Fonctions dérivables

Vue d'ensemble

La dérivabilité est le moteur du calcul différentiel en MPSI : elle transforme l'idée géométrique de tangente en un outil analytique qui contrôle les variations, les extrema et les approximations locales d'une fonction. Cette fiche regroupe les 10 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire (Rolle, accroissements finis, monotonie via le signe de la dérivée, formule de Leibniz) et les pièges qui font perdre des points dès le premier DS.

Au programme MPSI (officiel) — Nombre dérivé, dérivabilité à droite et à gauche, fonction dérivable sur un intervalle, opérations algébriques, composée (chain rule), dérivée d'une bijection réciproque, dérivées des fonctions usuelles, théorème de Rolle, théorème (et inégalité) des accroissements finis, lien monotonie / signe de la dérivée, classes

C^{n}

C^{\infty}

, théorème de prolongement de la dérivée, dérivée

n

-ième et formule de Leibniz, extrema locaux.

Prérequis

Limite d'une fonction en un point, opérations sur les limites, formes indéterminées
Continuité sur un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires
Bijection, fonction réciproque, théorème de la bijection continue strictement monotone
Récurrences simples (initialisation + hérédité) pour la formule de Leibniz

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction définie sur $D \subset R$ et $x_{0} \in D$ tel que $f$ soit définie au voisinage de $x_{0}$ . On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie en $x_{0}$ :

x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} =: f^{'} (x_{0}) .

Le réel $f^{'} (x_{0})$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$ .

Définition 1.2 — Dérivabilité à droite et à gauche

Si $x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ existe et est finie, on dit que $f$ est dérivable à droite en $x_{0}$ ; cette limite est notée $f_{d}^{'} (x_{0})$ . Définition analogue pour la dérivée à gauche $f_{g}^{'} (x_{0})$ . On a alors l'équivalence :

f est d \overset{e}{ˊ} rivable en x_{0} ⟺ f_{d}^{'} (x_{0}) et f_{g}^{'} (x_{0}) existent et f_{d}^{'} (x_{0}) = f_{g}^{'} (x_{0}) .

Définition 1.3 — Fonction dérivée sur un intervalle

$f$ est dérivable sur $E \subset R$ si elle est dérivable en tout point de $E$ . On appelle alors fonction dérivée la fonction notée $f^{'}$ (ou $\frac{d f}{d x}$ ) définie par $x \mapsto f^{'} (x)$ .

Définition 1.4 — Dérivées successives et classes Cⁿ

Si $f$ est dérivable sur $E$ et si $f^{'}$ l'est aussi, on note $f^{''} = (f^{'})^{'}$ ou $f^{(2)}$ sa dérivée seconde. Par récurrence, on définit $f^{(0)} = f$ puis $f^{(n)} = (f^{(n - 1)})^{'}$ tant que c'est possible.

$f$ est de classe $C^{n}$ sur $E$ si $f^{(n)}$ existe sur $E$ et y est continue.
$f$ est de classe $C^{\infty}$ (indéfiniment dérivable) si elle admet des dérivées de tous ordres sur $E$ .

Définition 1.5 — Interprétation graphique : la tangente

Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , le graphe de $f$ admet au point $M_{0} = (x_{0}, f (x_{0}))$ une tangente de pente $f^{'} (x_{0})$ , d'équation :

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Si $x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = \pm \infty$ , alors $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}$ mais le graphe admet une tangente verticale (parallèle à $O y$ ) au point $M_{0}$ .

Définition 1.6 — Extremum local et point critique

$f$ admet un maximum local en $x_{0}$ s'il existe $η > 0$ tel que pour tout $x \in D \cap [x_{0} - η, x_{0} + η]$ , $f (x) \leq f (x_{0})$ . Définition analogue pour un minimum local. Un point où $f^{'} (x_{0}) = 0$ est appelé point critique de $f$ .

Proposition 1.7 — Dérivabilité implique continuité

Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors $f$ est continue en $x_{0}$ .

Idée : $f (x) - f (x_{0}) = (x - x_{0}) \cdot \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} x \to x_{0} 0 \cdot f^{'} (x_{0}) = 0$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — La réciproque est fausse. Continuité n'implique pas dérivabilité. Le contre-exemple à mémoriser :

f (x) = ∣ x ∣

est continue sur

R

, mais en

0

on a

f_{d}^{'} (0) = + 1

f_{g}^{'} (0) = - 1

: les dérivées latérales existent mais sont différentes, donc

f

n'est pas dérivable en $0$ . Autre cas piégeux :

x \mapsto x

0

a une tangente verticale (le taux tend vers

+ \infty

) — non dérivable, même si continue.

2. Opérations sur les fonctions dérivables

2.1 — Opérations algébriques

Théorème 2.1 — Somme, produit, quotient

Soient $f, g$ deux fonctions dérivables en $x_{0}$ . Alors $f + g$ , $f g$ et — si $g (x_{0}) \neq = 0$ — $f / g$ sont dérivables en $x_{0}$ , et :

(f + g)^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0}),

(f g)^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) g (x_{0}) + f (x_{0}) g^{'} (x_{0}),

(\frac{f}{g})^{'} (x_{0}) = \frac{f ^{'} ( x _{0} ) g ( x _{0} ) - f ( x _{0} ) g ^{'} ( x _{0} )}{g ( x _{0} ) ^{2}} .

Pour $λ \in R$ , $(λ f)^{'} (x_{0}) = λ f^{'} (x_{0})$ .

2.2 — Composée : chain rule

Théorème 2.2 — Dérivée d'une composée (chain rule)

Soit $f$ dérivable en $x_{0}$ et $g$ dérivable en $f (x_{0})$ . Alors $g \circ f$ est dérivable en $x_{0}$ et :

(g \circ f)^{'} (x_{0}) = g^{'} (f (x_{0})) \times f^{'} (x_{0}) .

💡 Exemple — Chain rule en action. Pour

h (x) = sin (x^{2} + 1)

avec

f (x) = x^{2} + 1

g (u) = sin u

, on a

f^{'} (x) = 2 x

g^{'} (u) = cos u

, donc

h^{'} (x) = cos (x^{2} + 1) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2} + 1)

2.3 — Dérivée d'une bijection réciproque

Théorème 2.3 — Dérivée de la bijection réciproque

Soit $f$ une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle $I$ . On suppose que $f$ est dérivable en $x_{0} \in I$ avec $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ . Alors la bijection réciproque $f^{- 1}$ est dérivable en $y_{0} = f (x_{0})$ et :

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )} .

⚠ Hypothèse cruciale : $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ . Si

f^{'} (x_{0}) = 0

, la tangente à

f

x_{0}

est horizontale, donc la tangente à

f^{- 1}

au point symétrique est verticale :

f^{- 1}

n'est alors pas dérivable en

y_{0}

. Exemple à connaître :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

, donc

f^{- 1} (y) = 3 y

n'est pas dérivable en

0

(tangente verticale).

2.4 — Dérivées des fonctions usuelles

Proposition 2.4 — Tableau des dérivées usuelles (à connaître par cœur)

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ pour $n \in Z$ ; $(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ sur $R_{+}^{*}$ pour $α \in R$ .
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ sur $R_{+}^{*}$ ; $(1/ x)^{'} = - 1/ x^{2}$ sur $R^{*}$ .
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ ; $(ln x)^{'} = 1/ x$ sur $R_{+}^{*}$ ; $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ pour $a > 0$ .
$(sin x)^{'} = cos x$ ; $(cos x)^{'} = - sin x$ ; $(tan x)^{'} = 1 + tan^{2} x = 1/ cos^{2} x$ .
$(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ sur $] - 1, 1 [$ ; $(arccos x)^{'} = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$ ; $(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ sur $R$ .
$(sinh x)^{'} = cosh x$ ; $(cosh x)^{'} = sinh x$ ; $(tanh x)^{'} = 1 - tanh^{2} x$ .

📝 Cas des fonctions à valeurs complexes. Pour

f : R \to C

f (x) = a (x) + i b (x)

f

est dérivable ssi

a

b

le sont, et

f^{'} (x) = a^{'} (x) + i b^{'} (x)

. Les opérations algébriques se prolongent, en particulier l'identité très utile en physique :

(e^{φ (x)})^{'} = φ^{'} (x) e^{φ (x)}

3. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

3.1 — Condition nécessaire d'extremum local

Proposition 3.1 — Extremum intérieur ⇒ point critique

Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ intérieur à son domaine et si $f$ est dérivable en $x_{0}$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

⚠ La réciproque est fausse.

f^{'} (x_{0}) = 0

ne suffit pas pour avoir un extremum :

f (x) = x^{3}

x_{0} = 0

f^{'} (0) = 0

mais ce point est seulement un point d'inflexion, pas un extremum. Autre piège : aux bornes de l'intervalle, un extremum peut très bien apparaître sans annulation de la dérivée — l'hypothèse « intérieur » est essentielle.

3.2 — Théorème de Rolle

Théorème 3.2 — Théorème de Rolle ★ À savoir démontrer

Soit $f : [a, b] \to R$ telle que :

$f$ est continue sur $[a, b]$ ,
$f$ est dérivable sur $] a, b [$ ,
$f (a) = f (b)$ .

Alors il existe $c \in] a, b [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Démonstration (compacité + extremum intérieur)

$f$ est continue sur le segment $[a, b]$ , donc — par le théorème des bornes — elle est bornée et atteint ses bornes. Notons $m = min_{[a, b]} f$ et $M = max_{[a, b]} f$ , atteints en deux points $x_{m}, x_{M} \in [a, b]$ .

Cas 1 : $m = M$ . Alors $f$ est constante sur $[a, b]$ ; tout $c \in] a, b [$ vérifie $f^{'} (c) = 0$ .

Cas 2 : $m < M$ . Au moins une des deux bornes est différente de la valeur commune $f (a) = f (b)$ . Supposons par exemple $M \neq = f (a) = f (b)$ . Alors $x_{M} \in / {a, b}$ , donc $x_{M} \in] a, b [$ : c'est un point intérieur. $f$ y est dérivable et y admet un maximum local — par la Prop 3.1, $f^{'} (x_{M}) = 0$ . On pose $c = x_{M}$ . Le raisonnement est symétrique si c'est le minimum qui est différent de $f (a)$ .

Dans les deux cas, on a exhibé $c \in] a, b [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

📝 Autre énoncé (corollaire utile). Si

f

est dérivable et si elle s'annule en deux valeurs

a < b

, alors il existe

c \in] a, b [

tel que

f^{'} (c) = 0

. Géométriquement : entre deux racines d'une fonction dérivable, la dérivée a au moins une racine.

3.3 — Égalité des accroissements finis (TAF)

Théorème 3.3 — Théorème des accroissements finis (Lagrange) ★ À savoir démontrer

Soit $f : [a, b] \to R$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ . Alors il existe $c \in] a, b [$ tel que :

f (b) - f (a) = (b - a) f^{'} (c) .

Démonstration (via Rolle sur une fonction auxiliaire)

On introduit la fonction auxiliaire $φ (x) = f (x) - f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a) .$ $φ$ est continue sur $[a, b]$ (somme de fonctions continues), dérivable sur $] a, b [$ (idem), et un calcul direct donne $φ (a) = 0$ et $φ (b) = f (b) - f (a) - (f (b) - f (a)) = 0$ . Donc $φ (a) = φ (b)$ .

Par le théorème de Rolle (Thm 3.2), il existe $c \in] a, b [$ tel que $φ^{'} (c) = 0$ . Or $φ^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ , donc $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ , ce qui équivaut à $f (b) - f (a) = (b - a) f^{'} (c)$ .

⚠ Le TAF est faux pour les fonctions à valeurs complexes. Considère

f (x) = e^{i x}

sur

[0, 2 π]

. Alors

f (2 π) - f (0) = 0

, mais

f^{'} (x) = i e^{i x}

ne s'annule jamais (de module

1

partout). Le théorème de Rolle et le TAF ne fonctionnent qu'en cadre réel. Pour les fonctions à valeurs complexes, on dispose uniquement de l'inégalité des accroissements finis.

3.4 — Inégalité des accroissements finis

Théorème 3.4 — Inégalité des accroissements finis

Soit $f : [a, b] \to R$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ .

Si $\forall x \in] a, b [, m \leq f^{'} (x) \leq M$ , alors $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ .
Si $\forall x \in] a, b [, ∣ f^{'} (x) ∣ \leq K$ , alors pour tous $x, x^{'} \in [a, b]$ , $∣ f (x) - f (x^{'}) ∣ \leq K ∣ x - x^{'} ∣$ .

On dit alors que $f$ est $K$ -lipschitzienne sur $[a, b]$ . Cette forme se généralise aux fonctions à valeurs complexes (en remplaçant la valeur absolue par le module).

💡 Exemple culte — $∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣$ . La fonction

sin

vérifie

∣ sin^{'} (x) ∣ = ∣ cos x ∣ \leq 1

sur

R

. L'inégalité des accroissements finis appliquée entre

0

x

donne

∣ sin x - sin 0∣ \leq 1 \cdot ∣ x - 0∣

, soit

∣ sin x ∣ \leq ∣ x ∣

pour tout

x \in R

. C'est l'un des trois exos du « Sauriez-vous répondre ? » du chapitre — il doit sortir en réflexe.

3.5 — Théorème de prolongement de la dérivée

Théorème 3.5 — Limite de la dérivée (prolongement)

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ . Si $f^{'}$ admet une limite finie $ℓ$ en $a$ , alors $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f_{d}^{'} (a) = ℓ$ . De plus, $f^{'}$ est continue à droite en $a$ . Énoncé analogue à gauche en $b$ .

⚠ Condition suffisante, mais pas nécessaire. Il peut très bien arriver que

f_{d}^{'} (a)

existe sans que

f^{'}

admette une limite en

a

(oscillations rapides). Contre-exemple classique :

f (x) = x^{2} sin (1/ x)

prolongée par

f (0) = 0

est dérivable en

0

avec

f^{'} (0) = 0

, mais

f^{'} (x) = 2 x sin (1/ x) - cos (1/ x)

n'a pas de limite en

0

(

cos (1/ x)

oscille). Donc l'absence de limite de

f^{'}

a

ne permet PAS de conclure à la non-dérivabilité.

🧑‍🏫 Décortique Rolle / TAF avec un mentor

Rolle et TAF, c'est LA mécanique qui revient toute l'année en analyse. Inégalité de Taylor-Lagrange en spé, étude de suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , preuves d'unicité de solutions d'équations — tout en découle. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X · Mines, tu sors avec le réflexe « hypothèses → conclusion → fonction auxiliaire » verrouillé pour les concours.

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4. Variations d'une fonction dérivable

4.1 — Monotonie via le signe de la dérivée

Théorème 4.1 — Monotonie et signe de la dérivée ★ À savoir démontrer

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Alors :

$f^{'} = 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est constante sur $I$ .
$f^{'} \geq 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Énoncés analogues pour la décroissance avec $f^{'} \leq 0$ et $f^{'} < 0$ .

Démonstration (TAF dans les deux sens)

Sens direct ( $f^{'} \geq 0 \Rightarrow f$ croissante). Soient $x_{1} < x_{2}$ dans $I$ . $f$ est continue sur $[x_{1}, x_{2}]$ et dérivable sur $] x_{1}, x_{2} [$ ; par le TAF (Thm 3.3), il existe $c \in] x_{1}, x_{2} [$ tel que $f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) f^{'} (c)$ . Comme $x_{2} - x_{1} > 0$ et $f^{'} (c) \geq 0$ , le produit est $\geq 0$ : $f (x_{2}) \geq f (x_{1})$ . Donc $f$ est croissante sur $I$ .

Sens réciproque ( $f$ croissante $\Rightarrow f^{'} \geq 0$ ). Si $f$ est croissante et dérivable en $x_{0}$ , alors pour $x > x_{0}$ , $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \geq 0$ . En passant à la limite $x \to x_{0}^{+}$ , $f^{'} (x_{0}) \geq 0$ .

Cas constant. $f^{'} = 0$ sur $I$ signifie $f^{'} \geq 0$ et $f^{'} \leq 0$ , donc $f$ est à la fois croissante et décroissante, donc constante.

Strict. Si $f^{'} > 0$ strictement, le TAF donne $f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) f^{'} (c) > 0$ , donc $f$ est strictement croissante.

📝 Réciproque du « strict ». Le résultat

f^{'} > 0 \Rightarrow f

strictement croissante reste vrai si

f^{'}

s'annule en des points isolés (ensemble ne contenant pas d'intervalle). Exemple :

f (x) = x^{3}

f^{'} (0) = 0

mais

f

est strictement croissante sur

R

⚠ Hypothèse INDISPENSABLE : $I$ est un intervalle. Si

I

n'est pas un intervalle (par exemple une réunion disjointe),

f^{'} = 0

ne suffit plus pour conclure que

f

est constante. Contre-exemple :

f (x) = 1

sur

] 0, 1 [

f (x) = 2

sur

] 2, 3 [

;

f^{'} = 0

sur

] 0, 1 [\cup] 2, 3 [

, pourtant

f

n'est pas constante. C'est l'erreur de copie n°1 sur ce théorème.

4.2 — Condition suffisante d'extremum local

Théorème 4.2 — Critère du second ordre

Soient $f, f^{'}, f^{''}$ continues sur $] a, b [$ . Si en $x_{0} \in] a, b [$ on a $f^{'} (x_{0}) = 0$ et $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ , alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ :

un maximum local si $f^{''} (x_{0}) < 0$ ,
un minimum local si $f^{''} (x_{0}) > 0$ .

📐 Méthode-type — Étudier les variations d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ .

Domaine. Préciser le domaine de définition, vérifier continuité et dérivabilité.
Calculer $f^{'} (x)$ (somme/produit/composée — chain rule).
Signe de $f^{'}$ . Factoriser, étudier le signe sur chaque sous-intervalle.
Tableau de variations. Reporter signe $f^{'}$ → monotonie de $f$ , limites aux bornes, valeurs aux points critiques.
Extrema. Les points où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe sont des extrema locaux ; vérifier également les bornes de $I$ .
Concavité (si demandé). Signe de $f^{''}$ → convexité/concavité, points d'inflexion ( $f^{''}$ change de signe).

5. Dérivées successives et formule de Leibniz

5.1 — Stabilité des classes Cⁿ

Proposition 5.1 — Opérations sur les classes Cⁿ

Soient $f, g$ de classe $C^{n}$ sur un intervalle $I$ ( $n \in N \cup {\infty}$ ). Alors :

$f + g$ et $f g$ sont $C^{n}$ sur $I$ .
Si $g$ ne s'annule pas sur $I$ , $f / g$ est $C^{n}$ sur $I$ .
Si $f : I \to J$ est $C^{n}$ et $g : J \to R$ est $C^{n}$ , alors $g \circ f$ est $C^{n}$ sur $I$ .
Si $f$ est $C^{n}$ , strictement monotone sur $I$ et $f^{'}$ ne s'annule pas, alors $f^{- 1}$ est $C^{n}$ sur $f (I)$ .

5.2 — Formule de Leibniz

Théorème 5.2 — Formule de Leibniz (dérivée

n

-ième d'un produit) ★ À savoir démontrer

Soient $f, g$ deux fonctions de classe $C^{n}$ sur un intervalle $I$ . Alors $f g$ est $C^{n}$ et :

(f g)^{(n)} (x) = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x) .

Démonstration (par récurrence sur n)

Initialisation : $n = 0$ . $(f g)^{(0)} = f g = (0 0) f^{(0)} g^{(0)}$ . OK.

Pour $n = 1$ , on retrouve la formule de Leibniz classique du produit : $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} = (0 1) f g^{'} + (1 1) f^{'} g$ . OK.

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ , montrons-la au rang $n + 1$ . En dérivant l'égalité du rang $n$ :

(f g)^{(n + 1)} = ((f g)^{(n)})^{'} = k = 0 \sum n (k n) (f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + f^{(k)} g^{(n - k + 1)}) .

On scinde la somme et on réindexe la première (poser $j = k + 1$ ) :

(f g)^{(n + 1)} = j = 1 \sum n + 1 (j - 1 n) f^{(j)} g^{(n + 1 - j)} + k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n + 1 - k)} .

Pour $k$ entre $1$ et $n$ , les coefficients s'additionnent en $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ (formule de Pascal). Les termes extrêmes $k = 0$ et $k = n + 1$ donnent respectivement $(0 n + 1)$ et $(n + 1 n + 1)$ . D'où :

(f g)^{(n + 1)} = k = 0 \sum n + 1 (k n + 1) f^{(k)} g^{(n + 1 - k)} .

La formule est vraie au rang $n + 1$ . Par récurrence, elle est vraie pour tout $n \in N$ .

💡 Exemple — Dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^{2} e^{x}$ . On pose

f (x) = x^{2}

g (x) = e^{x}

. Alors

f^{(0)} = x^{2}

f^{(1)} = 2 x

f^{(2)} = 2

f^{(k)} = 0

pour

k \geq 3

. Et

g^{(k)} (x) = e^{x}

pour tout

k

. La somme s'arrête au rang

k = 2

(x^{2} e^{x})^{(n)} = (0 n) x^{2} e^{x} + (1 n) \cdot 2 x \cdot e^{x} + (2 n) \cdot 2 \cdot e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) .

📝 Quand utiliser Leibniz ? Dès que tu vois un produit dont l'un des facteurs a une dérivée nulle à partir d'un certain rang (polynôme) — la somme de Leibniz se réduit à un petit nombre de termes. C'est l'astuce classique pour

x^{p} e^{a x}

x^{p} sin (a x)

x^{p} cos (a x)

en spé (Taylor, séries entières).

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'analyse réelle. Elles coûtent typiquement entre $0, 5$ et $2$ points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre dérivabilité et continuité. «

f

est continue donc dérivable » est faux.

x \mapsto ∣ x ∣

0

est le contre-exemple universel. Inversement, dériver une fonction sans avoir vérifié qu'elle est continue sur l'intervalle considéré conduit à des erreurs sur les domaines de validité.

⚠ Erreur 2 — Appliquer Rolle ou TAF sans vérifier les hypothèses. Beaucoup d'élèves écrivent « par Rolle,

\exists c

f^{'} (c) = 0

» sans vérifier (1) continuité sur

[a, b]

fermé, (2) dérivabilité sur

] a, b [

ouvert, (3) égalité aux bornes. La rédaction attendue commence toujours par «

f

étant continue sur

[a, b]

, dérivable sur

] a, b [

et vérifiant

f (a) = f (b)

, le théorème de Rolle s'applique ».

⚠ Erreur 3 — Utiliser le TAF sur une fonction à valeurs complexes. Le TAF (égalité) est FAUX dans

C

— seule l'inégalité des accroissements finis se généralise. Si l'énoncé fait apparaître

e^{i x}

cos

sin

sous forme complexe, ou une fonction

f : R \to C

, tu dois obligatoirement passer par l'inégalité, pas l'égalité.

⚠ Erreur 4 — Conclure $f$ constante à partir de $f^{'} = 0$ sans intervalle. Le théorème «

f^{'} = 0 \Rightarrow f

constante » exige que le domaine soit un intervalle (donc connexe). Sur une réunion disjointe d'intervalles,

f

peut prendre deux valeurs différentes sur chaque morceau. C'est ce qui distingue « localement constante » et « constante ».

⚠ Erreur 5 — Réciproque fausse du critère $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

f^{'} (x_{0}) = 0

n'implique pas que

f

admet un extremum en

x_{0}

(contre-exemple :

x \mapsto x^{3}

0

). Pour conclure à un extremum, il faut soit étudier le changement de signe de

f^{'}

au voisinage, soit invoquer le critère du second ordre avec

f^{''} (x_{0}) \neq = 0

7. Pour aller plus loin

La dérivabilité est l'infrastructure de tout l'analyse différentielle de MPSI / MP / PSI. Les chapitres qui la réinvestissent immédiatement :

Convexité — Caractérisation $f$ convexe $⟺ f^{'}$ croissante $⟺ f^{''} \geq 0$ ; inégalités de convexité (Jensen, AM-GM).
Développements limités et formules de Taylor — Taylor-Young, Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral reposent sur le TAF généralisé à l'ordre $n$ .
Étude de fonctions et tracé de courbes — Tableaux de variations, recherche d'asymptotes, points d'inflexion : tout part de $f^{'}$ et $f^{''}$ .
Équations différentielles — Une EDO du premier ordre relie $f^{'}$ à $f$ et $x$ ; résolution explicite (séparation des variables, variation de la constante).
Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ — La convergence et la vitesse sont contrôlées par $∣ f^{'} (ℓ) ∣$ au point fixe (théorème du point fixe contractant).
Intégration — Théorème fondamental : si $f$ est continue, sa primitive $F$ est dérivable et $F^{'} = f$ . C'est la dérivabilité « à l'envers ».

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition de $f^{'} (x_{0})$ sous forme de taux d'accroissement (deux versions $x \to x_{0}$ et $h \to 0$ ) ?
Sais-tu expliquer pourquoi dérivabilité implique continuité, et donner le contre-exemple à la réciproque ?
Connais-tu par cœur le tableau des dérivées usuelles (puissances, exp, ln, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh) ?
Sais-tu énoncer la chain rule $(g \circ f)^{'} = g^{'} (f) \cdot f^{'}$ et l'appliquer à un cas concret ?
Sais-tu énoncer le théorème de la dérivée d'une bijection réciproque avec son hypothèse cruciale $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ ?
Sais-tu énoncer ET démontrer le théorème de Rolle (continuité + dérivabilité + $f (a) = f (b)$ ) ?
Sais-tu démontrer le TAF à partir de Rolle via la fonction auxiliaire $φ (x) = f (x) - f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a)$ ?
Sais-tu utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer qu'une fonction est $K$ -lipschitzienne ?
Sais-tu démontrer que $f^{'} \geq 0$ sur un intervalle équivaut à $f$ croissante ?
Sais-tu énoncer ET démontrer la formule de Leibniz par récurrence (avec la formule de Pascal) ?
Sais-tu reconnaître quand un produit $x^{p} \cdot e^{a x}$ appelle Leibniz (somme finie) ?
Sais-tu rappeler que TAF / Rolle sont faux dans $C$ , et qu'on n'a que l'inégalité des accroissements finis ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de Rolle — compacité (bornes atteintes) + extremum intérieur ⇒ $f^{'} = 0$ .
Théorème des accroissements finis — Rolle appliqué à $φ (x) = f (x) - f (a) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a)$ .
Monotonie ⇔ signe de la dérivée — TAF dans un sens, passage à la limite du taux d'accroissement dans l'autre.
Formule de Leibniz — récurrence + formule de Pascal $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ .