Espaces vectoriels de dimension finie

Vue d'ensemble

La dimension finie est la révolution conceptuelle de la fin de MPSI : elle transforme l'algèbre linéaire — un univers a priori infini de vecteurs — en une géométrie finie où tout se ramène à un nombre, la dimension. Ce chapitre repose sur un théorème central (toutes les bases d'un même espace ont le même cardinal), deux théorèmes de construction (base extraite, base incomplète), et une formule clé (Grassmann) qui relie sommes et intersections de sous-espaces. Cette fiche regroupe les 10 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en khôlle et aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Espace vectoriel de dimension finie, théorème de la dimension, base extraite, base incomplète, dimension d'un sous-espace, caractérisation de l'égalité F = E par la dimension, formule de Grassmann dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G), supplémentarité et dimension, rang d'une famille finie de vecteurs.

Prérequis

Structure d'espace vectoriel sur 𝕂 = ℝ ou ℂ, sous-espace vectoriel, somme et somme directe
Familles libres, génératrices, bases (chapitre EV général)
Combinaisons linéaires, espace vectoriel engendré $Vect (F)$
Sommes directes $F \oplus G$ et caractérisation $F \cap G = {0_{E}}$

🎯 Accompagnement Majorant

La dimension finie c'est LE chapitre qui sépare les MPSI qui visent X-ENS du reste. Les démonstrations (Steinitz, base incomplète, Grassmann) sont structurantes et reviennent en boucle aux oraux. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font passer du « je connais » au « je sais reconstruire » en cours particuliers ciblés.

Trouver un mentor MPSI →

1. Définitions essentielles

Dans toute la fiche, $K$ désigne $R$ ou $C$ , et $E$ est un $K$ -espace vectoriel.

Définition 1.1 — Espace vectoriel de dimension finie

Un $K$ -espace vectoriel $E$ est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie, c'est-à-dire s'il existe $n \in N$ et $(e_{1}, \dots, e_{n}) \in E^{n}$ tels que :

E = Vect (e_{1}, \dots, e_{n}) = {i = 1 \sum n λ_{i} e_{i} λ_{1}, \dots, λ_{n} \in K} .

Sinon, $E$ est dit de dimension infinie.

💡 Exemples canoniques.

$K^{n}$ est de dimension finie, engendré par la base canonique $(e_{1}, \dots, e_{n})$ .
$K_{n} [X]$ (polynômes de degré $\leq n$ ) est de dimension finie, engendré par $(1, X, \dots, X^{n})$ .
$M_{n, p} (K)$ est de dimension finie, engendré par les $n p$ matrices élémentaires $E_{i, j}$ .
$K [X]$ (polynômes sans borne de degré) est de dimension infinie : aucune famille finie ne peut engendrer un polynôme de degré arbitrairement grand.

Définition 1.2 — Dimension d'un espace vectoriel

Si $E$ est de dimension finie et non réduit à ${0_{E}}$ , toutes ses bases ont le même cardinal (théorème 2.1 ci-dessous). Ce cardinal commun est appelé dimension de $E$ et noté $dim_{K} E$ ou simplement $dim E$ . Par convention, $dim {0_{E}} = 0$ .

Définition 1.3 — Rang d'une famille de vecteurs

Soit $F = (x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille finie de vecteurs de $E$ . On appelle rang de $F$ , noté $rg (F)$ , la dimension du sous-espace engendré :

rg (x_{1}, \dots, x_{p}) = dim Vect (x_{1}, \dots, x_{p}) .

On a toujours $rg (F) \leq p$ , avec égalité si et seulement si $F$ est libre.

Définition 1.4 — Sous-espaces supplémentaires

Deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires dans $E$ , ce qu'on note $E = F \oplus G$ , si :

F + G = E et F \cap G = {0_{E}} .

De manière équivalente : tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique $x = x_{F} + x_{G}$ avec $x_{F} \in F$ et $x_{G} \in G$ .

Définition 1.5 — Hyperplan

Un hyperplan de $E$ (de dimension finie $n \geq 1$ ) est un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ tel que $dim H = n - 1$ . De manière équivalente, $H$ admet une droite vectorielle supplémentaire : $E = H \oplus D$ avec $dim D = 1$ .

📝 Lien libre / génératrice / base en dimension finie. Si

dim E = n

, alors pour une famille

F

n

vecteurs : libre

\Leftrightarrow

génératrice

\Leftrightarrow

base. C'est l'équivalence à retenir : dès qu'on a le bon nombre de vecteurs, il suffit de prouver l'une des deux propriétés pour obtenir l'autre — gain de temps massif en DS et khôlle.

2. Le théorème central — théorème de la dimension

C'est le résultat fondateur du chapitre : il justifie qu'on puisse parler de « la » dimension d'un espace. Il repose sur un lemme technique, le lemme d'échange de Steinitz, qui mérite à lui seul d'être maîtrisé.

Lemme 2.1 — Lemme d'échange de Steinitz

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel, $L = (x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille libre et $G = (y_{1}, \dots, y_{n})$ une famille génératrice de $E$ . Alors $p \leq n$ , et on peut compléter $L$ par $n - p$ vecteurs choisis parmi les $y_{j}$ pour obtenir une famille génératrice de $E$ à $n$ éléments.

Théorème 2.2 — Théorème de la dimension ★ À savoir démontrer

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie, non réduit à ${0_{E}}$ . Alors toutes les bases de $E$ ont le même cardinal. Ce cardinal commun est appelé dimension de $E$ .

Démonstration (par double application de Steinitz)

Soient $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ et $B^{'} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{m}^{'})$ deux bases de $E$ . Une base est à la fois libre et génératrice. On applique le lemme de Steinitz deux fois :

$B^{'}$ est libre et $B$ est génératrice, donc Steinitz donne $m \leq n$ .
$B$ est libre et $B^{'}$ est génératrice, donc Steinitz donne $n \leq m$ .

Combinées, ces deux inégalités donnent $n = m$ . Toutes les bases ont donc le même nombre d'éléments, ce qu'on appelle la dimension de $E$ . $□$

Corollaire 2.3 — Dimensions de référence

$dim_{K} K^{n} = n$ (base canonique $(e_{1}, \dots, e_{n})$ )
$dim_{K} K_{n} [X] = n + 1$ (base $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ )
$dim_{K} M_{n, p} (K) = n p$ (base $(E_{i, j})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}$ )
$dim_{R} C = 2$ (base $(1, i)$ ) — attention : $dim_{C} C = 1$
$K [X]$ est de dimension infinie

⚠ Piège #1 — La dimension dépend du corps de base.

C

vu comme

C

-espace vectoriel a pour dimension

1

(base

(1)

), mais vu comme

R

-espace vectoriel sa dimension est

2

(base

(1, i)

). Quand l'énoncé est ambigu, précise toujours

dim_{R}

dim_{C}

. Plus généralement, si

E

est un

C

-ev de dimension

n

, alors vu comme

R

-ev, il est de dimension

2 n

🧑‍🏫 Le lemme de Steinitz, expliqué proprement

Le lemme d'échange est la mécanique cachée derrière TOUT ce chapitre. Beaucoup d'élèves le récitent sans comprendre pourquoi l'échange marche. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X-ENS, tu visualises l'échange au tableau et tu comprends pourquoi les démos de la base extraite, de la base incomplète et du théorème de la dimension en découlent toutes.

Réserver une séance ciblée →

3. Construction de bases — extraite et incomplète

Une fois la dimension bien définie, deux théorèmes pratiques permettent de fabriquer des bases à partir d'une famille donnée. Ils sont les outils quotidiens de l'algèbre linéaire en MPSI.

Théorème 3.1 — Théorème de la base extraite

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et $G$ une famille génératrice finie de $E$ . Alors on peut extraire de $G$ une base de $E$ , c'est-à-dire qu'il existe une sous-famille de $G$ qui est une base de $E$ .

Démonstration (par élimination des vecteurs redondants)

On note $G = (g_{1}, \dots, g_{n})$ . On construit une sous-famille libre en retirant un à un les vecteurs « inutiles » :

Si $G$ est libre, c'est déjà une base (libre + génératrice).
Sinon, il existe une relation $λ_{1} g_{1} + \dots + λ_{n} g_{n} = 0_{E}$ avec au moins un $λ_{k} \neq = 0$ . Alors $g_{k}$ s'exprime comme combinaison linéaire des autres $g_{i}$ , et donc $Vect (g_{1}, \dots, g_{k}, \dots, g_{n}) = Vect (G) = E$ . On retire $g_{k}$ .

La famille a strictement diminué (taille $n - 1$ ) et reste génératrice. On itère tant que la famille n'est pas libre. Le processus s'arrête en au plus $n$ étapes (taille finie), et fournit une sous-famille libre et génératrice : une base. $□$

Théorème 3.2 — Théorème de la base incomplète ★ À savoir démontrer

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ , $L = (x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille libre de $E$ et $G$ une famille génératrice de $E$ . Alors on peut compléter $L$ par des vecteurs de $G$ pour obtenir une base de $E$ .

Démonstration (par construction itérative)

Notons $G = (y_{1}, \dots, y_{m})$ . On construit la base par récurrence sur $L$ . À l'étape $k$ , on dispose d'une famille libre $L_{k} = (x_{1}, \dots, x_{p}, y_{i_{1}}, \dots, y_{i_{k}})$ extraite de $L \cup G$ .

Si $L_{k}$ est génératrice, c'est une base et on s'arrête.
Sinon, $Vect (L_{k}) ⊊ E$ , donc il existe un $y_{j} \in G$ tel que $y_{j} \in / Vect (L_{k})$ — sinon $G \subset Vect (L_{k})$ entraînerait $E = Vect (G) \subset Vect (L_{k})$ , contradiction. On ajoute $y_{j}$ : la famille $L_{k + 1} = L_{k} \cup {y_{j}}$ reste libre (car ajouter un vecteur hors du Vect d'une famille libre préserve la liberté).

Le cardinal de $L_{k}$ augmente strictement à chaque étape, mais reste majoré par $n = dim E$ (Steinitz). Le processus s'arrête donc en au plus $n - p$ étapes sur une famille libre et génératrice : une base. $□$

📐 Méthode-type — Compléter explicitement une famille libre en base. Tu as une famille libre

L = (x_{1}, \dots, x_{p})

dans

E

de dimension

n

, et tu veux compléter en base.

Choisis une base de référence $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ (souvent la base canonique).
Teste les $e_{i}$ un à un : pour $i = 1, 2, \dots, n$ , regarde si $e_{i} \in Vect (L \cup {d \overset{e}{ˊ} j \overset{a}{ˋ} ajout \overset{e}{ˊ} s})$ .
Si non, ajoute $e_{i}$ à ta famille (elle reste libre par construction). Si oui, passe au suivant.
Stop quand tu as exactement $n$ vecteurs : la famille est libre de cardinal $n$ , donc base.

En pratique, pour

E = K^{n}

avec une famille libre donnée, on échelonne la matrice formée par

L

augmentée des

e_{i}

et on retient les vecteurs qui apportent un pivot.

💡 Exemple — Compléter dans $R^{3}$ . Soit

L = (x_{1})

avec

x_{1} = (1, 1, 1)

. On teste la base canonique

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

avec

e_{1} = (1, 0, 0)

(x_{1}, e_{1})

est libre (vecteurs non colinéaires). Ensuite

e_{2} = (0, 1, 0)

: la famille

(x_{1}, e_{1}, e_{2})

a pour matrice

111100010

de déterminant

- 1 \neq = 0

— la famille est libre, de cardinal 3 = dim, c'est donc une base de

R^{3}

4. Dimension d'un sous-espace

Théorème 4.1 — Dimension d'un sous-espace ★ À savoir démontrer

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors :

$F$ est de dimension finie ;
$dim F \leq dim E$ ;
$dim F = dim E$ si et seulement si $F = E$ .

Démonstration

(1) et (2). Notons $n = dim E$ . Considérons les familles libres contenues dans $F$ . La famille vide convient, donc cet ensemble est non vide. De plus, toute famille libre de $F$ est aussi libre dans $E$ , donc son cardinal est majoré par $n$ (lemme de Steinitz). L'ensemble des cardinaux des familles libres de $F$ est donc une partie non vide majorée de $N$ : elle admet un maximum, atteint par une famille libre $L = (x_{1}, \dots, x_{p})$ avec $p \leq n$ .

Montrons que $L$ engendre $F$ . Soit $x \in F$ . Si $x \in / Vect (L)$ , alors $(x_{1}, \dots, x_{p}, x)$ serait libre dans $F$ de cardinal $p + 1$ , contradisant la maximalité. Donc $x \in Vect (L)$ , et $L$ est une base de $F$ . Ainsi $F$ est de dimension finie et $dim F = p \leq n = dim E$ .

(3). Si $F = E$ , alors $dim F = dim E$ . Réciproquement, supposons $dim F = n = dim E$ . Soit $B_{F} = (x_{1}, \dots, x_{n})$ une base de $F$ . C'est une famille libre de $E$ à $n = dim E$ éléments : par la remarque clé (libre + bon cardinal = base), c'est une base de $E$ . Donc $E = Vect (B_{F}) \subset F$ , d'où $F = E$ . $□$

⚠ Piège #2 — L'égalité $F = E$ ne se déduit pas de $F \subset E$ seul. On a toujours

F \subset E

par hypothèse (sous-espace). Pour conclure

F = E

, on doit montrer l'autre inclusion. La méthode reine en dim finie : prouver

dim F = dim E

— beaucoup plus rapide que d'exhiber un système générateur.

📐 Méthode-type — Prouver $F = E$ en dimension finie. Tu as un sous-espace

F \subset E

de dim finie et tu veux montrer

F = E

. Deux stratégies, dans cet ordre :

Calculer les dimensions séparément et vérifier $dim F = dim E$ (équivaut à $F = E$ d'après le théorème 4.1). C'est la méthode rapide.
Trouver une base de $E$ qui est aussi dans $F$ : si une base de $E$ est contenue dans $F$ , alors $E = Vect (B) \subset F$ , d'où $F = E$ .

Ne te lance jamais dans la double inclusion explicite (

F \subset E

E \subset F

) en dim finie : c'est trois fois plus long pour le même résultat.

5. Sommes, intersections et formule de Grassmann

Théorème 5.1 — Formule de Grassmann ★ À savoir démontrer

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimension finie d'un $K$ -espace vectoriel $E$ . Alors $F + G$ et $F \cap G$ sont de dimension finie, et :

dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G) .

Démonstration (par base adaptée à F ∩ G)

Notons $p = dim (F \cap G)$ , $f = dim F$ , $g = dim G$ . Soit $(a_{1}, \dots, a_{p})$ une base de $F \cap G$ . Comme $F \cap G \subset F$ , on complète cette famille libre en une base de $F$ (théorème de la base incomplète) : $(a_{1}, \dots, a_{p}, b_{1}, \dots, b_{f - p})$ . De même, on complète en une base de $G$ : $(a_{1}, \dots, a_{p}, c_{1}, \dots, c_{g - p})$ .

On affirme que la famille $B = (a_{1}, \dots, a_{p}, b_{1}, \dots, b_{f - p}, c_{1}, \dots, c_{g - p})$ est une base de $F + G$ .

Génératrice. Tout vecteur de $F + G$ s'écrit $x_{F} + x_{G}$ avec $x_{F} \in F$ , $x_{G} \in G$ . On décompose $x_{F}$ sur la base de $F$ et $x_{G}$ sur la base de $G$ : on obtient bien une combinaison linéaire des éléments de $B$ .

Libre. Supposons $\sum α_{i} a_{i} + \sum β_{j} b_{j} + \sum γ_{k} c_{k} = 0_{E}$ . Alors le vecteur $v = \sum α_{i} a_{i} + \sum β_{j} b_{j} = - \sum γ_{k} c_{k}$ appartient à la fois à $F$ (côté gauche) et à $Vect (c_{1}, \dots, c_{g - p})$ (côté droit, donc à $G$ ). Donc $v \in F \cap G$ , et $v$ se décompose aussi sur $(a_{1}, \dots, a_{p})$ .

L'écriture de $v$ sur la base de $G$ — qui est $(a_{1}, \dots, a_{p}, c_{1}, \dots, c_{g - p})$ — est unique : on a $v = \sum α_{i}^{'} a_{i} + 0 \cdot c_{k} = - \sum γ_{k} c_{k}$ , donc tous les $γ_{k} = 0$ . Du coup $\sum α_{i} a_{i} + \sum β_{j} b_{j} = 0_{E}$ dans $F$ : par liberté de la base de $F$ , tous les $α_{i}$ et $β_{j}$ sont nuls. La famille $B$ est libre.

On compte : $∣ B ∣ = p + (f - p) + (g - p) = f + g - p$ . Donc $dim (F + G) = f + g - p = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ . $□$

Corollaire 5.2 — Dimension d'une somme directe

Si $F$ et $G$ sont en somme directe ( $F \cap G = {0_{E}}$ ), alors $dim (F \cap G) = 0$ et la formule de Grassmann donne :

dim (F \oplus G) = dim F + dim G .

Plus généralement, si $F_{1}, \dots, F_{r}$ sont en somme directe : $dim (F_{1} \oplus \dots \oplus F_{r}) = dim F_{1} + \dots + dim F_{r}$ .

Théorème 5.3 — Caractérisation des supplémentaires en dim finie

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un $K$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) $E = F \oplus G$ ;
(ii) $F + G = E$ et $dim F + dim G = dim E$ ;
(iii) $F \cap G = {0_{E}}$ et $dim F + dim G = dim E$ .

📐 Méthode-type — Prouver $E = F \oplus G$ en dimension finie. Au lieu de vérifier les deux conditions

F + G = E

F \cap G = {0_{E}}

(ce qui demande deux preuves), tu peux faire :

Calcule $dim F$ et $dim G$ séparément.
Vérifie $dim F + dim G = dim E$ . Si ce n'est pas le cas, la somme directe est impossible — autant le savoir tout de suite.
Prouve seulement $F \cap G = {0_{E}}$ (en général, c'est le plus facile : soit $x \in F \cap G$ , on combine les équations pour conclure $x = 0_{E}$ ).
Conclus avec le théorème 5.3 : $E = F \oplus G$ .

Tu économises la preuve de $F + G = E$ , qui est souvent la plus lourde.

💡 Exemple canonique — Polynômes pairs/impairs. Dans

K_{n} [X]

, soit

P = {P \in K_{n} [X] ∣ P (- X) = P (X)}

(polynômes pairs) et

I = {P \in K_{n} [X] ∣ P (- X) = - P (X)}

(polynômes impairs). On a

P \cap I = {0}

(car

P

pair et impair

\Rightarrow P = 0

), et tout

P

se décompose

P (X) = \frac{P ( X ) + P ( - X )}{2} + \frac{P ( X ) - P ( - X )}{2}

. Donc

K_{n} [X] = P \oplus I

, et

dim P + dim I = n + 1

⚠ Piège #3 — Grassmann ne se généralise PAS naïvement à 3 sous-espaces. En général,

dim (F_{1} + F_{2} + F_{3}) \neq = dim F_{1} + dim F_{2} + dim F_{3} - dim (F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3})

. L'analogue de Grassmann à 3 espaces met en jeu toutes les intersections deux à deux (formule d'inclusion-exclusion qui ne fonctionne pas pour les sous-espaces en général). Reste sur 2 sous-espaces ou utilise des sommes directes.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre linéaire. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de préciser le corps de base. « Quelle est la dimension de

C^{n}

? » n'a de sens qu'avec un corps précisé.

dim_{C} C^{n} = n

, mais

dim_{R} C^{n} = 2 n

. Précise toujours

dim_{K}

quand l'énoncé travaille avec deux corps (typique dans les sujets mêlant

R

C

⚠ Erreur 2 — Appliquer Grassmann sans vérifier la dimension finie. La formule

dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)

suppose

F

G

de dimension finie. Si l'un des deux est de dimension infinie, la formule n'a pas de sens. Dans les sujets sur

K [X]

C ([0, 1], R)

, réfléchis avant d'écrire la formule.

⚠ Erreur 3 — Confondre « famille libre de cardinal n » et « base ». En dim finie

n

, une famille libre de

n

vecteurs est une base — mais une famille libre de

n - 1

vecteurs n'est PAS une base (elle ne génère pas

E

). Vérifie toujours le cardinal avant d'appliquer l'équivalence libre

\Leftrightarrow

base.

⚠ Erreur 4 — Croire que $F \subset G$ avec $dim F = dim G$ implique seulement $F \subset G$ . Si

F \subset G

dim F = dim G

(avec

G

de dim finie), alors

F = G

— c'est le point (3) du théorème 4.1 appliqué dans

G

. Beaucoup d'élèves oublient ce raccourci et se lancent dans une double inclusion fastidieuse.

⚠ Erreur 5 — Justifier la somme directe par $F \cap G = {0_{E}}$ sans vérifier la dimension. En dim finie,

E = F \oplus G

demande deux choses :

F \cap G = {0_{E}}

dim F + dim G = dim E

(théorème 5.3). Sans la condition de dimension, tu prouves seulement que

F

G

sont en somme directe — pas qu'ils sont supplémentaires dans $E$ .

7. Pour aller plus loin

La dimension finie est l'infrastructure de toute l'algèbre linéaire de MPSI et de spé. Les chapitres qui s'appuient directement dessus :

Applications linéaires en dim finie — Toute application linéaire entre espaces de dim finie se code par une matrice. Le rang d'une application est le rang de sa matrice, le théorème du rang en découle.
Théorème du rang — $dim E = dim ker f + rg (f)$ , conséquence directe de Grassmann appliquée à $ker f$ et un supplémentaire.
Matrices et déterminants — Le déterminant n'est défini qu'en dim finie ; il caractérise les bases (det ≠ 0 $\Leftrightarrow$ base).
Réduction des endomorphismes (MP/PSI/PC) — Diagonalisation et trigonalisation reposent entièrement sur la décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces propres ou caractéristiques.
Espaces euclidiens (MP/PSI/PC) — Orthonormalisation de Gram-Schmidt, supplémentaires orthogonaux : tout repose sur la formule de Grassmann appliquée à $F$ et $F^{⊥}$ .

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS d'algèbre linéaire, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un espace vectoriel de dimension finie (existence d'une famille génératrice finie) ?
Sais-tu énoncer ET démontrer le théorème de la dimension (toutes les bases ont même cardinal) ?
Connais-tu les dimensions de référence : $dim K^{n} = n$ , $dim K_{n} [X] = n + 1$ , $dim M_{n, p} (K) = n p$ ?
Sais-tu énoncer le théorème de la base extraite et le théorème de la base incomplète ?
Sais-tu démontrer le théorème de la base incomplète par construction itérative ?
Sais-tu compléter explicitement une famille libre en base via la méthode-type (4 étapes) ?
Sais-tu démontrer que pour $F \subset E$ de dim finie, $dim F \leq dim E$ avec égalité ssi $F = E$ ?
Sais-tu énoncer ET démontrer la formule de Grassmann $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ ?
Sais-tu caractériser les supplémentaires en dim finie (3 conditions équivalentes du Th. 5.3) ?
Connais-tu la méthode-type pour prouver $E = F \oplus G$ (calculer les dim + montrer $F \cap G = {0_{E}}$ ) ?
Sais-tu définir le rang d'une famille de vecteurs et le relier à la liberté ?
Connais-tu le piège de la dimension dépendant du corps de base ( $dim_{R} C = 2$ ) ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème de la dimension — par double application du lemme d'échange de Steinitz
Théorème de la base incomplète — construction itérative, ajout d'un vecteur hors du Vect courant
Dimension d'un sous-espace — famille libre maximale dans $F$ , inégalité $\leq n$ , égalité ssi $F = E$
Formule de Grassmann — base de $F \cap G$ complétée en bases de $F$ et $G$ , recollage en base de $F + G$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Le théorème central — théorème de la dimension

3. Construction de bases — extraite et incomplète

4. Dimension d'un sous-espace

5. Sommes, intersections et formule de Grassmann

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?