Séries entières

Vue d'ensemble

Une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est le prolongement naturel des polynômes à un nombre infini de termes. Sa magie : elle converge dans un disque (le disque de convergence, de rayon $R$ ), et sur ce disque, sa somme est infiniment dérivable, se dérive et s'intègre terme à terme, et ses coefficients sont uniques (identification). C'est l'outil pour DÉVELOPPER les fonctions usuelles ( $e^{x}$ , $cos$ , $ln (1 + x)$ …), résoudre des équations différentielles, calculer des sommes. Et c'est un pilier des concours — présent dans la quasi-totalité des sujets d'analyse. Cette fiche regroupe les théorèmes incontournables, les 3 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Séries entières : rayon de convergence (lemme d'Abel), disque et intervalle de convergence, calcul du rayon (règle de d'Alembert) ; convergence normale sur tout compact du disque ouvert ; continuité de la somme, dérivation et intégration terme à terme (la somme est

C^{\infty}

sur l'intervalle ouvert) ; unicité des coefficients, série de Taylor ; opérations (somme, produit de Cauchy) ; développements en série entière des fonctions usuelles ; fonction exponentielle complexe.

Prérequis

Séries de fonctions : convergence normale, dérivation et intégration terme à terme
Séries numériques : convergence absolue, règle de d'Alembert, comparaison
Développements limités (sup) : Taylor, formules usuelles

🎯 Accompagnement Majorant

Les séries entières ouvrent la moitié des problèmes d'analyse. Rayon, somme, développement : trois réflexes qui font gagner des pages. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font maîtriser le disque de convergence et les DSE usuels jusqu'à l'automatisme — l'investissement le plus rentable de l'année.

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1. Rayon de convergence

Définition 1.1 — Série entière

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}$ (variable $z \in C$ ou $x \in R$ ), où $(a_{n})$ est la suite des coefficients. C'est la « série de Taylor formelle » associée à $(a_{n})$ : un polynôme de degré infini.

Définition 1.2 — Rayon et disque de convergence

Le rayon de convergence $R \in [0, + \infty]$ est le réel (ou $+ \infty$ ) tel que la série converge absolument pour $∣ z ∣ < R$ et diverge pour $∣ z ∣ > R$ (théorème 1.3). Le disque de convergence est le disque ouvert ${z, ∣ z ∣ < R}$ ; pour une variable réelle, on parle de l'intervalle de convergence $] - R, R [$ . Sur ce domaine, la série a toutes les bonnes propriétés (continuité, dérivabilité).

Théorème 1.3 — Lemme d'Abel et existence du rayon ★ À savoir démontrer

Il existe un unique $R \in [0, + \infty]$ , le rayon de convergence, tel que $\sum a_{n} z^{n}$ converge ABSOLUMENT pour $∣ z ∣ < R$ et diverge grossièrement pour $∣ z ∣ > R$ . Lemme d'Abel : si la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée pour un certain $z_{0}$ , alors la série converge absolument pour tout $z$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ .

Démonstration (lemme d'Abel par comparaison géométrique)

Supposons $(a_{n} z_{0}^{n})$ bornée : $\exists M, \forall n, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Soit $z$ avec $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , et posons $q = ∣ z ∣/∣ z_{0} ∣ < 1$ . Alors :

∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n} .

La série majorante $\sum M q^{n}$ est géométrique de raison $q < 1$ , donc convergente. Par comparaison, $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ converge : la série converge ABSOLUMENT pour $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ .

Existence de $R$ . Posons $R = sup {r \geq 0 : (a_{n} r^{n}) born \overset{e}{ˊ} e}$ . Pour $∣ z ∣ < R$ , il existe $r$ avec $∣ z ∣ < r$ et $(a_{n} r^{n})$ bornée : le lemme donne la convergence absolue. Pour $∣ z ∣ > R$ , $(a_{n} z^{n})$ n'est pas bornée (donc ne tend pas vers 0) : divergence grossière. C'est LE théorème structurant — la convergence est « tout ou rien » selon le disque.

Proposition 1.4 — Calcul du rayon (règle de d'Alembert)

Si $a_{n} \neq = 0$ à partir d'un rang et $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \to ℓ$ , alors le rayon de convergence vaut $R = \frac{1}{ℓ}$ (avec $R = + \infty$ si $ℓ = 0$ , $R = 0$ si $ℓ = + \infty$ ). C'est la méthode de calcul la plus courante. Attention : sur le CERCLE $∣ z ∣ = R$ , tout peut arriver (convergence, divergence selon le point) — le rayon ne dit rien du bord.

⚠ Piège — Le comportement sur le CERCLE |z| = R est à part. Le rayon

R

sépare convergence (intérieur) et divergence (extérieur), mais ne dit RIEN du bord

∣ z ∣ = R

. Exemples :

\sum z^{n}

(

R = 1

) diverge partout sur le cercle ;

\sum z^{n} / n^{2}

(

R = 1

) converge partout ;

\sum z^{n} / n

(

R = 1

) converge sauf en

z = 1

. Étudier le bord DEMANDE un travail SÉPARÉ (séries numériques, Abel).

2. Propriétés de la somme sur le disque ouvert

Définition 2.1 — Somme d'une série entière

Sur le disque de convergence, la somme de la série entière est la fonction $S : z \mapsto \sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}$ . Étudier une série entière, c'est étudier cette fonction $S$ : sa régularité, ses valeurs, son éventuelle expression close. Réciproquement, on cherche souvent à écrire une fonction donnée COMME somme d'une série entière (développement).

Théorème 2.2 — Convergence normale sur tout compact et continuité ★ À savoir démontrer

Une série entière de rayon $R > 0$ converge normalement sur tout compact du disque ouvert (en particulier sur tout ${∣ z ∣ \leq r}$ avec $r < R$ ). Sa somme $S (z) = \sum a_{n} z^{n}$ est donc continue sur le disque ouvert.

Démonstration (majoration sur le disque fermé de rayon r)

Soit $r < R$ . Choisissons $ρ$ avec $r < ρ < R$ : la série converge absolument en $ρ$ , donc $(a_{n} ρ^{n})$ est bornée par un $M$ (mieux : $\sum ∣ a_{n} ∣ ρ^{n} < \infty$ ). Sur le disque fermé ${∣ z ∣ \leq r}$ :

∥ a_{n} z^{n} ∥_{\infty} = ∣ z ∣ \leq r sup ∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} ∣ r^{n} = ∣ a_{n} ∣ ρ^{n} (\frac{r}{ρ})^{n} \leq ∣ a_{n} ∣ ρ^{n} .

La série $\sum ∣ a_{n} ∣ r^{n}$ converge (car $r < R$ ), donc $\sum ∥ a_{n} z^{n} ∥_{\infty} < \infty$ : convergence NORMALE sur ${∣ z ∣ \leq r}$ . Comme les $z \mapsto a_{n} z^{n}$ sont continues, la somme est continue sur tout disque fermé de rayon $r < R$ , donc sur le disque OUVERT (la continuité est locale). Noter que la convergence normale sur le disque ouvert TOUT ENTIER est en général FAUSSE — d'où « sur tout compact ».

Théorème 2.3 — Dérivation et intégration terme à terme (variable réelle) ★ À savoir démontrer

Sur l'intervalle ouvert $] - R, R [$ , la somme $S (x) = \sum a_{n} x^{n}$ est de classe $C^{\infty}$ , se dérive et s'intègre TERME À TERME, sans changer le rayon :

S^{'} (x) = n \geq 1 \sum n a_{n} x^{n - 1}, \int_{0}^{x} S (t) d t = n \geq 0 \sum \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} .

Démonstration (même rayon, puis dérivation des séries de fonctions)

Même rayon pour la série dérivée. La série $\sum n a_{n} x^{n - 1}$ a le même rayon $R$ : car $n^{1/ n} \to 1$ , donc $(n a_{n})$ et $(a_{n})$ ont le même rayon (multiplier par $n$ ne change pas $lim sup ∣ a_{n} ∣^{1/ n}$ ). De même pour la série intégrée.

Dérivation terme à terme. Sur tout $[- r, r]$ ( $r < R$ ), la série des dérivées $\sum n a_{n} x^{n - 1}$ converge NORMALEMENT (rayon $R$ , même argument que théorème 2.2). Le théorème de dérivation terme à terme (séries de fonctions) s'applique : $S$ est $C^{1}$ et $S^{'} = \sum n a_{n} x^{n - 1}$ . En itérant, $S$ est $C^{\infty}$ . L'intégration se traite pareil. C'est ce qui fait des séries entières un outil de calcul si souple.

Corollaire 2.4 — Unicité des coefficients (série de Taylor)

Les coefficients sont donnés par les dérivées en 0 : $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ . Deux séries entières de même somme sur un voisinage de 0 ont donc les MÊMES coefficients (identification). C'est le fondement de la méthode « développer et identifier » — pour les équations différentielles notamment.

⚠ Piège — « Développable en série entière » est PLUS FORT que « C^∞ ». Une fonction

C^{\infty}

n'est PAS toujours somme de sa série de Taylor : le contre-exemple célèbre

f (x) = e^{- 1/ x^{2}}

(prolongée par

f (0) = 0

) est

C^{\infty}

avec TOUTES ses dérivées nulles en 0 — sa série de Taylor est nulle, mais

f \neq = 0

. Être développable en série entière (DSE) impose que la série de Taylor CONVERGE vers la fonction — condition supplémentaire.

3. Développements en série entière usuels

Définition 3.1 — Fonction développable en série entière (DSE)

$f$ est développable en série entière au voisinage de 0 s'il existe $r > 0$ et une série entière tels que $f (x) = \sum a_{n} x^{n}$ pour $∣ x ∣ < r$ . Les coefficients sont alors nécessairement $a_{n} = f^{(n)} (0) / n!$ .

Définition 3.2 — Série de Taylor d'une fonction

La série de Taylor d'une fonction $C^{\infty}$ au voisinage de 0 est la série entière $\sum_{n} \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$ . $f$ est DSE si et seulement si sa série de Taylor CONVERGE et a pour somme $f$ sur un voisinage de 0 — ce qui n'est PAS automatique (contre-exemple $e^{- 1/ x^{2}}$ ).

Théorème 3.3 — Les développements de référence

À connaître PAR CŒUR (avec leur rayon) :

e^{x} = n \geq 0 \sum \frac{x ^{n}}{n !} (R = \infty), \frac{1}{1 - x} = n \geq 0 \sum x^{n} (R = 1), ln (1 + x) = n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} (R = 1) .

cos x = n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n}, sin x = n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1} (R = \infty),

(1 + x)^{α} = n \geq 0 \sum (n α) x^{n} (R = 1 si α \in / N), arctan x = n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} (R = 1) .

📐 Méthode-type — Développer une fonction en série entière.

Partir des DSE de référence : reconnaître la fonction comme composée / produit / dérivée / primitive d'une fonction usuelle.
Opérations : substitution ( $x \to x^{2}, - x, α x$ ), dérivation, intégration terme à terme, produit de Cauchy — le rayon se déduit.
Fractions rationnelles : décomposer en éléments simples, puis développer chaque $1/ (x - a)$ via la série géométrique.
Équation différentielle : poser $y = \sum a_{n} x^{n}$ , injecter dans l'équation, identifier terme à terme (relation de récurrence sur les $a_{n}$ ) — méthode reine pour les fonctions « inconnues ».

💡 Exemple — Développer arctan par intégration.

arctan^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} = \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} x^{2 n}

(série géométrique de raison

- x^{2}

R = 1

). En intégrant terme à terme de 0 à

x

(

arctan 0 = 0

) :

arctan x = n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}, R = 1.

x = 1

(bord, à justifier par Abel) :

\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots

— la formule de Leibniz pour

π

. L'intégration terme à terme en action.

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les séries entières sont un chapitre technique — les erreurs viennent des rayons et du bord. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Conclure sur le bord à partir du rayon. Le rayon

R

ne dit RIEN de

∣ z ∣ = R

: convergence, divergence, ou selon le point. Étudier le bord exige un travail SÉPARÉ (série numérique, critère de Leibniz, Abel). Affirmer « converge sur

[- R, R]

» sans étudier les bords est faux.

⚠ Erreur 2 — Croire que C^∞ ⟹ développable en série entière. Le contre-exemple

e^{- 1/ x^{2}}

doit servir de garde-fou. DSE = la série de Taylor CONVERGE VERS la fonction, condition plus forte que

C^{\infty}

⚠ Erreur 3 — Se tromper de rayon après une opération. Dérivation/intégration : rayon INCHANGÉ. Substitution

x \to x^{2}

: le rayon de

\sum a_{n} (x^{2})^{n}

est

R

(

∣ x^{2} ∣ < R ⟺ ∣ x ∣ < R

). Produit de Cauchy : rayon

\geq min (R_{1}, R_{2})

. Suivre l'effet de chaque opération sur le rayon.

⚠ Erreur 4 — Appliquer d'Alembert quand des coefficients sont nuls. Pour

\sum a_{n} x^{2 n}

(coefficients impairs nuls), la règle

∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣

n'a pas de sens directement — poser

u_{n} = a_{n} x^{2 n}

et appliquer d'Alembert au terme général

u_{n}

, pas aux

a_{n}

. Erreur fréquente sur les séries lacunaires.

⚠ Erreur 5 — Oublier de justifier l'interversion sur le bord. Passer à la limite

x \to R^{-}

dans une somme (ex. pour obtenir

π /4

à partir d'arctan) exige le THÉORÈME D'ABEL (convergence de la série au bord + continuité de la somme jusqu'au bord). L'écrire sans justification est un saut sanctionné.

5. Pour aller plus loin

Les séries entières sont un carrefour de l'analyse :

Équations différentielles — la méthode « poser $y = \sum a_{n} x^{n}$ » résout les équations linéaires à coefficients variables (Airy, Bessel…) par récurrence sur les coefficients.
Exponentielle complexe et trigonométrie — $e^{i z}$ définie par sa série entière donne $cos, sin$ et toutes les formules ; la fonction exponentielle complexe unifie l'analyse.
Probabilités — les fonctions génératrices d'une variable aléatoire discrète sont des séries entières ; leur rayon et leurs dérivées donnent les moments.
Analyse complexe (culture) — les fonctions holomorphes sont exactement les sommes de séries entières localement : la théorie de Cauchy prolonge ce chapitre.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une série entière et son rayon de convergence R ?
Sais-tu démontrer le lemme d'Abel (comparaison géométrique) et l'existence de R ?
Sais-tu calculer R par d'Alembert (R = 1/ℓ) ?
Sais-tu que le rayon ne dit rien du bord |z| = R (trois exemples) ?
Sais-tu démontrer la convergence normale sur tout compact et la continuité ?
Sais-tu démontrer la dérivation/intégration terme à terme (même rayon, C∞) ?
Sais-tu que a_n = S⁽ⁿ⁾(0)/n! (unicité des coefficients) ?
Sais-tu qu'une fonction C∞ n'est pas toujours DSE (contre-exemple e^{−1/x²}) ?
Connais-tu les DSE usuels (exp, 1/(1−x), ln(1+x), cos, sin, (1+x)^α, arctan) et leurs rayons ?
Sais-tu développer par opérations (substitution, dérivation, intégration, Cauchy) ?
Sais-tu résoudre une équation différentielle par série entière (récurrence sur a_n) ?
Sais-tu justifier un passage à la limite au bord par le théorème d'Abel (ex. π/4) ?

Démonstrations à savoir refaire

Lemme d'Abel et existence du rayon — comparaison géométrique |a_n z^n| ≤ M q^n
Convergence normale sur tout compact — majoration par ∑|a_n|r^n avec r < R
Dérivation terme à terme — même rayon (n^{1/n} → 1) + séries de fonctions

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Rayon de convergence

2. Propriétés de la somme sur le disque ouvert

3. Développements en série entière usuels

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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