Groupes

Vue d'ensemble

Le chapitre « groupes » ouvre l'algèbre de MP : c'est le langage dans lequel s'écrivent ensuite les anneaux, les corps, l'arithmétique modulaire et une bonne partie de la réduction des endomorphismes (ordre d'une matrice, polynômes annulateurs, groupe orthogonal). Aux concours, il fournit chaque année des questions de cours déguisées : montrer qu'une partie est un sous-groupe, déterminer l'ordre d'un élément, reconnaître un groupe cyclique. Cette fiche regroupe les 6 théorèmes incontournables, les 5 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Structures algébriques usuelles, partie groupes : groupes et sous-groupes, morphismes de groupes, noyau et image, sous-groupe engendré par une partie, groupes monogènes et cycliques, le groupe

Z / n Z

, ordre d'un élément d'un groupe, théorème de Lagrange (l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe — démonstration non exigible).

Prérequis

Structure de groupe vue en sup (lois de composition internes, élément neutre, inversibilité)
Arithmétique dans $Z$ : division euclidienne, pgcd, théorème de Bézout
Congruences modulo $n$ et manipulation des classes $\overset{ˉ}{k}$

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1. Groupes et sous-groupes

Définition 1.1 — Groupe

Un groupe est un couple $(G, *)$ où $*$ est une loi de composition interne sur $G$ telle que :

$*$ est associative : $\forall x, y, z \in G, (x * y) * z = x * (y * z)$ ;
$G$ possède un élément neutre $e$ : $\forall x \in G, x * e = e * x = x$ ;
tout élément est inversible : $\forall x \in G, \exists x^{- 1} \in G, x * x^{- 1} = x^{- 1} * x = e$ .

Si de plus $*$ est commutative, le groupe est dit abélien (ou commutatif).

💡 Exemples fondamentaux (à citer sans hésiter).

(Z, +)

(R, +)

(R^{*}, \times)

(C^{*}, \times)

, le groupe

U

des complexes de module 1, le groupe

U_{n} = {z \in C, z^{n} = 1}

des racines

n

-ièmes de l'unité,

(GL_{n} (K), \times)

(matrices inversibles) et le groupe symétrique

(S_{n}, \circ)

. Les deux derniers sont non abéliens :

GL_{n} (K)

dès

n \geq 2

S_{n}

dès

n \geq 3

— ce sont tes contre-exemples de référence.

📝 Règles de calcul. Dans un groupe : le neutre est unique, l'inverse de chaque élément est unique,

(x^{- 1})^{- 1} = x

(x y)^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1}

(attention à l'ordre !) et tout élément est régulier :

x a = x b \Rightarrow a = b

(on peut « simplifier », car on multiplie par

x^{- 1}

Définition 1.2 — Sous-groupe

Une partie $H$ d'un groupe $(G, *)$ est un sous-groupe si $H$ contient le neutre $e$ , est stable par $*$ et stable par passage à l'inverse. Muni de la loi induite, $H$ est alors lui-même un groupe.

Proposition 1.3 — Caractérisation express des sous-groupes

$H \subset G$ est un sous-groupe si et seulement si :

H \neq = \emptyset et \forall (x, y) \in H^{2}, x * y^{- 1} \in H .

En pratique, la non-vacuité se vérifie toujours en montrant $e \in H$ .

📐 Méthode-type — Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ .

Inclusion. Vérifier $H \subset G$ (souvent immédiat, mais à écrire).
Neutre. Montrer $e \in H$ (cela règle la non-vacuité).
Stabilité. Prendre $x, y \in H$ quelconques et montrer $x * y^{- 1} \in H$ (ou séparément $x * y \in H$ et $x^{- 1} \in H$ ).
Conclure en citant la caractérisation des sous-groupes. Ne jamais re-démontrer l'associativité : elle est héritée de $G$ .

⚠ Piège — L'union de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe.

2 Z \cup 3 Z

n'est pas un sous-groupe de

(Z, +)

2 + 3 = 5 \in / 2 Z \cup 3 Z

. En revanche, une intersection (même quelconque) de sous-groupes est toujours un sous-groupe. Résultat d'oral classique :

H \cup K

est un sous-groupe si et seulement si

H \subset K

K \subset H

Définition 1.4 — Sous-groupe engendré par une partie

Soit $A$ une partie d'un groupe $G$ . Le sous-groupe engendré par $A$ , noté $⟨ A ⟩$ , est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ — c'est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $A$ . Pour un singleton : $⟨ x ⟩ = {x^{k}, k \in Z}$ (en notation additive : ${k x, k \in Z}$ ).

Théorème 1.5 — Sous-groupes de ℤ ★ À savoir démontrer

Les sous-groupes de $(Z, +)$ sont exactement les $n Z = {nk, k \in Z}$ pour $n \in N$ .

Démonstration (division euclidienne — un classique absolu)

Chaque $n Z$ est bien un sous-groupe : il contient $0$ , et la différence de deux multiples de $n$ est un multiple de $n$ .

Réciproquement, soit $H$ un sous-groupe de $Z$ . Si $H = {0}$ , alors $H = 0 Z$ . Sinon, $H$ contient un élément non nul $x$ , et aussi $- x$ (stabilité par opposé), donc $H \cap N^{*}$ est une partie non vide de $N$ : elle admet un plus petit élément $n$ .

Montrons $H = n Z$ . D'abord $n Z \subset H$ car $H$ est stable par addition et opposé, donc contient tous les $k n$ . Ensuite, soit $x \in H$ : la division euclidienne de $x$ par $n$ s'écrit $x = q n + r$ avec $0 \leq r < n$ . Alors $r = x - q n \in H$ (différence de deux éléments de $H$ ). Par minimalité de $n$ dans $H \cap N^{*}$ , et comme $0 \leq r < n$ , on a forcément $r = 0$ , donc $x = q n \in n Z$ .

Conclusion : $H = n Z$ . L'entier $n$ est unique (c'est le plus petit élément strictement positif de $H$ quand $H \neq = {0}$ ).

📝 Pourquoi ce théorème est structurant. C'est lui qui fonde l'arithmétique du chapitre suivant : l'ensemble

a Z + b Z

est un sous-groupe de

Z

, donc de la forme

d Z

— et ce

d

est précisément

pgcd (a, b)

(théorème de Bézout). Le schéma de démonstration « plus petit élément strictement positif + division euclidienne » se recycle tel quel pour les idéaux de

K [X]

et le polynôme minimal en réduction.

2. Morphismes de groupes, noyau et image

Définition 2.1 — Morphisme de groupes

Soient $(G, *)$ et $(G^{'}, ⋆)$ deux groupes. Une application $f : G \to G^{'}$ est un morphisme de groupes si :

\forall (x, y) \in G^{2}, f (x * y) = f (x) ⋆ f (y) .

Un morphisme bijectif est un isomorphisme ; un morphisme de $G$ dans lui-même est un endomorphisme ; un isomorphisme de $G$ dans lui-même est un automorphisme.

Proposition 2.2 — Propriétés immédiates

Si $f : G \to G^{'}$ est un morphisme de groupes, alors :

$f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ ;
$\forall x \in G, f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ ;
$\forall x \in G, \forall k \in Z, f (x^{k}) = f (x)^{k}$ ;
la composée de deux morphismes est un morphisme, et la bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme.

Définition 2.3 — Noyau et image

Pour un morphisme $f : G \to G^{'}$ , on définit :

ker f = {x \in G, f (x) = e_{G^{'}}} = f^{- 1} ({e_{G^{'}}}), Im f = f (G) = {f (x), x \in G} .

Proposition 2.4 — Noyau et image sont des sous-groupes

$ker f$ est un sous-groupe de $G$ et $Im f$ est un sous-groupe de $G^{'}$ . Plus généralement, l'image directe d'un sous-groupe de $G$ et l'image réciproque d'un sous-groupe de $G^{'}$ sont des sous-groupes.

Théorème 2.5 — Injectivité et noyau ★ À savoir démontrer

Un morphisme de groupes $f : G \to G^{'}$ est injectif si et seulement si $ker f = {e_{G}}$ .

Démonstration (deux implications, 5 lignes chacune)

Sens direct. Supposons $f$ injectif. On sait que $f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ , donc $e_{G} \in ker f$ . Réciproquement, si $x \in ker f$ , alors $f (x) = e_{G^{'}} = f (e_{G})$ ; par injectivité, $x = e_{G}$ . D'où $ker f = {e_{G}}$ .

Sens réciproque. Supposons $ker f = {e_{G}}$ , et soient $x, y \in G$ tels que $f (x) = f (y)$ . Alors, comme $f$ est un morphisme :

f (x y^{- 1}) = f (x) f (y)^{- 1} = e_{G^{'}},

donc $x y^{- 1} \in ker f = {e_{G}}$ , c'est-à-dire $x y^{- 1} = e_{G}$ , soit $x = y$ . Ainsi $f$ est injectif.

⚠ Piège — Ce critère ne vaut QUE pour les morphismes. Pour une application quelconque, «

f^{- 1} ({e^{'}}) = {e}

» n'implique rien du tout sur l'injectivité. Avant d'invoquer

ker f = {e}

, tu dois avoir vérifié et rédigé que

f

est un morphisme de groupes — les correcteurs le signalent chaque année.

💡 Morphismes de référence.

exp : (R, +) \to (R_{+}^{*}, \times)

est un isomorphisme (de réciproque

ln

det : (GL_{n} (K), \times) \to (K^{*}, \times)

est un morphisme surjectif, de noyau

SL_{n} (K)

(matrices de déterminant 1). La signature

ε : (S_{n}, \circ) \to ({- 1, 1}, \times)

est un morphisme, de noyau le groupe alterné

A_{n}

θ \mapsto e^{i θ}

est un morphisme surjectif de

(R, +)

sur

(U, \times)

, de noyau

2 π Z

3. Le groupe ℤ/nℤ et les groupes cycliques

Définition 3.1 — Le groupe ℤ/nℤ

Soit $n \in N^{*}$ . La relation de congruence modulo $n$ ( $x \equiv y [n] ⟺ n ∣ x - y$ ) partage $Z$ en $n$ classes $\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}$ . L'ensemble quotient $Z / n Z = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \dots, \overline{n - 1}}$ , muni de l'addition $\overset{x}{ˉ} + \overset{y}{ˉ} = \overline{x + y}$ , est un groupe abélien de cardinal $n$ , de neutre $\overset{ˉ}{0}$ .

📝 Le point délicat : la loi est bien définie. L'écriture

\overset{x}{ˉ} + \overset{y}{ˉ} = \overline{x + y}

définit la somme de deux classes via des représentants : il faut vérifier que le résultat ne dépend pas des représentants choisis. Si

x^{'} \equiv x [n]

y^{'} \equiv y [n]

, alors

x^{'} + y^{'} \equiv x + y [n]

: c'est cette compatibilité qui légitime la définition. Savoir formuler cet argument est une question d'oral courante.

Définition 3.2 — Groupe monogène, groupe cyclique

Un groupe $G$ est monogène s'il est engendré par un seul élément : $\exists x \in G, G = ⟨ x ⟩$ . Un groupe monogène fini est dit cyclique. Tout groupe monogène est abélien.

💡 Exemples.

(Z, +) = ⟨ 1 ⟩

est monogène infini.

Z / n Z = ⟨ \overset{ˉ}{1} ⟩

est cyclique de cardinal

n

U_{n} = ⟨ e^{2 iπ / n} ⟩

est cyclique de cardinal

n

. En revanche

(Q, +)

n'est pas monogène (aucun rationnel seul n'engendre tout

Q

) et

S_{3}

n'est pas cyclique (il n'est pas abélien).

Théorème 3.3 — Générateurs de ℤ/nℤ ★ À savoir démontrer

$\overset{ˉ}{k}$ engendre $Z / n Z$ si et seulement si $k \land n = 1$ ( $k$ et $n$ premiers entre eux).

Démonstration (Bézout dans un sens, divisibilité dans l'autre)

Si $k \land n = 1$ . Par le théorème de Bézout, il existe $u, v \in Z$ tels que $u k + v n = 1$ . En passant aux classes modulo $n$ : $\overline{u k} = \overset{ˉ}{1}$ , c'est-à-dire $u \cdot \overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{1}$ . Donc $\overset{ˉ}{1} \in ⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩$ ; or $\overset{ˉ}{1}$ engendre $Z / n Z$ tout entier, donc $⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩ = Z / n Z$ .

Réciproquement, si $\overset{ˉ}{k}$ engendre $Z / n Z$ , alors $\overset{ˉ}{1} \in ⟨ \overset{ˉ}{k} ⟩$ : il existe $u \in Z$ tel que $u \overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{1}$ , c'est-à-dire $u k \equiv 1 [n]$ . Il existe donc $v \in Z$ tel que $u k + v n = 1$ : c'est une relation de Bézout, qui entraîne $k \land n = 1$ (tout diviseur commun de $k$ et $n$ divise $1$ ).

Corollaire 3.4 — Nombre de générateurs (l'indicatrice d'Euler est officiellement introduite au chapitre anneaux)

$Z / n Z$ possède exactement $φ (n)$ générateurs, où $φ$ est l'indicatrice d'Euler (nombre d'entiers de ${1, \dots, n}$ premiers avec $n$ ). De même, $U_{n}$ admet $φ (n)$ générateurs : les racines primitives $n$ -ièmes de l'unité $e^{2 ik π / n}$ avec $k \land n = 1$ .

Théorème 3.5 — Classification des groupes monogènes ★ À savoir démontrer

Soit $G = ⟨ x ⟩$ un groupe monogène.

Si $G$ est infini, alors $G$ est isomorphe à $(Z, +)$ .
Si $G$ est fini de cardinal $n$ , alors $G$ est isomorphe à $(Z / n Z, +)$ .

Démonstration (via le morphisme k ↦ x^k)

Considérons l'application $f : (Z, +) \to G$ , $k \mapsto x^{k}$ . C'est un morphisme de groupes car $x^{k + l} = x^{k} x^{l}$ , et il est surjectif puisque $G = ⟨ x ⟩ = {x^{k}, k \in Z}$ .

Son noyau $ker f$ est un sous-groupe de $Z$ , donc (théorème 1.5) de la forme $d Z$ avec $d \in N$ .

Cas $d = 0$ . $ker f = {0}$ , donc $f$ est injectif (théorème 2.5), donc bijectif de $Z$ sur $G$ : $G ≃ Z$ , et $G$ est infini.

Cas $d \geq 1$ . Définissons $\tilde{f} : Z / d Z \to G$ par $\tilde{f} (\overset{ˉ}{k}) = x^{k}$ . Cette définition est légitime : si $\overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{l}$ , alors $k - l \in d Z = ker f$ , donc $x^{k - l} = e$ et $x^{k} = x^{l}$ . L'application $\tilde{f}$ est un morphisme surjectif (comme $f$ ), et elle est injective : si $\tilde{f} (\overset{ˉ}{k}) = e$ , alors $k \in ker f = d Z$ , donc $\overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{0}$ . Ainsi $G ≃ Z / d Z$ , et en comparant les cardinaux, $d = n$ .

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4. Ordre d'un élément

Définition 4.1 — Ordre d'un élément

Soit $x$ un élément d'un groupe $G$ . On dit que $x$ est d'ordre fini s'il existe $k \in N^{*}$ tel que $x^{k} = e$ . L'ordre de $x$ est alors le plus petit entier $d \in N^{*}$ tel que $x^{d} = e$ . Si aucun tel entier n'existe, $x$ est dit d'ordre infini.

Proposition 4.2 — Ordre et sous-groupe engendré

Si $x$ est d'ordre fini $d$ , alors $⟨ x ⟩ = {e, x, x^{2}, \dots, x^{d - 1}}$ et ces $d$ éléments sont deux à deux distincts : l'ordre de $x$ est le cardinal de $⟨ x ⟩$ . De plus, $⟨ x ⟩$ est cyclique, isomorphe à $Z / d Z$ .

Théorème 4.3 — Caractérisation de l'ordre ★ À savoir démontrer

Soit $x$ d'ordre fini $d$ . Alors pour tout $k \in Z$ :

x^{k} = e ⟺ d ∣ k .

Démonstration (division euclidienne, encore elle)

Sens réciproque. Si $k = q d$ , alors $x^{k} = (x^{d})^{q} = e^{q} = e$ .

Sens direct. Supposons $x^{k} = e$ . La division euclidienne de $k$ par $d$ s'écrit $k = q d + r$ avec $0 \leq r < d$ . Alors :

e = x^{k} = x^{q d + r} = (x^{d})^{q} x^{r} = x^{r} .

Ainsi $x^{r} = e$ avec $0 \leq r < d$ : par minimalité de l'ordre $d$ (plus petit entier strictement positif tel que $x^{d} = e$ ), on a nécessairement $r = 0$ , donc $d ∣ k$ .

Autre formulation : l'ensemble ${k \in Z, x^{k} = e}$ est le noyau du morphisme $k \mapsto x^{k}$ , c'est un sous-groupe de $Z$ , donc de la forme $d Z$ — et son générateur positif est exactement l'ordre de $x$ .

Théorème 4.4 — Théorème de Lagrange (version « ordre d'un élément »)

Dans un groupe fini $G$ , tout élément est d'ordre fini et l'ordre de tout élément divise le cardinal de $G$ . En particulier : $\forall x \in G, x^{Card (G)} = e$ .

(La démonstration générale — via les classes à gauche — est explicitement non exigible au programme MP ; l'énoncé, lui, doit être connu et cité correctement.)

💡 Exemple complet — Ordres dans ℤ/12ℤ. Dans

(Z /12 Z, +)

, l'ordre de

\overset{ˉ}{k}

vaut

\frac{12}{12 \land k}

. Ainsi

\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{7}, \overline{11}

sont d'ordre 12 (les

φ (12) = 4

générateurs),

\overset{ˉ}{2}

\overline{10}

d'ordre 6,

\overset{ˉ}{3}

\overset{ˉ}{9}

d'ordre 4,

\overset{ˉ}{4}

\overset{ˉ}{8}

d'ordre 3,

\overset{ˉ}{6}

d'ordre 2, et

\overset{ˉ}{0}

d'ordre 1. Tous ces ordres divisent bien 12 — illustration directe de Lagrange.

📐 Méthode-type — Déterminer l'ordre d'un élément $x$ d'un groupe fini.

Borner. Par Lagrange, l'ordre divise $Card (G)$ : liste les diviseurs de $Card (G)$ — ce sont les seuls candidats.
Tester dans l'ordre croissant. Calcule $x^{d}$ pour chaque diviseur $d$ candidat, en t'arrêtant au premier qui donne $e$ .
Optimiser. Il suffit en fait de tester les $d = Card (G) / p$ pour chaque facteur premier $p$ de $Card (G)$ : si $x^{n / p} \neq = e$ pour tous ces $p$ , alors $x$ est d'ordre $n = Card (G)$ exactement.
Cas particuliers utiles. Dans $Z / n Z$ , l'ordre de $\overset{ˉ}{k}$ est $n / (n \land k)$ . Dans $U_{n}$ , l'ordre de $e^{2 ik π / n}$ est aussi $n / (n \land k)$ .

⚠ Piège — « $x^{n} = e$ donc $x$ est d'ordre $n$ » est FAUX.

x^{n} = e

dit seulement que l'ordre de

x

divise

n

. Exemple : dans

U_{4}

i^{8} = 1

mais

i

est d'ordre 4, pas 8 ; et

(- 1)^{4} = 1

mais

- 1

est d'ordre 2. Pour conclure « ordre

= n

», il faut EN PLUS vérifier que

x^{k} \neq = e

pour tout diviseur strict

k

n

⚠ Piège — L'ordre d'un produit n'est pas le ppcm des ordres. Dans un groupe abélien, si

x

y

sont d'ordres

p

q

premiers entre eux, alors

x y

est d'ordre

pq

— résultat utile et vrai. Mais sans commutativité, tout peut arriver : dans

S_{3}

, deux transpositions sont d'ordre 2 et leur produit est un 3-cycle, d'ordre 3 (et dans

GL_{2} (R)

on peut fabriquer deux éléments d'ordre fini dont le produit est d'ordre infini).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) reviennent chaque année sur les mêmes maladresses dans les questions de structures algébriques. Chacune coûte entre 0,5 et 2 points — et surtout, elle signale au correcteur une compréhension fragile.

⚠ Erreur 1 — Oublier le neutre (ou la non-vacuité) dans une preuve de sous-groupe. Montrer la stabilité par

x y^{- 1}

ne suffit pas : la caractérisation exige

H \neq = \emptyset

, et le réflexe attendu est d'exhiber

e \in H

. Une preuve de sous-groupe sans cette ligne est considérée comme incomplète par tous les jurys.

⚠ Erreur 2 — Utiliser $ker f = {e} \Rightarrow f$ injective sans avoir établi que $f$ est un morphisme. Le critère du noyau est un privilège des morphismes de groupes. Il faut donc rédiger dans cet ordre : (1)

f

est un morphisme (calcul de

f (x y)

), (2) calcul du noyau, (3) conclusion. Sauter l'étape (1) invalide toute la suite.

⚠ Erreur 3 — Diviser dans ℤ/nℤ comme dans ℝ. Écrire «

2 \overset{x}{ˉ} = 2 \overset{y}{ˉ}

donc

\overset{x}{ˉ} = \overset{y}{ˉ}

» est faux en général : dans

Z /12 Z

2 \cdot \overset{ˉ}{3} = 2 \cdot \overset{ˉ}{9} = \overset{ˉ}{6}

alors que

\overset{ˉ}{3} \neq = \overset{ˉ}{9}

. On ne peut « simplifier par

k

» que si

k \land n = 1

. De même,

\overset{x}{ˉ}^{2} = \overset{x}{ˉ}

n'implique pas

\overset{x}{ˉ} \in {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}}

(penser à

\overset{ˉ}{4}

dans

Z /12 Z

... qui vérifie

\overset{ˉ}{4}^{2} = \overset{ˉ}{4}

⚠ Erreur 4 — Confondre « ordre d'un élément » et « cardinal du groupe ». L'ordre de

x

est le cardinal de

⟨ x ⟩

, pas celui de

G

. Les deux ne coïncident que si

x

engendre

G

(groupe cyclique). Écrire «

G

est d'ordre

n

donc

x^{n} = e

» est correct (Lagrange), mais écrire « donc

x

est d'ordre

n

» est une faute.

⚠ Erreur 5 — Parler du « groupe $(Z / n Z, \times)$ ».

(Z / n Z, \times)

n'est PAS un groupe :

\overset{ˉ}{0}

n'a pas d'inverse, et les classes non premières avec

n

non plus. La structure multiplicative intéressante est celle des inversibles, notée

(Z / n Z)^{\times}

— elle sera étudiée au chapitre anneaux. En attendant, précise toujours la loi :

(Z / n Z, +)

6. Pour aller plus loin

Les groupes sont le socle de toute l'algèbre de MP — les chapitres suivants les réinvestissent en permanence :

Anneaux, corps et arithmétique — la structure d'anneau superpose deux lois ; les idéaux de $Z$ reprennent mot pour mot la démonstration des sous-groupes $n Z$ , et $(Z / n Z)^{\times}$ donne le théorème d'Euler.
Réduction des endomorphismes — l'ensemble ${k \in Z, A^{k} = I_{n}}$ pour une matrice $A$ est un sous-groupe de $Z$ ; l'ordre d'une matrice inversible et les polynômes annulateurs prolongent directement la notion d'ordre d'un élément.
Endomorphismes des espaces euclidiens — le groupe orthogonal $O (E)$ et son sous-groupe $S O (E)$ (noyau du morphisme déterminant) sont les groupes « géométriques » du programme.
Oraux X-ENS et Mines — les exercices de groupes (sous-groupes de $R$ , groupes d'ordre premier, automorphismes de $Z / n Z$ ) sont un vivier d'oral inépuisable, précisément parce qu'ils ne demandent que ce chapitre.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu réciter la définition d'un groupe et donner cinq exemples dont un non abélien ?
Sais-tu rédiger en quatre étapes une preuve de sous-groupe (inclusion, neutre, stabilité par $x y^{- 1}$ , conclusion) ?
Sais-tu démontrer que les sous-groupes de $Z$ sont exactement les $n Z$ ?
Sais-tu pourquoi une union de sous-groupes n'est presque jamais un sous-groupe (contre-exemple à l'appui) ?
Sais-tu démontrer qu'un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est trivial ?
Connais-tu les morphismes de référence ( $exp$ , $det$ , signature, $θ \mapsto e^{i θ}$ ) avec leurs noyaux ?
Sais-tu expliquer pourquoi l'addition de $Z / n Z$ est bien définie (indépendance des représentants) ?
Sais-tu démontrer que $\overset{ˉ}{k}$ engendre $Z / n Z$ si et seulement si $k \land n = 1$ ?
Sais-tu classifier les groupes monogènes (isomorphes à $Z$ ou à $Z / n Z$ ) via le morphisme $k \mapsto x^{k}$ ?
Sais-tu démontrer l'équivalence $x^{k} = e ⟺ d ∣ k$ où $d$ est l'ordre de $x$ ?
Sais-tu énoncer le théorème de Lagrange et calculer l'ordre de n'importe quel $\overset{ˉ}{k}$ dans $Z / n Z$ ?
Connais-tu les deux pièges sur l'ordre ( $x^{n} = e$ n'implique pas ordre $n$ ; l'ordre d'un produit n'est pas le ppcm en général) ?

Démonstrations à savoir refaire

Sous-groupes de ℤ — plus petit élément strictement positif + division euclidienne
Injectivité et noyau trivial — double implication via $f (x y^{- 1}) = e^{'}$
Générateurs de ℤ/nℤ — Bézout dans un sens, relation de Bézout dans l'autre
Classification des groupes monogènes — morphisme $k \mapsto x^{k}$ , noyau $d Z$ , passage au quotient
Caractérisation de l'ordre — division euclidienne + minimalité de l'ordre

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Groupes et sous-groupes

2. Morphismes de groupes, noyau et image

3. Le groupe ℤ/nℤ et les groupes cycliques

4. Ordre d'un élément

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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