Systèmes linéaires

Vue d'ensemble

Les systèmes linéaires $A X = B$ sont la pierre angulaire de tout le programme d'algèbre linéaire MPSI : ils font le pont entre les matrices, les applications linéaires et la géométrie affine. Cette fiche regroupe les 8 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges classiques que les correcteurs sanctionnent au DS et en khôlle. On y voit comment traduire un système en équation matricielle, comment décrire entièrement son ensemble de solutions grâce à la structure « solution particulière + noyau », et comment calculer efficacement par la méthode du pivot de Gauss.

Au programme MPSI (officiel) — Systèmes linéaires : écriture matricielle

A X = B

, interprétation par une application linéaire, structure de l'ensemble des solutions (sous-espace affine), rang d'un système, théorème de Rouché-Fontené, système homogène associé, opérations élémentaires sur les lignes, méthode du pivot de Gauss, systèmes triangulaires et diagonaux, systèmes de Cramer, formules de Cramer.

Prérequis

Calcul matriciel : produit $A X$ , matrices inversibles, déterminant d'une matrice carrée
Applications linéaires : noyau $Ker (f)$ , image $Im (f)$ , rang, théorème du rang
Sous-espaces vectoriels et sous-espaces affines de $K^{n}$ ( $K = R$ ou $C$ )

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Système linéaire m × n

Un système linéaire à $m$ équations et $n$ inconnues à coefficients dans $K$ (avec $K = R$ ou $C$ ) est un système de la forme :

(S) ⎩ ⎨ ⎧ a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} = b_{1} a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} = b_{m}

où les $a_{i, j} \in K$ et $b_{i} \in K$ sont donnés, et les $x_{j}$ sont les inconnues. Le second membre est le vecteur $B = (b_{1}, \dots, b_{m})^{⊤} \in K^{m}$ .

Définition 1.2 — Écriture matricielle

A X = B

En posant $A = (a_{i, j}) \in M_{m, n} (K)$ , $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤} \in K^{n}$ et $B = (b_{1}, \dots, b_{m})^{⊤} \in K^{m}$ , le système $(S)$ se réécrit de manière condensée :

A X = B .

La matrice $A$ est dite matrice du système ; la matrice $A ∣ B \in M_{m, n + 1} (K)$ , obtenue en accolant la colonne $B$ à droite de $A$ , est la matrice augmentée.

Définition 1.3 — Interprétation par une application linéaire

Soit $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ l'application linéaire canoniquement associée à $A$ , définie par $f_{A} (X) = A X$ . Alors résoudre $A X = B$ revient à déterminer l'image réciproque de $B$ par $f_{A}$ :

S_{B} = f_{A}^{- 1} ({B}) = {X \in K^{n} ∣ f_{A} (X) = B} .

C'est le point de vue le plus puissant : il transforme un problème de calcul (résoudre un système) en un problème de structure (décrire $f_{A}^{- 1} ({B})$ ).

Définition 1.4 — Système compatible, incompatible

Le système $(S) : A X = B$ est dit :

compatible s'il admet au moins une solution, soit $S_{B} \neq = \emptyset$ ;
incompatible sinon, soit $S_{B} = \emptyset$ .

De manière équivalente, $(S)$ est compatible si et seulement si $B \in Im (f_{A})$ .

Définition 1.5 — Système homogène associé

Le système homogène associé à $A X = B$ est le système $A X = 0$ . Son ensemble de solutions est :

S_{0} = {X \in K^{n} ∣ A X = 0} = Ker (f_{A}) .

C'est un sous-espace vectoriel de $K^{n}$ (toujours non vide : il contient au moins $X = 0$ ).

Définition 1.6 — Rang d'un système

Le rang du système $(S) : A X = B$ est par définition le rang de sa matrice $A$ , c'est-à-dire la dimension de l'image de $f_{A}$ :

rg (S) = rg (A) = dim Im (f_{A}) .

On a toujours $0 \leq rg (A) \leq min (m, n)$ .

Définition 1.7 — Système de Cramer

Le système $A X = B$ est dit de Cramer si la matrice $A$ est carrée ( $m = n$ ) et inversible. Il admet alors une unique solution donnée par $X = A^{- 1} B$ .

Définition 1.8 — Système triangulaire, système diagonal

Si $A$ est triangulaire (supérieure ou inférieure) sans coefficient diagonal nul, le système est dit triangulaire : il se résout par substitution remontante (resp. descendante). Si $A$ est diagonale à coefficients tous non nuls, on résout immédiatement $x_{i} = b_{i} / a_{i, i}$ .

2. Structure de l'ensemble des solutions

C'est le cœur du chapitre : avant de calculer les solutions, on sait déjà à quoi leur ensemble ressemble. Trois cas, et trois seulement.

2.1 — Les trois cas exclusifs

Théorème 2.1 — Trichotomie de l'ensemble des solutions

Soit $(S) : A X = B$ un système linéaire $m \times n$ . L'ensemble $S_{B}$ de ses solutions est exactement de l'un des trois types suivants :

vide ( $S_{B} = \emptyset$ ) : le système est incompatible ;
réduit à un point ( $S_{B} = {X_{0}}$ ) : il existe une unique solution ;
sous-espace affine de dimension $\geq 1$ : il existe une infinité de solutions, paramétrées par $n - rg (A)$ paramètres.

2.2 — Solution particulière + noyau

Théorème 2.2 — Structure « solution particulière + solution générale de l'homogène » ★ À savoir démontrer

Si le système $A X = B$ est compatible et si $X_{p}$ est une solution particulière, alors l'ensemble des solutions est :

S_{B} = X_{p} + Ker (f_{A}) = {X_{p} + X_{h} X_{h} \in Ker (f_{A})} .

Autrement dit, $S_{B}$ est le sous-espace affine de $K^{n}$ passant par $X_{p}$ et de direction $Ker (f_{A})$ .

Démonstration (par double inclusion)

Supposons $X_{p}$ solution, soit $A X_{p} = B$ . On montre l'égalité $S_{B} = X_{p} + Ker (f_{A})$ par double inclusion.

(⊃) Soit $X_{h} \in Ker (f_{A})$ , c'est-à-dire $A X_{h} = 0$ . Alors $A (X_{p} + X_{h}) = A X_{p} + A X_{h} = B + 0 = B$ , donc $X_{p} + X_{h} \in S_{B}$ .

(⊂) Soit $X \in S_{B}$ , soit $A X = B$ . Posons $X_{h} = X - X_{p}$ . Alors $A X_{h} = A X - A X_{p} = B - B = 0$ , donc $X_{h} \in Ker (f_{A})$ et $X = X_{p} + X_{h} \in X_{p} + Ker (f_{A})$ .

Les deux inclusions donnent l'égalité. La direction du sous-espace affine est bien $Ker (f_{A})$ , qui est un sous-espace vectoriel de $K^{n}$ . □

📐 Méthode-type — Résolution complète d'un système $A X = B$ . L'application directe du théorème 2.2 donne le plan en 3 étapes que les correcteurs attendent :

Résoudre l'homogène $A X = 0$ . Obtenir une base de $Ker (f_{A})$ , de dimension $n - rg (A)$ .
Trouver une solution particulière $X_{p}$ de $A X = B$ . Souvent par « œil » (essayer $X = (b_{1}, 0, \dots, 0)^{⊤}$ ou un vecteur simple), sinon par pivot.
Conclure : $S_{B} = X_{p} + Vect (base de Ker)$ .

Ne décris jamais une solution par « on trouve $x_{1} = \dots, x_{2} = \dots$ » sans afficher la structure affine : c'est ce qui est sanctionné en concours.

2.3 — Dimension du noyau et nombre de paramètres

Théorème 2.3 — Dimension du noyau (théorème du rang appliqué) ★ À savoir démontrer

Pour toute matrice $A \in M_{m, n} (K)$ , on a :

dim Ker (f_{A}) = n - rg (A) .

Ainsi, si le système $A X = B$ est compatible, l'ensemble de ses solutions est un sous-espace affine de dimension $n - rg (A)$ , paramétré par $n - rg (A)$ inconnues libres.

Démonstration (théorème du rang)

L'application linéaire $f_{A} : K^{n} \to K^{m}$ est définie sur un espace de dimension finie $n$ . Le théorème du rang appliqué à $f_{A}$ donne :

dim Ker (f_{A}) + dim Im (f_{A}) = dim K^{n} = n .

Or par définition $rg (A) = dim Im (f_{A})$ , d'où immédiatement $dim Ker (f_{A}) = n - rg (A)$ . □

Conséquence pratique : pour anticiper la taille de l'ensemble des solutions, calcule $rg (A)$ (par pivot) avant même de chercher $X_{p}$ . Si $rg (A) = n$ , il y aura unicité (modulo compatibilité) ; sinon $n - rg (A)$ paramètres libres apparaîtront.

💡 Exemple — Système 2 × 3 de rang 2. Soit

(S) {x + y + z = 1 x - y + 2 z = 0

Ici

m = 2

n = 3

. On vérifie que

rg (A) = 2

, donc

dim Ker (f_{A}) = 3 - 2 = 1

: un paramètre libre. Le système est compatible (vérifié plus loin par Rouché-Fontené), et l'ensemble des solutions est une droite affine de

R^{3}

, de la forme

X_{p} + R \cdot X_{h}

3. Théorème de Rouché-Fontené (critère de compatibilité)

Le théorème 2.2 décrit $S_{B}$ quand le système est compatible. Mais comment savoir, avant de chercher $X_{p}$ , si la résolution a une chance d'aboutir ? Réponse : le théorème de Rouché-Fontené, qui compare le rang de $A$ et celui de la matrice augmentée $A ∣ B$ .

Théorème 3.1 — Rouché-Fontené ★ À savoir démontrer

Le système $A X = B$ est compatible si et seulement si :

rg (A) = rg (A ∣ B) .

Lorsque c'est le cas, l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension $n - rg (A)$ (théorème 2.3).

Démonstration (via l'image de

f_{A}

)

Notons $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $A$ , vues comme vecteurs de $K^{m}$ . Pour $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤}$ , le produit matriciel s'écrit :

A X = x_{1} C_{1} + x_{2} C_{2} + \dots + x_{n} C_{n} .

Donc l'image $Im (f_{A}) = {A X ∣ X \in K^{n}}$ est exactement $Vect (C_{1}, \dots, C_{n})$ , le sous-espace de $K^{m}$ engendré par les colonnes de $A$ . Sa dimension est par définition $rg (A)$ .

(⇒) Si $A X = B$ a une solution, alors $B \in Im (f_{A}) = Vect (C_{1}, \dots, C_{n})$ , donc $Vect (C_{1}, \dots, C_{n}, B) = Vect (C_{1}, \dots, C_{n})$ . Or $Vect (C_{1}, \dots, C_{n}, B)$ est précisément l'espace engendré par les colonnes de la matrice augmentée $A ∣ B$ , donc $rg (A ∣ B) = rg (A)$ .

(⇐) Réciproquement, si $rg (A) = rg (A ∣ B)$ , alors $Vect (C_{1}, \dots, C_{n}) = Vect (C_{1}, \dots, C_{n}, B)$ (deux sous-espaces de $K^{m}$ , l'un inclus dans l'autre, et de même dimension). Donc $B$ appartient au premier, soit $B \in Im (f_{A})$ , et il existe $X$ tel que $A X = B$ . □

⚠ Piège classique de Rouché-Fontené. Le théorème dit que la compatibilité équivaut à l'égalité des deux rangs, pas à une simple inégalité. Bien sûr, on a toujours

rg (A) \leq rg (A ∣ B) \leq rg (A) + 1

(la matrice augmentée a une colonne de plus), donc le test pratique est : « est-ce que $B$ augmente le rang ? ». Si oui (

rg (A ∣ B) = rg (A) + 1

), le système est incompatible. Beaucoup d'élèves intervertissent l'implication.

Corollaire 3.2 — Cas du système homogène

Le système homogène $A X = 0$ est toujours compatible (il admet au moins la solution nulle $X = 0$ ). Son ensemble de solutions est $Ker (f_{A})$ , de dimension $n - rg (A)$ . En particulier, il admet une solution non nulle si et seulement si $rg (A) < n$ .

🧑‍🏫 Décortique Rouché-Fontené avec un mentor

Rouché-Fontené est LA question d'oral type aux Mines et à Centrale. Le jury demande non seulement l'énoncé, mais le schéma de démonstration via les colonnes de $A$ . En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu fixes définitivement le lien rang/image/colonnes — celui qui revient en spé en réduction d'endomorphismes.

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4. Méthode du pivot de Gauss

En pratique, on ne calcule jamais $A^{- 1}$ ni les déterminants pour résoudre un système : on applique le pivot de Gauss directement sur la matrice augmentée $A ∣ B$ . C'est l'algorithme universel — il résout, détermine le rang et teste la compatibilité en même temps.

4.1 — Opérations élémentaires sur les lignes

Définition 4.1 — Trois opérations élémentaires

Sur la matrice augmentée $A ∣ B$ , on s'autorise trois opérations élémentaires qui ne changent pas l'ensemble des solutions du système :

Échange de deux lignes : $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ ;
Dilatation : $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ avec $λ \in K^{*}$ ;
Transvection : $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ avec $i \neq = j$ et $λ \in K$ .

Proposition 4.2 — Invariance de l'ensemble des solutions

Toute opération élémentaire sur les lignes de la matrice augmentée $A ∣ B$ transforme le système en un système équivalent (c'est-à-dire ayant exactement le même ensemble de solutions). Elle préserve aussi le rang de $A$ .

4.2 — Algorithme du pivot (échelonnement + remontée)

Théorème 4.3 — Méthode du pivot de Gauss ★ À savoir démontrer

Toute matrice augmentée $A ∣ B$ peut, en un nombre fini d'opérations élémentaires sur les lignes, être transformée en une matrice échelonnée. On lit alors directement sur cette forme :

le rang $rg (A)$ (nombre de pivots non nuls dans les colonnes de $A$ ) ;
la compatibilité ( $B$ compatible ssi aucune ligne du type « $0 = β$ » avec $β \neq = 0$ n'apparaît) ;
l'ensemble des solutions complet par remontée.

Démonstration (algorithme d'échelonnement)

On procède par récurrence sur le nombre de lignes $m$ (ou de colonnes $n$ ). L'idée est : à chaque étape, on choisit un pivot non nul dans la colonne courante (par échange de lignes si nécessaire), puis on annule par transvections toute la sous-colonne en dessous du pivot.

Étape 1 — Si la première colonne de $A$ est entièrement nulle, on passe à la colonne suivante. Sinon, par échange de lignes on amène un coefficient non nul $a_{1, 1}^{(0)}$ en position $(1, 1)$ : c'est le premier pivot.

Étape 2 — Pour chaque $i \geq 2$ , on applique la transvection $L_{i} \leftarrow L_{i} - \frac{a _{i, 1}^{(0)}}{a _{1, 1}^{(0)}} L_{1}$ pour annuler le coefficient en position $(i, 1)$ . Après cette étape, la première colonne ne contient plus que le pivot en $(1, 1)$ et des zéros en dessous.

Étape 3 — On recommence sur le bloc $(m - 1) \times (n - 1)$ obtenu en ignorant la première ligne et la première colonne, jusqu'à épuisement des lignes ou des colonnes. L'algorithme termine en au plus $min (m, n)$ étapes, et la matrice finale est échelonnée.

Remontée — La matrice étant échelonnée, les inconnues correspondant à des colonnes sans pivot sont des paramètres libres (au nombre de $n - rg (A)$ ). On exprime les autres inconnues en remontant, ligne par ligne, depuis la dernière équation non triviale. □

💡 Exemple complet — Résolution par pivot. Reprenons l'exemple précédent :

(11 1 - 1 1210) L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} (10 1 - 2 11 1 - 1) .

Forme échelonnée, 2 pivots :

rg (A) = rg (A ∣ B) = 2

, donc compatible. Inconnue libre :

z

(pas de pivot en colonne 3). Remontée : la ligne 2 donne

- 2 y + z = - 1

soit

y = \frac{1 + z}{2}

, puis la ligne 1 donne

x = 1 - y - z = \frac{1 - 3 z}{2}

. D'où :

S_{B} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) + z \cdot (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1) z \in R} .

Droite affine de

R^{3}

, conforme à

n - rg (A) = 3 - 2 = 1

paramètre.

📐 Méthode-type — Résoudre par pivot un système $A X = B$ .

Écrire la matrice augmentée $A ∣ B$ : aligne soigneusement les colonnes.
Échelonner par opérations élémentaires sur les lignes : indique à chaque étape l'opération exacte ( $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ ).
Compter les pivots dans les colonnes de $A$ : c'est $rg (A)$ .
Test de compatibilité : vérifier qu'aucune ligne « $0 = β$ » avec $β \neq = 0$ n'apparaît. Sinon, conclure $S_{B} = \emptyset$ .
Remontée : isole les inconnues libres (colonnes sans pivot), puis exprime les autres en partant de la dernière équation et en remontant.
Mettre en forme la solution : $S_{B} = X_{p} + Vect (base de Ker)$ .

Et surtout : écris la phrase de conclusion. Une copie qui se termine par « après remontée » sans afficher

S_{B}

perd 1 point sec.

5. Systèmes de Cramer et formules de Cramer

Le cas carré inversible est particulièrement simple : il y a toujours une unique solution, et on peut l'écrire en forme close grâce aux déterminants. C'est rarement la méthode la plus efficace en pratique (le pivot reste plus rapide en grande taille), mais c'est un outil théorique précieux — et il revient en oral.

Théorème 5.1 — Caractérisation des systèmes de Cramer

Soit $A \in M_{n} (K)$ carrée. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $A$ est inversible ;
(ii) $det (A) \neq = 0$ ;
(iii) $rg (A) = n$ ;
(iv) le système $A X = B$ admet une unique solution, pour tout $B \in K^{n}$ ;
(v) le système homogène $A X = 0$ n'admet que la solution nulle $X = 0$ .

Dans ce cas, l'unique solution de $A X = B$ est :

X = A^{- 1} B .

Théorème 5.2 — Formules de Cramer

Soit $A X = B$ un système de Cramer de taille $n \times n$ . Pour chaque $i \in {1, \dots, n}$ , soit $A_{i} \in M_{n} (K)$ la matrice obtenue en remplaçant la $i$ -ème colonne de $A$ par le second membre $B$ . Alors la $i$ -ème coordonnée de la solution $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤}$ est :

x_{i} = \frac{det ( A _{i} )}{det ( A )} .

💡 Exemple — Cramer 2 × 2. Soit

{2 x + y = 5 x - 3 y = - 1 soit A = (21 1 - 3), B = (5 - 1) .

det (A) = - 7 \neq = 0

, donc Cramer s'applique. On calcule :

det (A_{1}) = 5 - 1 1 - 3 = - 14, det (A_{2}) = 21 5 - 1 = - 7.

D'où

x = (- 14) / (- 7) = 2

y = (- 7) / (- 7) = 1

. Vérification :

2 \cdot 2 + 1 = 5

✓ et

2 - 3 = - 1

✓.

📝 Remarque — Cramer en pratique. Les formules de Cramer ont un coût algorithmique en

O (n!)

(à cause des

n + 1

déterminants), alors que le pivot est en

O (n^{3})

. Pour

n \geq 4

, on n'utilise jamais Cramer numériquement. En revanche, Cramer est précieux pour les preuves théoriques et les calculs symboliques en petite dimension (

n = 2

3

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des systèmes linéaires. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Conclure « le système a une solution » sans décrire $S_{B}$ entièrement. Si le système admet une infinité de solutions (cas

rg (A) < n

), donner une solution ne suffit pas : il faut afficher la structure affine

S_{B} = X_{p} + Ker (f_{A})

, avec une base explicite du noyau. Une copie qui dit « par exemple

X = (1, 0, 2)

convient » est gravement sous-rédigée.

⚠ Erreur 2 — Oublier de tester la compatibilité avant de chercher $X_{p}$ . Sur un système

m \times n

avec

m > n

(plus d'équations que d'inconnues), le système a de fortes chances d'être incompatible. Toujours appliquer Rouché-Fontené (ou repérer une ligne «

0 = β

» non triviale en fin de pivot) avant de partir à la pêche aux solutions. Le réflexe : rang de $A$ vs rang de $A ∣ B$ .

⚠ Erreur 3 — Confondre opérations sur les lignes et opérations sur les colonnes. Les opérations sur les lignes préservent l'ensemble des solutions du système ; les opérations sur les colonnes préservent le rang mais changent l'ensemble des solutions (elles correspondent à un changement de variable d'inconnues). En résolution de système, on ne travaille que par opérations sur les lignes.

⚠ Erreur 4 — Appliquer Cramer à un système non carré ou à matrice non inversible. Les formules

x_{i} = det (A_{i}) / det (A)

supposent

A

carrée et

det (A) \neq = 0

. Si

A

est rectangulaire ou si

det (A) = 0

, Cramer ne s'applique pas — il faut basculer sur le pivot et la décomposition

X_{p} + Ker

. Sanctionné à coup sûr en concours.

⚠ Erreur 5 — Inverser le sens de Rouché-Fontené. Le théorème dit : compatible ⇔ $rg (A) = rg (A ∣ B)$ . Beaucoup d'élèves écrivent «

rg (A) \leq rg (A ∣ B)

donc compatible » : c'est faux, l'inégalité est toujours vraie. La compatibilité requiert l'égalité.

7. Pour aller plus loin

Les systèmes linéaires irriguent toute la suite du programme d'algèbre, en MPSI puis en spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Espaces vectoriels et applications linéaires — la résolution de $A X = B$ est un cas particulier de la détermination de $f^{- 1} ({y})$ pour une application linéaire $f$ . La structure « $X_{p} + Ker$ » se généralise mot pour mot.
Déterminants — les formules de Cramer s'étendent à tout système de Cramer. Le déterminant est aussi l'outil de calcul du rang en petite dimension.
Réduction d'endomorphismes (spé) — diagonaliser $A$ revient à résoudre les systèmes $(A - λ I_{n}) X = 0$ pour chaque valeur propre $λ$ . Le noyau d'un système homogène devient le sous-espace propre.
Géométrie affine et plans/droites de $R^{3}$ — un sous-espace affine est exactement l'ensemble des solutions d'un système linéaire. Les équations cartésiennes d'un plan, d'une droite, d'une intersection sont des systèmes $A X = B$ .
Équations différentielles linéaires — la structure « solution particulière + solution générale de l'homogène » se transpose intégralement aux EDL d'ordre 1, 2 et plus.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu réécrire un système $(S)$ sous forme matricielle $A X = B$ en identifiant $A$ , $X$ , $B$ et leurs dimensions ?
Sais-tu interpréter $A X = B$ comme l'image réciproque $f_{A}^{- 1} ({B})$ d'une application linéaire ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) la structure $S_{B} = X_{p} + Ker (f_{A})$ par double inclusion ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) $dim Ker (f_{A}) = n - rg (A)$ à partir du théorème du rang ?
Sais-tu énoncer et démontrer le théorème de Rouché-Fontené via l'espace engendré par les colonnes ?
Sais-tu identifier les trois cas exclusifs (∅, singleton, sous-espace affine) selon $rg (A)$ et $rg (A ∣ B)$ ?
Connais-tu les trois opérations élémentaires sur les lignes — et sais-tu qu'elles préservent l'ensemble des solutions ?
Sais-tu dérouler proprement la méthode du pivot de Gauss (échelonnement + remontée) sur un exemple 3 × 4 ?
Sais-tu reconnaître un système de Cramer et donner son unique solution sous la forme $X = A^{- 1} B$ ?
Sais-tu énoncer et appliquer les formules de Cramer $x_{i} = det (A_{i}) / det (A)$ en dimension 2 et 3 ?
Sais-tu pourquoi on n'utilise jamais Cramer numériquement pour $n \geq 4$ ?
Sais-tu rédiger la conclusion d'une résolution sous la forme $S_{B} = X_{p} + Vect (\dots)$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Structure $S_{B} = X_{p} + Ker (f_{A})$ — double inclusion, basée sur la linéarité de $f_{A}$
$dim Ker (f_{A}) = n - rg (A)$ — application directe du théorème du rang
Théorème de Rouché-Fontené — image de $f_{A}$ = $Vect$ des colonnes, double implication
Méthode du pivot de Gauss — algorithme d'échelonnement par récurrence + remontée

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Structure de l'ensemble des solutions

2.1 — Les trois cas exclusifs

2.2 — Solution particulière + noyau

2.3 — Dimension du noyau et nombre de paramètres

3. Théorème de Rouché-Fontené (critère de compatibilité)

4. Méthode du pivot de Gauss

4.1 — Opérations élémentaires sur les lignes

4.2 — Algorithme du pivot (échelonnement + remontée)

5. Systèmes de Cramer et formules de Cramer

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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