Espaces préhilbertiens et projection orthogonale

Vue d'ensemble

Le produit scalaire ajoute à l'algèbre linéaire ce qui lui manquait : les angles, les distances et la notion de perpendiculaire. Ce chapitre consolide les acquis de sup (Cauchy-Schwarz, orthonormalisation) et les prolonge avec l'outil roi de la spé : la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, qui réalise la meilleure approximation d'un vecteur — le principe des moindres carrés, des séries de Fourier et de la moitié des problèmes d'analyse-algèbre croisés des concours. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Espaces préhilbertiens réels : produit scalaire, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz ; familles et bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt ; supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie ; projection orthogonale, distance à un sous-espace et théorème de la meilleure approximation ; expression du projeté dans une base orthonormée.

Prérequis

Espaces préhilbertiens de sup : produit scalaire canonique, Pythagore
Compléments d'algèbre linéaire : sommes directes, projecteurs
Intégration (pour les produits scalaires de fonctions : $⟨ f, g ⟩ = \int f g$ )

🎯 Accompagnement Majorant

Les produits scalaires « exotiques » (intégrales, matrices) te déstabilisent ? Les concours ne travaillent presque que sur ceux-là. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font manipuler polynômes orthogonaux et distances de fonctions jusqu'à ce que la géométrie devienne un réflexe, même en dimension infinie.

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1. Produit scalaire, norme, Cauchy-Schwarz

Définition 1.1 — Produit scalaire, espace préhilbertien

Un produit scalaire sur un $R$ -espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive : $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ avec égalité si et seulement si $x = 0$ . Le couple $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ est un espace préhilbertien réel ; s'il est de dimension finie, on parle d'espace euclidien.

Définition 1.2 — Norme associée et distance

La norme associée au produit scalaire est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ ; un vecteur est unitaire si sa norme vaut 1. La distance entre deux vecteurs est $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ . Toute la géométrie du chapitre (angles, perpendiculaires, plus courtes distances) se formule avec ces deux grandeurs.

💡 Les trois produits scalaires des concours. Canonique sur

R^{n}

⟨ x, y ⟩ = \sum x_{i} y_{i}

. Sur

C ([a, b], R)

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t

(éventuellement avec un poids

w (t) > 0

). Sur

M_{n} (R)

⟨ A, B ⟩ = tr (A^{T} B)

. Savoir VÉRIFIER les axiomes (surtout le caractère défini : une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle) est une question d'ouverture récurrente.

Théorème 1.3 — Inégalité de Cauchy-Schwarz ★ À savoir démontrer

Pour tous $x, y \in E$ :

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥,

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration (le trinôme positif)

Si $y = 0$ , tout est nul : l'inégalité est acquise. Sinon, pour tout $t \in R$ , la positivité du produit scalaire donne :

0 \leq ∥ x + t y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} .

C'est un trinôme du second degré en $t$ (coefficient dominant $∥ y ∥^{2} > 0$ ) qui reste positif sur $R$ : son discriminant est négatif ou nul :

Δ = 4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4 ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} \leq 0,

d'où l'inégalité. Cas d'égalité : $Δ = 0$ signifie que le trinôme a une racine réelle $t_{0}$ , c'est-à-dire $∥ x + t_{0} y ∥ = 0$ , donc $x = - t_{0} y$ : colinéarité. Réciproque immédiate.

Applications immédiates à réciter : $(\int_{a}^{b} f g)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2} \int_{a}^{b} g^{2}$ ; $(\sum x_{i})^{2} \leq n \sum x_{i}^{2}$ (prendre $y = (1, \dots, 1)$ ).

Proposition 1.4 — Identités de norme

Inégalité triangulaire $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ (conséquence de Cauchy-Schwarz) ; développement $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ ; identité de polarisation $⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2})$ (la norme détermine le produit scalaire) ; théorème de Pythagore : $x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ .

2. Familles orthonormées et procédé de Gram-Schmidt

Définition 2.1 — Familles orthogonales, orthonormées

Une famille $(e_{i})$ est orthogonale si $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = 0$ pour $i \neq = j$ , orthonormée si de plus $∥ e_{i} ∥ = 1$ (soit $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{ij}$ ). Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (prendre le produit scalaire d'une combinaison nulle avec chaque $e_{i}$ ).

Proposition 2.2 — Coordonnées dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ d'un espace euclidien, tout se calcule par produits scalaires :

x = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}, ∥ x ∥^{2} = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}, ⟨ x, y ⟩ = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩ ⟨ y, e_{i} ⟩ .

Théorème 2.3 — Procédé de Gram-Schmidt ★ À savoir démontrer

Toute famille libre $(u_{1}, \dots, u_{p})$ se transforme en une famille orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ telle que $Vect (e_{1}, \dots, e_{k}) = Vect (u_{1}, \dots, u_{k})$ pour tout $k$ . En particulier, tout espace euclidien possède des bases orthonormées.

Démonstration (construction par récurrence)

On construit par récurrence. Initialisation : $e_{1} = u_{1} /∥ u_{1} ∥$ . Hérédité : supposons $(e_{1}, \dots, e_{k - 1})$ orthonormée engendrant $Vect (u_{1}, \dots, u_{k - 1})$ . Posons :

v_{k} = u_{k} - i = 1 \sum k - 1 ⟨ u_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}, puis e_{k} = \frac{v _{k}}{∥ v _{k} ∥} .

Pour $j < k$ : $⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ = ⟨ u_{k}, e_{j} ⟩ - ⟨ u_{k}, e_{j} ⟩ = 0$ — on a retranché à $u_{k}$ exactement sa « part » sur chaque direction déjà construite (c'est une projection orthogonale avant l'heure). Et $v_{k} \neq = 0$ : sinon $u_{k}$ serait combinaison des $e_{i}$ , donc des $u_{1}, \dots, u_{k - 1}$ , contredisant la liberté. L'égalité des sous-espaces engendrés se lit sur la formule (triangulaire à coefficients diagonaux non nuls).

En pratique : orthogonaliser d'abord (les $v_{k}$ ), normaliser à la fin — et sur les polynômes ( $\int_{- 1}^{1} P Q$ ), le procédé engendre les polynômes de Legendre : LE classique d'écrit.

⚠ Piège — L'ordre de la famille compte. Gram-Schmidt dépend de l'ordre des vecteurs de départ : changer l'ordre change la base obtenue. Les énoncés imposent l'ordre (souvent

1, X, X^{2}, \dots

) — le respecter, et vérifier chaque

Vect

conservé, fait partie de la réponse attendue.

3. Supplémentaire orthogonal et projection orthogonale

Définition 3.1 — Orthogonal d'une partie

L'orthogonal de $F \subset E$ est $F^{⊥} = {x \in E, \forall y \in F, ⟨ x, y ⟩ = 0}$ : c'est toujours un sous-espace vectoriel de $E$ , et $F \cap F^{⊥} \subset {0}$ (un vecteur orthogonal à lui-même est nul).

Théorème 3.2 — Supplémentaire orthogonal (F de dimension finie) ★ À savoir démontrer

Si $F$ est un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$ , alors :

E = F \oplus F^{⊥} .

La projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ est la projection orthogonale $p_{F}$ , donnée dans toute base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ par :

p_{F} (x) = i = 1 \sum p ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Démonstration (analyse-synthèse avec la formule du projeté)

Munissons $F$ d'une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ (Gram-Schmidt). Soit $x \in E$ ; posons :

y = i = 1 \sum p ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} \in F, z = x - y .

Pour chaque $j$ : $⟨ z, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - ⟨ x, e_{j} ⟩ = 0$ , donc $z$ est orthogonal à chaque vecteur d'une base de $F$ , donc à $F$ tout entier (linéarité) : $z \in F^{⊥}$ . Ainsi $x = y + z \in F + F^{⊥}$ , et comme $F \cap F^{⊥} = {0}$ , la somme est directe : $E = F \oplus F^{⊥}$ .

L'unicité de la décomposition montre que $p_{F} (x) = y$ : la formule du projeté est démontrée en même temps que le théorème. En dimension finie, $dim F^{⊥} = dim E - dim F$ et $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

Attention : si $F$ est de dimension infinie, le théorème peut tomber en défaut — l'hypothèse « dimension finie » n'est pas décorative et doit être citée.

📐 Méthode-type — Calculer un projeté orthogonal.

Base orthonormée disponible ? Appliquer directement $p_{F} (x) = \sum ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ . Sinon, deux options :
Orthonormaliser une base de $F$ par Gram-Schmidt (rentable si $dim F \leq 2$ ou si la base est presque orthogonale), OU
Poser le système : écrire $p_{F} (x) = \sum α_{j} u_{j}$ sur une base quelconque $(u_{j})$ de $F$ et traduire $x - p_{F} (x) ⊥ u_{j}$ pour tout $j$ — système linéaire $p \times p$ (équations normales).
Contrôler : $⟨ x - p_{F} (x), u_{j} ⟩ = 0$ pour chaque générateur, et $p_{F} (x) = x$ si $x \in F$ .

4. Distance à un sous-espace : la meilleure approximation

Définition 4.1 — Distance à un sous-espace

La distance de $x$ à un sous-espace $F$ est : $d (x, F) = in f_{y \in F} ∥ x - y ∥$ — la meilleure approximation possible de $x$ par un élément de $F$ . A priori, cet infimum n'a aucune raison d'être atteint : c'est tout l'objet du théorème suivant.

Théorème 4.2 — Théorème de la meilleure approximation ★ À savoir démontrer

Soit $F$ de dimension finie. Pour tout $x \in E$ , le projeté $p_{F} (x)$ est l'unique point de $F$ le plus proche de $x$ :

d (x, F) = y \in F in f ∥ x - y ∥ = ∥ x - p_{F} (x) ∥, d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2} .

Démonstration (Pythagore fait tout)

Soit $y \in F$ . Décomposons :

x - y = \in F^{⊥} (x - p_{F} (x)) + \in F (p_{F} (x) - y) .

Les deux morceaux sont orthogonaux : Pythagore donne

∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ p_{F} (x) - y ∥^{2} \geq ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2},

avec égalité si et seulement si $y = p_{F} (x)$ : le projeté réalise le minimum, et il est unique. La borne inférieure est donc un minimum atteint. Enfin, en appliquant Pythagore à $x = p_{F} (x) + (x - p_{F} (x))$ : $∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + d (x, F)^{2}$ , d'où la seconde formule.

💡 Exemple complet — Un calcul de moindres carrés. Calculer

(a, b) \in R^{2} in f \int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b)^{2} d t

: c'est

d (X^{2}, F)^{2}

dans

C ([0, 1])

muni de

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f g

, avec

F = Vect (1, X)

. Équations normales :

⟨ X^{2} - a X - b, 1 ⟩ = 0

⟨ X^{2} - a X - b, X ⟩ = 0

, soit

\frac{1}{3} = \frac{a}{2} + b

\frac{1}{4} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}

. Résolution :

a = 1

b = - \frac{1}{6}

, et

d^{2} = ∥ X^{2} ∥^{2} - ⟨ X^{2}, a X + b ⟩ = \frac{1}{5} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{18}) = \frac{1}{180}

. Schéma à reproduire tel quel : la moitié des sujets « polynômes orthogonaux » commencent ainsi.

⚠ Piège — Sans projection, pas de minimum garanti. L'infimum

in f_{y \in F} ∥ x - y ∥

n'est un minimum ATTEINT que grâce au théorème (F de dimension finie). Répondre à « calculer l'inf » sans reconnaître une distance à un sous-espace, c'est partir dans une optimisation à deux variables pénible — le réflexe « c'est un projeté ! » est exactement ce que le sujet teste.

🧑‍🏫 Le réflexe moindres carrés

« Calculer inf ∫(f − at − b)² » doit déclencher « projection orthogonale » en 5 secondes. Un mentor Majorant te fait reconnaître et dérouler ce schéma sur les sujets Mines et Centrale des dernières années — équations normales, Pythagore, contrôles — jusqu'à l'automatisme complet.

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5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La géométrie préhilbertienne est réputée « sûre » — à condition d'éviter les cinq écueils que les rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) recensent inlassablement :

⚠ Erreur 1 — Oublier de vérifier le caractère défini positif. Pour montrer qu'une formule est un produit scalaire, le point délicat est toujours «

⟨ x, x ⟩ = 0 \Rightarrow x = 0

» — pour les intégrales, il exige la CONTINUITÉ (une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle ; faux pour une fonction seulement intégrable). L'argument de continuité doit être écrit.

⚠ Erreur 2 — Utiliser la formule du projeté avec une base non orthonormée.

p_{F} (x) = \sum ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}

exige une base ORTHONORMÉE de

F

. Sur une base quelconque, il faut les équations normales. Appliquer la formule directe à une base non orthogonale est l'erreur de calcul n°1 du chapitre.

⚠ Erreur 3 — Invoquer E = F ⊕ F^⊥ sans l'hypothèse de dimension finie. En dimension infinie, l'orthogonal d'un sous-espace peut ne pas être supplémentaire. L'hypothèse « F de dimension finie » doit apparaître dans la rédaction — les jurys y tiennent d'autant plus que les espaces de fonctions sont l'habitat naturel des sujets.

⚠ Erreur 4 — Cas d'égalité de Cauchy-Schwarz bâclé. L'égalité équivaut à la colinéarité — et sa preuve (discriminant nul ⟹ racine ⟹ norme nulle) est exigible. « Par Cauchy-Schwarz, égalité donc colinéaires » sans justification ne rapporte rien quand la question EST le cas d'égalité.

⚠ Erreur 5 — Confondre projection orthogonale et projection quelconque. Un projecteur

p

est orthogonal si et seulement si

ker p ⊥ Im p

. Parler de « la » projection sur

F

sans préciser la direction n'a de sens qu'orthogonale — et les propriétés de minimisation n'appartiennent QU'À elle.

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est la moitié « géométrie » du bloc euclidien — la moitié « spectrale » arrive juste après :

Endomorphismes des espaces euclidiens — adjoint, endomorphismes symétriques et théorème spectral, isométries : tout s'exprime dans les bases orthonormées construites ici.
Suites et séries de fonctions — les coefficients $⟨ f, e_{i} ⟩$ deviennent les coefficients de Fourier ; la projection sur les polynômes trigonométriques est la somme partielle de la série de Fourier (approche culturelle en MP).
Probabilités — l'espérance conditionnelle est une projection orthogonale (culture) ; la covariance est un produit scalaire, et Cauchy-Schwarz donne $∣ Cov (X, Y) ∣ \leq σ_{X} σ_{Y}$ .
Analyse numérique et data — moindres carrés = équations normales = projection : la régression linéaire des données est exactement l'exemple de la section 4.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un produit scalaire (bilinéaire, symétrique, défini positif) et vérifier les axiomes sur ∫fg ?
Connais-tu les trois produits scalaires types (canonique, intégral, tr(AᵀB)) ?
Sais-tu démontrer Cauchy-Schwarz par le trinôme, AVEC le cas d'égalité ?
Sais-tu retrouver l'inégalité triangulaire, la polarisation et Pythagore ?
Sais-tu pourquoi une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre ?
Connais-tu les trois formules en base orthonormée (coordonnées, norme, produit scalaire) ?
Sais-tu dérouler Gram-Schmidt par récurrence, avec la conservation des Vect ?
Sais-tu démontrer E = F ⊕ F^⊥ pour F de dimension finie (analyse-synthèse avec la formule du projeté) ?
Sais-tu calculer un projeté : formule en base orthonormée OU équations normales ?
Sais-tu démontrer la meilleure approximation par Pythagore, et d(x,F)² = ‖x‖² − ‖p_F(x)‖² ?
Sais-tu reconnaître un inf de moindres carrés comme une distance à un sous-espace ?
Sais-tu où l'hypothèse « dimension finie » est indispensable ?

Démonstrations à savoir refaire

Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité — trinôme positif, discriminant
Procédé de Gram-Schmidt — récurrence, retrancher les composantes déjà construites
Supplémentaire orthogonal — analyse-synthèse, formule du projeté incluse
Meilleure approximation — Pythagore sur x − y = (x − p(x)) + (p(x) − y)

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Produit scalaire, norme, Cauchy-Schwarz

2. Familles orthonormées et procédé de Gram-Schmidt

3. Supplémentaire orthogonal et projection orthogonale

4. Distance à un sous-espace : la meilleure approximation

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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