Éléments propres et polynôme caractéristique

Vue d'ensemble

La réduction des endomorphismes est LE massif central de l'algèbre de MP — présente dans la quasi-totalité des sujets d'écrit (Mines, Centrale, X-ENS, CCINP) et des oraux. Tout commence ici : une valeur propre est une direction que l'endomorphisme se contente de dilater, et le polynôme caractéristique est l'outil qui les calcule toutes d'un coup. Ce premier chapitre de réduction met en place les éléments propres, la liberté des familles de vecteurs propres et l'encadrement fondamental $1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}$ — les trois piliers de la diagonalisation du chapitre suivant. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, première partie : valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, spectre ; somme directe des sous-espaces propres ; polynôme caractéristique (convention unitaire

det (X I_{n} - A)

), lien valeurs propres–racines, coefficients remarquables (trace, déterminant) ; multiplicité d'une valeur propre et encadrement de la dimension du sous-espace propre ; polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit.

Prérequis

Compléments d'algèbre linéaire : sous-espaces stables, sommes directes, trace, matrices par blocs
Déterminants (sup) : multilinéarité, développements, matrices triangulaires
Polynômes (sup) : racines, multiplicité, factorisation dans ℝ[X] et ℂ[X]

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1. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

Définition 1.1 — Valeur propre et vecteur propre

Soit $u \in L (E)$ . Un scalaire $λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur $x \neq = 0$ tel que :

u (x) = λ x .

Un tel $x$ est un vecteur propre associé à $λ$ . Même définition pour une matrice $A \in M_{n} (K)$ avec $A X = λ X$ , $X \neq = 0$ .

Définition 1.2 — Sous-espace propre

Le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ est :

E_{λ} (u) = ker (u - λ id_{E}) = {x \in E, u (x) = λ x} .

C'est un sous-espace vectoriel non réduit à ${0}$ (par définition d'une valeur propre), constitué des vecteurs propres associés à $λ$ … et du vecteur nul (qui, lui, n'est PAS un vecteur propre).

Définition 1.3 — Spectre

Le spectre de $u$ (en dimension finie), noté $Sp (u)$ , est l'ensemble de ses valeurs propres. Il dépend du corps de base : la rotation d'angle $π /2$ du plan a un spectre vide sur $R$ , égal à ${i, - i}$ sur $C$ .

Proposition 1.4 — Caractérisations d'une valeur propre

En dimension finie, il y a équivalence entre :

$λ$ est valeur propre de $u$ ;
$ker (u - λ id) \neq = {0}$ ;
$u - λ id$ n'est pas injectif (donc pas bijectif) ;
$det (u - λ id) = 0$ .

Cas particulier à réciter : $0 \in Sp (u) ⟺ ker u \neq = {0} ⟺ u$ non injectif.

💡 Exemples immédiats à connaître. Une homothétie

λ id

: unique valeur propre

λ

, tout vecteur non nul est propre. Un projecteur

p \neq = 0, id

Sp (p) = {0, 1}

avec

E_{1} = Im p

E_{0} = ker p

. Une symétrie

s \neq = \pm id

Sp (s) = {1, - 1}

. La dérivation sur

C^{\infty} (R)

: tout

λ

est valeur propre (vecteur propre

t \mapsto e^{λ t}

) — en dimension infinie, le spectre peut être infini.

⚠ Piège n°1 du chapitre — Le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre.

u (0) = λ \cdot 0

est vrai pour TOUT

λ

: si l'on acceptait

x = 0

, tout scalaire serait valeur propre et la notion s'effondrerait. En copie : tout argument produisant un vecteur propre doit vérifier (et dire) qu'il est non nul — oubli sanctionné systématiquement d'après les rapports.

2. Vecteurs propres et sommes directes

Théorème 2.1 — Liberté d'une famille de vecteurs propres ★ À savoir démontrer

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre.

Démonstration (récurrence + application de u)

Par récurrence sur $p$ . Pour $p = 1$ : un vecteur propre est non nul, donc $(x_{1})$ est libre.

Hérédité : soient $x_{1}, \dots, x_{p + 1}$ propres pour $λ_{1}, \dots, λ_{p + 1}$ distinctes, et une combinaison nulle :

α_{1} x_{1} + \dots + α_{p + 1} x_{p + 1} = 0. (1)

Appliquons $u$ : $α_{1} λ_{1} x_{1} + \dots + α_{p + 1} λ_{p + 1} x_{p + 1} = 0$ . Retranchons $λ_{p + 1} \times (1)$ :

α_{1} (λ_{1} - λ_{p + 1}) x_{1} + \dots + α_{p} (λ_{p} - λ_{p + 1}) x_{p} = 0.

Le dernier terme a disparu. Par hypothèse de récurrence, $(x_{1}, \dots, x_{p})$ est libre, donc $α_{i} (λ_{i} - λ_{p + 1}) = 0$ pour $i \leq p$ ; comme les valeurs propres sont distinctes, $α_{1} = \dots = α_{p} = 0$ . Il reste $α_{p + 1} x_{p + 1} = 0$ avec $x_{p + 1} \neq = 0$ , donc $α_{p + 1} = 0$ .

Corollaire 2.2 — Somme directe des sous-espaces propres

Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe : $E_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus E_{λ_{p}} \subset E$ . Conséquences immédiates en dimension $n$ : $\sum_{i} dim E_{λ_{i}} \leq n$ , et $u$ possède au plus $n$ valeurs propres.

📝 Le critère de luxe. Si

u

(en dimension

n

) possède

n

valeurs propres deux à deux distinctes, la concaténation de

n

vecteurs propres forme une base de

E

u

est diagonalisable (chapitre suivant), sans aucun calcul supplémentaire. C'est LE cas favorable à repérer en premier dans un sujet.

3. Le polynôme caractéristique

Définition 3.1 — Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de $A \in M_{n} (K)$ est :

χ_{A} (X) = det (X I_{n} - A) .

Avec cette convention (celle du programme), $χ_{A}$ est unitaire de degré $n$ . Deux matrices semblables ayant même déterminant, $χ_{P^{- 1} A P} = χ_{A}$ : on définit ainsi le polynôme caractéristique d'un endomorphisme $u$ en dimension finie, indépendamment de la base.

Proposition 3.2 — Coefficients remarquables ★ À savoir démontrer

$χ_{A} (X) = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det (A) .$

Démonstration (terme constant, puis coefficient de X^(n−1))

Terme constant. C'est $χ_{A} (0) = det (- A) = (- 1)^{n} det A$ (multilinéarité : on sort $- 1$ de chacune des $n$ colonnes).

Coefficient de $X^{n - 1}$ . Développons $det (X I_{n} - A)$ par la formule du déterminant comme somme sur les permutations : chaque terme est un produit de $n$ coefficients de la matrice $X I_{n} - A$ , dont les seuls à contenir $X$ sont les termes diagonaux $X - a_{ii}$ . Une permutation $σ \neq = id$ déplace au moins deux indices, donc son terme contient au plus $n - 2$ facteurs diagonaux : il est de degré $\leq n - 2$ . Les degrés $n$ et $n - 1$ proviennent donc exclusivement du terme de la permutation identité :

i = 1 \prod n (X - a_{ii}) = X^{n} - (i = 1 \sum n a_{ii}) X^{n - 1} + \dots = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots

D'où le coefficient annoncé. Cas $n = 2$ , à savoir écrire sans réfléchir : $χ_{A} (X) = X^{2} - tr (A) X + det (A)$ .

Théorème 3.3 — Les valeurs propres sont les racines de χ ★ À savoir démontrer

$λ$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $χ_{A} (λ) = 0$ . En particulier, sur $C$ , toute matrice possède au moins une valeur propre, et exactement $n$ en les comptant avec multiplicité.

Démonstration (enchaînement d'équivalences)

$λ$ est valeur propre de $A$ $⟺ ker (A - λ I_{n}) \neq = {0}$ $⟺ A - λ I_{n}$ non inversible $⟺ det (A - λ I_{n}) = 0$ $⟺ det (λ I_{n} - A) = 0$ (au signe $(- 1)^{n}$ près, qui ne change pas la nullité) $⟺ χ_{A} (λ) = 0$ .

Sur $C$ , le théorème de d'Alembert-Gauss assure que $χ_{A}$ (degré $n \geq 1$ ) possède au moins une racine — donc toute matrice complexe a au moins une valeur propre. Sur $R$ , rien de tel : $χ$ peut n'avoir aucune racine réelle (rotation).

Proposition 3.4 — Cas triangulaire et spectre de fonctions de A

Si $A$ est triangulaire, $χ_{A} (X) = \prod_{i} (X - a_{ii})$ : les valeurs propres sont les coefficients diagonaux. Par ailleurs $χ_{A^{T}} = χ_{A}$ (le déterminant est invariant par transposition) : $A$ et $A^{T}$ ont le même spectre.

📐 Méthode-type — Déterminer les éléments propres d'une matrice.

Calculer $χ_{A} (X) = det (X I_{n} - A)$ en visant une forme factorisée : opérations sur lignes/colonnes AVANT de développer (sommer toutes les colonnes pour faire apparaître un facteur commun est le grand classique des matrices « à structure »).
Racines : résoudre $χ_{A} (λ) = 0$ dans le corps imposé par l'énoncé ; noter la multiplicité de chaque racine.
Sous-espaces propres : pour chaque $λ$ , résoudre le système $(A - λ I_{n}) X = 0$ (le rang du système donne $dim E_{λ} = n - rg (A - λ I_{n})$ ).
Contrôles gratuits : la somme des valeurs propres (avec multiplicités) doit valoir $tr (A)$ , leur produit $det (A)$ . Deux vérifications en 10 secondes qui rattrapent la plupart des erreurs de calcul.

💡 Exemple complet.

A = (1221)

χ_{A} (X) = X^{2} - tr (A) X + det (A) = X^{2} - 2 X - 3 = (X - 3) (X + 1)

. Valeurs propres :

3

- 1

(distinctes ⟹ diagonalisable d'office).

E_{3} = ker (A - 3 I)

: le système

- 2 x + 2 y = 0

donne

E_{3} = Vect (11)

;

E_{- 1} = Vect (1 - 1)

. Contrôles :

3 + (- 1) = 2 = tr (A)

✓,

3 \times (- 1) = - 3 = det (A)

✓.

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4. Multiplicité et dimension du sous-espace propre

Définition 4.1 — Multiplicité d'une valeur propre

La multiplicité $m_{λ}$ de la valeur propre $λ$ est sa multiplicité comme racine de $χ_{u}$ : c'est l'exposant de $(X - λ)$ dans la factorisation du polynôme caractéristique. Une valeur propre de multiplicité 1 est dite simple.

Proposition 4.2 — Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit

Si $F$ est stable par $u$ , le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit divise celui de $u$ : $χ_{u_{F}} ∣ χ_{u}$ . (Base adaptée à $F$ : la matrice est triangulaire par blocs $(A 0 B C)$ , et $χ = χ_{A} \cdot χ_{C}$ .)

Théorème 4.3 — Encadrement fondamental ★ À savoir démontrer

Pour toute valeur propre $λ$ de $u$ :

1 \leq dim E_{λ} (u) \leq m_{λ} .

En particulier, pour une valeur propre simple ( $m_{λ} = 1$ ) : $dim E_{λ} = 1$ , sans aucun calcul.

Démonstration (endomorphisme induit sur le sous-espace propre)

La minoration vient de la définition : $λ$ valeur propre signifie $E_{λ} \neq = {0}$ , donc $dim E_{λ} \geq 1$ .

Pour la majoration, posons $d = dim E_{λ}$ . Le sous-espace $E_{λ}$ est stable par $u$ (si $u (x) = λ x$ , alors $u (u (x)) = λ u (x)$ ), et l'endomorphisme induit y est l'homothétie $λ id_{E_{λ}}$ , de polynôme caractéristique $(X - λ)^{d}$ .

Par la proposition 4.2 (base adaptée, matrice triangulaire par blocs avec bloc $λ I_{d}$ ) :

χ_{u} (X) = (X - λ)^{d} χ_{C} (X),

donc $(X - λ)^{d}$ divise $χ_{u}$ , ce qui signifie exactement $d \leq m_{λ}$ .

⚠ Piège — Multiplicité ≠ dimension du sous-espace propre. L'inégalité

dim E_{λ} \leq m_{λ}

peut être stricte : pour

A = (0010)

χ_{A} = X^{2}

donne

m_{0} = 2

, mais

E_{0} = ker A

est la droite

Vect (e_{1})

dim E_{0} = 1 < 2

. C'est exactement ce défaut qui empêchera la diagonalisation — cette matrice est LE contre-exemple à mémoriser.

💡 Exemple — Matrice de rang 1. Soit

J \in M_{n} (R)

la matrice dont tous les coefficients valent 1. Alors

rg (J) = 1

, donc

dim ker J = n - 1

0

est valeur propre avec

dim E_{0} = n - 1

, d'où

m_{0} \geq n - 1

. La trace donne la dernière : la somme des valeurs propres vaut

tr (J) = n

, donc la valeur propre restante est

n

(simple), et

χ_{J} (X) = X^{n - 1} (X - n)

— sans calculer le moindre déterminant. Ce raisonnement « rang + trace » est un incontournable des oraux.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Premier chapitre de réduction = premières habitudes. Les rapports de jury (Mines-Ponts, Centrale, CCINP) recensent chaque année les mêmes fautes :

⚠ Erreur 1 — Produire un « vecteur propre » sans vérifier qu'il est non nul. Tout argument du type « donc

x

est vecteur propre » doit s'accompagner de «

x \neq = 0

car… ». C'est la remarque la plus fréquente des correcteurs sur ce chapitre.

⚠ Erreur 2 — Chercher les valeurs propres dans le mauvais corps. Une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes non réelles : si l'énoncé travaille sur

R

, elles ne comptent pas ; s'il passe sur

C

, il faut toutes les prendre. Préciser « dans

R

» ou « dans

C

» à chaque décompte de spectre.

⚠ Erreur 3 — Développer brutalement le déterminant au lieu de factoriser. Développer

det (X I - A)

en polynôme développé puis chercher les racines « au pif » est la première cause d'abandon en cours de problème. Le réflexe attendu : opérations sur les lignes/colonnes pour factoriser AVANT de développer (somme des colonnes, colonnes proportionnelles…).

⚠ Erreur 4 — Oublier les contrôles trace/déterminant.

\sum λ_{i} = tr (A)

\prod λ_{i} = det (A)

(avec multiplicités, sur ℂ ou quand χ est scindé) : deux vérifications immédiates. Les rapports s'étonnent régulièrement que des spectres incompatibles avec la trace ne fassent réagir personne.

⚠ Erreur 5 — Confondre χ_A(X) = det(XI − A) et det(A − XI). Les deux conventions diffèrent d'un facteur

(- 1)^{n}

: mêmes racines, mais pour

n

impair TOUS les coefficients sont opposés. Le programme impose la convention unitaire

det (X I_{n} - A)

— adopte-la et n'en change jamais, surtout pour lire

- tr (A)

en degré

n - 1

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre installe le vocabulaire ; les deux suivants en font une machine de guerre :

Diagonalisation et trigonalisation — le critère central ( $χ$ scindé et $dim E_{λ} = m_{λ}$ pour toute valeur propre) s'appuie exactement sur l'encadrement du théorème 4.3.
Polynômes annulateurs et Cayley-Hamilton — le théorème de Cayley-Hamilton affirme que $χ_{u} (u) = 0$ : le polynôme caractéristique devient un polynôme annulateur, pont entre les deux moitiés de la réduction.
Probabilités et matrices stochastiques — les chaînes de Markov des sujets (X, Centrale) reposent sur l'étude spectrale de matrices positives : valeur propre 1, comportement asymptotique de $A^{k}$ .
Équations différentielles — la résolution des systèmes $X^{'} = A X$ commence toujours par les éléments propres de $A$ .

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir valeur propre, vecteur propre (non nul !), sous-espace propre et spectre ?
Sais-tu réciter les quatre caractérisations d'une valeur propre, dont « 0 ∈ Sp(u) ⟺ u non injectif » ?
Connais-tu les spectres des homothéties, projecteurs et symétries ?
Sais-tu démontrer par récurrence la liberté d'une famille de vecteurs propres ?
Sais-tu en déduire la somme directe des sous-espaces propres et le « au plus n valeurs propres » ?
Sais-tu repérer le cas de luxe (n valeurs propres distinctes ⟹ diagonalisable) ?
Sais-tu définir χ_A avec la convention unitaire et pourquoi il est invariant par similitude ?
Sais-tu démontrer les coefficients remarquables (trace en degré n−1, déterminant en degré 0) ?
Sais-tu démontrer que les valeurs propres sont exactement les racines de χ ?
Sais-tu calculer χ en factorisant (opérations sur colonnes) et faire les contrôles trace/dét ?
Sais-tu démontrer l'encadrement 1 ≤ dim E_λ ≤ m_λ via l'endomorphisme induit ?
Connais-tu le contre-exemple où l'inégalité est stricte, et l'exemple de la matrice de rang 1 traité par « rang + trace » ?

Démonstrations à savoir refaire

Liberté des familles de vecteurs propres — récurrence, appliquer u et retrancher λ·(1)
Coefficients de χ — χ(0) = (−1)ⁿ det A et permutation identité pour le degré n−1
Valeurs propres = racines de χ — chaîne d'équivalences via le déterminant
Encadrement 1 ≤ dim E_λ ≤ m_λ — endomorphisme induit et χ triangulaire par blocs

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

2. Vecteurs propres et sommes directes

3. Le polynôme caractéristique

4. Multiplicité et dimension du sous-espace propre

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Compléments d'algèbre linéaire

Diagonalisation et trigonalisation

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