Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton

Vue d'ensemble

Troisième et dernier étage de la réduction — le plus puissant. Un polynôme annulateur (une équation polynomiale vérifiée par $u$ ) contient une quantité d'information stupéfiante : les valeurs propres possibles, un critère de diagonalisabilité qui court-circuite tout calcul de dimensions, l'inverse et les puissances de la matrice. Les trois vedettes du chapitre : le lemme des noyaux (l'outil de décomposition), le critère polynomial (diagonalisable ⟺ annulé par un polynôme scindé à racines simples) et le théorème de Cayley-Hamilton ( $χ_{u} (u) = 0$ ). C'est l'artillerie lourde des sujets X-ENS et Mines. Cette fiche regroupe les 4 théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Polynômes d'un endomorphisme, morphisme

P \mapsto P (u)

; polynômes annulateurs, idéal annulateur, polynôme minimal ; valeurs propres et racines des polynômes annulateurs ; lemme de décomposition des noyaux ; caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples ; théorème de Cayley-Hamilton (démonstration non exigible).

Prérequis

Anneaux et arithmétique : idéaux de $K [X]$ , Bézout, structure d'algèbre
Diagonalisation : critère par les dimensions, sous-espaces propres
Compléments d'algèbre linéaire : sommes directes, sous-espaces stables

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1. Polynômes d'un endomorphisme, annulateurs, minimal

Définition 1.1 — Polynôme d'un endomorphisme

Pour $P = \sum_{k} a_{k} X^{k} \in K [X]$ et $u \in L (E)$ , on pose :

P (u) = k \sum a_{k} u^{k} \in L (E) (u^{0} = id_{E}) .

L'application $P \mapsto P (u)$ est un morphisme d'algèbres de $K [X]$ dans $L (E)$ : en particulier $(P Q) (u) = P (u) \circ Q (u) = Q (u) \circ P (u)$ — tous les polynômes de $u$ commutent entre eux. Son image est la sous-algèbre commutative $K [u]$ . Définitions identiques pour une matrice carrée.

Définition 1.2 — Polynôme annulateur

$P$ est un polynôme annulateur de $u$ si $P (u) = 0$ (l'endomorphisme nul). Exemples immédiats : $X^{2} - X$ annule tout projecteur ( $p^{2} = p$ ) ; $X^{2} - 1$ annule toute symétrie ; $X^{p}$ annule tout nilpotent d'indice $\leq p$ .

Définition 1.3 — Idéal annulateur

L'ensemble des polynômes annulateurs de $u$ est le noyau du morphisme $P \mapsto P (u)$ : c'est un idéal de $K [X]$ . En dimension finie, il n'est pas réduit à ${0}$ : la famille $id, u, u^{2}, \dots, u^{n^{2}}$ compte $n^{2} + 1$ vecteurs de $L (E)$ , espace de dimension $n^{2}$ — elle est liée, et toute relation de dépendance fournit un annulateur non nul.

Définition 1.4 — Polynôme minimal

Le polynôme minimal $π_{u}$ est le générateur unitaire de l'idéal annulateur : c'est l'annulateur unitaire de plus bas degré, et il divise tout annulateur de $u$ .

📝 Où tout se recolle. « Idéal de

K [X]

⟹ principal, de générateur unitaire unique » : c'est exactement le théorème du chapitre anneaux (démonstration par le degré minimal et la division euclidienne). Le polynôme minimal n'est pas une nouveauté, c'est une application — les examinateurs adorent demander de re-justifier son existence.

Définition 1.5 — Polynôme scindé à racines simples

$P$ est scindé à racines simples sur $K$ s'il s'écrit $P = c \prod_{i = 1}^{p} (X - λ_{i})$ avec les $λ_{i}$ deux à deux distincts. C'est la classe de polynômes qui pilote tout le chapitre.

2. Ce qu'un annulateur dit des valeurs propres

Proposition 2.1 — Action sur un vecteur propre

Si $u (x) = λ x$ , alors pour tout polynôme $P$ : $P (u) (x) = P (λ) x$ . (Immédiat sur les puissances — $u^{k} (x) = λ^{k} x$ — puis par linéarité.)

Théorème 2.2 — Les valeurs propres sont racines de tout annulateur ★ À savoir démontrer

Si $P (u) = 0$ , alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ : $Sp (u) \subset {racines de P}$ . De plus, les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres.

Démonstration (deux lignes + la réciproque pour le minimal)

Inclusion. Soit $λ$ une valeur propre, $x \neq = 0$ un vecteur propre. Par la proposition 2.1 : $0 = P (u) (x) = P (λ) x$ , et $x \neq = 0$ force $P (λ) = 0$ .

Réciproque pour $π_{u}$ . Soit $λ$ une racine de $π_{u}$ : on factorise $π_{u} = (X - λ) Q$ avec $de g Q < de g π_{u}$ . Par minimalité, $Q (u) \neq = 0$ : il existe $y$ tel que $x := Q (u) (y) \neq = 0$ . Alors :

(u - λ id) (x) = (u - λ id) Q (u) (y) = π_{u} (u) (y) = 0,

donc $x$ est un vecteur propre pour $λ$ : toute racine du minimal est bien valeur propre. Attention, pour un annulateur quelconque, l'inclusion peut être stricte : $X^{2} - X$ annule $id$ , mais $0$ n'est pas valeur propre de l'identité.

💡 Exemples réflexes.

p^{2} = p

⟹

Sp (p) \subset {0, 1}

;

s^{2} = id

⟹

Sp (s) \subset {- 1, 1}

;

u^{3} = u

⟹

Sp (u) \subset {- 1, 0, 1}

;

A^{2} = - I_{n}

(réelle) ⟹ aucune valeur propre réelle (les racines de

X^{2} + 1

sont

\pm i

) — donc

n

est pair (le caractéristique réel de degré impair aurait une racine réelle). Quatre exemples, quatre questions d'oral réglées en une ligne chacune.

⚠ Piège — L'annulateur donne des CANDIDATS, pas le spectre.

Sp (u) \subset {racines}

: l'inclusion peut être stricte (l'identité est annulée par

X^{2} - X

sans que 0 soit valeur propre). Seul le minimal a exactement les valeurs propres pour racines. Écrire « les valeurs propres sont les racines de P » pour un annulateur quelconque est sanctionné.

3. Le lemme de décomposition des noyaux

Théorème 3.1 — Lemme des noyaux ★ À savoir démontrer

Si $P_{1}, \dots, P_{r}$ sont deux à deux premiers entre eux, alors :

ker [(P_{1} P_{2} \dots P_{r}) (u)] = ker P_{1} (u) \oplus ker P_{2} (u) \oplus \dots \oplus ker P_{r} (u) .

En particulier, si $P_{1} \dots P_{r}$ annule $u$ , l'espace tout entier se décompose : $E = \oplus_{i} ker P_{i} (u)$ , et chaque $ker P_{i} (u)$ est stable par $u$ .

Démonstration (cas de deux facteurs, par Bézout — le cas général suit par récurrence)

Soient $P \land Q = 1$ et $N = ker (P Q) (u)$ . Bézout fournit $U, V$ tels que $U P + V Q = 1$ , donc en évaluant en $u$ :

U (u) P (u) + V (u) Q (u) = id_{E} . (★)

Les deux noyaux sont dans $N$ : si $P (u) x = 0$ , alors $(P Q) (u) x = Q (u) P (u) x = 0$ (les polynômes de $u$ commutent). Idem pour $Q$ .

Somme directe : si $x \in ker P (u) \cap ker Q (u)$ , (★) donne $x = U (u) P (u) x + V (u) Q (u) x = 0$ .

La somme remplit $N$ : soit $x \in N$ . Posons $x_{1} = V (u) Q (u) x$ et $x_{2} = U (u) P (u) x$ ; (★) donne $x = x_{1} + x_{2}$ . Vérifions $x_{1} \in ker P (u)$ : $P (u) x_{1} = V (u) (P Q) (u) x = 0$ (commutation, puis $x \in N$ ) ; de même $x_{2} \in ker Q (u)$ . D'où $N = ker P (u) \oplus ker Q (u)$ .

La stabilité de chaque $ker P_{i} (u)$ par $u$ vient de la commutation $u \circ P_{i} (u) = P_{i} (u) \circ u$ (proposition « ker et Im stables » du chapitre compléments). Le cas $r \geq 3$ s'obtient par récurrence, en notant que $P_{1}$ est premier avec le produit $P_{2} \dots P_{r}$ .

💡 Exemple structurant — u³ = u.

X^{3} - X = X (X - 1) (X + 1)

, trois facteurs deux à deux premiers entre eux. Le lemme des noyaux donne directement :

E = ker u \oplus ker (u - id) \oplus ker (u + id),

donc

u

est diagonalisable, de valeurs propres parmi

{0, 1, - 1}

— sans calculer le moindre déterminant. C'est le schéma d'ouverture de dizaines de sujets.

⚠ Piège — La primalité deux à deux est indispensable. Pour

P = Q = X

ker u^{2} \neq = ker u \oplus ker u

en général (prendre un nilpotent d'indice 2). Avant d'invoquer le lemme, vérifier (et RÉDIGER) que les facteurs sont deux à deux premiers entre eux — pour des

(X - λ_{i})

, c'est la distinction des

λ_{i}

qu'il faut citer.

4. Le critère polynomial de diagonalisabilité

Théorème 4.1 — Critère polynomial ★ À savoir démontrer

$u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ est annulé par un polynôme scindé à racines simples — si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Démonstration (lemme des noyaux dans un sens, base propre dans l'autre)

Sens « annulateur sympathique ⟹ diagonalisable ». Supposons $P = \prod_{i = 1}^{p} (X - λ_{i})$ annulateur, avec les $λ_{i}$ distincts. Les facteurs $X - λ_{i}$ sont deux à deux premiers entre eux : le lemme des noyaux donne

E = ker P (u) = i = 1 ⨁ p ker (u - λ_{i} id) .

Chaque $ker (u - λ_{i} id)$ est le sous-espace propre associé à $λ_{i}$ (éventuellement nul si $λ_{i} \in / Sp (u)$ — on l'écarte). $E$ est somme directe de sous-espaces propres : $u$ est diagonalisable (caractérisation du chapitre précédent).

Sens réciproque. Si $u$ est diagonalisable, de spectre ${λ_{1}, \dots, λ_{p}}$ (distincts), posons $P = \prod_{i} (X - λ_{i})$ , scindé à racines simples. Sur une base propre, chaque vecteur $e$ vérifie $u (e) = λ_{j} e$ pour un certain $j$ , donc $P (u) (e) = P (λ_{j}) e = 0$ . $P (u)$ est nul sur une base : $P (u) = 0$ .

Enfin $π_{u}$ divise ce $P$ scindé à racines simples, donc l'est aussi ; et réciproquement le minimal est un annulateur. Les trois formulations sont équivalentes.

Corollaire 4.2 — Restriction d'un diagonalisable

Si $u$ est diagonalisable et $F$ stable par $u$ , alors l'endomorphisme induit $u_{F}$ est diagonalisable. (Un annulateur scindé à racines simples de $u$ annule aussi $u_{F}$ .) Résultat très demandé — et sa preuve en une ligne illustre toute la force du critère polynomial face au critère dimensionnel.

📐 Méthode-type — Exploiter un polynôme annulateur (le kit complet).

Valeurs propres candidates : les racines de l'annulateur (théorème 2.2).
Diagonalisabilité : l'annulateur (ou un diviseur annulateur) est-il scindé à racines simples ? Si oui, conclure sans aucun calcul de rang.
Inverse : isoler le terme constant. De $A^{2} - 3 A + 2 I = 0$ : $A (A - 3 I) = - 2 I$ , donc $A^{- 1} = - \frac{1}{2} (A - 3 I)$ — l'inversibilité est acquise dès que 0 n'est pas racine de l'annulateur… utilisé.
Puissances : division euclidienne $X^{k} = Q P + R$ avec $de g R < de g P$ , donc $A^{k} = R (A)$ : calculer $R$ en évaluant aux racines de $P$ . Deux racines ⟹ système $2 \times 2$ sur les coefficients de $R$ .

💡 Exemple complet — Puissances via l'annulateur.

A^{2} = 3 A - 2 I

(annulateur

(X - 1) (X - 2)

, scindé à racines simples :

A

est diagonalisable,

Sp (A) \subset {1, 2}

). Écrivons

X^{k} = Q (X) (X - 1) (X - 2) + a_{k} X + b_{k}

. En

X = 1

1 = a_{k} + b_{k}

; en

X = 2

2^{k} = 2 a_{k} + b_{k}

. D'où

a_{k} = 2^{k} - 1

b_{k} = 2 - 2^{k}

, et :

A^{k} = (2^{k} - 1) A + (2 - 2^{k}) I .

Contrôles :

k = 0

donne

I

✓,

k = 1

donne

A

✓. Aucune diagonalisation explicite, aucun

P^{- 1}

: c'est la méthode la plus rapide qui existe.

🧑‍🏫 Le kit annulateur en mains

Vp candidates, diagonalisabilité, inverse, puissances : quatre réflexes, un seul polynôme. Un mentor Majorant te fait dérouler le kit complet sur les ouvertures de sujets Mines et X des dernières années — jusqu'à ce que la première page du problème devienne une formalité.

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5. Le théorème de Cayley-Hamilton

Théorème 5.1 — Cayley-Hamilton

Le polynôme caractéristique annule son endomorphisme :

χ_{u} (u) = 0.

(Démonstration non exigible au programme MP — l'énoncé et ses conséquences doivent en revanche être parfaitement connus.)

Corollaire 5.2 — Conséquences immédiates

Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique ; en particulier $de g π_{u} \leq n$ (bien mieux que le $n^{2} + 1$ de l'argument de dimension).
$π_{u}$ et $χ_{u}$ ont les mêmes racines (les valeurs propres) — seules les multiplicités diffèrent.
$A^{n}$ s'exprime comme combinaison linéaire de $I, A, \dots, A^{n - 1}$ : la sous-algèbre $K [A]$ est de dimension $\leq n$ .

💡 Exemple — Inverse par Cayley-Hamilton. Pour

A \in M_{2} (K)

χ_{A} = X^{2} - tr (A) X + det (A)

, donc

A^{2} - tr (A) A + det (A) I = 0

. Si

det A \neq = 0

A^{- 1} = \frac{1}{det A} (tr (A) I - A) .

Formule expresse pour les

2 \times 2

, et schéma général : Cayley-Hamilton exprime toujours

A^{- 1}

comme un polynôme en

A

⚠ Piège — La « démonstration » χ(u) = det(u·id − u) = 0 est FAUSSE. Substituer brutalement

u

dans

det (X id - u)

mélange un scalaire

X

et un endomorphisme : l'expression

det (u - u) = 0

ne démontre rien (le déterminant est calculé AVANT la substitution). C'est LE contresens célèbre du chapitre — le citer (et l'éviter) est même une question d'oral.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Chapitre puissant, erreurs puissantes. Ce que relèvent les rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Confondre « racines de l'annulateur » et « spectre ». Un annulateur quelconque ne donne que des candidats ; seul le minimal a exactement les valeurs propres pour racines. La distinction fait l'objet de questions directes.

⚠ Erreur 2 — Appliquer le lemme des noyaux sans primalité. « Deux à deux premiers entre eux » doit être vérifié ET rédigé (pour des

X - λ_{i}

: « les

λ_{i}

étant deux à deux distincts »). Sans cette ligne, la décomposition n'est pas justifiée.

⚠ Erreur 3 — Conclure « diagonalisable » avec un annulateur scindé à racines MULTIPLES.

X^{2}

annule les nilpotents d'indice 2, qui ne sont pas diagonalisables : il faut des racines simples. En revanche, inutile que l'annulateur soit le minimal — un seul annulateur sympathique suffit.

⚠ Erreur 4 — Oublier d'écarter les racines non-valeurs propres dans le lemme des noyaux. Dans

E = \oplus ker (u - λ_{i} id)

, certains facteurs peuvent être nuls (si

λ_{i} \in / Sp (u)

). Ce n'est pas gênant pour conclure, mais écrire « les

λ_{i}

sont les valeurs propres » sans vérification est abusif.

⚠ Erreur 5 — Invoquer Cayley-Hamilton pour tout et n'importe quoi. C-H donne UN annulateur (le caractéristique), généralement à racines multiples : il ne prouve JAMAIS la diagonalisabilité à lui seul. Son usage type : borner le degré du minimal, exprimer inverse et puissances. Le sortir comme argument magique de diagonalisabilité est un contresens signalé par tous les jurys.

7. Pour aller plus loin

Avec ce chapitre, la réduction est complète — et elle irrigue tout le reste :

Endomorphismes des espaces euclidiens — le théorème spectral redonnera la diagonalisabilité des symétriques par une voie géométrique ; les annulateurs y traiteront isométries ( $u^{*} u = id$ ) et projecteurs orthogonaux.
Équations différentielles et suites — l'annulateur de $A$ pilote les solutions de $X^{'} = A X$ et $X_{k + 1} = A X_{k}$ via les puissances $R (A)$ .
Topologie des evn — les classiques « l'ensemble des matrices diagonalisables est-il dense/fermé ? » se traitent avec χ, minimal et Cayley-Hamilton : trio inséparable des sujets X-ENS.
Probabilités — matrices stochastiques : l'annulateur minimal contrôle la convergence de $A^{k}$ (chaînes de Markov).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir P(u) et pourquoi P ↦ P(u) est un morphisme d'algèbres (commutation !) ?
Sais-tu justifier l'existence d'un annulateur non nul en dimension finie (argument de dimension) ?
Sais-tu définir le polynôme minimal via l'idéal annulateur, et pourquoi il divise tout annulateur ?
Sais-tu démontrer que toute valeur propre est racine de tout annulateur ?
Sais-tu démontrer que les racines du minimal sont exactement les valeurs propres ?
Connais-tu les annulateurs réflexes (projecteur, symétrie, u³ = u, A² = −I) et leurs conséquences ?
Sais-tu démontrer le lemme des noyaux pour deux facteurs (Bézout évalué en u) ?
Sais-tu démontrer le critère polynomial dans les deux sens ?
Sais-tu prouver en une ligne que la restriction d'un diagonalisable à un stable est diagonalisable ?
Sais-tu énoncer Cayley-Hamilton, ses conséquences (π | χ, deg π ≤ n), et pourquoi la fausse démo est fausse ?
Sais-tu extraire l'inverse d'un polynôme annulateur (isoler le terme constant) ?
Sais-tu calculer A^k par division euclidienne évaluée aux racines de l'annulateur ?

Démonstrations à savoir refaire

Valeurs propres et annulateurs — P(u)x = P(λ)x, puis factorisation pour le minimal
Lemme des noyaux — Bézout évalué en u : identité (★), somme directe, décomposition
Critère polynomial de diagonalisabilité — lemme des noyaux ⟸, évaluation sur une base propre ⟹

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Polynômes d'un endomorphisme, annulateurs, minimal

2. Ce qu'un annulateur dit des valeurs propres

3. Le lemme de décomposition des noyaux

4. Le critère polynomial de diagonalisabilité

5. Le théorème de Cayley-Hamilton

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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