Intégrales généralisées

Vue d'ensemble

Comment donner un sens à $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ ou à $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t}$ , quand l'intervalle est infini ou la fonction non bornée ? On définit une intégrale généralisée (ou impropre) comme la LIMITE d'une intégrale ordinaire quand une borne s'approche du point problématique. Comme pour les séries, la première question est celle de la nature : l'intégrale converge-t-elle ? Ce chapitre fournit les outils : les intégrales de Riemann de référence ( $\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{α}$ converge ssi $α > 1$ ), les théorèmes de comparaison pour les fonctions positives (majoration, équivalents), et la notion de convergence absolue pour les fonctions de signe quelconque. C'est le pendant continu de l'étude des séries, et le socle des chapitres d'analyse de spé (intégrales à paramètre, convergence dominée). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Intégration sur un intervalle quelconque : intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur

[a, b [

, convergence et divergence ; intégrales de référence (Riemann, exponentielle) ; cas des fonctions positives (comparaison, équivalents, négligeabilité) ; fonction intégrable, convergence absolue et son implication ; linéarité, relation de Chasles, positivité de l'intégrale généralisée.

Prérequis

Intégrale d'une fonction continue sur un segment (1re année)
Limites, équivalents, négligeabilité (relations de comparaison)
Séries numériques (analogie forte, mêmes réflexes)

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1. Définition et intégrales de référence

Définition 1.1 — Intégrale généralisée sur [a, b[

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b [$ (avec $b \in R$ ou $b = + \infty$ ). L'intégrale généralisée $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est définie comme la limite, si elle existe et est finie :

\int_{a}^{b} f (t) d t = x \to b^{-} lim \int_{a}^{x} f (t) d t .

On adapte symétriquement sur $] a, b]$ (problème en $a$ ). Le point $b$ (ou $a$ ) est la borne impropre : soit $f$ n'y est pas définie/bornée, soit c'est $\pm \infty$ .

Définition 1.2 — Convergence, divergence, nature

Si la limite ci-dessus existe et est FINIE, l'intégrale converge et sa valeur est cette limite. Sinon (limite infinie ou inexistante), elle diverge. Étudier la nature de l'intégrale, c'est déterminer si elle converge ou diverge — souvent SANS la calculer.

Définition 1.3 — Intégrale doublement impropre

Si $f$ est continue par morceaux sur $] a, b [$ avec DEUX bornes impropres, on coupe en un point intérieur $c \in] a, b [$ : $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ . L'intégrale converge si et seulement si les DEUX morceaux convergent (séparément). La valeur ne dépend pas de $c$ .

Théorème 1.1 — Intégrales de Riemann de référence ★ À savoir démontrer

Ce sont LES références à connaître par cœur :

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}} converge ⟺ α > 1, \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{α}} converge ⟺ α < 1.

Retenir la logique : en $+ \infty$ , il faut décroître ASSEZ VITE ( $α > 1$ ) ; en $0$ , il ne faut pas exploser TROP vite ( $α < 1$ ). Le cas $α = 1$ ( $\int d t / t = ln$ ) diverge des deux côtés — c'est le seuil.

Démonstration (calcul direct de la primitive)

Cas $\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{α}$ , $α \neq = 1$ : pour $x > 1$ , $\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{α}} = [\frac{t ^{1 - α}}{1 - α}]_{1}^{x} = \frac{x ^{1 - α} - 1}{1 - α} .$ Quand $x \to + \infty$ : si $α > 1$ , $1 - α < 0$ donc $x^{1 - α} \to 0$ et l'intégrale converge vers $\frac{1}{α - 1}$ ; si $α < 1$ , $x^{1 - α} \to + \infty$ , divergence.

Cas $α = 1$ : $\int_{1}^{x} d t / t = ln x \to + \infty$ , divergence.

En $0$ : $\int_{ε}^{1} d t / t^{α} = \frac{1 - ε ^{1 - α}}{1 - α}$ (pour $α \neq = 1$ ). Quand $ε \to 0^{+}$ : $ε^{1 - α} \to 0$ ssi $1 - α > 0$ , i.e. $α < 1$ (convergence) ; sinon divergence. Le cas $α = 1$ donne $- ln ε \to + \infty$ . CQFD.

⚠ Piège — Un « faux problème » n'est pas une divergence. Si

f

se prolonge par continuité en la borne (ex.

\frac{s i n t}{t}

0

, qui tend vers

1

), l'intégrale n'est PAS réellement impropre en ce point : elle converge trivialement. Toujours vérifier si la « singularité » en est vraiment une avant de dégainer les théorèmes de comparaison.

2. Critères pour les fonctions positives

Théorème 2.1 — Comparaison et équivalents (fonctions positives)

Soient $f, g$ continues par morceaux et positives sur $[a, b [$ , problème en $b$ . Alors :

Majoration : si $0 \leq f \leq g$ au voisinage de $b$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge (contraposée : $\int f$ diverge $\Rightarrow \int g$ diverge).
Négligeabilité : si $f = o (g)$ (ou $f = O (g)$ ) en $b$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
Équivalents : si $f b \sim g$ , alors $\int f$ et $\int g$ sont de même nature.

⚠ Ces critères exigent des fonctions de signe constant au voisinage de la borne. Le critère des équivalents est l'outil n°1 : on remplace $f$ par un équivalent simple, typiquement une puissance $1/ t^{α}$ , et on conclut par Riemann.

📐 Méthode-type — Déterminer la nature d'une intégrale.

Repérer les bornes impropres : où $f$ explose ou l'intervalle est infini ? Traiter chaque borne SÉPARÉMENT (couper si besoin).
Vérifier le signe près de la borne : si $f$ est de signe constant, les critères de comparaison s'appliquent. Sinon, passer par $∣ f ∣$ (§3).
Chercher un équivalent de $f$ en la borne, sous forme $C / t^{α}$ (en $+ \infty$ ) ou $C / (t - a)^{α}$ (en $a$ fini).
Conclure par Riemann : convergence ssi $α > 1$ (en $\infty$ ) ou $α < 1$ (en un point fini). Rédiger « par équivalence de fonctions positives ».

💡 Exemple — Nature de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + t ^{2}}$ et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{l n t}{t ^{2}} d t$ .
— Pour

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + t ^{2}}

: seul problème en

+ \infty

, où

\frac{1}{1 + t ^{2}} \sim \frac{1}{t ^{2}}

(positif), et

\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{2}

converge (

α = 2 > 1

). Donc convergence (valeur

= π /2

, primitive

arctan

).
— Pour

\int_{1}^{+ \infty} \frac{l n t}{t ^{2}} d t

: en

+ \infty

\frac{l n t}{t ^{2}} = o (\frac{1}{t ^{3/2}})

(croissances comparées,

ln t = o (t^{1/2})

), et

\int d t / t^{3/2}

converge (

α = 3/2 > 1

). Donc convergence.

🧑‍🏫 Le réflexe équivalent-Riemann au point

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3. Fonctions de signe quelconque

Définition 3.1 — Fonction intégrable, convergence absolue

$f$ continue par morceaux sur $[a, b [$ est dite intégrable (ou $\int_{a}^{b} f$ est absolument convergente) si :

\int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t converge .

L'intérêt : $∣ f ∣$ est POSITIVE, donc on peut lui appliquer tous les critères de comparaison du §2. La convergence absolue se teste comme une convergence de fonction positive.

Définition 3.2 — Semi-convergence

Une intégrale est semi-convergente si elle converge SANS converger absolument ( $\int f$ converge mais $\int ∣ f ∣$ diverge). L'exemple canonique est l'intégrale de Dirichlet $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t} d t$ , qui converge (intégration par parties) alors que $\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ s i n t ∣}{t} d t$ diverge.

Théorème 3.1 — La convergence absolue implique la convergence ★ À savoir démontrer

Si $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ converge, alors $\int_{a}^{b} f$ converge, et de plus :

\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t .

C'est le résultat qui permet de traiter les fonctions de signe quelconque : on se ramène à l'étude de $∣ f ∣$ (positive). La réciproque est FAUSSE (semi-convergence).

Démonstration (encadrement par f + |f|)

Posons $g = f + ∣ f ∣$ . Alors $0 \leq g \leq 2∣ f ∣$ (car $- ∣ f ∣ \leq f \leq ∣ f ∣$ , donc $0 \leq f + ∣ f ∣ \leq 2∣ f ∣$ ). Comme $g$ est POSITIVE et majorée par $2∣ f ∣$ dont l'intégrale converge, le théorème de comparaison (§2) donne la convergence de $\int_{a}^{b} g$ .

Par linéarité (valable dès que deux des trois intégrales convergent) : $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} (g - ∣ f ∣) = \int_{a}^{b} g - \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , différence de deux intégrales convergentes, donc $\int_{a}^{b} f$ converge. Enfin, par passage à la limite dans l'inégalité $\int_{a}^{x} f \leq \int_{a}^{x} ∣ f ∣$ (vraie sur tout segment), on obtient $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ . CQFD.

💡 Exemple — $\int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s t}{t ^{2}} d t$ converge (absolument). On a

\frac{c o s t}{t ^{2}} \leq \frac{1}{t ^{2}}

sur

[1, + \infty [

, et

\int_{1}^{+ \infty} d t / t^{2}

converge. Donc

\int_{1}^{+ \infty} \frac{∣ c o s t ∣}{t ^{2}} d t

converge (majoration de fonctions positives) : l'intégrale est absolument convergente, donc convergente. Pas besoin de la calculer — la majoration suffit.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

L'étude de la nature d'une intégrale récompense la rigueur et punit les raccourcis. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Appliquer un équivalent à une fonction de signe non constant. Le théorème des équivalents exige un signe CONSTANT près de la borne.

f \sim g

avec

f, g

oscillantes ne donne PAS la même nature (contre-exemple classique avec des

sin

). Pour un signe quelconque : passer par

∣ f ∣

et la convergence absolue.

⚠ Erreur 2 — Oublier de traiter les DEUX bornes. Pour

\int_{0}^{+ \infty} f

, il y a souvent deux problèmes : en

0

ET en

+ \infty

. Il faut couper (ex. en

1

) et étudier CHAQUE morceau. L'intégrale converge ssi les deux convergent. Ne pas se contenter d'analyser

+ \infty

en oubliant

0

⚠ Erreur 3 — Croire que f → 0 en +∞ suffit à la convergence. FAUX, exactement comme pour les séries :

\int_{1}^{+ \infty} d t / t

diverge alors que

1/ t \to 0

. La décroissance vers

0

est nécessaire (pour les fonctions positives de limite existante) mais absolument PAS suffisante. Il faut décroître assez vite (

α > 1

⚠ Erreur 4 — Confondre convergence et convergence absolue. La convergence absolue IMPLIQUE la convergence, mais la réciproque est fausse (Dirichlet

\int sin t / t

est semi-convergente). Si on montre que

\int ∣ f ∣

DIVERGE, on n'a PAS montré que

\int f

diverge — il faut une étude directe (IPP, regroupement).

⚠ Erreur 5 — Manipuler une intégrale divergente comme si elle valait un nombre. Écrire

\int_{a}^{b} (f + g) = \int f + \int g

n'est licite que si les intégrales convergent. Découper une intégrale convergente en deux morceaux dont chacun diverge est une faute :

\int (f + g)

peut converger sans que

\int f

\int g

convergent séparément. Toujours établir la convergence AVANT de scinder.

5. Pour aller plus loin

Les intégrales généralisées sont la porte d'entrée de l'analyse de spé :

Intégrales à paramètre — continuité et dérivation sous le signe $\int$ : la brique de nombreuses fonctions spéciales (Gamma, transformée de Laplace).
Théorème de convergence dominée — l'outil roi pour permuter limite et intégrale, généralisant les critères de comparaison.
Fonction Gamma d'Euler — $Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ , un grand classique dont la convergence se prouve avec cette fiche.
Probabilités à densité — l'espérance et les moments sont des intégrales généralisées ; leur existence est une question de convergence.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une intégrale généralisée comme limite d'une intégrale sur un segment ?
Sais-tu distinguer convergence et divergence (nature) ?
Sais-tu qu'une intégrale doublement impropre se coupe et exige les deux morceaux ?
Connais-tu les intégrales de Riemann : ∫₁^∞ dt/tᵅ converge ssi α > 1 ?
Et ∫₀¹ dt/tᵅ converge ssi α < 1 ?
Sais-tu les démontrer (calcul de la primitive t^(1−α)) ?
Sais-tu appliquer comparaison, négligeabilité, équivalents (fonctions positives) ?
Sais-tu que ces critères exigent un signe constant près de la borne ?
Sais-tu définir la convergence absolue (∫|f| converge) ?
Sais-tu démontrer que convergence absolue ⟹ convergence (via f + |f|) ?
Sais-tu qu'il existe des intégrales semi-convergentes (Dirichlet sin t / t) ?
Sais-tu que f → 0 en +∞ ne suffit PAS à la convergence ?

Démonstrations à savoir refaire

Intégrales de Riemann — primitive t^(1−α), seuil α = 1
Convergence absolue ⟹ convergence — encadrement 0 ≤ f + |f| ≤ 2|f|

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définition et intégrales de référence

2. Critères pour les fonctions positives

3. Fonctions de signe quelconque

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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