Fonctions circulaires et hyperboliques

Vue d'ensemble

Les fonctions circulaires (sin, cos, tan) et leurs réciproques (arcsin, arccos, arctan), puis les fonctions hyperboliques (sh, ch, th) et leurs réciproques (argsh, argch, argth), constituent le kit d'outils analytiques de toute la prépa : on les croise en dérivation, en intégration, en équations différentielles, en géométrie complexe et en physique des oscillateurs. Cette fiche rassemble les 13 propriétés / théorèmes incontournables, les 6 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points sur les domaines de définition et les valeurs principales des réciproques.

Au programme MPSI (officiel) — Fonctions circulaires et leurs réciproques : définitions, périodicité, parité, formules d'addition et de duplication, formules de transformation produit-somme, équations trigonométriques. Fonctions hyperboliques : définition à partir de l'exponentielle, identités fondamentales, dérivées. Fonctions réciproques arcsin, arccos, arctan, argsh, argch, argth : domaines, dérivées, expressions logarithmiques pour les hyperboliques réciproques.

Prérequis

Cercle trigonométrique et angles orientés (radians, valeurs remarquables : 0, π/6, π/4, π/3, π/2)
Fonction exponentielle réelle et complexe, formule d'Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ
Dérivation des fonctions composées et théorème de dérivation d'une réciproque
Notions de bijection, injectivité, surjectivité sur un intervalle

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1. Fonctions circulaires sin, cos, tan

1.1 — Définitions et propriétés générales

Définition 1.1 — sin et cos

Pour tout réel $x$ , on définit $cos x$ et $sin x$ comme les coordonnées du point du cercle trigonométrique repéré par l'angle orienté $x$ (en radians) :

M (cos x, sin x) \in C (O, 1) .

Équivalent analytique : $cos x = Re (e^{i x})$ , $sin x = Im (e^{i x})$ . Les deux fonctions sont définies sur $R$ , à valeurs dans $[- 1, 1]$ .

Proposition 1.2 — Propriétés fondamentales de sin et cos

Identité fondamentale : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ ; périodicité $2 π$ ; parité : $cos$ paire, $sin$ impaire.
Translation : $sin (x + π /2) = cos x$ , $cos (x + π /2) = - sin x$ .
Dérivées : $(sin)^{'} = cos$ , $(cos)^{'} = - sin$ .

Définition 1.3 — tan

La fonction tangente est définie par $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ pour tout $x \in R$ tel que $cos x \neq = 0$ , c'est-à-dire :

Dom (tan) = R ∖ {\frac{π}{2} + k π, k \in Z} .

$tan$ est $π$ -périodique (et non $2 π$ ) et impaire. Sa dérivée est $(tan)^{'} (x) = 1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ .

1.2 — Formules d'addition et de duplication

Théorème 1.4 — Formules d'addition ★ À savoir démontrer

Pour tous réels $a, b$ :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b,

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b .

Démonstration (à partir de la formule d'Euler)

On part de la formule d'Euler : pour tout réel $θ$ , $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ . Avec $a, b \in R$ , la propriété fondamentale de l'exponentielle complexe donne :

e^{i (a + b)} = e^{ia} \cdot e^{ib} = (cos a + i sin a) (cos b + i sin b) .

En développant le produit du membre de droite :

e^{i (a + b)} = (cos a cos b - sin a sin b) + i (sin a cos b + cos a sin b) .

D'un autre côté, $e^{i (a + b)} = cos (a + b) + i sin (a + b)$ . Par identification des parties réelles et imaginaires (deux nombres complexes sont égaux ssi leurs parties réelles et imaginaires le sont) :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b .

Pour $cos (a - b)$ et $sin (a - b)$ , on substitue $b \to - b$ en utilisant la parité de $cos$ et l'imparité de $sin$ .

Proposition 1.5 — Formules de duplication

En posant $b = a$ dans les formules d'addition :

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a,

sin (2 a) = 2 sin a cos a, tan (2 a) = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a} .

D'où la linéarisation : $cos^{2} a = \frac{1 + cos ( 2 a )}{2}$ , $sin^{2} a = \frac{1 - cos ( 2 a )}{2}$ . À connaître par cœur pour calculer les intégrales $\int cos^{2}, \int sin^{2}$ .

Proposition 1.6 — Formules de transformation produit ⇄ somme

En combinant les formules d'addition de $cos (a \pm b)$ et $sin (a \pm b)$ :

cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)],

sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)],

sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)] .

Et réciproquement, avec $p = a + b$ , $q = a - b$ :

cos p + cos q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}, sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2} .

📐 Méthode-type — Résoudre une équation trigonométrique. Trois schémas à automatiser :

$cos x = cos a$ ⇔ $x = a + 2 k π$ ou $x = - a + 2 k π$ , $k \in Z$ .
$sin x = sin a$ ⇔ $x = a + 2 k π$ ou $x = π - a + 2 k π$ , $k \in Z$ .
$tan x = tan a$ ⇔ $x = a + k π$ , $k \in Z$ (n'oublie jamais d'imposer $cos x \neq = 0$ AVANT).

Pour une équation du type

a cos x + b sin x = c

, passer en amplitude-phase :

a cos x + b sin x = R cos (x - φ)

avec

R = a^{2} + b^{2}

cos φ = a / R

sin φ = b / R

. L'équation devient

cos (x - φ) = c / R

, soluble ssi

∣ c ∣ \leq R

💡 Exemple canonique — Linéariser $cos^{4} x$ . De

cos^{2} x = \frac{1 + c o s ( 2 x )}{2}

cos^{2} (2 x) = \frac{1 + c o s ( 4 x )}{2}

, on obtient

cos^{4} x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{8} cos (4 x)

. D'où directement

\int_{0}^{π} cos^{4} x d x = \frac{3 π}{8}

2. Réciproques circulaires arcsin, arccos, arctan

2.1 — Fonction arcsin

Définition 2.1 — arcsin

La restriction $sin_{[- π /2, π /2]} : [- π /2, π /2] \to [- 1, 1]$ est continue, strictement croissante et surjective : c'est une bijection. Sa réciproque, appelée arc sinus, est notée $arcsin$ :

arcsin : [- 1, 1] ⟶ [- π /2, π /2] .

Caractérisation : pour $x \in [- 1, 1]$ et $y \in [- π /2, π /2]$ , $arcsin x = y ⟺ sin y = x$ .

Proposition 2.2 — Propriétés de arcsin

$arcsin$ est impaire, continue et strictement croissante sur $[- 1, 1]$ ; dérivable sur $] - 1, 1 [$ avec $(arcsin)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .
$arcsin (sin x) = x$ uniquement si $x \in [- π /2, π /2]$ ; en revanche $sin (arcsin x) = x$ pour tout $x \in [- 1, 1]$ .

Théorème 2.3 — Dérivée de arcsin ★ À savoir démontrer

Pour tout $x \in] - 1, 1 [$ :

(arcsin)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}} .

Démonstration (dérivation de la réciproque)

Soit $x \in] - 1, 1 [$ . Posons $y = arcsin x$ , donc $y \in] - π /2, π /2 [$ et $sin y = x$ . La fonction $sin$ est dérivable sur $] - π /2, π /2 [$ et sa dérivée $cos y$ y est non nulle ( $cos y > 0$ sur cet intervalle ouvert). Par le théorème de dérivation d'une bijection réciproque, $arcsin$ est dérivable en $x$ et :

(arcsin)^{'} (x) = \frac{1}{sin ^{'} ( y )} = \frac{1}{cos y} .

Il reste à exprimer $cos y$ en fonction de $x$ . De $cos^{2} y + sin^{2} y = 1$ on tire $cos^{2} y = 1 - x^{2}$ , donc $cos y = \pm 1 - x^{2}$ . Comme $y \in] - π /2, π /2 [$ , $cos y > 0$ , donc $cos y = + 1 - x^{2}$ . On obtient bien :

(arcsin)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}, x \in] - 1, 1 [.

Remarque : aux bornes $x = \pm 1$ , la dérivée tend vers $+ \infty$ — la courbe de $arcsin$ y présente des tangentes verticales.

2.2 — Fonction arccos

Définition 2.4 — arccos

La restriction $cos_{[0, π]} : [0, π] \to [- 1, 1]$ est continue, strictement décroissante et surjective. Sa réciproque, notée $arccos$ , est définie sur $[- 1, 1]$ à valeurs dans $[0, π]$ :

arccos : [- 1, 1] ⟶ [0, π] .

Caractérisation : pour $x \in [- 1, 1]$ et $y \in [0, π]$ , $arccos x = y ⟺ cos y = x$ .

Proposition 2.5 — Propriétés de arccos

$arccos$ est continue, strictement décroissante sur $[- 1, 1]$ ; ni paire ni impaire ; $arccos (- x) = π - arccos x$ .
Relation fondamentale : $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ sur $[- 1, 1]$ ; dérivable sur $] - 1, 1 [$ avec $(arccos)^{'} (x) = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .

📝 Remarque — Preuve éclair de $arcsin + arccos = π /2$ .

f (x) = arcsin x + arccos x

a une dérivée nulle sur

] - 1, 1 [

(les deux dérivées s'opposent), donc

f

est constante ;

f (0) = π /2

ferme l'argument (puis continuité aux bornes).

2.3 — Fonction arctan

Définition 2.6 — arctan

La restriction $tan_{] - π /2, π /2 [} :] - π /2, π /2 [\to R$ est une bijection (continue, strictement croissante, surjective). Sa réciproque, notée $arctan$ , est définie sur $R$ à valeurs dans $] - π /2, π /2 [$ :

arctan : R ⟶] - π /2, π /2 [.

Théorème 2.7 — Dérivée de arctan ★ À savoir démontrer

$arctan$ est dérivable sur $R$ et :

(arctan)^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}, x \in R .

Démonstration (dérivation de la réciproque)

Soit $x \in R$ et $y = arctan x$ , donc $y \in] - π /2, π /2 [$ et $tan y = x$ . La fonction $tan$ est dérivable sur $] - π /2, π /2 [$ de dérivée $1 + tan^{2} y$ , qui est strictement positive (donc non nulle) sur cet intervalle. Le théorème de dérivation d'une bijection réciproque donne :

(arctan)^{'} (x) = \frac{1}{tan ^{'} ( y )} = \frac{1}{1 + tan ^{2} y} .

Or $tan y = x$ , donc $tan^{2} y = x^{2}$ et $1 + tan^{2} y = 1 + x^{2}$ . D'où :

(arctan)^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

Cette formule est fondamentale : elle fait de $arctan$ la primitive canonique de $x \mapsto \frac{1}{1 + x ^{2}}$ sur $R$ , à connaître par cœur pour toute primitive du type $\int \frac{d x}{1 + x ^{2}}$ .

Proposition 2.8 — Propriétés de arctan

$arctan$ est impaire, strictement croissante, continue sur $R$ ; limites $\pm π /2$ aux bornes (asymptotes horizontales).
Identité $arctan x + arctan (1/ x) = π /2$ pour $x > 0$ , $= - π /2$ pour $x < 0$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — La formule $arcsin (sin x) = x$ n'est PAS valable partout. Beaucoup d'élèves écrivent par réflexe

arcsin (sin x) = x

en oubliant l'hypothèse. Contre-exemple :

arcsin (sin (3 π /4)) = arcsin (2 /2) = π /4 \neq = 3 π /4

. Le bon réflexe : ramener $x$ dans $[- π /2, π /2]$ modulo les symétries de $sin$ AVANT de simplifier. C'est sanctionné systématiquement en concours.

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3. Fonctions hyperboliques sh, ch, th

3.1 — Définitions exponentielles

Définition 3.1 — Sinus, cosinus et tangente hyperboliques

Pour tout réel $x$ , on pose :

ch x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, sh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, th x = \frac{sh x}{ch x} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} .

$ch$ et $sh$ sont définies sur $R$ ; $th$ l'est aussi ( $ch x > 0$ pour tout $x \in R$ ).

Proposition 3.2 — Propriétés générales

Parité : $ch$ paire, $sh$ et $th$ impaires ; positivité $ch x \geq 1$ (égalité ssi $x = 0$ ).
Dérivées : $(sh)^{'} = ch$ , $(ch)^{'} = sh$ (pas de signe — différence cruciale avec sin/cos), $(th)^{'} (x) = 1 - th^{2} x = \frac{1}{ch ^{2} x}$ .
Limites : $th x \to \pm 1$ en $\pm \infty$ (asymptotes horizontales).

3.2 — Identité fondamentale et formules d'addition

Théorème 3.3 — Identité hyperbolique fondamentale ★ À savoir démontrer

Pour tout réel $x$ :

ch^{2} x - sh^{2} x = 1.

Démonstration (calcul direct à partir des définitions)

Par les définitions exponentielles :

ch^{2} x = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4},

sh^{2} x = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = \frac{e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4} .

En soustrayant :

ch^{2} x - sh^{2} x = \frac{( e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x} ) - ( e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x} )}{4} = \frac{4}{4} = 1.

Conséquence géométrique : le point $M (ch t, sh t)$ parcourt, quand $t$ décrit $R$ , la branche d'hyperbole d'équation $X^{2} - Y^{2} = 1$ avec $X \geq 1$ — d'où le nom de fonctions « hyperboliques ».

Proposition 3.4 — Formules d'addition hyperboliques

Pour tous réels $a, b$ :

ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b,

sh (a + b) = sh a ch b + ch a sh b .

À retenir : par rapport aux formules circulaires, le signe entre les deux produits dans $ch (a + b)$ est positif (alors que dans $cos (a + b)$ il est négatif). En duplication : $ch (2 a) = ch^{2} a + sh^{2} a = 2 ch^{2} a - 1 = 1 + 2 sh^{2} a$ , $sh (2 a) = 2 sh a ch a$ .

📝 Remarque — Pont entre trigo et hyperbo (pour mémoire, hors-prog strict). En utilisant

cos (i z) = ch z

sin (i z) = i sh z

(pour

z

réel, ces identités se vérifient via la définition complexe de

cos

sin

), toutes les identités hyperboliques se déduisent des identités circulaires par substitution

x \to i x

. Par exemple,

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

devient

ch^{2} z + (i sh z)^{2} = ch^{2} z - sh^{2} z = 1

. C'est un repère mnémotechnique, pas un argument autorisé en MPSI sans précautions.

💡 Exemple — th en $+ \infty$ . En factorisant

e^{x}

th x = \frac{1 - e ^{- 2 x}}{1 + e ^{- 2 x}} \to 1

+ \infty

. DL :

th x = 1 - 2 e^{- 2 x} + o (e^{- 2 x})

— convergence exponentielle vers l'asymptote.

4. Réciproques hyperboliques argsh, argch, argth

4.1 — Argument sinus hyperbolique

Définition 4.1 — argsh

$sh : R \to R$ est continue, strictement croissante et surjective (limites $\pm \infty$ aux bornes) : c'est une bijection. Sa réciproque est notée $argsh$ :

argsh : R ⟶ R .

Théorème 4.2 — Expression logarithmique de argsh ★ À savoir démontrer

Pour tout $x \in R$ :

argsh x = ln (x + x^{2} + 1) .

De plus, $argsh$ est dérivable sur $R$ et :

(argsh)^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

Démonstration (équation du second degré en

e^{y}

)

Soit $x \in R$ et $y = argsh x$ , donc $sh y = x$ , c'est-à-dire $\frac{e ^{y} - e ^{- y}}{2} = x$ . Multipliant par $2 e^{y}$ :

e^{2 y} - 1 = 2 x e^{y}, soit (e^{y})^{2} - 2 x e^{y} - 1 = 0.

On pose $t = e^{y} > 0$ : $t^{2} - 2 x t - 1 = 0$ , équation du second degré en $t$ de discriminant $Δ = 4 x^{2} + 4 > 0$ . Les deux racines sont :

t = \frac{2 x \pm 4 x ^{2} + 4}{2} = x \pm x^{2} + 1 .

Or $t = e^{y} > 0$ impose de garder uniquement la racine positive. Comme $x^{2} + 1 > ∣ x ∣ \geq - x$ , on a $x + x^{2} + 1 > 0$ et $x - x^{2} + 1 < 0$ . Donc $t = x + x^{2} + 1$ , d'où :

y = ln t = ln (x + x^{2} + 1) .

Pour la dérivée, on dérive directement cette expression (composée logarithme/racine) ou on applique le théorème de dérivation d'une réciproque : $(argsh)^{'} (x) = \frac{1}{ch y}$ , avec $ch y = 1 + sh^{2} y = 1 + x^{2}$ (signe positif car $ch \geq 1 > 0$ ).

4.2 — Argument cosinus hyperbolique

Définition 4.3 — argch

La restriction $ch_{[0, + \infty [} : [0, + \infty [\to [1, + \infty [$ est une bijection (continue, strictement croissante, surjective). Sa réciproque est notée $argch$ :

argch : [1, + \infty [⟶ [0, + \infty [.

Expression logarithmique (démonstration analogue à argsh) :

argch x = ln (x + x^{2} - 1), x \geq 1.

Dérivée sur $] 1, + \infty [$ : $(argch)^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ .

4.3 — Argument tangente hyperbolique

Définition 4.4 — argth

$th : R \to] - 1, 1 [$ est une bijection. Sa réciproque, notée $argth$ , est définie sur $] - 1, 1 [$ :

argth :] - 1, 1 [⟶ R, argth x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

Dérivée sur $] - 1, 1 [$ : $(argth)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .

Proposition 4.5 — Récap des dérivées (à connaître par cœur)

Tableau des dérivées (à savoir réciter en 10 secondes) :

$(arcsin)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ sur $] - 1, 1 [$
$(arccos)^{'} (x) = - \frac{1}{1 - x ^{2}}$ sur $] - 1, 1 [$
$(arctan)^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ sur $R$
$(argsh)^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ sur $R$
$(argch)^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ sur $] 1, + \infty [$
$(argth)^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ sur $] - 1, 1 [$

📐 Méthode-type — Reconnaître une primitive cachée. Devant une intégrale, repère le squelette de dénominateur pour identifier la primitive :

$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ → primitive $arcsin x + C$ (ou $- arccos x + C$ )
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ → primitive $arctan x + C$
$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ → primitive $argsh x = ln (x + x^{2} + 1) + C$
$\frac{1}{x ^{2} - 1}$ → primitive $argch x = ln (x + x^{2} - 1) + C$ sur $] 1, + \infty [$
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$ → primitive $argth x = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x} + C$ sur $] - 1, 1 [$

Si tu vois

\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}

, pose

u = x / a

: tu te ramènes à

arcsin (x / a) /1

. Idem pour

\frac{1}{a ^{2} + x ^{2}}

\frac{1}{a} arctan (x / a) + C

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 1,5 point par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Écrire $arcsin (sin x) = x$ sans condition. Faux dès que

x \in / [- π /2, π /2]

. De même,

arccos (cos x) = x

seulement si

x \in [0, π]

, et

arctan (tan x) = x

seulement si

x \in] - π /2, π /2 [

. En revanche,

sin (arcsin x) = x

est toujours vrai sur

[- 1, 1]

(et bien défini seulement là). Le sens « réciproque ∘ fonction » impose une restriction de domaine ; le sens inverse, jamais.

⚠ Erreur 2 — Mauvais signe en simplifiant $1 - sin^{2} y$ ou $ch^{2} y - 1$ .

x^{2} = ∣ x ∣

, pas

x

. Toujours vérifier le signe sur le domaine de la réciproque concernée avant de retirer la valeur absolue (

cos \geq 0

sur

[- π /2, π /2]

sh \geq 0

sur

[0, + \infty [

⚠ Erreur 3 — Confondre les signes dans les dérivées hyperboliques.

(ch)^{'} = sh

(pas

- sh

!) — grande différence avec

(cos)^{'} = - sin

. Idem

ch^{2} - sh^{2} = 1

(signe

-

) à ne PAS confondre avec

cos^{2} + sin^{2} = 1

(signe

+

). Erreur de signe = copie entière qui dérape.

⚠ Erreur 4 — Oublier $cos x \neq = 0$ avant d'utiliser $tan$ . Toute manipulation de

tan

nécessite

x \in / {π /2 + k π, k \in Z}

. Réflexe : noter explicitement le domaine de validité en début d'exercice, sinon on perd les solutions singulières.

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est l'atlas de référence de toute la suite du programme d'analyse et de géométrie. Les réinvestissements directs :

Calcul intégral — primitives types $\int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}}, \int \frac{d x}{a ^{2} + x ^{2}}, \int \frac{d x}{x ^{2} \pm a ^{2}}$ sortent toutes de cette fiche.
Équations différentielles d'ordre 2 — $y^{''} + ω^{2} y = 0$ donne $cos, sin$ ; $y^{''} - ω^{2} y = 0$ donne $ch, sh$ .
Nombres complexes — la formule d'Euler $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ fonde toute la trigonométrie analytique.
Géométrie euclidienne — angles non orientés mesurés via $arccos$ (formule $cos θ = ⟨ u, v ⟩ / (∥ u ∥∥ v ∥)$ ).
Physique des oscillateurs — oscillateur amorti, caténaire $y = a ch (x / a)$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer et démontrer les formules d'addition $cos (a + b)$ , $sin (a + b)$ à partir de la formule d'Euler ?
Connais-tu les formules de duplication $cos (2 a)$ , $sin (2 a)$ , $tan (2 a)$ , et la linéarisation $cos^{2} a, sin^{2} a$ ?
Sais-tu transformer un produit $cos a cos b$ en somme et inversement $cos p + cos q$ en produit ?
Sais-tu résoudre $cos x = cos a$ , $sin x = sin a$ , $tan x = tan a$ ?
Connais-tu les domaines et images de $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ ?
Sais-tu démontrer $(arcsin)^{'} (x) = 1/ 1 - x^{2}$ et $(arctan)^{'} (x) = 1/ (1 + x^{2})$ ?
Connais-tu la relation $arcsin x + arccos x = π /2$ ?
Sais-tu pourquoi $arcsin (sin x) \neq = x$ en général, et comment ramener $x$ dans $[- π /2, π /2]$ ?
Sais-tu donner les définitions exponentielles de $ch$ , $sh$ , $th$ et démontrer $ch^{2} - sh^{2} = 1$ ?
Connais-tu les dérivées $(sh)^{'} = ch$ , $(ch)^{'} = sh$ (sans signe !) ?
Sais-tu démontrer $argsh x = ln (x + x^{2} + 1)$ en posant $t = e^{y}$ ?
Connais-tu par cœur le tableau des 6 dérivées des réciproques (arcsin, arccos, arctan, argsh, argch, argth) pour reconnaître une primitive cachée ?

Démonstrations à savoir refaire

Formules d'addition trigonométriques — à partir de $e^{i (a + b)} = e^{ia} e^{ib}$ (Euler)
Dérivée de arcsin — théorème de dérivation d'une réciproque + $cos y = 1 - x^{2}$ sur $] - π /2, π /2 [$
Dérivée de arctan — théorème de dérivation d'une réciproque + $1 + tan^{2} y = 1 + x^{2}$
Identité ch² - sh² = 1 — calcul direct via les définitions exponentielles
Expression logarithmique de argsh — équation du second degré en $t = e^{y}$ , choix de la racine positive