Espaces préhilbertiens réels

Vue d'ensemble

Un espace préhilbertien réel, c'est un $R$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire — une forme qui prolonge à la dimension quelconque la géométrie du collège (longueurs, angles, orthogonalité) à des objets aussi divers que des fonctions continues, des polynômes, des matrices. Ce chapitre installe les 10 résultats incontournables (Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, Pythagore, Gram-Schmidt, projection orthogonale), les 4 démonstrations à savoir refaire qui tombent en khôlle, et les pièges sur la bilinéarité et l'orthogonalité qui coûtent cher en copie.

Au programme MPSI (officiel) — Produit scalaire sur un

R

-espace vectoriel : forme bilinéaire symétrique définie positive. Exemples canoniques (ℝⁿ, espaces de fonctions continues, polynômes). Norme euclidienne associée, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire. Orthogonalité, théorème de Pythagore. Familles orthogonales, orthonormées : caractère libre. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt en dimension finie. Sous-espace orthogonal, projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.

Prérequis

Espaces vectoriels réels : sous-espaces, familles libres, bases, dimension
Applications linéaires et bilinéaires, matrices
Calcul intégral sur un segment (pour les exemples de produit scalaire sur des fonctions continues)
Polynôme du second degré : discriminant et signe

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Tu confonds bilinéaire, symétrique et défini positif ? C'est la porte d'entrée du chapitre — la vérifier proprement sur un exemple non trivial (intégrale, matrices) est ce qui sépare les copies à 12 de celles à 16. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font dérouler les 4 axiomes sur 3 produits scalaires classiques jusqu'à ce que tu les écrives sans réfléchir.

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1. Produit scalaire et espace préhilbertien

Définition 1.1 — Produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel. Une application $φ : E \times E \to R$ , notée $φ (x, y) = ⟨ x, y ⟩$ , est un produit scalaire si elle vérifie les quatre propriétés suivantes :

Bilinéaire : linéaire par rapport à chaque variable. Pour tous $x, x^{'}, y \in E$ et $λ \in R$ : $⟨ λ x + x^{'}, y ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + ⟨ x^{'}, y ⟩, ⟨ x, λ y + y^{'} ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + ⟨ x, y^{'} ⟩ .$
Symétrique : $\forall x, y \in E, ⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ .
Positive : $\forall x \in E, ⟨ x, x ⟩ \geq 0$ .
Définie : $⟨ x, x ⟩ = 0 ⟺ x = 0_{E}$ .

On dit alors que $φ$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

📝 Astuce de rédaction. Sous l'hypothèse de symétrie, prouver la linéarité à gauche suffit — la linéarité à droite en découle. Gain de temps en copie.

Définition 1.2 — Espace préhilbertien réel, espace euclidien

Un espace préhilbertien réel est un couple $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ où $E$ est un $R$ -espace vectoriel et $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ un produit scalaire sur $E$ . Si de plus $E$ est de dimension finie, on parle d'espace euclidien.

💡 Exemple 1 — Produit scalaire canonique sur ℝⁿ. Sur

E = R^{n}

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

. C'est LE produit scalaire de référence ; la base canonique

(e_{1}, \dots, e_{n})

est orthonormée.

💡 Exemple 2 — Produit scalaire intégral sur 𝒞([a,b], ℝ). Sur l'espace

E = C ([a, b], R)

des fonctions continues sur

[a, b]

, on pose :

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Bilinéarité (linéarité de l'intégrale), symétrie (commutativité du produit

f \cdot g

) et positivité sont immédiates. Pour le caractère défini : si

\int_{a}^{b} f^{2} = 0

avec

f^{2} \geq 0

continue, alors

f^{2} = 0

sur

[a, b]

, donc

f = 0

. C'est l'usage clé de la continuité (faux pour des fonctions seulement intégrables).

⚠ Piège #1 — La continuité dans le caractère défini. Sur

C ([a, b], R)

, l'implication

\int_{a}^{b} f^{2} d t = 0 \Rightarrow f \equiv 0

repose essentiellement sur la continuité de

f^{2}

. Sans continuité, on pourrait avoir

f

nulle sauf en un point sans que l'intégrale ne le « voie ». Mentionne toujours cet argument en copie.

2. Norme euclidienne et inégalité de Cauchy-Schwarz

Définition 2.1 — Norme euclidienne associée

Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ préhilbertien réel. On définit la norme euclidienne par :

\forall x \in E, ∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩ .

Cette définition est licite car $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ . On a immédiatement :

$∥ x ∥ \geq 0$ avec $∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0_{E}$ (caractère défini)
$∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ \cdot ∥ x ∥$ pour tout $λ \in R$ (par bilinéarité : $∥ λ x ∥^{2} = ⟨ λ x, λ x ⟩ = λ^{2} ∥ x ∥^{2}$ )

L'inégalité triangulaire $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ est l'objet du théorème 2.3 ci-dessous (elle exige Cauchy-Schwarz).

Théorème 2.2 — Inégalité de Cauchy-Schwarz ★ À savoir démontrer

Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ préhilbertien réel. Pour tous $x, y \in E$ :

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥.

De plus, il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (l'un est multiple scalaire de l'autre).

Démonstration (méthode du polynôme

t \mapsto ∥ x + t y ∥^{2}

)

Si $y = 0_{E}$ l'inégalité est triviale. Sinon $∥ y ∥ > 0$ . Pour tout $t \in R$ , par bilinéarité et symétrie :

P (t) = ∥ x + t y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} .

$P$ est un polynôme du second degré en $t$ (car $∥ y ∥^{2} > 0$ ) qui reste positif sur $R$ . Son discriminant est donc négatif ou nul :

Δ = 4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} \leq 0, soit ⟨ x, y ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} .

En prenant la racine carrée : $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥$ .

Cas d'égalité. $Δ = 0$ ssi $P$ admet une racine double $t_{0}$ , soit $∥ x + t_{0} y ∥^{2} = 0$ , donc $x = - t_{0} y$ : colinéarité. Réciproquement, si $x = λ y$ , $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∣ λ ∣∥ y ∥^{2} = ∥ x ∥∥ y ∥$ .

💡 Exemple — Cauchy-Schwarz appliqué. Sur

R^{n}

∣ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} ∣ \leq \sum x_{i}^{2} \cdot \sum y_{i}^{2}

. Sur

C ([a, b], R)

\int_{a}^{b} f g \leq \int_{a}^{b} f^{2} \cdot \int_{a}^{b} g^{2}

. Cette dernière forme est ultra-classique aux concours : reconnais-la sous toute intégrale d'un produit à majorer.

Théorème 2.3 — Inégalité triangulaire de la norme ★ À savoir démontrer

Pour tous $x, y \in E$ :

∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥,

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens ( $\exists λ \geq 0, y = λ x$ ou $x = 0$ ).

Démonstration (carré + Cauchy-Schwarz)

Par bilinéarité : $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ . Par Cauchy-Schwarz $⟨ x, y ⟩ \leq ∥ x ∥∥ y ∥$ , donc :

∥ x + y ∥^{2} \leq ∥ x ∥^{2} + 2∥ x ∥∥ y ∥ + ∥ y ∥^{2} = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2} .

Les deux membres étant positifs : $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ . Égalité ssi $⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥∥ y ∥$ (et non seulement $∣ \cdot ∣$ — c'est plus fort), donc $x, y$ colinéaires positivement.

Proposition 2.4 — Inégalité triangulaire renversée

Pour tous $x, y \in E$ : $∥ x ∥ - ∥ y ∥ \leq ∥ x - y ∥$ . Démonstration immédiate : $∥ x ∥ = ∥ (x - y) + y ∥ \leq ∥ x - y ∥ + ∥ y ∥$ ; symétriquement, d'où la valeur absolue.

Proposition 2.5 — Identités remarquables

Polarisation (récupère le produit scalaire depuis la norme) : $⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2})$ . Parallélogramme : $∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2})$ .

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3. Orthogonalité et théorème de Pythagore

Définition 3.1 — Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $x, y \in E$ sont orthogonaux, noté $x ⊥ y$ , si :

⟨ x, y ⟩ = 0.

Le vecteur nul $0_{E}$ est orthogonal à tout vecteur. Si $x \neq = 0$ et $y \neq = 0$ sont orthogonaux, ils sont en particulier non colinéaires.

Théorème 3.2 — Théorème de Pythagore

Pour $x, y \in E$ : $x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ . Démonstration : développer $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ ; l'égalité équivaut à $⟨ x, y ⟩ = 0$ . (Équivalence dans le cas réel, simple implication dans le cas complexe.)

Proposition 3.3 — Pythagore généralisé

Si $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est deux à deux orthogonale ( $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = 0$ pour $i \neq = j$ ), alors $∥ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{n} ∥ x_{i} ∥^{2}$ (par bilinéarité, tous les termes croisés s'annulent).

Définition 3.4 — Famille orthogonale, famille orthonormée

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $E$ .

Elle est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et tous non nuls : $\forall i \neq = j, ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = 0$ et $x_{i} \neq = 0_{E}$ .
Elle est orthonormée (ou orthonormale) si elle est orthogonale et chaque vecteur est unitaire : $∥ x_{i} ∥ = 1$ pour tout $i$ . De manière condensée : $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i, j} avec δ_{i, j} = {10 si i = j, sinon.$

Théorème 3.5 — Une famille orthogonale est libre ★ À savoir démontrer

Toute famille orthogonale (donc en particulier orthonormée) de $E$ est libre.

Démonstration (combinaison linéaire nulle + produit scalaire)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ orthogonale et $\sum_{i} λ_{i} x_{i} = 0_{E}$ . Fixons $k \in {1, \dots, n}$ et prenons le produit scalaire avec $x_{k}$ . Par linéarité :

i = 1 \sum n λ_{i} ⟨ x_{i}, x_{k} ⟩ = 0.

Or $⟨ x_{i}, x_{k} ⟩ = 0$ pour $i \neq = k$ (orthogonalité), donc il reste $λ_{k} ∥ x_{k} ∥^{2} = 0$ . Comme $x_{k} \neq = 0_{E}$ (donc $∥ x_{k} ∥^{2} > 0$ ), $λ_{k} = 0$ . Vrai pour tout $k$ : la famille est libre.

Corollaire 3.6 — Cardinal en dimension finie

Si $dim E = n$ , toute famille orthogonale a au plus $n$ vecteurs. Une famille orthogonale de cardinal $n$ est une base orthogonale ; orthonormée, c'est une base orthonormée (BON).

⚠ Piège #2 — La famille doit être de vecteurs non nuls. Dans la définition d'une famille orthogonale, on impose

x_{i} \neq = 0_{E}

. Sans cette condition, on aurait

(0_{E}, 0_{E})

« orthogonale » mais évidemment liée — et tout le théorème 3.5 s'effondrerait. Vérifie systématiquement la non-nullité avant d'écrire « la famille est orthogonale donc libre ».

📐 Méthode-type — Calcul des coordonnées dans une base orthonormée. Si

(e_{1}, \dots, e_{n})

est une base orthonormée de

E

, alors pour tout

x \in E

, les coordonnées de

x

dans cette base sont données par les produits scalaires avec les vecteurs de la base :

x = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Démonstration éclair : écris

x = \sum_{j} λ_{j} e_{j}

et fais le produit scalaire des deux membres avec

e_{i}

; tous les termes croisés s'annulent (orthonormalité), il reste

⟨ x, e_{i} ⟩ = λ_{i} ∥ e_{i} ∥^{2} = λ_{i}

.
De plus :

∥ x ∥^{2} = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} (formule de Parseval finie).

Ce double résultat est l'argument-clé qui rend les bases orthonormées si pratiques : coordonnées et longueur se calculent sans inverser de matrice.

4. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

En dimension finie, on peut fabriquer une base orthonormée à partir de n'importe quelle base. C'est le procédé de Gram-Schmidt — un algorithme constructif qui s'utilise aussi bien en théorie (existence de BON) qu'en pratique (DM, oraux X-ENS).

Théorème 4.1 — Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt ★ À savoir démontrer

Soit $E$ préhilbertien réel et $(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ une famille libre de $E$ . Il existe une unique famille orthonormée $(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ telle que pour tout $k \in {1, \dots, n}$ :

$Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$
$⟨ e_{k}, v_{k} ⟩ > 0$ (condition d'orientation, qui fixe l'unicité)

Elle se construit par récurrence via les formules :

e_{1} = \frac{v _{1}}{∥ v _{1} ∥}, \tilde{e}_{k} = v_{k} - j = 1 \sum k - 1 ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}, e_{k} = \frac{e ~ _{k}}{∥ e ~ _{k} ∥} (k \geq 2) .

Démonstration (par récurrence sur

k

)

Initialisation ( $k = 1$ ). Comme la famille $(v_{i})$ est libre, $v_{1} \neq = 0_{E}$ . On pose $e_{1} = v_{1} /∥ v_{1} ∥$ , qui est unitaire et engendre la même droite.

Hérédité. Supposons $(e_{1}, \dots, e_{k - 1})$ orthonormée avec $Vect (e_{1}, \dots, e_{k - 1}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ . On pose $\tilde{e}_{k} = v_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}$ .

(i) Orthogonalité. Pour $i \leq k - 1$ , par orthonormalité des $e_{j}$ :

⟨ \tilde{e}_{k}, e_{i} ⟩ = ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ - j \sum ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ δ_{j, i} = ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ - ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ = 0.

(ii) Non-nullité. Si $\tilde{e}_{k} = 0$ , alors $v_{k} \in Vect (e_{1}, \dots, e_{k - 1}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ : contradiction avec la liberté de $(v_{i})$ . Donc $∥ \tilde{e}_{k} ∥ > 0$ .

(iii) Normalisation. On pose $e_{k} = \tilde{e}_{k} /∥ \tilde{e}_{k} ∥$ , unitaire et toujours orthogonal aux $e_{i}$ précédents. L'égalité des sous-espaces engendrés vient de $v_{k} = ∥ \tilde{e}_{k} ∥ e_{k} + \sum_{j} ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}$ (dimension $k$ des deux côtés). La condition $⟨ e_{k}, v_{k} ⟩ = ∥ \tilde{e}_{k} ∥ > 0$ assure l'unicité.

💡 Exemple — Gram-Schmidt sur ℝ³. Partons de

v_{1} = (1, 1, 0)

v_{2} = (1, 0, 1)

v_{3} = (0, 1, 1)

. Alors

e_{1} = \frac{1}{2} (1, 1, 0)

; on retranche

⟨ v_{2}, e_{1} ⟩ e_{1}

pour obtenir

\tilde{e}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)

, d'où

e_{2} = \frac{1}{6} (1, - 1, 2)

. On itère sur

v_{3}

. Résultat : une BON explicite de

R^{3}

construite à la main.

Corollaire 4.2 — Existence d'une BON en dimension finie

Tout espace euclidien admet une base orthonormée (Gram-Schmidt sur une base quelconque). Mieux : toute famille orthonormée se complète en BON (base incomplète + Gram-Schmidt).

⚠ Piège #3 — Ne pas normaliser au fur et à mesure. Si tu fais Gram-Schmidt sans diviser par

∥ \tilde{e}_{k} ∥

à chaque étape, tu obtiens une famille orthogonale mais pas orthonormée, et la formule

\tilde{e}_{k} = v_{k} - \sum ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ e_{j}

suppose

∥ e_{j} ∥ = 1

— sinon il faudrait écrire

\tilde{e}_{k} = v_{k} - \sum \frac{⟨ v _{k} , e _{j} ⟩}{∥ e _{j} ∥ ^{2}} e_{j}

. C'est une erreur de copie fréquente : normalise immédiatement chaque

e_{k}

avant de passer au suivant.

5. Sous-espace orthogonal et projection orthogonale

Définition 5.1 — Orthogonal d'une partie

Soit $A \subset E$ une partie quelconque. Son orthogonal est :

A^{⊥} = {x \in E ∣ \forall a \in A, ⟨ x, a ⟩ = 0} .

Quand $A = F$ est un sous-espace vectoriel, on appelle $F^{⊥}$ le supplémentaire orthogonal de $F$ . Dans tous les cas, $A^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (intersection de noyaux de formes linéaires $x \mapsto ⟨ x, a ⟩$ ).

Proposition 5.2 — Propriétés élémentaires de l'orthogonal

${0_{E}}^{⊥} = E$ et $E^{⊥} = {0_{E}}$ .
Si $A \subset B$ , alors $B^{⊥} \subset A^{⊥}$ (inversion).
$A^{⊥} = (Vect A)^{⊥}$ : il suffit de tester l'orthogonalité sur une famille génératrice.
$F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ (un vecteur orthogonal à lui-même est nul, par caractère défini).

Théorème 5.3 — Supplémentaire orthogonal en dimension finie

Si $F$ est un sous-espace de dimension finie de $E$ (préhilbertien quelconque), alors :

E = F \oplus F^{⊥},

c'est-à-dire que $F^{⊥}$ est un supplémentaire de $F$ . En particulier, si $E$ est euclidien, $dim F^{⊥} = dim E - dim F$ et $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

Définition 5.4 — Projection orthogonale sur F

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ . Par le théorème 5.3, $E = F \oplus F^{⊥}$ : tout $x \in E$ s'écrit de manière unique $x = x_{F} + x_{F^{⊥}}$ avec $x_{F} \in F$ et $x_{F^{⊥}} \in F^{⊥}$ . On appelle $x_{F}$ la projection orthogonale de $x$ sur $F$ , notée $p_{F} (x)$ .

L'application $p_{F} : E \to F$ est linéaire et vérifie $p_{F} \circ p_{F} = p_{F}$ .

Théorème 5.5 — Expression de la projection dans une base orthonormée

Soit $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une base orthonormée de $F$ . Alors pour tout $x \in E$ :

p_{F} (x) = i = 1 \sum p ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Démonstration : on pose $y = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} \in F$ et on vérifie que $x - y \in F^{⊥}$ en montrant $⟨ x - y, e_{j} ⟩ = 0$ pour tout $j$ . Par unicité de la décomposition $F \oplus F^{⊥}$ , $y = p_{F} (x)$ .

Théorème 5.6 — Caractérisation par la distance minimale

Soit $x \in E$ et $F$ sous-espace de dimension finie de $E$ . Le projeté orthogonal $p_{F} (x)$ est l'unique vecteur de $F$ qui minimise la distance à $x$ :

∥ x - p_{F} (x) ∥ = y \in F min ∥ x - y ∥ =: d (x, F) .

C'est ce résultat qui fait du projeté orthogonal la meilleure approximation de $x$ par un élément de $F$ — il est à la base de la méthode des moindres carrés.

📐 Méthode-type — Calculer une distance à un sous-espace. Pour calculer

d (x, F)

, où

F

est de dimension finie

p

Trouver une base $(v_{1}, \dots, v_{p})$ de $F$ (souvent donnée par l'énoncé).
L'orthonormaliser par Gram-Schmidt pour obtenir $(e_{1}, \dots, e_{p})$ BON de $F$ .
Calculer le projeté $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ .
La distance vaut $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ .

Astuce de calcul : par Pythagore,

∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2}

, donc

d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}

. C'est souvent plus rapide.

💡 Exemple — Meilleure approximation polynomiale. Sur

C ([- 1, 1], R)

avec

⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f g

, cherchons la meilleure approximation de

f (t) = t^{3}

par un polynôme de degré

\leq 1

. Gram-Schmidt sur

(1, t)

donne

e_{1} = \frac{1}{2}

e_{2} = \frac{3}{2} t

. Calculs :

⟨ t^{3}, e_{1} ⟩ = 0

(parité),

⟨ t^{3}, e_{2} ⟩ = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5}

. D'où

p_{F} (t^{3}) = \frac{3}{5} t

— la meilleure approximation affine

L^{2}

t^{3}

sur

[- 1, 1]

Proposition 5.7 — Inégalité de Bessel

Si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une famille orthonormée de $E$ (pas nécessairement une base), alors pour tout $x \in E$ : $\sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ . Égalité ssi $x \in Vect (e_{1}, \dots, e_{p})$ (formule de Parseval).

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de fin de MPSI traitant la géométrie euclidienne. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de vérifier le caractère défini. Beaucoup prouvent bilinéarité + symétrie + positivité, et oublient le « défini ». Or

φ (x, x) \geq 0

seul n'exclut pas

φ (x, x) = 0

avec

x \neq = 0

(forme dégénérée, pas produit scalaire). Vérifie explicitement

φ (x, x) = 0 \Rightarrow x = 0_{E}

— souvent le seul point délicat.

⚠ Erreur 2 — Appliquer Cauchy-Schwarz sans contexte préhilbertien. L'inégalité

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥∥ y ∥

exige les 4 axiomes : sur une forme seulement positive, la démo par discriminant échoue. Énonce toujours «

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

préhilbertien, donc Cauchy-Schwarz s'applique ».

⚠ Erreur 3 — Confondre orthogonal et supplémentaire. Deux sous-espaces

F, G

peuvent être supplémentaires sans être orthogonaux ;

F^{⊥}

est un supplémentaire particulier (orthogonal). Précise toujours « supplémentaire orthogonal », et rappelle que son existence comme supplémentaire exige

F

de dimension finie.

⚠ Erreur 4 — Formule de projection sans base orthonormée.

p_{F} (x) = \sum ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}

n'est valable qu'en BON. Sur une base orthogonale non normée, il faut diviser par

∥ e_{i} ∥^{2}

; sur une base quelconque, résoudre un système. Erreur très pénalisante en DM.

⚠ Erreur 5 — Cas d'égalité triangulaire = colinéarité « tout court ». Dans

∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥

, l'égalité exige

y = λ x

avec

λ \geq 0

. Si

λ < 0

, il y a colinéarité mais inégalité stricte. Cauchy-Schwarz est plus large : il accepte les deux sens.

7. Pour aller plus loin

Les espaces préhilbertiens sont la matrice géométrique de toute l'analyse-algèbre de spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Espaces euclidiens (MP/PC/PSI) — Endomorphismes orthogonaux, symétriques, diagonalisation dans une base orthonormée, théorème spectral réel. La projection orthogonale devient un endomorphisme symétrique de projecteur.
Séries de Fourier — Le bon cadre est l'espace préhilbertien des fonctions continues sur un segment, avec $⟨ f, g ⟩ = \int f g$ . Les coefficients de Fourier sont des produits scalaires $⟨ f, e_{n} ⟩$ et l'identité de Parseval est la formule de la norme dans la BON $(e_{n})$ .
Méthode des moindres carrés et statistique — Le calcul d'une régression linéaire est exactement une projection orthogonale dans un $R^{n}$ muni du produit scalaire usuel ; la « droite de régression » est le projeté sur un sous-espace de dimension $2$ .
Espaces hermitiens (cas complexe) — La structure se transpose à $C$ avec une forme sesquilinéaire (linéaire à gauche, antilinéaire à droite). Cauchy-Schwarz, Gram-Schmidt, Pythagore restent valables, à un complexe conjugué près.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu citer sans hésiter les 4 axiomes d'un produit scalaire (bilinéaire, symétrique, défini, positif) ?
Sais-tu vérifier ces 4 axiomes sur $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g$ sur $C ([a, b], R)$ — et expliquer où sert la continuité ?
Sais-tu démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz par la méthode du polynôme $P (t) = ∥ x + t y ∥^{2}$ ?
Sais-tu en déduire l'inégalité triangulaire $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) le théorème de Pythagore version équivalence ?
Sais-tu démontrer qu'une famille orthogonale est libre ?
Sais-tu écrire les formules de Gram-Schmidt et justifier l'étape $\tilde{e}_{k} \neq = 0$ par la liberté ?
Sais-tu calculer les coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée par $⟨ x, e_{i} ⟩$ ?
Sais-tu écrire $p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ — et te souvenir que c'est valable uniquement en BON ?
Sais-tu caractériser le projeté comme minimum de la distance, et exploiter $∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + d (x, F)^{2}$ ?
Sais-tu énoncer l'inégalité de Bessel et son cas d'égalité (Parseval) ?

Démonstrations à savoir refaire

Inégalité de Cauchy-Schwarz — polynôme $∥ x + t y ∥^{2}$ + discriminant ≤ 0, cas d'égalité par racine double
Inégalité triangulaire — développer $∥ x + y ∥^{2}$ puis appliquer Cauchy-Schwarz
Famille orthogonale ⇒ libre — produit scalaire de la combinaison nulle avec chaque $x_{k}$
Procédé de Gram-Schmidt — récurrence forte, retrancher les projections, normaliser, justifier $\tilde{e}_{k} \neq = 0$ par liberté

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Produit scalaire et espace préhilbertien

2. Norme euclidienne et inégalité de Cauchy-Schwarz

3. Orthogonalité et théorème de Pythagore

4. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

5. Sous-espace orthogonal et projection orthogonale

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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