Compléments d'algèbre linéaire

Vue d'ensemble

Avant d'attaquer la réduction, MP consolide l'algèbre linéaire de sup avec quatre outils qui serviront partout : les sommes directes de plusieurs sous-espaces (le langage même de la diagonalisation), les sous-espaces stables (l'objet central de toute la réduction), la trace (l'invariant le plus maniable du programme) et les hyperplans (noyaux des formes linéaires). Chapitre discret mais omniprésent : la moitié des questions d'algèbre des écrits commencent par « montrer que $F$ est stable » ou « montrer que la somme est directe ». Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 5 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Compléments d'algèbre linéaire : produit et somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes de plusieurs sous-espaces, bases adaptées, sous-espaces stables par un endomorphisme et endomorphismes induits, matrices définies par blocs, trace d'une matrice carrée et d'un endomorphisme, formes linéaires et hyperplans.

Prérequis

Espaces vectoriels de dimension finie (sup) : bases, dimension, théorème du rang
Applications linéaires et matrices (sup) : changement de base, matrices semblables
Projecteurs et symétries (sup) : $p^{2} = p$ , décomposition $E = Im p \oplus ker p$

🎯 Accompagnement Majorant

L'algèbre linéaire de sup est restée floue ? La réduction va s'appuyer sur chaque théorème de ce chapitre — c'est maintenant qu'il faut colmater. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines reprennent les fondations avec toi et t'amènent au niveau des écrits en quelques séances ciblées.

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1. Sommes directes de plusieurs sous-espaces

Définition 1.1 — Somme de sous-espaces

Pour des sous-espaces $F_{1}, \dots, F_{p}$ d'un espace vectoriel $E$ , la somme est :

F_{1} + \dots + F_{p} = {x_{1} + \dots + x_{p}, x_{i} \in F_{i}} .

C'est le plus petit sous-espace de $E$ contenant tous les $F_{i}$ .

Définition 1.2 — Somme directe

La somme est directe, notée $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ , si tout vecteur de la somme s'écrit de façon unique comme $x_{1} + \dots + x_{p}$ avec $x_{i} \in F_{i}$ . Si de plus $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p} = E$ , les $F_{i}$ sont dits supplémentaires dans $E$ .

Théorème 1.3 — Caractérisations d'une somme directe ★ À savoir démontrer

Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) la somme $F_{1} + \dots + F_{p}$ est directe ;
(ii) la seule décomposition du vecteur nul est triviale : $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ avec $x_{i} \in F_{i}$ implique tous les $x_{i} = 0$ ;
(iii) (en dimension finie) $dim (F_{1} + \dots + F_{p}) = dim F_{1} + \dots + dim F_{p}$ .

Démonstration ((i) ⟺ (ii), puis (ii) ⟺ (iii) par les bases)

(i) ⟹ (ii) : la décomposition triviale $0 = 0 + \dots + 0$ existe toujours ; l'unicité impose que ce soit la seule.

(ii) ⟹ (i) : si $x_{1} + \dots + x_{p} = y_{1} + \dots + y_{p}$ avec $x_{i}, y_{i} \in F_{i}$ , alors $(x_{1} - y_{1}) + \dots + (x_{p} - y_{p}) = 0$ avec $x_{i} - y_{i} \in F_{i}$ (sous-espace !). Par (ii), $x_{i} = y_{i}$ pour tout $i$ : la décomposition est unique.

(ii) ⟹ (iii) : concaténons des bases $B_{i}$ de chaque $F_{i}$ . La famille obtenue engendre la somme ; montrons qu'elle est libre. Une combinaison linéaire nulle se regroupe en $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ où $x_{i} \in F_{i}$ est la part de la combinaison portée par $B_{i}$ . Par (ii), chaque $x_{i} = 0$ ; comme $B_{i}$ est libre, tous les coefficients sont nuls. D'où une base de la somme de cardinal $\sum dim F_{i}$ , et l'égalité des dimensions.

(iii) ⟹ (ii) : par contraposée, si une décomposition non triviale de $0$ existe, la concaténation des bases est liée, et la dimension de la somme est strictement inférieure à $\sum dim F_{i}$ .

⚠ Piège n°1 du chapitre — $F_{i} \cap F_{j} = {0}$ deux à deux ne suffit PAS. Pour

p \geq 3

, les intersections deux à deux nulles ne garantissent rien : dans

R^{2}

, trois droites distinctes s'intersectent deux à deux en

{0}

, mais leur somme (le plan, de dimension 2) n'est pas directe (

1 + 1 + 1 = 3 \neq = 2

). Le critère «

F \cap G = {0}

» ne vaut que pour DEUX sous-espaces. Pour

p \geq 3

, utilise la décomposition du zéro ou les dimensions — les jurys traquent cette erreur chaque année.

Définition 1.4 — Base adaptée

Si $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ , une base obtenue en concaténant une base de chaque $F_{i}$ est dite adaptée à la décomposition. Dans une telle base, les objets « respectant » la décomposition ont des matrices diagonales par blocs — c'est tout l'enjeu de la réduction.

💡 Exemple canonique — Symétriques et antisymétriques. Dans

M_{n} (R)

S_{n} \oplus A_{n} = M_{n} (R)

. Analyse-synthèse express : si

M = S + A

, alors

M^{T} = S - A

, d'où

S = \frac{1}{2} (M + M^{T})

A = \frac{1}{2} (M - M^{T})

(unicité), et ces formules fournissent bien une décomposition (existence). Contrôle des dimensions :

\frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{n ( n - 1 )}{2} = n^{2}

✓.

📐 Méthode-type — Montrer que $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ .

Somme directe : prendre $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ avec $x_{i} \in F_{i}$ et montrer que chaque $x_{i} = 0$ (souvent en appliquant un projecteur, un polynôme de l'endomorphisme, ou en évaluant en des points).
Somme égale à $E$ : soit par analyse-synthèse (deviner les formules de décomposition), soit par les dimensions : $\sum dim F_{i} = dim E$ et la somme est directe ⟹ supplémentaires.
Réflexe dimension finie : somme directe + bonne somme des dimensions = tout est prouvé d'un coup (théorème 1.3 (iii)).

2. Sous-espaces stables et endomorphismes induits

Définition 2.1 — Sous-espace stable

Un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $u \in L (E)$ si $u (F) \subset F$ . L'application $u_{F} : F \to F$ , $x \mapsto u (x)$ , est alors un endomorphisme de $F$ appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 2.2 — Lecture matricielle de la stabilité

Soit $B$ une base de $E$ adaptée à $F$ (une base de $F$ complétée en base de $E$ ). Alors $F$ est stable par $u$ si et seulement si la matrice de $u$ dans $B$ est triangulaire par blocs :

Mat_{B} (u) = (A 0 B C),

où $A$ est la matrice de l'endomorphisme induit $u_{F}$ . Si $E = F \oplus G$ avec $F$ ET $G$ stables, la matrice est diagonale par blocs ( $B = 0$ ).

Proposition 2.3 — Stabilité par un endomorphisme qui commute ★ À savoir démontrer

Si $u \circ v = v \circ u$ , alors $ker u$ et $Im u$ sont stables par $v$ .

Démonstration (4 lignes, à connaître par cœur)

Noyau. Soit $x \in ker u$ . Alors $u (v (x)) = v (u (x)) = v (0) = 0$ , donc $v (x) \in ker u$ : le noyau est stable.

Image. Soit $y \in Im u$ , disons $y = u (x)$ . Alors $v (y) = v (u (x)) = u (v (x)) \in Im u$ : l'image est stable.

Application incessante en réduction : $u$ commute avec $P (u)$ pour tout polynôme $P$ , donc $ker P (u)$ et $Im P (u)$ sont stables par $u$ — en particulier les sous-espaces propres $ker (u - λ id)$ .

📝 Matrices par blocs : les règles du jeu. Les matrices par blocs s'additionnent et se multiplient « comme si les blocs étaient des scalaires », À CONDITION que les tailles soient compatibles — et sans jamais commuter les blocs :

(A 0 B C) (A^{'} 0 B^{'} C^{'}) = (A A^{'} 0 A B^{'} + B C^{'} C C^{'})

. Conséquence utile : le produit de deux triangulaires par blocs (même découpage) reste triangulaire par blocs, et

det (A 0 B C) = det A \cdot det C

⚠ Piège — L'endomorphisme induit exige la stabilité. Parler de « la restriction

u_{F}

comme endomorphisme de

F

» n'a de sens que si

u (F) \subset F

a été démontré. Les correcteurs signalent les copies qui invoquent le déterminant ou le polynôme caractéristique de

u_{F}

sans avoir justifié la stabilité — la question « montrer que

F

est stable » n'est jamais décorative.

3. La trace : l'invariant le plus utile du programme

Définition 3.1 — Trace d'une matrice carrée

La trace de $A = (a_{ij}) \in M_{n} (K)$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii} .

C'est une forme linéaire sur $M_{n} (K)$ : $tr (λ A + B) = λ tr (A) + tr (B)$ .

Théorème 3.2 — Propriété fondamentale : tr(AB) = tr(BA) ★ À savoir démontrer

Pour toutes matrices $A \in M_{n, p} (K)$ et $B \in M_{p, n} (K)$ : $tr (A B) = tr (B A)$ .

Démonstration (échange de deux sommes finies)

Par définition du produit matriciel :

tr (A B) = i = 1 \sum n (A B)_{ii} = i = 1 \sum n k = 1 \sum p a_{ik} b_{k i} = k = 1 \sum p i = 1 \sum n b_{k i} a_{ik} = k = 1 \sum p (B A)_{k k} = tr (B A) .

L'échange des deux sommes finies est licite sans condition. Attention, le résultat ne se généralise PAS en « la trace est invariante par permutation quelconque » : $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)$ (permutations circulaires), mais $tr (A B C) \neq = tr (B A C)$ en général.

Corollaire 3.3 — Trace d'un endomorphisme

Deux matrices semblables ont la même trace : $tr (P^{- 1} A P) = tr (A P P^{- 1}) = tr (A)$ . On peut donc définir la trace d'un endomorphisme $u$ d'un espace de dimension finie : c'est la trace de sa matrice dans n'importe quelle base.

Proposition 3.4 — Trace d'un projecteur ★ À savoir démontrer

Si $p$ est un projecteur d'un espace $E$ de dimension finie, alors : $tr (p) = rg (p)$ .

Démonstration (base adaptée à Im p ⊕ ker p)

Un projecteur vérifie $p^{2} = p$ et $E = Im p \oplus ker p$ (résultat de sup). Sur $Im p$ , $p$ agit comme l'identité : si $y = p (x)$ , alors $p (y) = p^{2} (x) = p (x) = y$ . Sur $ker p$ , $p$ est nulle.

Choisissons une base adaptée à cette décomposition ( $r = rg p$ vecteurs dans $Im p$ , puis $n - r$ dans $ker p$ ). La matrice de $p$ y est diagonale par blocs :

Mat (p) = (I_{r} 0 00), d’o \overset{u}{ˋ} tr (p) = r = rg (p) .

La trace ne dépendant pas de la base (corollaire 3.3), le calcul dans cette base commode vaut en général. C'est le schéma « choisir la bonne base pour calculer un invariant » — omniprésent en réduction.

💡 Exemple culte — Il n'existe pas de matrices telles que AB − BA = Iₙ. En prenant la trace :

tr (A B - B A) = tr (A B) - tr (B A) = 0

, alors que

tr (I_{n}) = n \neq = 0

. Contradiction — l'identité n'est jamais un commutateur en dimension finie. Une ligne, une question d'oral réglée : c'est ça, la puissance de la trace. (Question subsidiaire posée à l'X : et en dimension infinie ? L'opérateur position-dérivation

f \mapsto (x f)^{'} - x f^{'} = f

montre que c'est possible.)

🧑‍🏫 Les invariants, réflexe d'oral

Trace, rang, déterminant : sais-tu lequel dégainer en premier ? Les exercices d'oraux X-ENS et Mines se débloquent souvent par le bon invariant. Un mentor Majorant t'entraîne sur une banque d'exos classés par réflexe, jusqu'à ce que le choix devienne instantané.

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4. Formes linéaires et hyperplans

Définition 4.1 — Forme linéaire

Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire $φ : E \to K$ . Exemples : l'évaluation $P \mapsto P (a)$ sur $K [X]$ , la trace sur $M_{n} (K)$ , l'intégrale $f \mapsto \int_{0}^{1} f$ sur $C ([0, 1])$ , les applications coordonnées dans une base.

Définition 4.2 — Hyperplan

Un hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle. L'équation $φ (x) = 0$ est appelée équation de l'hyperplan $H = ker φ$ .

Théorème 4.3 — Caractérisations des hyperplans ★ À savoir démontrer

Soit $H$ un sous-espace de $E$ .

$H$ est un hyperplan si et seulement si $H$ admet une droite comme supplémentaire : $E = H \oplus K a$ pour tout $a \in / H$ .
En dimension finie $n$ : $H$ est un hyperplan si et seulement si $dim H = n - 1$ .
Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

Démonstration (les trois points)

Hyperplan ⟹ droite supplémentaire. Soit $H = ker φ$ , $φ \neq = 0$ , et $a \in / H$ (donc $φ (a) \neq = 0$ ). Pour tout $x \in E$ , posons $λ = \frac{φ ( x )}{φ ( a )}$ : alors $φ (x - λa) = 0$ , donc $x = \in H (x - λa) + λa$ : $E = H + K a$ . Et si $x \in H \cap K a$ , $x = μ a$ avec $μ φ (a) = 0$ , donc $μ = 0$ : la somme est directe. Réciproque : si $E = H \oplus K a$ , la forme $φ$ qui à $x = h + λa$ associe $λ$ est linéaire, non nulle, de noyau $H$ .

Dimension finie. Si $H = ker φ$ avec $φ \neq = 0$ , alors $Im φ = K$ (sous-espace non nul de $K$ , de dimension 1) et le théorème du rang donne $dim H = n - 1$ . Réciproquement, si $dim H = n - 1$ , on complète une base de $H$ par un vecteur $a$ et la forme « dernière coordonnée » a pour noyau $H$ .

Proportionnalité. Si $ker φ = ker ψ = H$ , prenons $a \in / H$ et posons $μ = \frac{ψ ( a )}{φ ( a )}$ . Les formes $ψ$ et $μ φ$ coïncident sur $H$ (nulles) et en $a$ ; or $E = H \oplus K a$ , donc elles coïncident partout : $ψ = μ φ$ .

📝 Intersections d'hyperplans. En dimension

n

, l'intersection de

p

hyperplans est de dimension au moins

n - p

(chaque équation fait perdre au plus une dimension) ; réciproquement, tout sous-espace de dimension

n - p

est intersection de

p

hyperplans (compléter une base et annuler les

p

dernières coordonnées). C'est la version géométrique de la résolution des systèmes linéaires : un système de

p

équations à

n

inconnues de rang

r

définit un sous-espace de dimension

n - r

⚠ Piège — « L'hyperplan » n'a pas UNE équation. L'équation d'un hyperplan n'est unique qu'à proportionnalité près (troisième point du théorème 4.3). Écrire « donc

φ = ψ

» quand deux formes ont le même noyau est faux : conclure seulement

ψ = μ φ

μ \neq = 0

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Chapitre de « petites questions » dans les gros problèmes d'algèbre — les rapports de jury (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) reviennent sans cesse sur les mêmes maladresses.

⚠ Erreur 1 — Prouver une somme directe de p ≥ 3 sous-espaces avec les intersections deux à deux. Le contre-exemple des trois droites du plan doit être connu. Seule la décomposition du zéro (ou l'argument dimensionnel) prouve le caractère direct pour

p \geq 3

⚠ Erreur 2 — Utiliser l'endomorphisme induit sans avoir prouvé la stabilité. L'ordre de rédaction attendu : (1) montrer

u (F) \subset F

, (2) seulement ensuite parler de

u_{F}

, de sa matrice, de son déterminant. L'inversion de ces étapes est signalée comme « faute de logique » dans les rapports.

⚠ Erreur 3 — Étendre tr(AB) = tr(BA) à toutes les permutations.

tr (A B C) = tr (C A B)

(circulaire) mais PAS

tr (B A C)

en général. Contre-exemple avec des matrices

2 \times 2

élémentaires en deux lignes — à savoir produire si l'oral le demande.

⚠ Erreur 4 — Multiplier des blocs comme des scalaires qui commutent. Dans un produit par blocs, l'ORDRE des blocs est impératif :

A B^{'} + B C^{'}

, pas

B^{'} A + C^{'} B

. Et les tailles doivent être compatibles — un produit par blocs mal découpé n'a simplement pas de sens.

⚠ Erreur 5 — Confondre forme linéaire nulle sur H et forme nulle. Une forme linéaire qui s'annule sur un hyperplan n'est pas nulle : elle est proportionnelle à l'équation de l'hyperplan. En revanche, une forme linéaire qui s'annule sur

E

tout entier est nulle. Cette nuance pilote toutes les questions « montrer que

ψ = μ φ

».

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est l'infrastructure de toute l'algèbre de spé :

Réduction : éléments propres — un sous-espace propre est un noyau, donc stable par tout ce qui commute avec $u$ (proposition 2.3) ; la somme des sous-espaces propres est directe (démonstration type du théorème 1.3).
Diagonalisation — diagonaliser, c'est exactement trouver une base adaptée à une décomposition $E = \oplus_{λ} E_{λ} (u)$ en sous-espaces stables ; la trace devient la somme des valeurs propres.
Espaces euclidiens — le produit scalaire canonique de $M_{n} (R)$ s'écrit $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{T} B)$ ; les hyperplans y sont les orthogonaux de droites.
Topologie des evn — en dimension finie, les formes linéaires sont continues et les hyperplans sont fermés ; la trace, forme linéaire continue, servira dans les exercices de densité ( $GL_{n}$ dense, etc.).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir la somme directe de p sous-espaces et démontrer les trois caractérisations ?
Connais-tu le contre-exemple des trois droites du plan (intersections deux à deux nulles, somme non directe) ?
Sais-tu dérouler la méthode « décomposition du zéro » puis l'argument dimensionnel ?
Sais-tu décomposer une matrice en partie symétrique + antisymétrique par analyse-synthèse ?
Sais-tu définir un sous-espace stable et l'endomorphisme induit, et lire la stabilité sur une matrice par blocs ?
Sais-tu démontrer que ker u et Im u sont stables par tout endomorphisme qui commute avec u ?
Sais-tu multiplier deux matrices par blocs sans commuter les blocs ?
Sais-tu démontrer tr(AB) = tr(BA), et pourquoi seule la permutation circulaire est permise ?
Sais-tu pourquoi la trace d'un endomorphisme est bien définie (invariance par similitude) ?
Sais-tu démontrer que la trace d'un projecteur vaut son rang (base adaptée) ?
Sais-tu prouver en une ligne qu'aucune paire de matrices ne vérifie AB − BA = Iₙ ?
Sais-tu démontrer les trois caractérisations des hyperplans (droite supplémentaire, dimension n − 1, proportionnalité des équations) ?

Démonstrations à savoir refaire

Caractérisations d'une somme directe — décomposition du zéro + concaténation de bases
Stabilité de ker u et Im u sous commutation — deux calculs de 2 lignes
tr(AB) = tr(BA) — échange de deux sommes finies
Trace d'un projecteur = rang — base adaptée à Im p ⊕ ker p
Caractérisations des hyperplans — droite supplémentaire, théorème du rang, proportionnalité

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Sommes directes de plusieurs sous-espaces

2. Sous-espaces stables et endomorphismes induits

3. La trace : l'invariant le plus utile du programme

4. Formes linéaires et hyperplans

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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