Suites numériques

Vue d'ensemble

Les suites numériques sont le premier grand chapitre d'analyse en MPSI : elles introduisent la notion de limite avec rigueur (quantificateurs pour tout / il existe) et fournissent les outils que tu utiliseras toute l'année — et toute l'année de spé — pour étudier convergence, séries, intégrales et fonctions. Cette fiche regroupe les 11 théorèmes incontournables, les 6 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MPSI (officiel) — Suites réelles : convergence, opérations, monotonie, théorèmes de comparaison, théorème de la limite monotone, suites adjacentes, Bolzano-Weierstrass, suites extraites, suites définies par une relation de récurrence

u_{n + 1} = f (u_{n})

, suites usuelles (arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, récurrence linéaire d'ordre 2).

Prérequis

Manipulation des quantificateurs $\forall, \exists$ et de la négation logique
Inégalité triangulaire $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ et $∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a - b ∣$
Notion de borne supérieure dans $R$ (axiome de la borne sup)

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Suite numérique

Une suite réelle est une application $u : N \to R$ . On note $u_{n}$ son terme de rang $n$ et $(u_{n})_{n \in N}$ la suite elle-même.

Définition 1.2 — Suite majorée, minorée, bornée

$(u_{n})$ est majorée si $\exists M \in R, \forall n \in N, u_{n} \leq M$ .
$(u_{n})$ est minorée si $\exists m \in R, \forall n \in N, u_{n} \geq m$ .
$(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à : $\exists K \geq 0, \forall n, ∣ u_{n} ∣ \leq K$ .

Définition 1.3 — Suite monotone

$(u_{n})$ est croissante si $\forall n, u_{n + 1} \geq u_{n}$ , strictement croissante si l'inégalité est stricte. Idem pour décroissante. Une suite monotone est croissante OU décroissante (à partir d'un certain rang).

Définition 1.4 — Convergence vers

ℓ \in R

$(u_{n})$ converge vers $ℓ \in R$ si :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε .

On note alors $u_{n} n \to + \infty ℓ$ ou $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ . Une suite est dite divergente si elle ne converge vers aucun réel.

Définition 1.5 — Divergence vers

\pm \infty

$u_{n} \to + \infty$ si $\forall A \in R, \exists N, \forall n \geq N, u_{n} \geq A$ . Définition analogue pour $- \infty$ . Attention : diverger vers $+ \infty$ est un cas de divergence (pas de convergence dans $R$ ).

Définition 1.6 — Suite extraite (sous-suite)

Une extractrice est une application $φ : N \to N$ strictement croissante. La suite $(u_{φ (n)})_{n \in N}$ est appelée suite extraite de $(u_{n})$ . Exemples : $(u_{2 n})$ , $(u_{2 n + 1})$ , $(u_{n^{2}})$ .

Définition 1.7 — Suites adjacentes

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si :

$(u_{n})$ est croissante,
$(v_{n})$ est décroissante,
$v_{n} - u_{n} \to 0$ .

Définition 1.8 — Suite de Cauchy (hors programme MPSI mais utile)

$(u_{n})$ est de Cauchy si $\forall ε > 0, \exists N, \forall p, q \geq N, ∣ u_{p} - u_{q} ∣ \leq ε$ . Dans $R$ , être de Cauchy équivaut à converger (complétude).

2. Théorèmes fondamentaux

2.1 — Unicité et premières conséquences

Théorème 2.1 — Unicité de la limite ★ À savoir démontrer

Si $(u_{n})$ converge, sa limite est unique.

Démonstration (par l'absurde, classique)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ et $u_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ . Posons $ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣/3 > 0$ . Par définition de la limite, il existe $N_{1}$ tel que $\forall n \geq N_{1}, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ , et $N_{2}$ tel que $\forall n \geq N_{2}, ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq ε$ . Soit $n \geq max (N_{1}, N_{2})$ . L'inégalité triangulaire donne :

∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ u_{n} - ℓ ∣ + ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ \leq 2 ε = \frac{2}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,

soit $∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq \frac{2}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣$ , donc $\frac{1}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq 0$ , ce qui force $ℓ = ℓ^{'}$ — contradiction.

Proposition 2.2 — Toute suite convergente est bornée ★ À savoir démontrer

Si $u_{n} \to ℓ \in R$ , alors $(u_{n})$ est bornée.

Démonstration

Avec $ε = 1$ , il existe $N$ tel que $\forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq 1$ , donc $∣ u_{n} ∣ \leq ∣ ℓ ∣ + 1$ . Pour les rangs $n < N$ , il n'y a qu'un nombre fini de termes, donc on peut majorer $∣ u_{n} ∣ \leq max (∣ u_{0} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣)$ . En posant $K = max (∣ u_{0} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣, ∣ ℓ ∣ + 1)$ , on a bien $∣ u_{n} ∣ \leq K$ pour tout $n$ .

⚠ Piège classique. La réciproque est fausse : la suite

u_{n} = (- 1)^{n}

est bornée mais ne converge pas. C'est le contre-exemple à connaître par cœur — il apparaît systématiquement dans les copies de concours.

2.2 — Opérations sur les limites

Théorème 2.3 — Opérations algébriques

Soient $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ, ℓ^{'} \in R$ . Alors :

$u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$
$λ \cdot u_{n} \to λ ℓ$ pour tout $λ \in R$
$u_{n} \cdot v_{n} \to ℓ \cdot ℓ^{'}$
Si $ℓ^{'} \neq = 0$ , alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$ (à partir d'un rang où $v_{n} \neq = 0$ )

📝 Formes indéterminées.

\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}

. Aucune règle générale : il faut toujours lever l'indétermination par factorisation, équivalent ou changement de variable.

2.3 — Théorèmes de comparaison

Théorème 2.4 — Théorème des gendarmes ★ À savoir démontrer

Si $\forall n \geq N_{0}, a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ et $a_{n} \to ℓ$ , $b_{n} \to ℓ$ avec $ℓ \in R$ , alors $(u_{n})$ converge et $u_{n} \to ℓ$ .

Démonstration

Soit $ε > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $\forall n \geq N_{1}, ∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ , et $N_{2}$ tel que $\forall n \geq N_{2}, ∣ b_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ . Pour $n \geq max (N_{0}, N_{1}, N_{2})$ , on a :

ℓ - ε \leq a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n} \leq ℓ + ε,

donc $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ . Ceci étant vrai pour tout $ε > 0$ , on a bien $u_{n} \to ℓ$ .

Proposition 2.5 — Passage à la limite dans une inégalité large

Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si $u_{n} \to ℓ$ , $v_{n} \to ℓ^{'}$ , alors $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

⚠ Piège. Une inégalité stricte ne se conserve PAS toujours par passage à la limite :

\frac{1}{n} > 0

pour tout

n

, mais

\frac{1}{n} \to 0

, donc à la limite l'inégalité n'est plus stricte. Règle : passer à la limite ne donne jamais mieux qu'une inégalité large.

2.4 — Théorème de la limite monotone

Théorème 2.6 — Limite monotone ★ À savoir démontrer

Toute suite croissante majorée converge ; sa limite est $sup {u_{n}, n \in N}$ .
Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .
Énoncés analogues pour les suites décroissantes (avec $in f$ et $- \infty$ ).

Démonstration (cas croissante majorée)

L'ensemble $E = {u_{n}, n \in N}$ est une partie non vide majorée de $R$ ; par l'axiome de la borne supérieure, elle admet une borne sup $ℓ = sup E$ . Montrons que $u_{n} \to ℓ$ .

Soit $ε > 0$ . Comme $ℓ - ε < ℓ$ , $ℓ - ε$ n'est pas un majorant de $E$ , donc il existe $N$ tel que $u_{N} > ℓ - ε$ . Pour $n \geq N$ , la croissance donne $u_{n} \geq u_{N} > ℓ - ε$ , et $u_{n} \leq ℓ$ puisque $ℓ$ majore $E$ . D'où :

ℓ - ε < u_{n} \leq ℓ, soit ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε .

Ceci prouve $u_{n} \to ℓ = sup E$ .

2.5 — Suites adjacentes & segments emboîtés

Théorème 2.7 — Théorème des suites adjacentes ★ À savoir démontrer

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite $ℓ$ , et pour tout $n$ , $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ .

Démonstration

Comme $u_{n} \leq v_{n}$ (sinon $v_{n} - u_{n}$ ne tendrait pas vers $0$ avec $(u)$ croissante et $(v)$ décroissante, contradiction immédiate via la décroissance de $v_{n} - u_{n}$ ), $(u_{n})$ est croissante majorée par $v_{0}$ et $(v_{n})$ est décroissante minorée par $u_{0}$ . Par le théorème de la limite monotone, elles convergent : $u_{n} \to ℓ_{1}$ , $v_{n} \to ℓ_{2}$ . Or $v_{n} - u_{n} \to ℓ_{2} - ℓ_{1} = 0$ , donc $ℓ_{1} = ℓ_{2} =: ℓ$ . Enfin, par croissance de $(u_{n})$ et passage à la limite, $u_{n} \leq ℓ$ ; symétriquement $v_{n} \geq ℓ$ .

Corollaire 2.8 — Théorème des segments emboîtés

Soit $([a_{n}, b_{n}])_{n \in N}$ une suite de segments emboîtés ( $[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_{n}, b_{n}]$ ) telle que $b_{n} - a_{n} \to 0$ . Alors leur intersection est un singleton : $n \in N ⋂ [a_{n}, b_{n}] = {ℓ}$ .

2.6 — Suites extraites & Bolzano-Weierstrass

Proposition 2.9 — Sous-suite d'une suite convergente

Si $u_{n} \to ℓ$ , alors toute suite extraite $(u_{φ (n)})$ converge aussi vers $ℓ$ .

Proposition 2.10 — Critère par les sous-suites paires/impaires ★ À savoir démontrer

Si $u_{2 n} \to ℓ$ et $u_{2 n + 1} \to ℓ$ (même limite !), alors $u_{n} \to ℓ$ .

Démonstration

Soit $ε > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $\forall n \geq N_{1}, ∣ u_{2 n} - ℓ ∣ \leq ε$ , et $N_{2}$ tel que $\forall n \geq N_{2}, ∣ u_{2 n + 1} - ℓ ∣ \leq ε$ . Posons $N = max (2 N_{1}, 2 N_{2} + 1)$ . Pour tout $n \geq N$ , si $n$ est pair, $n = 2 k$ avec $k \geq N_{1}$ , donc $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ ; si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ avec $k \geq N_{2}$ , donc $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ . Dans les deux cas, $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ .

Théorème 2.11 — Bolzano-Weierstrass

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Démonstration (par dichotomie — schéma à connaître)

Soit $(u_{n})$ bornée : $\forall n, u_{n} \in [a, b]$ . Au moins l'un des deux segments $[a, \frac{a + b}{2}]$ et $[\frac{a + b}{2}, b]$ contient une infinité de termes — on l'appelle $[a_{1}, b_{1}]$ . On répète : on coupe $[a_{1}, b_{1}]$ en deux et on garde la moitié contenant une infinité de termes, etc. On construit ainsi une suite de segments emboîtés $([a_{k}, b_{k}])$ avec $b_{k} - a_{k} = (b - a) / 2^{k} \to 0$ . Par segments emboîtés, $⋂_{k} [a_{k}, b_{k}] = {ℓ}$ . On choisit ensuite par récurrence $φ (0) = 0$ puis $φ (k + 1) > φ (k)$ tel que $u_{φ (k + 1)} \in [a_{k + 1}, b_{k + 1}]$ (possible car ce segment contient une infinité de termes). Alors $u_{φ (k)} \in [a_{k}, b_{k}]$ et donc $u_{φ (k)} \to ℓ$ par les gendarmes.

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3. Suites définies par récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$

📐 Méthode-type — Étude d'une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Stabilité. Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ (c.-à-d. $f (I) \subset I$ ) contenant $u_{0}$ . On a alors $\forall n, u_{n} \in I$ (récurrence immédiate).
Points fixes. Résoudre $f (ℓ) = ℓ$ — la limite éventuelle est forcément un point fixe.
Monotonie. Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ sur $I$ : si $f (x) - x \geq 0$ sur $I$ , $(u_{n})$ est croissante.
Convergence. Si $(u_{n})$ est monotone et bornée ( $I$ borné), elle converge ; sa limite est un point fixe de $f$ (en utilisant la continuité de $f$ en ce point).
Vitesse (si nécessaire). Étudier $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ avec $k = ∣ f^{'} (ℓ) ∣ < 1$ (point fixe attractif) pour obtenir une convergence géométrique.

⚠ Piège fréquent. Avant d'écrire «

lim u_{n} = ℓ

avec

f (ℓ) = ℓ

», il faut justifier la convergence. Beaucoup d'élèves passent directement à l'équation

f (ℓ) = ℓ

sans avoir prouvé que

(u_{n})

converge — c'est sanctionné aux concours.

4. Suites usuelles (à connaître par cœur)

4.1 — Suite arithmétique

$u_{n + 1} = u_{n} + r$ avec $r \in R$ . Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ . Somme : $k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \cdot \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ .

4.2 — Suite géométrique

$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$ avec $q \in R$ . Terme général : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ . Somme (si $q \neq = 1$ ) : $k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Convergence de $(q^{n})$ :

$∣ q ∣ < 1$ : $q^{n} \to 0$
$q = 1$ : $q^{n} = 1$ (constante)
$q > 1$ : $q^{n} \to + \infty$
$q \leq - 1$ : $(q^{n})$ diverge sans limite

4.3 — Suite arithmético-géométrique

$u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ . On cherche le point fixe $ℓ = b / (1 - a)$ ; alors $(u_{n} - ℓ)$ est géométrique de raison $a$ , donc :

u_{n} = (u_{0} - ℓ) \cdot a^{n} + ℓ .

Converge ssi $∣ a ∣ < 1$ , de limite $ℓ$ .

4.4 — Récurrence linéaire d'ordre 2

$u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ . Équation caractéristique : $r^{2} = a r + b$ , de racines $r_{1}, r_{2}$ .

Cas $r_{1} \neq = r_{2}$ (réelles) : $u_{n} = α r_{1}^{n} + β r_{2}^{n}$ , où $α, β$ sont déterminés par $u_{0}, u_{1}$ .
Cas racine double $r$ : $u_{n} = (α + β n) r^{n}$ .
Cas racines complexes conjuguées $r e^{\pm i θ}$ : $u_{n} = r^{n} (α cos (n θ) + β sin (n θ))$ .

💡 Exemple canonique — Suite de Fibonacci.

F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

. Équation caractéristique

r^{2} = r + 1

, racines

φ = \frac{1 + 5}{2}

(nombre d'or) et

\overset{φ}{ˉ} = \frac{1 - 5}{2}

. On obtient (formule de Binet) :

F_{n} = \frac{φ ^{n} - φ ˉ ^{n}}{5}

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition de $u_{n} \to ℓ$ avec $\forall ε > 0, \exists N \dots$ sans regarder ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) l'unicité de la limite ?
Sais-tu démontrer que toute suite convergente est bornée — et donner le contre-exemple à la réciproque ?
Connais-tu les 7 formes indéterminées et sais-tu les lever sur un exemple ?
Sais-tu démontrer le théorème des gendarmes ?
Sais-tu démontrer le théorème de la limite monotone à partir de l'axiome de la borne sup ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes ?
Sais-tu énoncer Bolzano-Weierstrass et donner le schéma de la démo par dichotomie ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour étudier une suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ (5 étapes) ?
Connais-tu par cœur les formules pour les suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrences linéaires d'ordre 2 ?
Sais-tu retrouver la formule de Binet pour Fibonacci ?

Démonstrations à savoir refaire

Unicité de la limite — par l'absurde + inégalité triangulaire
Toute suite convergente est bornée — $ε = 1$ puis max fini
Théorème des gendarmes — encadrement $ℓ - ε \leq u_{n} \leq ℓ + ε$
Théorème de la limite monotone — utilise l'axiome de la borne sup
Théorème des suites adjacentes — limite monotone + différence $\to 0$
Critère sous-suites paires/impaires — recoller deux $N_{i}$ avec $max (2 N_{1}, 2 N_{2} + 1)$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Théorèmes fondamentaux

2.1 — Unicité et premières conséquences

2.2 — Opérations sur les limites

2.3 — Théorèmes de comparaison

2.4 — Théorème de la limite monotone

2.5 — Suites adjacentes & segments emboîtés

2.6 — Suites extraites & Bolzano-Weierstrass

3. Suites définies par récurrence un+1​=f(un​)

4. Suites usuelles (à connaître par cœur)

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

3. Suites définies par récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$