∣ = 96

, on est ramené à

∣ x^{2} + 6 x + 5∣ = 96

, soit

x^{2} + 6 x + 5 = 96

x^{2} + 6 x + 5 = - 96

. La seconde équation a un discriminant négatif (pas de solution réelle), la première donne

x \in {7, - 13}

. Les deux sont solutions (toutes deux dans le domaine élargi). Moralité : ne jette jamais une solution sans avoir vérifié le domaine exact.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de calcul. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — et reviennent dans tous les chapitres d'analyse.

⚠ Erreur 1 — $ln (a + b) = ln a + ln b$ . Mythe absolu. La propriété fonctionnelle concerne le produit, pas la somme.

ln (a + b)

n'a aucune expression simple en général. Vérifie sur

a = b = 1

ln 2 \neq = 0 + 0

⚠ Erreur 2 — Oublier le domaine de validité avant de manipuler $ln$ . Tu transformes

ln (x - 3) + ln (x + 1) = ln 5

ln ((x - 3) (x + 1)) = ln 5

: cette étape n'est valable que si

x > 3

. Une solution candidate

x = - 2

annulerait formellement

(x - 3) (x + 1) = 5

mais ne serait pas dans le domaine de l'équation d'origine. À chaque manipulation, repose-toi la question « est-ce que tout est défini ? ».

⚠ Erreur 3 — Confondre $ln (a^{b})$ et $(ln a)^{b}$ .

ln (a^{b}) = b ln a

(propriété fonctionnelle) ;

(ln a)^{b}

est le réel

ln a

élevé à la puissance

b

— aucun rapport. Cette confusion explose dans les expressions type

ln (x^{2})

qui vaut

2 ln ∣ x ∣

(et non

(ln x)^{2}

⚠ Erreur 4 — Appliquer $x^{α}$ à un $x < 0$ sans précaution. La définition

x^{α} = e^{α l n x}

suppose

x > 0

. Pour

x < 0

x^{α}

n'est pas défini en général — sauf si

α

est entier (ou rationnel à dénominateur impair), auquel cas on retombe sur la définition élémentaire. Écrire

(- 2)^{1/2}

sans justification est un faux pas.

⚠ Erreur 5 — Croissance comparée mal orientée. Le slogan « exp écrase puissance écrase log » est valable en $+ \infty$ . En

0^{+}

, c'est

ln

qui « domine » :

ln x \to - \infty

tandis que

x^{α} \to 0

pour

α > 0

— mais le produit

x^{α} ln x \to 0

(le

x^{α}

gagne). Vérifie systématiquement en quel point tu fais la limite avant d'appliquer le théorème.

7. Pour aller plus loin

Log, exp et puissances sont des briques fondamentales qui réapparaissent dans presque tous les chapitres suivants :

Équations différentielles linéaires — les solutions de $y^{'} = a y$ sont les $C e^{a x}$ ; toute la théorie de l'ordre 1 et 2 repose sur l'exponentielle.
Développements limités — $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots$ , $ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$ , $(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2} x^{2} + \dots$ : trois DL à connaître par cœur.
Séries numériques — séries entières associées à $exp$ , $ln$ ; séries de Riemann $\sum 1/ n^{α}$ (convergent ssi $α > 1$ ).
Probabilités — loi exponentielle, loi de Poisson (limite de binomiales via $(1 + λ / n)^{n} \to e^{λ}$ ), entropie en $lo g$ .
Analyse asymptotique (en spé) — équivalents, comparaisons $O$ et $o$ ; les croissances comparées y deviennent une seconde nature.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu donner la définition de $ln$ par $(ln)^{'} = 1/ x$ et $ln 1 = 0$ , et en déduire $ln x = \int_{1}^{x} d t / t$ ?
Sais-tu démontrer $ln (ab) = ln a + ln b$ par dérivation à $b$ fixé ?
Connais-tu la définition de $e$ (solution de $ln x = 1$ ) et la formule $e = lim (1 + 1/ n)^{n}$ ?
Sais-tu démontrer $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ avec le taux d'accroissement de $ln$ en $1$ ?
Sais-tu écrire la définition de l'exponentielle comme réciproque de $ln$ et en déduire $(e^{x})^{'} = e^{x}$ ?
Sais-tu donner la définition de $lo g_{a}$ et $a^{x}$ en passant par $ln$ et $exp$ ?
Sais-tu donner la définition de $x^{α}$ pour $α \in R$ et démontrer $(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ ?
Sais-tu énoncer les croissances comparées ( $a^{x}$ vs $x^{b}$ vs $ln x$ en $+ \infty$ ) et la démonstration via $e^{t} \geq t^{2} /2$ ?
Connais-tu les 7 limites usuelles (3 taux d'accroissement + 3 croissances comparées + limite vers $e$ ) par cœur ?
Sais-tu réciter la table des dérivées ( $ln, lo g_{a}, e^{x}, a^{x}, x^{α}, u^{v}$ ) ?
Sais-tu résoudre une équation $ln (\dots) + ln (\dots) = ln (\dots)$ en n'oubliant ni le domaine ni la vérification ?
Sais-tu transformer une inéquation en $e^{x}$ par changement de variable $t = e^{x}$ puis revenir à $x$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Propriété fonctionnelle du logarithme — dérivation à $b$ fixé, constante évaluée en $x = 1$
Limite $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ — passage au logarithme et taux d'accroissement de $ln$ en $1$
Dérivée de $x^{α}$ pour $α \in R$ — composée $e^{α l n x}$ , simplification $x^{α} / x = x^{α - 1}$
Croissances comparées $x^{α} / e^{x} \to 0$ — inégalité $e^{t} \geq t^{2} /2$ , réduction par homothétie au cas $α = 1$