Généralités sur les fonctions

Vue d'ensemble

Avant de parler de limites, de dérivées ou d'intégrales, il faut savoir manipuler proprement l'objet « fonction » lui-même : domaine de définition, parité, périodicité, monotonie, image d'un ensemble, fonction réciproque… Ce chapitre fixe le vocabulaire et les réflexes qui reviendront toute l'année en analyse — et plus tard en spé. Cette fiche regroupe les 8 définitions structurantes, les 4 théorèmes incontournables (dont la caractérisation de la bijectivité par la stricte monotonie) et les 3 démonstrations à savoir refaire en khôlle.

Au programme MPSI (officiel) — Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles : ensemble de définition, image directe et image réciproque d'une partie, restriction et prolongement, opérations algébriques, composition, parité, périodicité, monotonie (large et stricte), fonctions majorées, minorées, bornées, extrémums (global, local), comparaison de fonctions, bijection

f : I \to J

et fonction réciproque

f^{- 1}

Prérequis

Notion d'application, image directe $f (A)$ et image réciproque $f^{- 1} (B)$ (chap. Logique-Ensembles)
Quantificateurs $\forall, \exists$ et écriture rigoureuse d'une inégalité
Borne supérieure et inférieure dans $R$ (axiome de la borne sup)
Représentation graphique dans un repère orthonormé du plan

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Tu confonds image directe et image réciproque, ou tu n'arrives pas à formaliser « $f$ majorée sur $I$ » ? C'est le chapitre de transition lycée → prépa qui semble facile mais piège énormément aux DS. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines reprennent les bases formelles en cours particuliers et te font écrire les définitions à la main jusqu'au réflexe.

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1. Définitions de base — fonction, domaine, images

Définition 1.1 — Fonction numérique

Soit $E$ une partie non vide de $R$ . Une fonction numérique $f$ sur $E$ est la donnée, pour chaque $x \in E$ , d'au plus un réel $y$ appelé image de $x$ par $f$ , et noté $f (x)$ . On écrit :

f : E ⟶ R, x ⟼ f (x) .

L'ensemble des $x \in E$ qui ont effectivement une image par $f$ est appelé ensemble (ou domaine) de définition de $f$ , noté $D_{f}$ (ou simplement $D$ s'il n'y a pas d'ambiguïté).

📝 Représentation graphique. Le plan étant rapporté à un repère

(O, , )

, la courbe représentative de

f

, notée

C_{f}

, est l'ensemble des points de coordonnées

(x, f (x))

avec

x \in D_{f}

. Toutes les notions de ce chapitre (parité, périodicité, monotonie…) se lisent sur ce graphe : c'est l'outil de vérification le plus rapide en khôlle.

Définition 1.2 — Image directe et image réciproque d'une partie

Soit $f : D_{f} \to R$ , $A \subset D_{f}$ et $B \subset R$ .

L'image directe de $A$ par $f$ est $f (A) = {f (x); x \in A}$ .
L'image réciproque de $B$ par $f$ est $f - 1 (B) = {x \in D_{f}; f (x) \in B}$ .

⚠ Piège classique — la notation $f - 1 (B)$ ne suppose PAS que $f$ est bijective. L'image réciproque d'une partie est définie pour toute fonction, même non bijective. Quand

f

est effectivement une bijection, on utilise alors la notation

f^{- 1} (B)

sans ambiguïté — et seulement alors,

f^{- 1}

désigne aussi la fonction réciproque. C'est exactement la distinction que le PDF de cours rappelle dans son encadré : « cette notation permet de ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection ».

Définition 1.3 — Restriction et prolongement

Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $g$ une fonction définie sur $J$ . Si $I \subset J$ et si $f (x) = g (x)$ pour tout $x \in I$ , on dit que $f$ est une restriction de $g$ , ou que $g$ est un prolongement de $f$ . La restriction de $f$ à $I$ se note $f_{∣ I}$ .

💡 Exemple — Prolongement par continuité. La fonction

f : x \mapsto \frac{sin x}{x}

n'est pas définie en

0

. Comme

sin (x) / x \to 1

quand

x \to 0

, on peut la prolonger par continuité en posant

\tilde{f} (0) = 1

;

\tilde{f}

est alors un prolongement de

f

R

entier. Cette idée — combler un trou par la limite — est utilisée constamment en analyse.

2. Premières propriétés — parité, périodicité, monotonie

2.1 — Parité et périodicité

Définition 2.1 — Fonction paire, impaire

Soit $f : D_{f} \to R$ avec $D_{f}$ symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $\forall x \in D_{f}, (- x) \in D_{f}$ et $f (- x) = f (x)$ . Son graphe est symétrique par rapport à l'axe $(O y)$ .
$f$ est impaire si $\forall x \in D_{f}, (- x) \in D_{f}$ et $f (- x) = - f (x)$ . Son graphe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .

Définition 2.2 — Fonction périodique

$f$ est périodique de période $T > 0$ (ou $T$ -périodique) si :

\forall x \in D_{f}, (x + T) \in D_{f} et f (x + T) = f (x) .

Son graphe est invariant par les translations de vecteur $k T $ avec $k \in Z$ . La période proprement dite est le plus petit $T > 0$ vérifiant cette propriété (quand il existe).

📝 Utilité pratique. Étudier une fonction paire (resp. impaire) sur

D_{f} \cap R_{+}

suffit — on complète par symétrie. Étudier une fonction

T

-périodique sur un intervalle de longueur

T

suffit — on translate. Sur un DS, ce réflexe de réduction du domaine divise par 2 ou par

T

le travail.

2.2 — Sens de variation

Définition 2.3 — Fonction croissante, décroissante, monotone

Soit $I \subset D_{f}$ un intervalle.

$f$ est croissante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} ⟹ f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} ⟹ f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ .
$f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante OU décroissante sur $I$ .
Avec inégalités strictes ( $<$ au lieu de $\leq$ ), on parle de strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone.

⚠ Piège — croissante n'implique pas strictement croissante. Une fonction constante (par exemple

f (x) = 5

) est à la fois croissante et décroissante au sens large, mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante. Quand un énoncé écrit «

f

est croissante », cela couvre le cas large ; il faut le mot strictement pour exclure les paliers. C'est crucial pour la bijectivité (cf. section 4).

2.3 — Majorant, minorant, extrémums

Définition 2.4 — Fonction majorée, minorée, bornée

Soit $f : D_{f} \to R$ et $I \subset D_{f}$ .

$f$ est majorée sur $I$ si $\exists M \in R, \forall x \in I, f (x) \leq M$ .
$f$ est minorée sur $I$ si $\exists m \in R, \forall x \in I, f (x) \geq m$ .
$f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à : $\exists K \geq 0, \forall x \in I, ∣ f (x) ∣ \leq K$ .

Si $f (I)$ admet une borne supérieure (resp. inférieure), on parle de borne supérieure (resp. inférieure) de $f$ sur $I$ , notée $x \in I sup f (x)$ (resp. $x \in I in f f (x)$ ).

Définition 2.5 — Extrémum global, extrémum local

$f$ admet un maximum global en $x_{0}$ si $\forall x \in D_{f}, f (x) \leq f (x_{0})$ . Idem pour le minimum global avec $\geq$ .
$f$ admet un maximum local en $x_{0} \in D_{f}$ s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D_{f}$ contenant $x_{0}$ tel que $\forall x \in I, f (x) \leq f (x_{0})$ . Idem pour le minimum local.

Un maximum ou minimum (local ou global) est appelé extrémum (local ou global). Tout extrémum global est a fortiori local.

Proposition 2.6 — Lien inf / sup par changement de signe

Pour toute fonction $f$ définie sur $I$ :

x \in I in f f (x) = - x \in I sup (- f (x)) .

C'est la formule utile pour ramener toute étude de minimum à une étude de maximum (et réciproquement).

Proposition 2.7 — Monotonie de sup et inclusion

Soient $f, g$ définies sur $D$ , et $I \subset J \subset D$ .

Si $\forall x \in I, f (x) \leq g (x)$ , alors $x \in I sup f (x) \leq x \in I sup g (x)$ .
$x \in I sup f (x) \leq x \in J sup f (x)$ (le sup augmente quand on élargit le domaine).

3. Opérations algébriques et composition

3.1 — Opérations algébriques

Définition 3.1 — Somme, produit, multiplication par un scalaire, quotient

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $λ \in R$ .

$λ f$ est définie sur $D_{f}$ par $(λ f) (x) = λ f (x)$ .
$f + g$ est définie sur $D_{f} \cap D_{g}$ par $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ .
$f \cdot g$ est définie sur $D_{f} \cap D_{g}$ par $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ .
$\frac{f}{g}$ est définie sur $D_{f} \cap (D_{g} ∖ {x; g (x) = 0})$ par $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ .

Définition 3.2 — Valeur absolue d'une fonction

$f$ étant définie sur $D$ , la fonction $∣ f ∣$ est définie sur $D$ par $x \mapsto ∣ f (x) ∣$ . Caractérisation utile : $f$ est bornée si et seulement si $∣ f ∣$ est majorée.

3.2 — Composition

Définition 3.3 — Composée

g \circ f

Soient $f : D_{f} \to R$ et $g : D_{g} \to R$ . La composée de $f$ par $g$ , notée $g \circ f$ , est définie sur $D_{f} \cap f - 1 (D_{g})$ par :

(g \circ f) (x) = g (f (x)) .

Le domaine de $g \circ f$ est l'ensemble des $x \in D_{f}$ tels que $f (x) \in D_{g}$ — autrement dit, $f$ doit « tomber » dans le domaine de $g$ pour que la composée existe.

⚠ Piège — la composition n'est PAS commutative. En général,

g \circ f \neq = f \circ g

. Exemple :

f (x) = x^{2}

g (x) = x + 1

. Alors

(g \circ f) (x) = x^{2} + 1

mais

(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1

. Toujours écrire l'ordre de l'intérieur vers l'extérieur : dans

g \circ f

, c'est

f

qu'on applique en premier.

Théorème 3.4 — Monotonie de la composée ★ À savoir démontrer

Soient $f : I \to J$ et $g : J \to R$ deux fonctions monotones. Alors $g \circ f$ est monotone sur $I$ , avec la règle des signes :

même sens de monotonie pour $f$ et $g$ $\Rightarrow$ $g \circ f$ croissante,
sens opposés $\Rightarrow$ $g \circ f$ décroissante.

Idem strictement si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

Démonstration (cas

f

g

croissantes)

Soient $x_{1}, x_{2} \in I$ avec $x_{1} \leq x_{2}$ . Par croissance de $f$ sur $I$ : $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ . Or $f (x_{1}), f (x_{2}) \in J$ , donc on peut appliquer la croissance de $g$ sur $J$ : $g (f (x_{1})) \leq g (f (x_{2}))$ , c'est-à-dire $(g \circ f) (x_{1}) \leq (g \circ f) (x_{2})$ . Donc $g \circ f$ est croissante sur $I$ .

Cas $f$ décroissante et $g$ décroissante. $x_{1} \leq x_{2}$ donne $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ (par décroissance de $f$ ), puis $g (f (x_{1})) \leq g (f (x_{2}))$ (par décroissance de $g$ appliquée à $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ). Donc $g \circ f$ est croissante. Idée à retenir : deux changements de signe s'annulent — exactement comme avec les nombres.

4. Bijectivité et fonction réciproque

Cette section ouvre la voie aux fonctions arctan, arcsin, arccos, ln, exp, racine n-ième construites comme réciproques. Les démonstrations complètes de ce qui suit utilisent la continuité (théorème des valeurs intermédiaires) et seront vues au chapitre Continuité ; on en donne ici les énoncés exigibles et l'intuition.

Définition 4.1 — Fonction injective, surjective, bijective

Soit $f : I \to J$ avec $I, J \subset R$ .

$f$ est injective sur $I$ si : $\forall x_{1}, x_{2} \in I, f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2}$ .
$f$ est surjective de $I$ sur $J$ si : $\forall y \in J, \exists x \in I, f (x) = y$ , i.e. $f (I) = J$ .
$f$ est bijective de $I$ sur $J$ si elle est à la fois injective et surjective.

Définition 4.2 — Fonction réciproque

f^{- 1}

Si $f : I \to J$ est bijective, il existe une unique fonction $f^{- 1} : J \to I$ vérifiant :

\forall x \in I, f^{- 1} (f (x)) = x et \forall y \in J, f (f^{- 1} (y)) = y .

Concrètement, $y = f (x) ⟺ x = f^{- 1} (y)$ . Les graphes $C_{f}$ et $C_{f^{- 1}}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (droite $y = x$ ).

Théorème 4.3 — Une stricte monotonie suffit à l'injectivité ★ À savoir démontrer

Si $f$ est strictement monotone sur $I$ , alors $f$ est injective sur $I$ .

Démonstration (cas strictement croissante)

Soient $x_{1}, x_{2} \in I$ tels que $f (x_{1}) = f (x_{2})$ . Par trichotomie, on a $x_{1} < x_{2}$ , $x_{1} = x_{2}$ ou $x_{1} > x_{2}$ .

Si $x_{1} < x_{2}$ : par stricte croissance, $f (x_{1}) < f (x_{2})$ — contradiction avec $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .
Si $x_{1} > x_{2}$ : par stricte croissance, $f (x_{1}) > f (x_{2})$ — contradiction.

Donc nécessairement $x_{1} = x_{2}$ : $f$ est injective. Le cas strictement décroissante est analogue. Idée à retenir : la stricte monotonie interdit les plateaux, donc empêche deux antécédents distincts d'avoir la même image.

⚠ Piège — la réciproque du Théorème 4.3 est FAUSSE en général. Une fonction peut être injective sans être monotone : par exemple, sur

R

f (x) = x

x \in Q

f (x) = - x

sinon, est injective mais n'est monotone sur aucun intervalle. En revanche, sur un intervalle et avec l'hypothèse de continuité, injective

⟺

strictement monotone (cf. chapitre continuité). C'est précisément la richesse du théorème de la bijection.

Théorème 4.4 — Théorème de la bijection (énoncé exigible)

Soit $f : I \to R$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors :

$f (I)$ est un intervalle (image continue d'un intervalle).
$f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f (I)$ .
La fonction réciproque $f^{- 1} : J \to I$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens que $f$ .

La démonstration complète repose sur le théorème des valeurs intermédiaires et sera donnée au chapitre Limites et continuité. On en retiendra ici l'énoncé : c'est le résultat qui légitime l'existence de $arctan, arcsin, arccos, ln, n \cdot$ , etc.

💡 Exemple canonique — exp et ln. La fonction

exp : R \to R_{+}^{*}

est continue, strictement croissante, et son image est

R_{+}^{*}

. Par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de

R

sur

R_{+}^{*}

. Sa réciproque est la fonction logarithme népérien

ln : R_{+}^{*} \to R

, strictement croissante elle aussi, avec les relations canoniques

ln (e^{x}) = x

e^{l n y} = y

. Tu appliqueras ce schéma à l'identique pour construire

arctan, arcsin, arccos

au chapitre Fonctions usuelles.

📐 Méthode-type — Prouver que $f$ est bijective et calculer $f^{- 1}$ .

Vérifier que $f$ est définie sur un intervalle $I$ et préciser $I$ .
Montrer la stricte monotonie sur $I$ (en général par le signe de la dérivée, ou par étude algébrique de $f (x_{2}) - f (x_{1})$ ).
Calculer $f (I)$ à l'aide des limites aux bornes de $I$ et de la monotonie ( $f$ continue strictement croissante sur $[a, b)$ $\Rightarrow$ $f (I) = [f (a), lim_{b^{-}} f)$ ).
Conclure par le théorème de la bijection : $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f (I)$ , et $f^{- 1}$ existe.
(Si possible) Expliciter $f^{- 1}$ en résolvant $y = f (x)$ en $x$ en fonction de $y$ . Cela n'est pas toujours possible sous forme close (penser à $f (x) = x + e^{x}$ , bijective mais sans réciproque explicite).

🧑‍🏫 Décortique le théorème de la bijection

Le théorème de la bijection est LE résultat qui revient à toutes les épreuves d'analyse en MPSI. Continuité + stricte monotonie ⇒ bijection + réciproque continue et monotone : trois conditions à manipuler sans hésiter. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X · Centrale · Mines, tu maîtrises l'énoncé, le schéma graphique (symétrie par $y = x$ ) et la méthode-type.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) dès qu'un sujet mobilise les généralités sur les fonctions. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 1,5 point par occurrence, et surtout elles signalent une mauvaise hygiène formelle.

⚠ Erreur 1 — Confondre image directe et image réciproque.

f (A)

est une partie de l'ensemble d'arrivée (les valeurs

f (x)

), tandis que

f - 1 (B)

est une partie du domaine (les

x

dont l'image tombe dans

B

). Beaucoup d'élèves écrivent

f^{- 1} (B)

sans justifier que

f

est bijective ; si

f

ne l'est pas, la notation correcte est

f - 1 (B)

ou « image réciproque de

B

par

f

».

⚠ Erreur 2 — Affirmer « $f$ bijective » sans préciser ensemble de départ et d'arrivée.

exp : R \to R

n'est pas bijective (pas surjective : aucun antécédent à

- 1

exp : R \to R_{+}^{*}

l'est. La bijectivité dépend strictement des ensembles entre lesquels on travaille — écris toujours

f : I \to J

explicitement.

⚠ Erreur 3 — Utiliser le théorème de la bijection sans vérifier la continuité. Continuité ET stricte monotonie sur un intervalle, les deux hypothèses sont indispensables. Sans continuité, l'image d'un intervalle n'a aucune raison d'être un intervalle (exemple :

f

en escalier). Le correcteur attend les trois mots continue, strictement monotone, intervalle.

⚠ Erreur 4 — Croire que paire + impaire = nulle. C'est un résultat vrai, mais il faut le démontrer (et non l'invoquer en boîte-noire). Démo en 1 ligne : si

f

est paire et impaire sur

D

, alors

f (- x) = f (x)

f (- x) = - f (x)

, donc

f (x) = - f (x)

, d'où

f (x) = 0

pour tout

x \in D

. Sur l'oral, ne pas écrire la démo coûte un quart de point.

⚠ Erreur 5 — Domaine de la composée mal écrit.

D_{g \circ f} \neq = D_{f} \cap D_{g}

en général : il faut écrire

D_{g \circ f} = {x \in D_{f}; f (x) \in D_{g}} = D_{f} \cap f - 1 (D_{g})

. Exemple :

f (x) = - x^{2}

g (x) = x

; alors

D_{f} = R

D_{g} = R_{+}

, mais

D_{g \circ f} = {x; - x^{2} \geq 0} = {0}

. Le domaine de la composée peut être très restreint.

6. Pour aller plus loin

Les généralités sur les fonctions sont le vocabulaire socle de l'analyse MPSI. Ce chapitre est réinvesti dans presque tous les suivants :

Limites et continuité d'une fonction — la continuité est définie comme $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ , et le théorème de la bijection reçoit alors sa démonstration complète via le théorème des valeurs intermédiaires.
Fonctions usuelles — $arctan, arcsin, arccos, ln, exp, n \cdot$ sont construites comme réciproques par le théorème de la bijection appliqué à $tan, sin, cos, exp, x^{n}$ .
Fonctions dérivables — la dérivée fournit un critère opérationnel de stricte monotonie (signe de $f^{'}$ ) et donc de bijectivité ; on déduit aussi la formule $(f^{- 1})^{'} (y) = 1/ f^{'} (f^{- 1} (y))$ .
Intégration sur un segment — les fonctions intégrables doivent être bornées (donc majorées et minorées au sens de ce chapitre) ; les changements de variable reposent sur des bijections $C^{1}$ .
Suites de fonctions et séries de fonctions (spé) — la convergence uniforme se définit via $sup_{x \in I} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \to 0$ , réutilisant la notion de borne sup.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir $D_{f}$ , image directe $f (A)$ et image réciproque $f - 1 (B)$ sans confondre ?
Sais-tu écrire la définition de « $f$ paire » et « $f$ impaire » avec quantificateurs et lire la symétrie sur le graphe ?
Sais-tu démontrer en 2 lignes que paire ET impaire $\Rightarrow$ $f \equiv 0$ ?
Sais-tu définir « $f$ périodique de période $T$ » et exploiter cette propriété pour réduire le domaine d'étude ?
Sais-tu énoncer les définitions formelles de croissance, stricte croissance, monotonie ?
Sais-tu écrire « $f$ majorée / minorée / bornée sur $I$ » avec quantificateurs et donner la caractérisation par $∣ f ∣$ ?
Sais-tu distinguer extrémum global et extrémum local ?
Sais-tu donner le domaine de $g \circ f$ (et pourquoi $D_{f} \cap D_{g}$ est faux) ?
Sais-tu démontrer la règle de monotonie d'une composée (mêmes sens ⇒ croissante, sens opposés ⇒ décroissante) ?
Sais-tu démontrer que stricte monotonie ⇒ injectivité, et donner un contre-exemple à la réciproque ?
Sais-tu énoncer complètement le théorème de la bijection (3 hypothèses, 3 conclusions) ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour prouver qu'une fonction est bijective et calculer $f^{- 1}$ (5 étapes) ?

Démonstrations à savoir refaire

Monotonie de la composée $g \circ f$ — application de la définition étape par étape, gestion des deux signes
Stricte monotonie ⇒ injectivité — par trichotomie sur $x_{1}, x_{2}$ et négation des cas $x_{1} < x_{2}$ , $x_{1} > x_{2}$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions de base — fonction, domaine, images

2. Premières propriétés — parité, périodicité, monotonie

2.1 — Parité et périodicité

2.2 — Sens de variation

2.3 — Majorant, minorant, extrémums

3. Opérations algébriques et composition

3.1 — Opérations algébriques

3.2 — Composition

4. Bijectivité et fonction réciproque

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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