Diagonalisation et trigonalisation

Vue d'ensemble

Diagonaliser, c'est trouver une base dans laquelle un endomorphisme devient une simple collection de dilatations : matrice diagonale, puissances immédiates, systèmes découplés. Ce chapitre répond à LA question de la réduction — quand est-ce possible ? — avec un critère complet ( $χ$ scindé et multiplicités géométriques égales aux multiplicités algébriques), et fournit la solution de repli quand ça ne l'est pas : la trigonalisation, toujours possible sur $C$ . C'est le cœur technique de la moitié des sujets d'écrit. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Réduction, deuxième partie : endomorphismes et matrices diagonalisables, caractérisations (base de vecteurs propres, somme directe des sous-espaces propres, critère par le polynôme caractéristique scindé et les dimensions des sous-espaces propres), condition suffisante des valeurs propres deux à deux distinctes ; endomorphismes et matrices trigonalisables, caractérisation par

χ

scindé (démonstration non exigible), cas de

C

; endomorphismes nilpotents, indice de nilpotence.

Prérequis

Éléments propres et polynôme caractéristique : spectre, multiplicités, encadrement $1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}$
Compléments d'algèbre linéaire : sommes directes, bases adaptées, matrices par blocs
Changement de base : $A^{'} = P^{- 1} A P$ , matrices semblables

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1. Diagonalisabilité : définitions et caractérisations

Définition 1.1 — Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme $u$ d'un espace $E$ de dimension finie est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ — c'est-à-dire une base dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale (les coefficients diagonaux étant alors les valeurs propres, répétées autant de fois que la dimension de leur sous-espace propre).

Définition 1.2 — Matrice diagonalisable

$A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale : il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que :

A = P D P^{- 1} .

Les colonnes de $P$ sont alors des vecteurs propres de $A$ (dans l'ordre des valeurs propres portées par $D$ ).

Définition 1.3 — Multiplicité géométrique

La multiplicité géométrique de la valeur propre $λ$ est $dim E_{λ} (u)$ — à distinguer de la multiplicité algébrique $m_{λ}$ (exposant dans $χ_{u}$ ). Le chapitre précédent a montré : $1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}$ .

Théorème 1.4 — Caractérisations de la diagonalisabilité ★ À savoir démontrer

Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $u$ est diagonalisable ;
(ii) $E$ est la somme (directe) des sous-espaces propres : $E = λ \in Sp (u) ⨁ E_{λ} (u)$ ;
(iii) $λ \in Sp (u) \sum dim E_{λ} (u) = dim E$ .

Démonstration (le trio d'équivalences)

(i) ⟹ (ii). Soit $B$ une base de vecteurs propres. Chaque vecteur de $B$ appartient à l'un des $E_{λ}$ , donc $E$ , engendré par $B$ , est inclus dans $\sum_{λ} E_{λ}$ : la somme vaut $E$ . Et cette somme est toujours directe (chapitre précédent : liberté des familles de vecteurs propres).

(ii) ⟹ (i). Si $E = \oplus_{λ} E_{λ}$ , la concaténation de bases des $E_{λ}$ (base adaptée) est une base de $E$ formée de vecteurs propres.

(ii) ⟺ (iii). La somme des $E_{λ}$ est directe, donc sa dimension vaut $\sum_{λ} dim E_{λ}$ (caractérisation dimensionnelle des sommes directes). Cette somme directe est égale à $E$ si et seulement si sa dimension vaut $dim E$ — d'où l'équivalence.

⚠ Piège — Diagonalisable ne veut pas dire inversible. La matrice nulle est diagonalisable (elle EST diagonale) et non inversible ; une matrice de projecteur aussi. Inversible se lit sur «

0 \in / Sp

», diagonalisable sur « les sous-espaces propres remplissent l'espace » : aucune implication entre les deux, dans aucun sens. Confusion relevée chaque année par les jurys.

2. Le critère pratique de diagonalisabilité

Théorème 2.1 — Critère complet ★ À savoir démontrer

$u$ est diagonalisable si et seulement si :

$χ_{u}$ est scindé sur $K$ , ET
pour toute valeur propre : $dim E_{λ} = m_{λ}$ (multiplicité géométrique = multiplicité algébrique).

Démonstration (comptage de dimensions dans les deux sens)

Sens direct. Si $u$ est diagonalisable, sa matrice dans une base propre est $D = diag (λ_{1}, \dots)$ où chaque valeur propre $λ$ apparaît $dim E_{λ}$ fois. Le polynôme caractéristique d'une matrice diagonale se lit directement : $χ_{u} = \prod_{λ} (X - λ)^{d i m E_{λ}}$ — il est scindé, et l'exposant de $(X - λ)$ , qui est par définition $m_{λ}$ , vaut $dim E_{λ}$ .

Sens réciproque. Si $χ_{u}$ est scindé, la somme des multiplicités algébriques vaut le degré : $\sum_{λ} m_{λ} = n$ . Si de plus $dim E_{λ} = m_{λ}$ pour toute valeur propre :

λ \sum dim E_{λ} = λ \sum m_{λ} = n = dim E,

et le théorème 1.4 (iii) conclut : $u$ est diagonalisable.

Lecture pratique : seules les valeurs propres multiples peuvent poser problème (pour $m_{λ} = 1$ , l'encadrement force $dim E_{λ} = 1 = m_{λ}$ ). Le travail se concentre donc sur elles.

Corollaire 2.2 — Condition suffisante (le cas de luxe)

Si $u$ possède $n = dim E$ valeurs propres deux à deux distinctes, alors $u$ est diagonalisable (toutes les multiplicités valent 1). Condition suffisante mais non nécessaire — l'identité est diagonalisable avec une seule valeur propre.

📐 Méthode-type — Étudier la diagonalisabilité d'une matrice.

Calculer et factoriser $χ_{A}$ . S'il n'est pas scindé sur $K$ : non diagonalisable sur $K$ (mais peut-être sur $C$ — préciser).
Trier les valeurs propres : les simples sont automatiquement réglées ; ne travailler que sur les multiples.
Pour chaque valeur propre multiple : calculer $dim E_{λ} = n - rg (A - λ I_{n})$ et comparer à $m_{λ}$ . Une seule inégalité stricte suffit à conclure « non diagonalisable ».
Si diagonalisable et que l'énoncé le demande : construire $P$ (colonnes = bases des sous-espaces propres) et $D$ (valeurs propres dans le même ordre), et vérifier une colonne : $A P_{\cdot j} = λ_{j} P_{\cdot j}$ .

💡 Exemple complet.

A = (0 - 2 13)

χ_{A} = X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)

, deux valeurs propres simples ⟹ diagonalisable (corollaire 2.2).

E_{1} = Vect (11)

E_{2} = Vect (12)

, d'où

P = (1112)

D = diag (1, 2)

A = P D P^{- 1}

. À l'inverse,

N = (0010)

χ_{N} = X^{2}

scindé mais

dim E_{0} = 1 < 2 = m_{0}

: non diagonalisable — le critère échoue sur la deuxième condition, pas la première.

3. Trigonalisation et endomorphismes nilpotents

Définition 3.1 — Trigonalisable

$u$ est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure ; une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une triangulaire supérieure. La diagonale porte alors les valeurs propres, répétées selon leurs multiplicités algébriques.

Théorème 3.2 — Caractérisation de la trigonalisabilité

$u$ est trigonalisable si et seulement si $χ_{u}$ est scindé sur $K$ . (Démonstration non exigible au programme MP — l'énoncé et ses conséquences, si.) Conséquences majeures :

sur $C$ , toute matrice est trigonalisable (d'Alembert-Gauss) ;
si $χ$ est scindé, la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant leur produit, comptées avec multiplicités : $tr (A) = \sum m_{λ} λ$ , $det (A) = \prod λ^{m_{λ}}$ ;
les puissances d'une triangulaire restent triangulaires, de diagonale $λ_{i}^{k}$ : d'où $Sp (A^{k}) = {λ^{k}}$ quand $χ$ est scindé.

Définition 3.3 — Endomorphisme nilpotent, indice

$u$ est nilpotent s'il existe $p \in N^{*}$ tel que $u^{p} = 0$ . Le plus petit tel $p$ est l'indice de nilpotence. Exemple matriciel : les triangulaires strictes (diagonale nulle).

Proposition 3.4 — Propriétés des nilpotents ★ À savoir démontrer

Soit $u$ nilpotent sur $E$ de dimension $n$ :

sa seule valeur propre (éventuelle) est $0$ — et sur $C$ , $χ_{u} = X^{n}$ ;
son indice de nilpotence vérifie $p \leq n$ ;
$u$ est diagonalisable si et seulement si $u = 0$ .

Démonstration (valeur propre, chaîne des noyaux, cas diagonalisable)

Seule valeur propre 0. Si $u (x) = λ x$ avec $x \neq = 0$ , alors $u^{p} (x) = λ^{p} x$ . Or $u^{p} = 0$ , donc $λ^{p} x = 0$ avec $x \neq = 0$ : $λ = 0$ . Sur $C$ , $χ_{u}$ est scindé et ses racines sont des valeurs propres : $χ_{u} = X^{n}$ .

Indice $\leq n$ . La suite des noyaux $ker u \subset ker u^{2} \subset \dots$ est croissante. Tant que $ker u^{k} \neq = ker u^{k + 1}$ , la dimension augmente d'au moins 1 ; dès qu'il y a égalité $ker u^{k} = ker u^{k + 1}$ , la suite stationne définitivement (si $u^{k + 2} (x) = 0$ , alors $u (x) \in ker u^{k + 1} = ker u^{k}$ , donc $u^{k + 1} (x) = 0$ ). Partant de $dim ker u \geq 1$ (0 est valeur propre d'un nilpotent non nul) et bornée par $n$ , la chaîne strictement croissante atteint $ker u^{p} = E$ en au plus $n$ étapes : $p \leq n$ .

Diagonalisable ⟹ nul. Si $u$ nilpotent est diagonalisable, sa matrice dans une base propre est diagonale avec pour seuls coefficients ses valeurs propres, toutes nulles : $u = 0$ . (Réciproque immédiate.) C'est le contre-exemple structurel : $χ$ scindé ne suffit jamais, il faut les dimensions.

⚠ Piège — « χ scindé ⟹ diagonalisable » est LA fausse implication du chapitre. Scindé garantit seulement la trigonalisabilité. Tout nilpotent non nul a

χ = X^{n}

parfaitement scindé et n'est pas diagonalisable. Les correcteurs signalent cette confusion comme l'erreur la plus répandue de toute l'algèbre des concours.

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4. Application reine : les puissances de A

📐 Méthode-type — Calculer $A^{k}$ par diagonalisation.

Diagonaliser : $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ .
Télescoper : $A^{k} = (P D P^{- 1}) (P D P^{- 1}) \dots = P D^{k} P^{- 1}$ , et $D^{k} = diag (λ_{1}^{k}, \dots, λ_{n}^{k})$ .
Calculer $P^{- 1}$ (ou éviter de le faire : pour une suite $X_{k + 1} = A X_{k}$ , décomposer $X_{0}$ sur la base propre suffit).
Vérifier : $k = 0$ doit donner $I_{n}$ , $k = 1$ doit redonner $A$ ; le comportement quand $k \to \infty$ est dicté par la plus grande valeur propre en module.

💡 Exemple — Suites couplées. Avec la matrice

A

de la section 2 (

λ = 1, 2

) :

u_{k + 1} = v_{k}, v_{k + 1} = - 2 u_{k} + 3 v_{k}

s'écrit

X_{k + 1} = A X_{k}

. En décomposant

X_{0} = α (11) + β (12)

, on obtient immédiatement

X_{k} = α \cdot 1^{k} (11) + β \cdot 2^{k} (12)

: comportement en

2^{k}

sauf si

β = 0

. Aucune inversion de

P

nécessaire — c'est la version futée que les correcteurs valorisent.

📝 Et si A n'est pas diagonalisable ? Sur

C

, on trigonalise (ou mieux : chapitre suivant, on écrit

A = D + N

avec

N

nilpotent via les polynômes annulateurs, et le binôme fait le reste puisque

N^{p} = 0

tue la somme). Les sujets guident toujours — mais il faut reconnaître la situation : c'est le rôle du critère.

💡 À repérer d'office (annonce du chapitre 8). Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (théorème spectral, en base orthonormée qui plus est). Repérer une symétrique dans un sujet dispense de tout le travail du critère — réflexe qui fait gagner de longues minutes.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le chapitre le plus pratiqué des concours est aussi celui des habitudes mal prises. Échos des rapports (Mines-Ponts, Centrale, CCINP, X-ENS) :

⚠ Erreur 1 — Conclure « diagonalisable » dès que χ est scindé. Il manque la moitié du critère : l'égalité

dim E_{λ} = m_{λ}

pour chaque valeur propre multiple. Le nilpotent

(0010)

doit te servir de garde-fou mental permanent.

⚠ Erreur 2 — Oublier de préciser le corps. « Diagonalisable » n'a de sens que sur un corps donné : une rotation plane est diagonalisable sur

C

, pas sur

R

(χ non scindé). L'énoncé fixe le cadre ; ta conclusion doit le mentionner.

⚠ Erreur 3 — Désaccorder P et D. L'ordre des colonnes de

P

doit être EXACTEMENT celui des valeurs propres dans

D

. Après construction, vérifier une colonne (

A P_{\cdot j} = λ_{j} P_{\cdot j}

) prend dix secondes et évite la catastrophe en cascade sur

A^{k}

⚠ Erreur 4 — Calculer dim E_λ pour les valeurs propres simples. Pour

m_{λ} = 1

, l'encadrement

1 \leq dim E_{λ} \leq 1

conclut sans calcul. Résoudre le système quand même est du temps perdu — et les rapports le qualifient de « méconnaissance du cours ».

⚠ Erreur 5 — Écrire tr(A) = somme des valeurs propres sans hypothèse. Ces formules exigent

χ

scindé (ou de compter les racines complexes). Sur

R

avec χ non scindé, la somme des seules racines réelles ne vaut pas la trace. Toujours citer l'hypothèse — ou passer sur

C

6. Pour aller plus loin

La diagonalisation est un carrefour — presque tout le programme y repasse :

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton — le critère ultime (diagonalisable ⟺ annulé par un polynôme scindé à racines simples) rend inutile le calcul des dimensions dans bien des cas ; le lemme des noyaux structure tout.
Endomorphismes des espaces euclidiens — le théorème spectral : symétrique réel ⟹ diagonalisable en base orthonormée. La plus belle récompense du chapitre.
Équations différentielles et suites — systèmes $X^{'} = A X$ et $X_{k + 1} = A X_{k}$ : la base propre découple tout ; les valeurs propres pilotent stabilité et comportement asymptotique.
Probabilités — matrices stochastiques et chaînes de Markov : la valeur propre 1 et le trou spectral gouvernent la convergence vers l'état stationnaire.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir « diagonalisable » pour un endomorphisme ET pour une matrice (A = PDP⁻¹) ?
Sais-tu démontrer l'équivalence des trois caractérisations (base propre, somme directe, somme des dimensions) ?
Sais-tu distinguer multiplicité géométrique et algébrique, et réciter l'encadrement ?
Sais-tu démontrer le critère complet (χ scindé ET dim E_λ = m_λ) dans les deux sens ?
Sais-tu pourquoi seules les valeurs propres multiples demandent un calcul ?
Connais-tu la condition suffisante des n valeurs propres distinctes — et pourquoi elle n'est pas nécessaire ?
Sais-tu énoncer la caractérisation de la trigonalisabilité (χ scindé) et le cas de ℂ ?
Sais-tu lire trace et déterminant sur les valeurs propres quand χ est scindé ?
Sais-tu démontrer les trois propriétés des nilpotents (vp 0, indice ≤ n, diagonalisable ⟺ nul) ?
Sais-tu dérouler la méthode A^k = PD^kP⁻¹ et sa variante sans inversion (décomposer X₀) ?
As-tu le contre-exemple nilpotent en tête contre « scindé ⟹ diagonalisable » ?
Sais-tu qu'une symétrique réelle est toujours diagonalisable (annonce du théorème spectral) ?

Démonstrations à savoir refaire

Caractérisations de la diagonalisabilité — base propre ⟺ somme directe ⟺ somme des dimensions
Critère complet — lecture sur la matrice diagonale, puis comptage Σm_λ = n
Propriétés des nilpotents — λ^p x = 0, chaîne des noyaux, diagonalisable ⟺ nul

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Diagonalisabilité : définitions et caractérisations

2. Le critère pratique de diagonalisabilité

3. Trigonalisation et endomorphismes nilpotents

4. Application reine : les puissances de A

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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