Anneaux, corps et arithmétique

Vue d'ensemble

Après les groupes, on superpose une deuxième loi : l'anneau est la structure du calcul algébrique (addition ET multiplication), et le corps celle de la division. Ce chapitre contient l'arithmétique modulaire de MP — inversibles de $Z / n Z$ , théorème chinois, théorèmes d'Euler et de Fermat — qui alimente chaque année les sujets (X-ENS et Mines en tête) et les questions d'oral sur les congruences. Il introduit aussi les idéaux, dont la description dans $Z$ et $K [X]$ fonde le polynôme minimal du chapitre de réduction. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 5 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Structures algébriques usuelles, partie anneaux : anneaux et sous-anneaux, morphismes d'anneaux, anneaux intègres, corps, idéaux d'un anneau commutatif, idéaux de ℤ et de K[X], l'anneau ℤ/nℤ et ses inversibles, théorème chinois, indicatrice d'Euler, théorème d'Euler, structure d'algèbre.

Prérequis

Chapitre groupes : sous-groupes de $Z$ , morphismes, $Z / n Z$ , ordre d'un élément
Arithmétique de sup : Bézout, Gauss, décomposition en facteurs premiers
Polynômes de sup : division euclidienne dans $K [X]$

🎯 Accompagnement Majorant

Les congruences te font perdre un temps fou en DS ? L'arithmétique modulaire est une affaire de réflexes : Bézout, Euclide étendu, chinois, Euler. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font travailler les automatismes sur des questions de concours réelles, jusqu'à diviser ton temps de résolution par deux.

Trouver un mentor MP →

1. Anneaux, anneaux intègres, corps

Définition 1.1 — Anneau, sous-anneau

Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ tel que $(A, +)$ est un groupe abélien (neutre $0_{A}$ ), $\times$ est associative, admet un neutre $1_{A}$ , et est distributive sur $+$ . L'anneau est commutatif si $\times$ l'est. Un sous-anneau est une partie contenant $1_{A}$ , stable par différence et par produit.

💡 Exemples fondamentaux.

(Z, +, \times)

(K [X], +, \times)

(Z / n Z, +, \times)

(M_{n} (K), +, \times)

(non commutatif dès

n \geq 2

(F (X, R), +, \times)

. Règles de calcul :

0_{A} \cdot a = 0_{A}

(- a) b = - (ab)

, et si

a

b

commutent, binôme de Newton

(a + b)^{n} = \sum_{k} (k n) a^{k} b^{n - k}

a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{n - 1 - k}

. Dans

M_{n} (K)

, ces identités sont fausses sans commutation !

Définition 1.2 — Éléments inversibles (unités)

$a \in A$ est inversible s'il existe $b \in A$ tel que $ab = ba = 1_{A}$ . L'ensemble $A^{\times}$ (ou $U (A)$ ) des inversibles, muni de $\times$ , est un groupe — le groupe des unités de $A$ . Exemples : $Z^{\times} = {- 1, 1}$ , $K [X]^{\times} = K^{*}$ (polynômes constants non nuls), $M_{n} (K)^{\times} = GL_{n} (K)$ .

Définition 1.3 — Anneau intègre

Un anneau commutatif $A$ , non réduit à ${0}$ , est intègre s'il est sans diviseur de zéro :

\forall (a, b) \in A^{2}, ab = 0 ⟹ a = 0 ou b = 0.

Définition 1.4 — Corps

Un corps est un anneau commutatif, non réduit à ${0}$ , dont tout élément non nul est inversible : $K^{\times} = K ∖ {0}$ . Exemples : $Q$ , $R$ , $C$ , $K (X)$ (fractions rationnelles), et $Z / p Z$ pour $p$ premier (corollaire 3.2).

Proposition 1.5 — Tout corps est intègre ★ À savoir démontrer

Un corps est un anneau intègre. La réciproque est fausse ( $Z$ est intègre sans être un corps).

Démonstration (3 lignes)

Soit $K$ un corps et $a, b \in K$ avec $ab = 0$ et $a \neq = 0$ . Alors $a$ est inversible, et en multipliant à gauche par $a^{- 1}$ : $b = a^{- 1} (ab) = a^{- 1} \cdot 0 = 0$ . Donc $ab = 0$ implique $a = 0$ ou $b = 0$ : $K$ est intègre. Contre-exemple à la réciproque : dans $Z$ , seuls $\pm 1$ sont inversibles, mais $ab = 0 \Rightarrow a = 0$ ou $b = 0$ .

⚠ Piège — Simplifier sans intégrité. Dans

Z /12 Z

\overset{ˉ}{4} \cdot \overset{ˉ}{3} = \overset{ˉ}{0}

avec

\overset{ˉ}{4} \neq = \overset{ˉ}{0}

\overset{ˉ}{3} \neq = \overset{ˉ}{0}

: il y a des diviseurs de zéro, on ne peut PAS simplifier une égalité

a x = a y

par

a

en général. Même vigilance dans

M_{n} (K)

A B = 0

n'implique pas

A = 0

B = 0

. Avant toute simplification : « est-ce que je suis dans un anneau intègre ?

a

est-il inversible ? »

2. Idéaux d'un anneau commutatif

Définition 2.1 — Idéal

Une partie $I$ d'un anneau commutatif $A$ est un idéal si :

$(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
$I$ est absorbant pour le produit : $\forall a \in A, \forall x \in I, a x \in I$ .

Exemples : ${0}$ et $A$ ; l'ensemble $a A = {a x, x \in A}$ des multiples de $a$ (idéal engendré par $a$ , dit principal).

Proposition 2.2 — Noyau d'un morphisme d'anneaux

Si $f : A \to B$ est un morphisme d'anneaux (additif, multiplicatif, $f (1_{A}) = 1_{B}$ ), alors $ker f$ est un idéal de $A$ — et $Im f$ est un sous-anneau de $B$ . De plus, un idéal contenant un élément inversible (en particulier $1_{A}$ ) est égal à $A$ tout entier — c'est pourquoi un corps n'a que les deux idéaux triviaux ${0}$ et $K$ .

Théorème 2.3 — Idéaux de ℤ et de K[X] ★ À savoir démontrer

Tous les idéaux de $Z$ et de $K [X]$ sont principaux :

les idéaux de $Z$ sont les $n Z$ , $n \in N$ ;
les idéaux de $K [X]$ sont les $P K [X]$ ; pour un idéal non nul, on peut choisir $P$ unitaire, et il est alors unique.

Démonstration (cas de K[X] — même schéma que dans ℤ)

Soit $I$ un idéal non nul de $K [X]$ . L'ensemble des degrés des éléments non nuls de $I$ est une partie non vide de $N$ : elle admet un plus petit élément. Soit $P \in I$ non nul de degré minimal, que l'on peut prendre unitaire (quitte à diviser par son coefficient dominant — l'idéal est stable par multiplication par un scalaire).

$P K [X] \subset I$ : clair par absorption. Réciproquement, soit $F \in I$ . La division euclidienne de $F$ par $P$ s'écrit $F = P Q + R$ avec $de g R < de g P$ . Alors :

R = F - P Q \in I

(différence d'éléments de $I$ , car $P Q \in I$ par absorption). Par minimalité du degré de $P$ dans $I ∖ {0}$ , et comme $de g R < de g P$ , on a nécessairement $R = 0$ , donc $F = P Q \in P K [X]$ .

Unicité du générateur unitaire : si $P K [X] = Q K [X]$ avec $P, Q$ unitaires, alors $P ∣ Q$ et $Q ∣ P$ , donc $P = λ Q$ avec $λ \in K^{*}$ ; l'unitarité force $λ = 1$ . Le cas de $Z$ se traite mot pour mot avec la valeur absolue à la place du degré.

📝 Pourquoi les idéaux sont au programme. C'est LA notion qui unifie l'arithmétique :

a Z + b Z = d Z

définit

d = pgcd (a, b)

et donne Bézout gratuitement ; en réduction, l'ensemble des polynômes annulateurs d'un endomorphisme est un idéal de

K [X]

, dont le générateur unitaire est le polynôme minimal. Le schéma de démonstration « élément minimal + division euclidienne » est exactement celui des sous-groupes de

Z

— troisième apparition, à savoir refaire dans les trois contextes.

3. L'anneau ℤ/nℤ et ses inversibles

$(Z / n Z, +, \times)$ est un anneau commutatif (les deux lois quotient sont bien définies, comme au chapitre groupes). Toute la question est : qui est inversible ?

Théorème 3.1 — Inversibles de ℤ/nℤ ★ À savoir démontrer

$\overset{ˉ}{k}$ est inversible dans $Z / n Z$ si et seulement si $k \land n = 1$ . Le groupe des inversibles est noté $(Z / n Z)^{\times}$ .

Démonstration (Bézout dans les deux sens)

Si $k \land n = 1$ : Bézout fournit $u, v \in Z$ tels que $u k + v n = 1$ . Modulo $n$ : $\overset{u}{ˉ} \overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{1}$ , donc $\overset{ˉ}{k}$ est inversible, d'inverse $\overset{u}{ˉ}$ .

Réciproquement, si $\overset{u}{ˉ} \overset{ˉ}{k} = \overset{ˉ}{1}$ pour un certain $u$ , alors $u k \equiv 1 [n]$ : il existe $v$ tel que $u k + v n = 1$ , relation de Bézout qui force $k \land n = 1$ .

En pratique, l'inverse se calcule par l'algorithme d'Euclide étendu (remontée des divisions euclidiennes jusqu'à la relation de Bézout).

Corollaire 3.2 — ℤ/pℤ est un corps si et seulement si p est premier

Si $p$ est premier, tout $\overset{ˉ}{k} \neq = \overset{ˉ}{0}$ vérifie $k \land p = 1$ , donc est inversible : $Z / p Z$ est un corps (souvent noté $F_{p}$ ). Si $n = ab$ est composé ( $1 < a, b < n$ ), alors $\overset{a}{ˉ} \overset{ˉ}{b} = \overset{ˉ}{0}$ avec $\overset{a}{ˉ}, \overset{ˉ}{b} \neq = \overset{ˉ}{0}$ : $Z / n Z$ n'est même pas intègre.

📐 Méthode-type — Inverser $\overset{ˉ}{k}$ dans ℤ/nℤ (Euclide étendu).

Dérouler l'algorithme d'Euclide sur $(n, k)$ jusqu'au reste 1 (qui doit apparaître puisque $k \land n = 1$ ).
Remonter les égalités pour écrire $1 = u k + v n$ .
Conclure : $\overset{ˉ}{k}^{- 1} = \overset{u}{ˉ}$ . Vérification express : calculer $u k mod n$ , qui doit valoir 1.
Exemple : inverse de $\overline{7}$ dans $Z /26 Z$ : $26 = 3 \times 7 + 5$ , $7 = 1 \times 5 + 2$ , $5 = 2 \times 2 + 1$ . Remontée : $1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2 (7 - 5) = 3 \times 5 - 2 \times 7 = 3 (26 - 3 \times 7) - 2 \times 7 = 3 \times 26 - 11 \times 7$ . Donc $\overline{7}^{- 1} = \overline{- 11} = \overline{15}$ (contrôle : $7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1$ ✓).

4. Le théorème chinois

Théorème 4.1 — Théorème chinois ★ À savoir démontrer

Si $m \land n = 1$ , l'application

ψ : Z / mn Z ⟶ Z / m Z \times Z / n Z, \overset{x}{ˉ} ⟼ (x mod m, x mod n)

est un isomorphisme d'anneaux.

Démonstration (morphisme bien défini + injectivité + cardinaux)

Bonne définition et morphisme. Si $x \equiv y [mn]$ , alors $mn ∣ x - y$ , donc $m ∣ x - y$ et $n ∣ x - y$ : les classes de $x$ modulo $m$ et $n$ ne dépendent que de $\overset{x}{ˉ}$ . La compatibilité avec $+$ et $\times$ est immédiate composante par composante, et $ψ (\overset{ˉ}{1}) = (\overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{1})$ .

Injectivité. Si $ψ (\overset{x}{ˉ}) = (\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{0})$ , alors $m ∣ x$ et $n ∣ x$ . Comme $m \land n = 1$ , le lemme de Gauss donne $mn ∣ x$ , c'est-à-dire $\overset{x}{ˉ} = \overset{ˉ}{0}$ dans $Z / mn Z$ . Le noyau est trivial : $ψ$ est injectif.

Bijectivité. Les deux ensembles ont le même cardinal fini $mn$ : une injection entre ensembles finis de même cardinal est bijective.

Où sert l'hypothèse $m \land n = 1$ ? Uniquement dans Gauss — et elle est indispensable : pour $m = n = 2$ , $Z /4 Z$ (qui a un élément d'ordre 4) n'est pas isomorphe à $Z /2 Z \times Z /2 Z$ (tous les éléments d'ordre $\leq 2$ ).

📐 Méthode-type — Résoudre un système de congruences. Pour

x \equiv a [m]

x \equiv b [n]

avec

m \land n = 1

Bézout : trouver $u, v$ tels que $u m + v n = 1$ (Euclide étendu).
Solution particulière : $x_{0} = b u m + a v n$ . (Contrôle mental : modulo $m$ , $v n \equiv 1$ donc $x_{0} \equiv a$ ; modulo $n$ , $u m \equiv 1$ donc $x_{0} \equiv b$ .)
Solution générale : $x \equiv x_{0} [mn]$ — unicité modulo $mn$ garantie par le théorème chinois.

💡 Exemple complet. Résoudre

x \equiv 2 [5]

x \equiv 3 [7]

. Bézout :

3 \times 5 - 2 \times 7 = 1

(donc

u = 3

v = - 2

). Solution particulière :

x_{0} = 3 \times (3 \times 5) + 2 \times (- 2 \times 7) = 45 - 28 = 17

. Contrôle :

17 = 3 \times 5 + 2 \equiv 2 [5]

✓ et

17 = 2 \times 7 + 3 \equiv 3 [7]

✓. Réponse :

x \equiv 17 [35]

🧑‍🏫 Automatise le chinois avec un mentor

Tu sais énoncer le théorème chinois mais tu rates la reconstruction ? C'est l'écart classique entre « connaître » et « savoir faire ». Un mentor Majorant te fait résoudre une série de systèmes de congruences chronométrés, avec la rédaction concours, jusqu'à l'exécution sans faute.

Réserver une séance ciblée →

5. Indicatrice d'Euler, théorèmes d'Euler et de Fermat

Définition 5.1 — Indicatrice d'Euler

$φ (n)$ est le nombre d'entiers de ${1, \dots, n}$ premiers avec $n$ — c'est-à-dire le cardinal du groupe $(Z / n Z)^{\times}$ (théorème 3.1), et aussi le nombre de générateurs du groupe cyclique $Z / n Z$ (chapitre groupes).

Proposition 5.2 — Calcul de l'indicatrice

Pour $p$ premier et $α \geq 1$ : $φ (p^{α}) = p^{α} - p^{α - 1} = p^{α} (1 - \frac{1}{p})$ (on retire les multiples de $p$ ).
Si $m \land n = 1$ : $φ (mn) = φ (m) φ (n)$ (le théorème chinois induit un isomorphisme entre groupes d'inversibles $(Z / mn Z)^{\times} ≃ (Z / m Z)^{\times} \times (Z / n Z)^{\times}$ ).
D'où, pour $n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{r}^{α_{r}}$ : $φ (n) = n i = 1 \prod r (1 - \frac{1}{p _{i}})$ . Exemple : $φ (60) = 60 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 16$ .

Théorème 5.3 — Théorème d'Euler ★ À savoir démontrer

Si $a \land n = 1$ , alors :

a^{φ (n)} \equiv 1 [n] .

Démonstration (Lagrange dans le groupe des inversibles)

Puisque $a \land n = 1$ , la classe $\overset{a}{ˉ}$ appartient au groupe $G = (Z / n Z)^{\times}$ , qui est un groupe fini de cardinal $φ (n)$ .

Par le théorème de Lagrange (chapitre groupes : dans un groupe fini, l'ordre de tout élément divise le cardinal, et $x^{Card (G)} = e$ pour tout $x$ ) :

\overset{a}{ˉ}^{φ (n)} = \overset{ˉ}{1} dans (Z / n Z)^{\times},

ce qui se relit exactement $a^{φ (n)} \equiv 1 [n]$ .

Corollaire 5.4 — Petit théorème de Fermat

Pour $p$ premier : si $p ∤ a$ , alors $a^{p - 1} \equiv 1 [p]$ (cas $φ (p) = p - 1$ ) ; et pour tout $a \in Z$ , $a^{p} \equiv a [p]$ .

💡 Exemple — Réduire une puissance monstrueuse. Calculer

7^{2026} mod 60

. On a

7 \land 60 = 1

φ (60) = 16

, donc

7^{16} \equiv 1 [60]

(Euler). Division :

2026 = 126 \times 16 + 10

, donc

7^{2026} \equiv 7^{10} [60]

. Puis exponentiation rapide :

7^{2} = 49

7^{4} = 4 9^{2} = 2401 = 40 \times 60 + 1 \equiv 1 [60]

— tiens, l'ordre de

\overset{ˉ}{7}

est en fait 4 (il divise bien

φ (60) = 16

). D'où

7^{10} = (7^{4})^{2} \cdot 7^{2} \equiv 49 [60]

. Moralité : Euler donne un exposant qui marche, l'ordre peut être plus petit — toujours le chercher.

⚠ Piège — Euler exige $a \land n = 1$ .

a^{φ (n)} \equiv 1 [n]

est FAUX sans cette hypothèse :

6^{φ (4)} = 6^{2} = 36 \equiv 0 [4]

, pas 1. De même la forme

a^{p - 1} \equiv 1 [p]

de Fermat exige

p ∤ a

— seule la forme

a^{p} \equiv a [p]

est universelle. Vérifier l'hypothèse de coprimalité AVANT d'invoquer Euler est un point de rédaction que les jurys regardent.

6. Structure d'algèbre

Définition 6.1 — Algèbre sur un corps 𝕂

Une $K$ -algèbre est un ensemble $A$ muni de trois lois $(+, \cdot, \times)$ tel que : $(A, +, \cdot)$ est un $K$ -espace vectoriel, $(A, +, \times)$ est un anneau, et les structures sont compatibles :

\forall λ \in K, \forall (x, y) \in A^{2}, λ \cdot (x \times y) = (λ \cdot x) \times y = x \times (λ \cdot y) .

Exemples au programme : $K [X]$ , $M_{n} (K)$ , $L (E)$ (endomorphismes, produit = composition), $F (X, K)$ . Une sous-algèbre est une partie contenant $1_{A}$ , qui est à la fois sous-espace vectoriel et stable par produit ; un morphisme d'algèbres est linéaire, multiplicatif et envoie $1_{A}$ sur $1_{B}$ .

📝 À quoi ça sert dès cette année. L'application

P \mapsto P (u)

, de

K [X]

dans

L (E)

, est LE morphisme d'algèbres du programme : son image est la sous-algèbre

K [u]

, son noyau est l'idéal des polynômes annulateurs de

u

— dont le générateur unitaire est le polynôme minimal. Tout le chapitre « polynômes d'endomorphismes » de la réduction est une application directe de cette section.

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les questions d'arithmétique et de structures sont réputées « faciles » — c'est précisément pourquoi les jurys y sont intraitables sur la rédaction. Erreurs récurrentes des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Simplifier par un élément non inversible. «

\overset{a}{ˉ} \overset{x}{ˉ} = \overset{a}{ˉ} \overset{y}{ˉ}

donc

\overset{x}{ˉ} = \overset{y}{ˉ}

» n'est valable que si

\overset{a}{ˉ}

est inversible (

a \land n = 1

). Dans

Z /12 Z

\overset{ˉ}{4} \cdot \overset{ˉ}{2} = \overset{ˉ}{4} \cdot \overset{ˉ}{5} = \overset{ˉ}{8}

alors que

\overset{ˉ}{2} \neq = \overset{ˉ}{5}

⚠ Erreur 2 — Invoquer Euler ou Fermat sans vérifier la coprimalité. L'hypothèse

a \land n = 1

(ou

p ∤ a

) doit être écrite et vérifiée. Les correcteurs signalent chaque année des «

a^{p - 1} \equiv 1

» appliqués à des multiples de

p

⚠ Erreur 3 — Utiliser le théorème chinois avec des modules non premiers entre eux.

Z /4 Z \neq ≃ Z /2 Z \times Z /2 Z

: l'hypothèse

m \land n = 1

est indispensable (et sa place exacte dans la démo — le lemme de Gauss — est une question d'oral classique).

⚠ Erreur 4 — Oublier $1_{A}$ dans un sous-anneau ou une sous-algèbre. Contrairement au sous-groupe, le sous-anneau doit contenir le neutre multiplicatif.

2 Z

est un idéal de

Z

mais PAS un sous-anneau (il ne contient pas 1). Confondre idéal et sous-anneau est une erreur de définition sanctionnée d'office.

⚠ Erreur 5 — Croire que l'ordre de $\overset{a}{ˉ}$ vaut $φ (n)$ . Euler dit que l'ordre de

\overset{a}{ˉ}

dans

(Z / n Z)^{\times}

divise

φ (n)

, pas qu'il lui est égal (cf.

\overset{ˉ}{7}

d'ordre 4 dans

(Z /60 Z)^{\times}

alors que

φ (60) = 16

). Pour trouver l'ordre exact : tester les diviseurs de

φ (n)

8. Pour aller plus loin

Ce chapitre clôt les structures et ouvre sur les deux gros massifs algébriques de l'année :

Réduction des endomorphismes — le morphisme d'algèbres $P \mapsto P (u)$ , l'idéal annulateur et le polynôme minimal (générateur unitaire, via le théorème 2.3) sont les fondations du lemme des noyaux et de Cayley-Hamilton.
Probabilités — les calculs dans $Z / n Z$ et le dénombrement des inversibles (indicatrice d'Euler) apparaissent dans les exercices de probabilités arithmétiques (X-ENS).
Oraux et écrits — cryptographie RSA (chiffrer = élever à une puissance modulo $n = pq$ , déchiffrer = théorème d'Euler), codes correcteurs sur $F_{p}$ : les sujets « appliqués » d'X-ENS et Centrale recyclent exactement les théorèmes de cette fiche.
Familles sommables et séries — la fonction indicatrice d'Euler réapparaît dans les exercices sur les séries de Dirichlet (culture, hors programme).

🚀 Stage intensif Majorant

Groupes, anneaux, réduction : le bloc algèbre se travaille d'un seul tenant. Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) le balayent avec exos type concours, khôlles blanches et plan de révision personnalisé — encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines.

Voir les stages MP →

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu réciter les définitions d'anneau, de sous-anneau, d'anneau intègre et de corps avec les exemples canoniques ?
Sais-tu démontrer que tout corps est intègre, et donner le contre-exemple à la réciproque ?
Sais-tu quand le binôme de Newton est valable dans un anneau (commutation !) ?
Sais-tu définir un idéal et démontrer que le noyau d'un morphisme d'anneaux en est un ?
Sais-tu démontrer que tout idéal de $K [X]$ est principal, de générateur unitaire unique ?
Sais-tu démontrer que $\overset{ˉ}{k}$ est inversible dans $Z / n Z$ ssi $k \land n = 1$ , et calculer un inverse par Euclide étendu ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème chinois, en localisant où sert l'hypothèse $m \land n = 1$ ?
Sais-tu résoudre un système de congruences en 3 étapes (Bézout, solution particulière, unicité modulo $mn$ ) ?
Sais-tu calculer $φ (n)$ à partir de la décomposition en facteurs premiers ?
Sais-tu démontrer le théorème d'Euler via Lagrange dans $(Z / n Z)^{\times}$ ?
Sais-tu réduire $a^{N} mod n$ : Euler pour borner, ordre exact, exponentiation rapide ?
Sais-tu définir une $K$ -algèbre et citer le morphisme $P \mapsto P (u)$ qui servira en réduction ?

Démonstrations à savoir refaire

Tout corps est intègre — multiplication par l'inverse
Idéaux de K[X] principaux — degré minimal + division euclidienne
Inversibles de ℤ/nℤ — Bézout dans les deux sens
Théorème chinois — noyau trivial via Gauss + égalité des cardinaux
Théorème d'Euler — Lagrange dans le groupe des inversibles

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Anneaux, anneaux intègres, corps

2. Idéaux d'un anneau commutatif

3. L'anneau ℤ/nℤ et ses inversibles

4. Le théorème chinois

5. Indicatrice d'Euler, théorèmes d'Euler et de Fermat

6. Structure d'algèbre

7. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

8. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Groupes

Compléments d'algèbre linéaire

Éléments propres et polynôme caractéristique

Diagonalisation et trigonalisation

Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Espaces préhilbertiens et projection orthogonale

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?