Variables aléatoires

Vue d'ensemble

Les variables aléatoires finies sont la porte d'entrée du calcul des probabilités en MPSI : elles permettent de remplacer un univers $Ω$ souvent compliqué par un nombre fini de valeurs réelles, et d'attacher à chacune une probabilité. La grande idée est déterministe : une variable aléatoire $X$ est une application $X : Ω \to R$ , pas un nombre mystérieux. Cette fiche regroupe les 4 lois discrètes finies à connaître par cœur (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS comme aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Variables aléatoires sur un univers fini : définition, image

X (Ω)

, loi de

X

, fonction de répartition, lois usuelles (certaine, uniforme, Bernoulli, binomiale), couple de variables aléatoires, loi conjointe, lois marginales, indépendance, loi d'une fonction

Y = f (X)

, loi d'une somme

S = X + Y

Prérequis

Espace probabilisé fini $(Ω, P (Ω), P)$ et axiomes de probabilité
Système complet d'événements et formule des probabilités totales
Coefficients binomiaux $(k n)$ , formule du binôme $(a + b)^{n}$
Notion d'application $f : E \to F$ et image directe

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1. Définitions essentielles

Dans toute cette fiche, $(Ω, P (Ω), P)$ désigne un espace probabilisé fini : $Ω$ a un nombre fini d'éléments et toute partie de $Ω$ est un événement.

Définition 1.1 — Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle (en abrégé v.a.r.) sur $Ω$ est une application

X : Ω \to R .

L'image $X (Ω) = {X (ω), ω \in Ω}$ est une partie finie de $R$ (puisque $Ω$ est fini). On note souvent $X (Ω) = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ avec les $x_{i}$ deux à deux distincts.

📝 Insiste sur le mot « application ». Une v.a. n'est pas un nombre ni un événement : c'est une fonction qui associe à chaque

ω

un réel

X (ω)

. Le côté « aléatoire » vient de

ω

, pas de l'application elle-même, parfaitement déterministe.

Définition 1.2 — Événement

{X = x}

Pour $x \in R$ , on note

{X = x} = X^{- 1} ({x}) = {ω \in Ω, X (ω) = x} .

C'est un événement (une partie de $Ω$ ). On définit de la même façon ${X \leq x}$ , ${X < x}$ , ${X \in A}$ pour $A \subset R$ , etc.

⚠ Piège #1 — Distinguer la variable, sa valeur et l'événement. Trois objets de natures différentes coexistent :

$X$ : application $Ω \to R$ ;
$X (ω)$ ou $x_{i}$ : nombre réel (la valeur prise) ;
${X = x_{i}}$ : événement (une partie de $Ω$ ).

Écrire

P (X)

P (x_{i})

au lieu de

P (X = x_{i})

est sanctionné en khôlle — l'argument de

P

doit toujours être un événement.

Définition 1.3 — Loi de probabilité de

X

La loi de $X$ est la donnée des probabilités $P (X = x_{i})$ pour chaque $x_{i} \in X (Ω)$ . On la note souvent $P_{X}$ :

P_{X} (x_{i}) = P (X = x_{i}), x_{i} \in X (Ω) .

En pratique, la loi de $X$ se présente sous forme d'un tableau : ligne du haut les $x_{i}$ , ligne du bas les $P (X = x_{i})$ .

Proposition 1.4 — Les événements

{X = x_{i}}

forment un système complet ★ À savoir démontrer

Si $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ , alors la famille $({X = x_{i}})_{1 \leq i \leq n}$ est un système complet d'événements de $Ω$ . En particulier :

i = 1 \sum n P (X = x_{i}) = 1.

Démonstration (vérifier les deux propriétés)

Il faut montrer (1) que les événements ${X = x_{i}}$ sont deux à deux incompatibles, et (2) que leur réunion vaut $Ω$ .

(1) Incompatibilité. Soient $i \neq = j$ . Si $ω \in {X = x_{i}} \cap {X = x_{j}}$ , alors $X (ω) = x_{i}$ et $X (ω) = x_{j}$ , donc $x_{i} = x_{j}$ — contradiction puisque les $x_{i}$ sont distincts. Donc ${X = x_{i}} \cap {X = x_{j}} = \emptyset$ .

(2) Réunion. Soit $ω \in Ω$ . Comme $X (ω) \in X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ , il existe $i$ tel que $X (ω) = x_{i}$ , donc $ω \in {X = x_{i}}$ . D'où $Ω = ⋃_{i = 1}^{n} {X = x_{i}}$ .

La somme des probabilités vaut alors $P (Ω) = 1$ par σ-additivité (additivité finie suffit ici) appliquée à un système complet : $\sum_{i} P (X = x_{i}) = P (⋃_{i} {X = x_{i}}) = P (Ω) = 1$ .

Définition 1.5 — Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_{X} : R \to [0, 1]$ définie par

F_{X} (x) = P (X \leq x) = x_{i} \in X (Ω) x_{i} \leq x \sum P (X = x_{i}) .

Propriétés (à connaître) : $F_{X}$ est croissante, en escalier sur $X (Ω)$ , continue à droite, vaut $0$ sur $] - \infty, min X (Ω) [$ et $1$ sur $[max X (Ω), + \infty [$ .

💡 Exemple — Dé équilibré.

Ω = {1, \dots, 6}

X (ω) = ω

. Alors

X (Ω) = {1, \dots, 6}

P (X = k) = 1/6

, et

F_{X} (2, 5) = P (X = 1) + P (X = 2) = 1/3

2. Lois discrètes finies à connaître par cœur

2.1 — Loi certaine

Définition 2.1 — Variable certaine

$X$ suit la loi certaine en $c \in R$ si $X = c$ partout sur $Ω$ , c.-à-d. $P (X = c) = 1$ . C'est la loi d'une « constante aléatoire ».

2.2 — Loi uniforme discrète

Définition 2.2 — Loi uniforme sur un ensemble fini

Soit ${a_{1}, \dots, a_{n}}$ un ensemble fini de $n$ réels deux à deux distincts. $X$ suit la loi uniforme sur ${a_{1}, \dots, a_{n}}$ , notée $X ↪ U ({a_{1}, \dots, a_{n}})$ , si

\forall i \in {1, \dots, n}, P (X = a_{i}) = \frac{1}{n} .

Cas particulier le plus fréquent : $X (Ω) = {1, 2, \dots, n}$ avec $P (X = k) = 1/ n$ pour $k \in {1, \dots, n}$ . On note alors $X ↪ U (\unicode x 27 E 6 1, n \unicode x 27 E 7)$ ou $U ({1, \dots, n})$ .

💡 Exemple — Tirage uniforme dans une urne. Urne de

n

boules numérotées

1

n

;

X

= numéro tiré

\Rightarrow X ↪ U ({1, \dots, n})

— la situation prototypique d'équiprobabilité.

2.3 — Loi de Bernoulli

Définition 2.3 — Loi de Bernoulli

B (p)

Soit $p \in [0, 1]$ . $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , notée $X ↪ B (p)$ , si $X (Ω) = {0, 1}$ et

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p .

Intuition : $X$ modélise une expérience à deux issues (succès / échec) où $p$ est la probabilité du succès. La valeur $1$ code le succès, $0$ l'échec.

📝 Indicatrice d'événement. Pour

A \subset Ω

, la fonction

1_{A} : Ω \to R

(

= 1

sur

A

0

sinon) est une v.a. qui suit

B (P (A))

— le pont entre événements et variables, à connaître par cœur.

2.4 — Loi binomiale

Définition 2.4 — Loi binomiale

B (n, p)

Soient $n \in N^{*}$ et $p \in [0, 1]$ . $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $X ↪ B (n, p)$ , si $X (Ω) = {0, 1, \dots, n}$ et

\forall k \in {0, 1, \dots, n}, P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

Théorème 2.5 — La binomiale comme somme de Bernoulli indépendantes ★ À savoir démontrer

Si $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ sont $n$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi $B (p)$ , alors leur somme

S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

suit la loi binomiale $B (n, p)$ .

Démonstration (dénombrement des

n

-uplets de Bernoulli)

Comme chaque $X_{i}$ prend ses valeurs dans ${0, 1}$ , la somme $S_{n}$ prend ses valeurs dans ${0, 1, \dots, n}$ ; précisément, $S_{n} (ω) = k$ signifie que exactement $k$ parmi les $X_{i} (ω)$ valent $1$ (les $n - k$ autres valant $0$ ).

Fixons $k \in {0, \dots, n}$ . On a :

{S_{n} = k} = I \subset {1, \dots, n}, ∣ I ∣ = k ⋃ (i \in I ⋂ {X_{i} = 1} \cap i \in / I ⋂ {X_{i} = 0}),

l'union étant disjointe (deux choix différents de $I$ imposent que sur un indice au moins, $X_{i}$ prendrait deux valeurs différentes — impossible). Le nombre de parties $I$ de cardinal $k$ dans ${1, \dots, n}$ est $(k n)$ .

Pour chaque $I$ fixé, par indépendance mutuelle des $X_{i}$ :

P (i \in I ⋂ {X_{i} = 1} \cap i \in / I ⋂ {X_{i} = 0}) = i \in I \prod P (X_{i} = 1) \cdot i \in / I \prod P (X_{i} = 0) = p^{k} (1 - p)^{n - k} .

En sommant sur les $(k n)$ parties $I$ , il vient :

P (S_{n} = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k},

ce qui est exactement la loi $B (n, p)$ . □

💡 Exemple canonique — $n$ lancers de pièce. Pièce de probabilité de pile

p

lancée

n

fois ;

X_{i} = 1_{{pile au lancer i}}

indépendantes

B (p)

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

(nombre de piles)

\Rightarrow S_{n} ↪ B (n, p)

. Pour

n = 4

p = 1/2

P (S_{4} = 2) = (2 4) (1/2)^{4} = 3/8

Proposition 2.6 — Vérification : la binomiale est bien une loi

On a bien $k = 0 \sum n (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = 1$ : c'est la formule du binôme appliquée à $(p + (1 - p))^{n} = 1^{n} = 1$ .

2.5 — Loi géométrique tronquée (hors programme strict)

Définition 2.7 — Loi géométrique tronquée

On répète des Bernoulli indépendantes $B (p)$ au plus $N$ fois. Si $T$ est le rang du premier succès ( $T = N + 1$ si aucun) :

\forall k \in {1, \dots, N}, P (T = k) = (1 - p)^{k - 1} p, P (T = N + 1) = (1 - p)^{N} .

Exercice-type en MPSI pour entraîner le dénombrement ; la loi géométrique sur $N^{*}$ est vue en spé.

🧑‍🏫 Décortique la démo binomiale

La démo $S_{n} ↪ B (n, p)$ est LA démo-pivot du chapitre. Si tu la maîtrises, tu maîtrises l'indépendance, le dénombrement par parties et la transition événements ↔ variables. Une séance ciblée avec un mentor Majorant alumni X-Centrale-Mines suffit à la verrouiller.

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3. Couples de variables aléatoires

3.1 — Loi conjointe

Définition 3.1 — Couple, loi conjointe

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur le même espace $(Ω, P)$ , d'images $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ et $Y (Ω) = {y_{1}, \dots, y_{m}}$ . Le couple $(X, Y) : Ω \to R^{2}$ est défini par $(X, Y) (ω) = (X (ω), Y (ω))$ .

La loi conjointe du couple $(X, Y)$ est la donnée, pour chaque $(x_{i}, y_{j}) \in X (Ω) \times Y (Ω)$ , de

P ({X = x_{i}} \cap {Y = y_{j}}) = P (X = x_{i}, Y = y_{j}) .

En pratique : un tableau à double entrée, lignes = valeurs de $X$ , colonnes = valeurs de $Y$ , cases = $P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ .

3.2 — Lois marginales

Théorème 3.2 — Lois marginales à partir de la loi conjointe ★ À savoir démontrer

Avec les notations précédentes :

P (X = x_{i}) = j = 1 \sum m P (X = x_{i}, Y = y_{j}), P (Y = y_{j}) = i = 1 \sum n P (X = x_{i}, Y = y_{j}) .

Les lois de $X$ et de $Y$ prises séparément s'appellent les lois marginales du couple.

Démonstration (par système complet)

Fixons $i$ . Les événements ${Y = y_{j}}$ pour $j = 1, \dots, m$ forment un système complet (Prop. 1.4). Par la formule des probabilités totales (ou plus directement, par additivité finie appliquée à la partition de ${X = x_{i}}$ selon les valeurs de $Y$ ) :

{X = x_{i}} = {X = x_{i}} \cap Ω = {X = x_{i}} \cap (j = 1 ⨆ m {Y = y_{j}}) = j = 1 ⨆ m ({X = x_{i}} \cap {Y = y_{j}}) .

L'union étant disjointe, l'additivité donne :

P (X = x_{i}) = j = 1 \sum m P (X = x_{i}, Y = y_{j}) .

La formule pour $P (Y = y_{j})$ s'obtient en échangeant les rôles. □

⚠ Piège #2 — Les marginales NE déterminent PAS la loi conjointe. Connaître les lois de

X

et de

Y

séparément n'est en général pas suffisant pour reconstituer la loi du couple

(X, Y)

: il existe plusieurs couples ayant les mêmes marginales mais des lois conjointes différentes. La réciproque du tableau à double entrée vers les marginales est vraie (Thm 3.2), mais pas l'inverse — sauf sous hypothèse d'indépendance (Thm 3.4 ci-dessous).

3.3 — Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 3.3 — Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sur $(Ω, P)$ sont indépendantes si :

\forall (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω), P (X = x, Y = y) = P (X = x) \cdot P (Y = y) .

Plus généralement, $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont (mutuellement) indépendantes si pour toutes valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ , $P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} = x_{i})$ .

Théorème 3.4 — Loi conjointe sous indépendance

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, la loi conjointe est entièrement déterminée par les marginales via le produit : il suffit de connaître $P (X = x_{i})$ et $P (Y = y_{j})$ pour reconstituer $P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ .

📝 Indépendance vs incompatibilité — à ne JAMAIS confondre. Deux événements peuvent être incompatibles (

A \cap B = \emptyset

) sans être indépendants ; en réalité, deux événements de probabilités non nulles incompatibles ne sont jamais indépendants. L'indépendance est une propriété multiplicative, l'incompatibilité une propriété ensembliste.

4. Opérations sur les variables aléatoires

4.1 — Loi d'une fonction de $X$

Définition 4.1 — Variable

Y = f (X)

Soit $X$ une v.a.r. sur $Ω$ et $f : R \to R$ . On définit $Y = f \circ X : Ω \to R$ (notée $f (X)$ ) par $Y (ω) = f (X (ω))$ . C'est encore une variable aléatoire, d'image $Y (Ω) = f (X (Ω))$ .

📐 Méthode-type — Calculer la loi de $Y = f (X)$ à partir de la loi de $X$ .

Image. Déterminer $Y (Ω) = f (X (Ω)) = {f (x_{1}), \dots, f (x_{n})}$ — attention aux éventuels doublons : si $f (x_{i}) = f (x_{j})$ pour $i \neq = j$ , on les regroupe (sinon on compterait deux fois la même valeur de $Y$ ).
Probabilité d'une valeur $y$ de $Y$ . Pour chaque $y \in Y (Ω)$ , repérer tous les $x_{i}$ tels que $f (x_{i}) = y$ (préimage de $y$ par $f$ , restreinte à $X (Ω)$ ) :

P (Y = y) = P (f (X) = y) = P (X \in f^{- 1} ({y})) = x_{i} \in X (Ω) f (x_{i}) = y \sum P (X = x_{i}) .

Vérification. Vérifier que $\sum_{y} P (Y = y) = 1$ — c'est le garde-fou anti-erreur de calcul.

💡 Exemple — $Y = X^{2}$ avec $X$ uniforme sur ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ . Ici

X (Ω) = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

avec

P (X = k) = 1/5

. On a

Y (Ω) = {0, 1, 4}

. Préimages :

f^{- 1} ({0}) = {0}

f^{- 1} ({1}) = {- 1, 1}

f^{- 1} ({4}) = {- 2, 2}

. D'où :

P (Y = 0) = \frac{1}{5}, P (Y = 1) = \frac{2}{5}, P (Y = 4) = \frac{2}{5},

et on vérifie

1/5 + 2/5 + 2/5 = 1

Y

n'est pas uniforme alors que

X

l'était : le passage par

f

déforme la loi.

4.2 — Loi d'une somme $S = X + Y$

📐 Méthode-type — Loi de la somme $S = X + Y$ (cas général).

Image. $S (Ω) = {x_{i} + y_{j}, (i, j) \in \unicode x 27 E 6 1, n \unicode x 27 E 7 \times \unicode x 27 E 6 1, m \unicode x 27 E 7}$ — on liste, on regroupe les doublons.
Probabilité d'une valeur $s$ de $S$ . Recenser tous les couples $(x_{i}, y_{j})$ tels que $x_{i} + y_{j} = s$ , puis :

P (S = s) = (i, j) x_{i} + y_{j} = s \sum P (X = x_{i}, Y = y_{j}) .

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on peut substituer $P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) \cdot P (Y = y_{j})$ — c'est le cas le plus fréquent en MPSI.

Théorème 4.2 — Loi de la somme de deux dés équilibrés ★ À savoir démontrer

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . La loi de $S = X + Y$ est donnée par $S (Ω) = {2, 3, \dots, 12}$ et :

P (S = s) = \frac{6 - ∣ s - 7∣}{36}, s \in {2, 3, \dots, 12} .

En particulier $P (S = 7) = 6/36 = 1/6$ (le maximum) et $P (S = 2) = P (S = 12) = 1/36$ .

Démonstration (dénombrement direct)

L'univers est $Ω = {1, \dots, 6}^{2}$ avec $∣Ω∣ = 36$ , muni de l'équiprobabilité (puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes uniformes sur ${1, \dots, 6}$ , tous les couples $(i, j)$ ont probabilité $1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ ).

Fixons $s \in {2, \dots, 12}$ . Le nombre de couples $(i, j) \in {1, \dots, 6}^{2}$ tels que $i + j = s$ vaut :

$s - 1$ si $s \in {2, \dots, 7}$ (les couples $(1, s - 1), (2, s - 2), \dots, (s - 1, 1)$ ) ;
$13 - s$ si $s \in {7, \dots, 12}$ (symétrique).

Les deux formules coïncident en $s = 7$ (six couples : $(1, 6), (2, 5), \dots, (6, 1)$ ). On compacte les deux cas en :

# {(i, j) \in {1, \dots, 6}^{2}, i + j = s} = 6 - ∣ s - 7∣.

Par équiprobabilité, $P (S = s) = \frac{6 - ∣ s - 7∣}{36}$ . On vérifie $\sum_{s = 2}^{12} (6 - ∣ s - 7∣) = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 36$ , donc la somme des probabilités vaut bien $1$ . □

📝 Lecture du résultat. La loi de

S

n'est PAS uniforme alors que

X

Y

le sont chacune : la somme de deux uniformes indépendantes a une loi « en triangle » centrée sur la moyenne. C'est le premier exemple de phénomène de concentration, ancêtre du théorème central limite.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de probabilités. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre la variable $X$ et une valeur $x$ . Écrire «

P (X) = 1/6

» ou « la probabilité de

X

vaut … » est sanctionné :

X

est une application, ce n'est pas un événement. L'argument de

P

est toujours un événement comme

{X = x}

{X \leq x}

{X \in A}

⚠ Erreur 2 — Oublier que $\sum_{i} P (X = x_{i}) = 1$ est un test automatique. À la fin de tout calcul de loi, écris explicitement la vérification

\sum_{i} P (X = x_{i}) = 1

. Si la somme ne tombe pas sur

1

, tu as une erreur de dénombrement ou de probabilité — le correcteur valorise cette autocritique.

⚠ Erreur 3 — Appliquer la formule $P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)$ sans hypothèse d'indépendance. Le produit n'est valable QUE si

X

Y

sont indépendantes (ou si l'énoncé l'a déjà établi). Sans cette hypothèse, la formule générale est

P (X = x, Y = y) = P (X = x ∣ Y = y) \cdot P (Y = y)

— qui fait apparaître une probabilité conditionnelle.

⚠ Erreur 4 — Confondre $B (p)$ (Bernoulli) et $B (n, p)$ (binomiale). Même notation

B

, deux lois différentes :

B (p)

a un seul paramètre et

X (Ω) = {0, 1}

;

B (n, p)

a deux paramètres et

X (Ω) = {0, 1, \dots, n}

. En cas de doute, précise dans la copie « la loi de Bernoulli de paramètre

p

» ou « la loi binomiale

B (n, p)

» sans ambiguïté.

⚠ Erreur 5 — Pour $Y = f (X)$ , oublier les doublons. Si

f (x_{i}) = f (x_{j})

pour

i \neq = j

, la valeur correspondante de

Y

figure une seule fois dans

Y (Ω)

, avec probabilité

P (X = x_{i}) + P (X = x_{j})

. Beaucoup de copies dédoublent et la somme dépasse

1

— tout s'écroule.

6. Pour aller plus loin

Les variables aléatoires finies sont le point de départ du programme de probabilités sur deux ans. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Espérance et variance (MPSI, chapitre suivant) — $E (X) = \sum_{i} x_{i} P (X = x_{i})$ et variance ; l'indépendance rend la variance additive.
V.a. discrètes infinies (spé) — extension à $X (Ω)$ dénombrable (Poisson, géométrique sur $N^{*}$ ) ; sommes $\to$ séries.
Théorème central limite (spé) — la binomiale $B (n, p)$ tend vers une loi normale quand $n \to + \infty$ , formalisant le triangle de la somme de deux dés.
Vecteurs gaussiens, statistique inférentielle (cycle ingénieur) — généralisation en dimension finie avec densités.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire que $X : Ω \to R$ est une application, pas un nombre, et préciser ce qu'est $X (Ω)$ ?
Sais-tu énoncer (et démontrer) que les événements ${X = x_{i}}$ forment un système complet d'événements ?
Sais-tu écrire la définition de la fonction de répartition $F_{X} (x) = P (X \leq x)$ et tracer son graphe en escalier ?
Connais-tu par cœur les 4 lois usuelles : certaine, uniforme, Bernoulli $B (p)$ , binomiale $B (n, p)$ ?
Sais-tu démontrer que la somme de $n$ Bernoulli $B (p)$ indépendantes suit $B (n, p)$ ?
Sais-tu présenter une loi conjointe sous forme de tableau à double entrée et en lire les marginales par sommation ligne / colonne ?
Sais-tu démontrer que $P (X = x_{i}) = \sum_{j} P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ à partir d'un système complet ?
Sais-tu écrire la définition de l'indépendance de deux v.a. ( $P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)$ pour tout $x, y$ ) ?
Connais-tu le contre-exemple « deux couples de mêmes marginales mais de lois conjointes différentes » ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour calculer la loi de $Y = f (X)$ , avec gestion des doublons ?
Sais-tu démontrer que la somme de deux dés équilibrés indépendants donne $P (S = s) = (6 - ∣ s - 7∣) /36$ ?
Sais-tu vérifier que $\sum_{k} P (X = x_{k}) = 1$ à la fin de tout calcul de loi ?

Démonstrations à savoir refaire

Les ${X = x_{i}}$ forment un système complet — incompatibilité 2 à 2 + réunion = $Ω$ , d'où $\sum_{i} P (X = x_{i}) = 1$
Somme de $n$ Bernoulli indépendantes suit $B (n, p)$ — partition selon les parties $I$ de cardinal $k$ + indépendance mutuelle
Loi marginale = somme de la loi conjointe — partition de ${X = x_{i}}$ par le système complet ${Y = y_{j}}$
Loi de la somme de deux dés — dénombrement direct sur ${1, \dots, 6}^{2}$ et formule $6 - ∣ s - 7∣$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Lois discrètes finies à connaître par cœur

2.1 — Loi certaine

2.2 — Loi uniforme discrète

2.3 — Loi de Bernoulli

2.4 — Loi binomiale

2.5 — Loi géométrique tronquée (hors programme strict)

3. Couples de variables aléatoires

3.1 — Loi conjointe

3.2 — Lois marginales

3.3 — Indépendance de deux variables aléatoires

4. Opérations sur les variables aléatoires

4.1 — Loi d'une fonction de $X$

4.2 — Loi d'une somme $S = X + Y$

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

Variables aléatoires

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Lois discrètes finies à connaître par cœur

2.1 — Loi certaine

2.2 — Loi uniforme discrète

2.3 — Loi de Bernoulli

2.4 — Loi binomiale

2.5 — Loi géométrique tronquée (hors programme strict)

3. Couples de variables aléatoires

3.1 — Loi conjointe

3.2 — Lois marginales

3.3 — Indépendance de deux variables aléatoires

4. Opérations sur les variables aléatoires

4.1 — Loi d'une fonction de X

4.2 — Loi d'une somme S=X+Y

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?

4.1 — Loi d'une fonction de $X$

4.2 — Loi d'une somme $S = X + Y$