Limites et continuité

Vue d'ensemble

Limites et continuité est le chapitre qui prolonge l'analyse des suites au monde des fonctions. Tu y retrouves la même mécanique ε-δ que pour les suites, mais transposée à des points (finis ou ∞) et étendue aux notions de continuité, prolongement et théorèmes globaux d'image — le tout couronné par trois piliers dont tu dois savoir refaire la démonstration : caractérisation séquentielle, théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et bornes atteintes sur un segment. Cette fiche regroupe les 12 résultats incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points sur les épreuves d'analyse.

Au programme MPSI (officiel) — Limite d'une fonction en un point (réel ou infini, finie ou infinie), opérations sur les limites, composition, caractérisation séquentielle, théorèmes de comparaison et d'encadrement, théorème de la limite monotone pour les fonctions, continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires, image continue d'un segment (bornes atteintes), théorème de la bijection continue, continuité uniforme, théorème de Heine.

Prérequis

Définition séquentielle de la limite et théorèmes sur les suites (cf. fiche Suites numériques)
Manipulation des quantificateurs $\forall, \exists$ et de leur négation
Inégalité triangulaire $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ et notion d'intervalle, de voisinage d'un point
Axiome de la borne supérieure dans $R$

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Tu as compris ε-δ pour les suites mais tu cales sur les fonctions ? C'est le saut le plus fréquent en MPSI : la quantification change ( $δ$ au lieu de $N$ ) et beaucoup d'élèves perdent leurs réflexes. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines reprennent la mécanique ε-δ avec toi en cours particuliers, sur tes propres DS et khôlles.

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1. Définitions — limite d'une fonction

Dans toute la fiche, sauf mention contraire, $f$ désigne une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle $I$ de $R$ , et $a$ un point appartenant à $I$ ou une extrémité de $I$ (éventuellement $\pm \infty$ ).

Définition 1.1 — Limite finie en un point a (ε-δ)

On dit que $f$ admet la limite finie $ℓ \in R$ en $a$ , et on note $x \to a lim f (x) = ℓ$ , si :

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε .

Cette limite peut exister même si $f$ n'est pas définie en $a$ . Mais si $f$ est définie en $a$ et si $x \to a lim f (x)$ existe, alors nécessairement $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

⚠ Piège #1 du chapitre — l'ordre des quantificateurs. Comme pour les suites, l'ordre compte :

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x

. Le

δ

dépend de $ε$ et du point

a

. L'écrire en

\exists δ, \forall ε

donnerait une notion incommensurablement plus forte (qui s'appellera plus loin continuité uniforme) — c'est précisément la subtilité du § 5.

Définition 1.2 — Limite à gauche, limite à droite

$f$ admet la limite à droite $ℓ$ en $a$ , notée $x \to a^{+} lim f (x) = ℓ$ , si la restriction de $f$ à $I \cap] a, + \infty [$ admet pour limite $ℓ$ en $a$ .
$f$ admet la limite à gauche $ℓ$ en $a$ , notée $x \to a^{-} lim f (x) = ℓ$ , si la restriction de $f$ à $I \cap] - \infty, a [$ admet pour limite $ℓ$ en $a$ .
Si $f$ est définie sur un intervalle $] a - α, a + α [$ sauf peut-être en $a$ , alors : $x \to a lim f (x) = ℓ ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = ℓ .$ Et si $f$ est définie en $a$ , ces deux limites doivent en outre être égales à $f (a)$ .

Définition 1.3 — Limite infinie en un point a

$x \to a lim f (x) = + \infty$ si :

\forall A > 0, \exists δ > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ ⟹ f (x) \geq A .

Définition analogue pour $x \to a lim f (x) = - \infty$ (on remplace $f (x) \geq A$ par $f (x) \leq - A$ ).

Définition 1.4 — Limite en +∞ (et en −∞)

$x \to + \infty lim f (x) = ℓ \in R$ si : $\forall ε > 0, \exists B > 0, \forall x \in I, x \geq B \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ .

Pour la limite $+ \infty$ en $+ \infty$ : $\forall A > 0, \exists B > 0, \forall x \in I, x \geq B \Rightarrow f (x) \geq A$ . Les cas en $- \infty$ s'obtiennent par symétrie (remplacer $x \geq B$ par $x \leq - B$ ).

📝 Unification. Toutes ces définitions se regroupent en considérant

a

ℓ

dans la droite numérique achevée

\overline{R} = R \cup {- \infty, + \infty}

avec la notion adaptée de voisinage (intervalles

[B, + \infty [

pour

+ \infty

, intervalles

] a - δ, a + δ [

pour un

a

réel). C'est la lecture « topologique » qui rend toutes les preuves uniformes.

Définition 1.5 — Continuité en un point

Soit $f$ définie sur $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si $x \to a lim f (x) = f (a)$ , c'est-à-dire :

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ ⟹ ∣ f (x) - f (a) ∣ \leq ε .

On dit que $f$ est continue à droite (resp. à gauche) en $a$ si $x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ (resp. $x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$ ). Enfin, $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Définition 1.6 — Prolongement par continuité

Soit $f$ définie sur $I$ avec $a \in / I$ (typiquement $a$ est une extrémité finie de $I$ ). Si $x \to a lim f (x) = ℓ \in R$ , alors la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I \cup {a}$ par $\tilde{f} (a) = ℓ$ et $\tilde{f} (x) = f (x)$ pour $x \in I$ est l'unique fonction continue en $a$ dont la restriction à $I$ coïncide avec $f$ . On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

💡 Exemple canonique — prolongement de $sin (x) / x$ en 0. La fonction

f : x \mapsto \frac{sin x}{x}

n'est pas définie en

0

. Or

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

(limite de référence). Donc

f

se prolonge par continuité en

0

en posant

\tilde{f} (0) = 1

. C'est la sinc cardinale — incontournable en physique des ondes et en signal.

2. Propriétés des limites

2.1 — Unicité de la limite

Théorème 2.1 — Unicité de la limite ★ À savoir démontrer

Si $f$ admet une limite en $a$ (finie ou infinie), cette limite est unique.

Démonstration (cas de deux limites finies, par l'absurde)

Supposons $x \to a lim f (x) = ℓ$ et $x \to a lim f (x) = ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ . Posons $ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣/3 > 0$ . Par définition, il existe $δ_{1} > 0$ tel que $\forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ_{1} \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ , et $δ_{2} > 0$ tel que $\forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ_{2} \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ^{'} ∣ \leq ε$ . Soit $δ = min (δ_{1}, δ_{2})$ et un $x \in I$ vérifiant $∣ x - a ∣ \leq δ$ (un tel $x$ existe car $a$ est dans $I$ ou à l'adhérence de $I$ ). L'inégalité triangulaire donne :

∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ f (x) - ℓ ∣ + ∣ f (x) - ℓ^{'} ∣ \leq 2 ε = \frac{2}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,

donc $\frac{1}{3} ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq 0$ , ce qui force $ℓ = ℓ^{'}$ — contradiction. Les cas avec limites infinies se traitent par adaptation directe (on compare $f (x) \geq A$ et $∣ f (x) - ℓ^{'} ∣ \leq ε$ pour aboutir à une absurdité).

2.2 — Caractérisation séquentielle

Théorème 2.2 — Caractérisation séquentielle de la limite ★ À savoir démontrer

Soit $f$ définie sur $I$ et $a$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$ . Alors :

x \to a lim f (x) = ℓ ⟺ pour toute suite (x_{n}) de I telle que x_{n} \to a, on a f (x_{n}) \to ℓ .

Le résultat est valable pour $a \in R$ ou $a = \pm \infty$ , et $ℓ \in R$ ou $ℓ = \pm \infty$ .

Démonstration (sens ⇒ direct, sens ⇐ par contraposée)

Sens (⇒). Supposons $x \to a lim f (x) = ℓ$ (cas $a, ℓ$ réels ; les autres cas sont analogues). Soit $(x_{n})$ une suite de $I$ avec $x_{n} \to a$ . Fixons $ε > 0$ . Par hypothèse, il existe $δ > 0$ tel que $\forall x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε$ . Puis $x_{n} \to a$ fournit $N$ tel que $\forall n \geq N, ∣ x_{n} - a ∣ \leq δ$ . Donc $\forall n \geq N, ∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ \leq ε$ , ce qui prouve $f (x_{n}) \to ℓ$ .

Sens (⇐) par contraposée. Supposons que $f$ n'a pas pour limite $ℓ$ en $a$ . Cela s'écrit (négation de la définition) :

\exists ε_{0} > 0, \forall δ > 0, \exists x \in I, ∣ x - a ∣ \leq δ et ∣ f (x) - ℓ ∣ > ε_{0} .

On applique cette assertion successivement pour $δ = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ : pour chaque $n \geq 1$ , il existe $x_{n} \in I$ avec $∣ x_{n} - a ∣ \leq 1/ n$ et $∣ f (x_{n}) - ℓ ∣ > ε_{0}$ . Alors $x_{n} \to a$ (par les gendarmes) mais $(f (x_{n}))$ ne converge pas vers $ℓ$ . On a donc construit une suite contredisant l'hypothèse droite : par contraposée, on conclut.

📐 Méthode-type — Prouver qu'une fonction n'a PAS de limite en a. Tu ne peux pas (raisonnablement) nier une définition ε-δ à la main : utilise la caractérisation séquentielle, dans cet ordre :

Exhibe une suite $(x_{n}) \to a$ telle que $(f (x_{n}))$ diverge. Si tu trouves une telle suite, conclu : $f$ n'a pas de limite en $a$ .
Ou exhibe deux suites $(x_{n}) \to a$ et $(y_{n}) \to a$ telles que $f (x_{n}) \to ℓ_{1}$ et $f (y_{n}) \to ℓ_{2}$ avec $ℓ_{1} \neq = ℓ_{2}$ . Par unicité de la limite, $f$ n'a pas de limite en $a$ .

Exemple culte :

f (x) = sin (1/ x)

0

. On prend

x_{n} = 1/ (nπ)

y_{n} = 1/ (π /2 + 2 nπ)

. Alors

f (x_{n}) = 0 \to 0

f (y_{n}) = 1 \to 1

f

n'a pas de limite en

0

2.3 — Opérations sur les limites

Théorème 2.3 — Opérations algébriques

Soient $f, g$ définies au voisinage de $a$ , avec $x \to a lim f (x) = ℓ$ et $x \to a lim g (x) = m$ (avec $ℓ, m \in R$ ) et $λ \in R$ . Alors :

$x \to a lim (f + g) (x) = ℓ + m$
$x \to a lim (λ f) (x) = λ ℓ$
$x \to a lim (f \cdot g) (x) = ℓ \cdot m$
Si $m \neq = 0$ , alors $x \to a lim \frac{1}{g ( x )} = \frac{1}{m}$ (et donc $lim \frac{f}{g} = \frac{ℓ}{m}$ ).

Pour les limites infinies, on applique les règles formelles de $\overline{R}$ ( $+ \infty + ℓ = + \infty$ , $ℓ \times (+ \infty) = + \infty$ si $ℓ > 0$ , etc.), en faisant attention aux formes indéterminées.

Théorème 2.4 — Composition des limites

Soit $f$ définie au voisinage de $a$ avec $x \to a lim f (x) = b$ , et $g$ définie au voisinage de $b$ avec $y \to b lim g (y) = c$ . Alors $g \circ f$ est définie au voisinage de $a$ et :

x \to a lim (g \circ f) (x) = c .

Conséquence pratique : si $f$ est continue en $a$ et $g$ est continue en $f (a)$ , alors $g \circ f$ est continue en $a$ .

📝 Formes indéterminées (fonctions). Identiques aux suites :

\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}

. Aucune règle générale — on lève par factorisation, équivalents (chapitre suivant) ou règle de L'Hôpital (déconseillée en MPSI, préfère les développements limités).

2.4 — Théorèmes de comparaison et d'encadrement

Théorème 2.5 — Propriétés liées à l'ordre

Si $f$ admet une limite finie en $a$ , alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ .
Si $x \to a lim f (x) = ℓ > 0$ , alors il existe $K > 0$ tel que $f \geq K$ au voisinage de $a$ (séparation stricte du $0$ ).
Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et si $x \to a lim f = ℓ$ , $x \to a lim g = m$ , alors $ℓ \leq m$ .

Théorème 2.6 — Théorème d'encadrement (gendarmes)

Soient $f, g, h$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ et vérifiant $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ . Si $f$ et $h$ ont la même limite $ℓ$ (finie ou infinie) en $a$ , alors $g$ a pour limite $ℓ$ en $a$ .

Proposition 2.7 — Comparaison avec une limite infinie

Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et $x \to a lim f (x) = + \infty$ , alors $x \to a lim g (x) = + \infty$ .
Si $g \leq f$ au voisinage de $a$ et $x \to a lim f (x) = - \infty$ , alors $x \to a lim g (x) = - \infty$ .

⚠ Piège — inégalité stricte non conservée. Comme pour les suites, une inégalité stricte

f (x) < g (x)

ne donne jamais

ℓ < m

à la limite : on n'a que

ℓ \leq m

. Contre-exemple :

f (x) = 0, g (x) = x^{2}

avec

g (x) > f (x)

pour

x \neq = 0

, mais

lim_{0} f = lim_{0} g = 0

2.5 — Théorème de la limite monotone

Théorème 2.8 — Limite monotone (pour fonctions)

Soit $f$ monotone sur un intervalle $] α, β [$ . En tout point intérieur $a \in] α, β [$ , $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche (toutes deux finies). Lorsque $f$ est croissante :

si $f$ est majorée, elle admet en $β^{-}$ une limite finie, et $x \to β^{-} lim f (x) =] α, β [sup f$ ;
si $f$ n'est pas majorée, alors $x \to β^{-} lim f (x) = + \infty$ .

Pour une fonction décroissante, l'énoncé symétrique vaut en $α^{+}$ .

3. Continuité sur un intervalle — TVI et bornes atteintes

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Le TVI et les bornes atteintes sont LES deux démos qui tombent en khôlle. La dichotomie + segments emboîtés (TVI) et la double suite extraite (bornes atteintes) sont des schémas qui se réutilisent partout en spé (compacité, équations différentielles). En 1 séance ciblée avec un mentor Majorant alumni X-ENS, tu les maîtrises définitivement.

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3.1 — Image d'un intervalle

Théorème 3.1 — Image continue d'un intervalle

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ , alors l'image $f (I)$ est un intervalle de $R$ .

Théorème 3.2 — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ★ À savoir démontrer

Soit $f : [a, b] \to R$ continue, avec $a < b$ . Pour tout réel $y$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = y$ .

En particulier (corollaire-bijection), si $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes contraires, l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a, b]$ .

Démonstration (par dichotomie — le schéma à connaître)

Quitte à remplacer $f$ par $- f$ ou $f - y$ , on se ramène au cas $y = 0$ et $f (a) < 0 < f (b)$ . On construit deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ par dichotomie :

Poser $a_{0} = a, b_{0} = b$ .
À l'étape $n$ , soit $c_{n} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$ . Si $f (c_{n}) \leq 0$ , poser $a_{n + 1} = c_{n}, b_{n + 1} = b_{n}$ ; sinon poser $a_{n + 1} = a_{n}, b_{n + 1} = c_{n}$ .

Par construction, à chaque étape $f (a_{n}) \leq 0$ et $f (b_{n}) > 0$ , et $b_{n} - a_{n} = (b - a) / 2^{n} \to 0$ . Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $c \in [a, b]$ . Par caractérisation séquentielle et continuité de $f$ : $f (a_{n}) \to f (c)$ et $f (b_{n}) \to f (c)$ . En passant à la limite dans $f (a_{n}) \leq 0$ et $f (b_{n}) > 0$ :

f (c) \leq 0 et f (c) \geq 0,

donc $f (c) = 0$ . C'est la solution cherchée.

3.2 — Image d'un segment (bornes atteintes)

Théorème 3.3 — Bornes atteintes sur un segment ★ À savoir démontrer

Toute fonction $f$ continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_{m}, x_{M} \in [a, b]$ tels que $f (x_{m}) = [a, b] in f f$ et $f (x_{M}) = [a, b] sup f$ .

Corollaire : l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, $f ([a, b]) = [m, M]$ avec $m = min f, M = max f$ .

Démonstration (Bolzano-Weierstrass + caractérisation séquentielle du sup)

Étape 1 — $f$ est majorée. Par l'absurde, supposons $f$ non majorée : pour tout $n \in N$ , il existe $x_{n} \in [a, b]$ tel que $f (x_{n}) \geq n$ . La suite $(x_{n})$ est bornée (dans $[a, b]$ ), donc par Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite $(x_{φ (n)})$ convergente vers un certain $c \in [a, b]$ (le segment est fermé). Par continuité de $f$ en $c$ , $f (x_{φ (n)}) \to f (c) \in R$ . Mais $f (x_{φ (n)}) \geq φ (n) \to + \infty$ : contradiction. Donc $f$ est majorée. Symétriquement, elle est minorée.

Étape 2 — la borne sup est atteinte. Soit $M = sup_{[a, b]} f \in R$ (existe car $f$ est majorée). Par caractérisation séquentielle du sup, il existe une suite $(y_{n})$ de $[a, b]$ telle que $f (y_{n}) \to M$ . Par Bolzano-Weierstrass, on extrait $(y_{ψ (n)})$ convergente vers un $x_{M} \in [a, b]$ . Par continuité, $f (y_{ψ (n)}) \to f (x_{M})$ . Or $(f (y_{ψ (n)}))$ est une sous-suite de $(f (y_{n}))$ qui tend vers $M$ , donc $f (y_{ψ (n)}) \to M$ . Par unicité de la limite, $f (x_{M}) = M$ . Idem pour la borne inf.

⚠ Piège majeur — l'hypothèse « segment » est cruciale. Sur un intervalle ouvert ou non borné, une fonction continue peut très bien ne pas être bornée ou ne pas atteindre ses bornes :

$f (x) = 1/ x$ continue sur $] 0, 1]$ mais non majorée — l'intervalle n'est pas fermé.
$f (x) = x$ continue sur $[0, + \infty [$ mais non majorée — l'intervalle est non borné.
$f (x) = x$ continue sur $] 0, 1 [$ bornée mais n'atteint ni $0$ ni $1$ — intervalle non fermé.

Mentionne toujours « segment » (=

[a, b]

fermé borné) dans l'énoncé quand tu invoques ce théorème.

3.3 — Théorème de la bijection continue

Théorème 3.4 — Bijection continue strictement monotone

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors :

$f$ est une bijection de $I$ sur $f (I)$ ;
$f (I)$ est un intervalle, de même nature topologique que $I$ (segment → segment, ouvert → ouvert, etc.) ;
la bijection réciproque $f^{- 1} : f (I) \to I$ est continue et strictement monotone, de même sens de monotonie que $f$ .

Dans un repère orthonormé, les graphes de $f$ et $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Proposition 3.5 — Continuité et injectivité

Toute fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.
La réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle est continue.

💡 Exemple — racine carrée et arctangente. La fonction

f (x) = x^{2}

est continue et strictement croissante sur

[0, + \infty [

. Elle réalise une bijection de

[0, + \infty [

sur

[0, + \infty [

, dont la réciproque est

\cdot

— continue et strictement croissante. De même,

tan

sur

] - π /2, π /2 [

→

R

donne par bijection

arctan : R \to] - π /2, π /2 [

, continue strictement croissante.

4. Continuité uniforme et théorème de Heine

Définition 4.1 — Continuité uniforme

Une fonction $f$ est uniformément continue sur $D \subset R$ si :

\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in D, \forall x^{'} \in D, ∣ x - x^{'} ∣ \leq α ⟹ ∣ f (x) - f (x^{'}) ∣ \leq ε .

Clef de lecture : ici, $α$ dépend de $ε$ mais pas de $x$ — d'où le mot « uniforme » : un seul $α$ marche pour tout le domaine simultanément.

📝 Continuité vs continuité uniforme — la différence par les quantificateurs.

Continue en tout point : $\forall ε, \forall x, \exists δ (ε, x), \dots$ — le $δ$ dépend du point $x$ .
Uniformément continue : $\forall ε, \exists α (ε), \forall x, \dots$ — le $α$ ne dépend QUE de $ε$ .

La continuité uniforme implique la continuité simple, mais la réciproque est fausse en général (voir piège ci-dessous). Sur un segment, c'est Heine qui sauve la réciproque.

Théorème 4.2 — Théorème de Heine

Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est uniformément continue sur ce segment.

⚠ Piège — continue mais pas uniformément continue. Sans l'hypothèse « segment », la continuité simple n'implique pas la continuité uniforme. Contre-exemple incontournable :

f (x) = 1/ x

sur

] 0, 1]

est continue mais pas uniformément continue, car près de

0

, une petite variation

∣ x - x^{'} ∣

produit une variation arbitrairement grande de

∣ f (x) - f (x^{'}) ∣

. De même,

f (x) = x^{2}

sur

R

est continue mais pas uniformément continue (les pentes explosent à l'infini).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'analyse. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence sur les questions de continuité, TVI et limites.

⚠ Erreur 1 — Appliquer le TVI sans l'hypothèse de continuité. Le TVI exige

f

continue sur

[a, b]

. Beaucoup d'élèves l'invoquent sur des fonctions à priori juste définies sur l'intervalle — c'est un hard fail. Avant toute application, écris noir sur blanc : «

f

est continue sur

[a, b]

, comme composée de fonctions continues » (ou autre justification).

⚠ Erreur 2 — Confondre limite et valeur en un point. Quand

f

n'est pas définie en

a

, écrire

f (a) = ℓ

est faux ; on doit écrire

x \to a lim f (x) = ℓ

puis, éventuellement, prolonger

f

par continuité en posant

\tilde{f} (a) = ℓ

. Confondre les deux fait perdre la rigueur sur les prolongements et casse les démonstrations à base de TVI sur

\tilde{f}

⚠ Erreur 3 — Invoquer « bornes atteintes » sur un intervalle non compact. Le théorème exige un segment (fermé borné). Sur

] 0, 1]

[0, + \infty [

R

, il NE s'applique PAS. C'est l'erreur n°1 en problème : l'élève veut « le maximum de

f

sur

R

» et l'écrit comme s'il existait automatiquement. Vérifie toujours : « le domaine est-il un segment ? ».

⚠ Erreur 4 — Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite à l'envers. Beaucoup écrivent « il existe une suite

x_{n} \to a

telle que

f (x_{n}) \to ℓ

, donc

lim_{a} f = ℓ

» — c'est faux. La caractérisation exige toutes les suites convergeant vers

a

, pas une seule. Une seule suite suffit en revanche pour nier une limite (par contraposée).

⚠ Erreur 5 — Croire que continue = uniformément continue. En dehors d'un segment, les deux notions sont distinctes. Quand un énoncé demande la continuité uniforme, ne te contente jamais d'invoquer la continuité — vérifie l'hypothèse de Heine (domaine = segment) ou démontre la continuité uniforme à la main via la définition.

6. Pour aller plus loin

Limites et continuité fournissent les fondations utilisées par tout le reste de l'analyse MPSI puis MP/PC/PSI. Les chapitres aval qui les réinvestissent directement :

Dérivation — la dérivabilité en un point est définie via une limite ; toute fonction dérivable est continue (mais la réciproque est fausse).
Théorème de Rolle, accroissements finis — réinvestissent directement les bornes atteintes sur un segment.
Intégration sur un segment — la construction de l'intégrale de Riemann repose sur la continuité uniforme (Heine) et l'image continue d'un segment.
Équations différentielles, théorème de Cauchy-Lipschitz (spé) — la continuité de la donnée intervient dans la régularité des solutions.
Topologie des espaces vectoriels normés (MP/PC/PSI) — généralise les notions de limite, continuité, compacité, et redémontre Bolzano-Weierstrass / Heine dans le cadre des espaces métriques.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la définition ε-δ de $x \to a lim f (x) = ℓ$ sans regarder ?
Sais-tu écrire la définition de la limite infinie en un point fini, et de la limite finie en $+ \infty$ ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) l'unicité de la limite ?
Sais-tu énoncer la caractérisation séquentielle de la limite — et la démontrer dans les deux sens ?
Sais-tu utiliser la caractérisation séquentielle pour prouver qu'une fonction n'a pas de limite (méthode des deux suites) ?
Connais-tu les 7 formes indéterminées et sais-tu en lever une sur un exemple ?
Sais-tu énoncer le théorème des gendarmes pour les fonctions ?
Sais-tu énoncer et démontrer le TVI par dichotomie ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes sur un segment (avec Bolzano-Weierstrass) ?
Sais-tu énoncer le théorème de la bijection continue, et le lien avec la stricte monotonie ?
Sais-tu distinguer continuité et continuité uniforme par les quantificateurs ? Connais-tu un contre-exemple à l'implication réciproque ?
Sais-tu énoncer le théorème de Heine et reconnaître les domaines où il s'applique ?

Démonstrations à savoir refaire

Unicité de la limite — par l'absurde + inégalité triangulaire ( $ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣/3$ )
Caractérisation séquentielle de la limite — sens direct par définitions emboîtées, réciproque par contraposée avec $δ = 1/ n$
Théorème des valeurs intermédiaires — dichotomie + suites adjacentes + passage à la limite
Bornes atteintes sur un segment — Bolzano-Weierstrass + caractérisation séquentielle du sup

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions — limite d'une fonction

2. Propriétés des limites

2.1 — Unicité de la limite

2.2 — Caractérisation séquentielle

2.3 — Opérations sur les limites

2.4 — Théorèmes de comparaison et d'encadrement

2.5 — Théorème de la limite monotone

3. Continuité sur un intervalle — TVI et bornes atteintes

3.1 — Image d'un intervalle

3.2 — Image d'un segment (bornes atteintes)

3.3 — Théorème de la bijection continue

4. Continuité uniforme et théorème de Heine

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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