Structure de groupe

Vue d'ensemble

La structure de groupe est le premier objet algébrique abstrait du programme MPSI : on oublie les nombres pour ne garder qu'un ensemble $G$ muni d'une loi $⋆$ , et on découvre que les mêmes théorèmes décrivent $(Z, +)$ , $(R^{*}, \times)$ , les bijections, les rotations et les matrices inversibles. Cette fiche regroupe les 10 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui sanctionnent les copies en début de second semestre.

Au programme MPSI (officiel) — Lois de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre, élément symétrique, structure de groupe

(G, ⋆)

, groupes abéliens, sous-groupes, caractérisation des sous-groupes, sous-groupe engendré par une partie, groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément, morphismes de groupes, noyau, image, isomorphismes.

Prérequis

Quantificateurs $\forall, \exists$ , implication $\Rightarrow$ et équivalence $\Leftrightarrow$
Application, bijection, injection, surjection — chapitre « Applications »
Familiarité avec $(Z, +)$ , $(R, +)$ et $(R^{*}, \times)$

🎯 Accompagnement Majorant

L'algèbre abstraite te paraît « creuse » par rapport à l'analyse ? C'est ce que ressentent 2 élèves de MPSI sur 3 au premier contact avec les groupes — jusqu'à ce qu'un mentor te montre, en 1h, que ces structures sont la même grammaire que les rotations, les permutations et l'arithmétique. Nos alumni X · Centrale · Mines reprennent la notion sur tes exos de DM.

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1. Lois de composition interne sur un ensemble

Définition 1.1 — Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne (LCI) sur $E$ est une application

⋆ : E \times E ⟶ E, (x, y) ⟼ x ⋆ y .

Autrement dit : $\forall x, y \in E, x ⋆ y \in E$ . Le mot-clé est interne : le résultat ne sort jamais de $E$ .

💡 Exemples canoniques de LCI. Sur

N, Z, R

+

\times

. Sur

M_{n} (R)

+

et le produit matriciel. Sur

F (E, E)

(applications de

E

dans

E

) : la composition

\circ

. Sur

P (E)

(parties de

E

) :

\cup

\cap

△

(différence symétrique).

⚠ Piège — Ne pas oublier de vérifier l'interne. Sur

N

, la soustraction

-

n'est PAS une LCI :

3 - 5 = - 2 \in / N

. De même, la division

/

sur

R

n'est pas une LCI (

x /0

n'existe pas). À chaque fois qu'on te donne une loi, le premier réflexe est de vérifier que

x ⋆ y \in E

pour tous les

x, y

annoncés.

Définition 1.2 — Propriétés usuelles d'une LCI

Soit $⋆$ une LCI sur $E$ . On dit que $⋆$ est :

associative si $\forall x, y, z \in E, (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z)$ ;
commutative si $\forall x, y \in E, x ⋆ y = y ⋆ x$ .

L'associativité permet d'écrire $x ⋆ y ⋆ z$ sans parenthèses : le résultat ne dépend pas du parenthésage. Elle se généralise alors à $n$ facteurs.

💡 Associative ≠ commutative. Sur

M_{n} (R)

avec

n \geq 2

, le produit matriciel est associatif mais pas commutatif (contre-exemple :

(0010) \times (1000) \neq = (1000) \times (0010)

). Idem pour la composition

\circ

sur

F (E, E)

Définition 1.3 — Élément neutre

Soit $⋆$ une LCI sur $E$ . Un élément $e \in E$ est un élément neutre (à droite et à gauche) si :

\forall x \in E, e ⋆ x = x ⋆ e = x .

Proposition 1.4 — Unicité de l'élément neutre ★ À savoir démontrer

Si une LCI $⋆$ sur $E$ admet un élément neutre, alors celui-ci est unique.

Démonstration (technique « jouer les neutres l'un contre l'autre »)

Supposons que $e$ et $e^{'}$ soient deux éléments neutres pour $⋆$ . Alors :

$e$ est neutre, donc en particulier $e ⋆ e^{'} = e^{'}$ (en appliquant la définition de $e$ à l'élément $e^{'}$ ) ;
$e^{'}$ est neutre, donc en particulier $e ⋆ e^{'} = e$ (en appliquant la définition de $e^{'}$ à l'élément $e$ ).

On en déduit $e = e ⋆ e^{'} = e^{'}$ , d'où $e = e^{'}$ . Le neutre, s'il existe, est unique. $■$

📝 Convention de notation. Pour une LCI notée additivement

+

, on appelle le neutre

0_{E}

(ou simplement

0

). Pour une LCI notée multiplicativement

\times

\cdot

, on l'appelle

1_{E}

(ou

e_{E}

, ou simplement

1

e

). Le contexte fixe la convention.

Définition 1.5 — Élément symétrique

Soit $⋆$ une LCI sur $E$ admettant un neutre $e$ . Un élément $x \in E$ est dit symétrisable s'il existe $x^{'} \in E$ tel que :

x ⋆ x^{'} = x^{'} ⋆ x = e .

$x^{'}$ s'appelle alors un symétrique de $x$ . En notation additive on l'écrit $- x$ (l'opposé), en notation multiplicative on l'écrit $x^{- 1}$ (l'inverse).

Proposition 1.6 — Unicité du symétrique (loi associative) ★ À savoir démontrer

Soit $⋆$ une LCI associative sur $E$ admettant un neutre $e$ . Si $x \in E$ est symétrisable, alors son symétrique est unique.

Démonstration (cruciale — l'associativité est l'argument clé)

Supposons que $x^{'}$ et $x^{''}$ soient deux symétriques de $x$ . On a alors : $x^{'} ⋆ x = e$ et $x ⋆ x^{''} = e$ . Calculons $x^{'} ⋆ x ⋆ x^{''}$ de deux manières grâce à l'associativité :

x^{'} ⋆ (x ⋆ x^{''}) = x^{'} ⋆ e = x^{'}, (x^{'} ⋆ x) ⋆ x^{''} = e ⋆ x^{''} = x^{''} .

Comme la loi est associative, ces deux écritures désignent le même élément $x^{'} ⋆ x ⋆ x^{''}$ , donc $x^{'} = x^{''}$ . Le symétrique est unique. $■$

⚠ Piège — Sans associativité, plusieurs symétriques peuvent coexister. L'associativité est indispensable ci-dessus : sans elle, on ne peut pas regrouper

(x^{'} ⋆ x) ⋆ x^{''}

x^{'} ⋆ (x ⋆ x^{''})

. En MPSI, dès qu'on parle de groupe, l'unicité est acquise.

2. Définition d'un groupe

Définition 2.1 — Groupe

Un groupe est un couple $(G, ⋆)$ où $G$ est un ensemble et $⋆$ une LCI sur $G$ telle que :

(G1) Associativité : $\forall x, y, z \in G, (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z)$ ;
(G2) Neutre : il existe $e \in G$ tel que $\forall x \in G, e ⋆ x = x ⋆ e = x$ ;
(G3) Symétrique : tout élément $x \in G$ admet un symétrique $x^{- 1} \in G$ tel que $x ⋆ x^{- 1} = x^{- 1} ⋆ x = e$ .

Si en plus $⋆$ est commutative, $(G, ⋆)$ est dit groupe abélien (ou commutatif).

📝 Vocabulaire. Par les Propositions 1.4 et 1.6, dans un groupe le neutre et le symétrique sont uniques : on parle du neutre

e_{G}

et du symétrique

x^{- 1}

(ou

- x

en notation additive).

💡 Exemples canoniques de groupes (à connaître par cœur).

$(Z, +)$ , $(R, +)$ , $(C, +)$ , $(M_{n} (R), +)$ — groupes abéliens additifs. Neutre $0$ , symétrique $- x$ .
$(R^{*}, \times)$ , $(R_{+}^{*}, \times)$ , $(C^{*}, \times)$ , $(U, \times)$ avec $U = {z \in C, ∣ z ∣ = 1}$ — groupes abéliens multiplicatifs. Neutre $1$ .
$(GL_{n} (R), \times)$ — groupe NON abélien (si $n \geq 2$ ) des matrices inversibles. Neutre $I_{n}$ .
$(S_{n}, \circ)$ — groupe symétrique des permutations de ${1, \dots, n}$ . NON abélien dès $n \geq 3$ . Neutre $id$ .

⚠ Piège — $(N, +)$ n'est PAS un groupe. L'élément

2 \in N

n'a pas d'opposé dans

N

(son opposé

- 2

n'est pas un entier naturel).

(N, +)

est un monoïde (loi associative + neutre) mais l'axiome (G3) tombe. Pour la même raison,

(Z, \times)

n'est PAS un groupe :

2 \in Z

n'a pas d'inverse multiplicatif dans

Z

Proposition 2.2 — Propriétés calculatoires dans un groupe

Soit $(G, ⋆)$ un groupe de neutre $e$ . Alors :

Symétrique du neutre : $e^{- 1} = e$ .
Symétrique du symétrique : $\forall x \in G, (x^{- 1})^{- 1} = x$ .
Symétrique d'un produit : $\forall x, y \in G, (x ⋆ y)^{- 1} = y^{- 1} ⋆ x^{- 1}$ (attention à l'inversion de l'ordre !).
Régularité à gauche et à droite : $\forall a, x, y \in G, a ⋆ x = a ⋆ y ⟹ x = y$ et $x ⋆ a = y ⋆ a ⟹ x = y$ .

⚠ Piège — L'ordre s'inverse pour le symétrique d'un produit. Sur un groupe NON abélien,

(x ⋆ y)^{- 1} = y^{- 1} ⋆ x^{- 1}

, pas

x^{- 1} ⋆ y^{- 1}

. Vérification :

(x ⋆ y) ⋆ (y^{- 1} ⋆ x^{- 1}) = x ⋆ (y ⋆ y^{- 1}) ⋆ x^{- 1} = x ⋆ x^{- 1} = e

. En concours (

S_{n}

GL_{n}

) cette erreur coûte des points.

📝 Puissances. Pour

x \in G

n \in N^{*}

, on pose

x^{n} = x ⋆ \dots ⋆ x

(

n

facteurs),

x^{0} = e

x^{- n} = (x^{- 1})^{n}

. Règles :

x^{n + m} = x^{n} ⋆ x^{m}

(x^{n})^{m} = x^{nm}

(pour

n, m \in Z

). En notation additive :

n \cdot x

3. Sous-groupes

Définition 3.1 — Sous-groupe

Soit $(G, ⋆)$ un groupe. Une partie $H \subset G$ est un sous-groupe de $G$ , noté $H \leq G$ , si :

$e \in H$ (où $e$ est le neutre de $G$ ) ;
$\forall x, y \in H, x ⋆ y \in H$ (stabilité par la loi) ;
$\forall x \in H, x^{- 1} \in H$ (stabilité par symétrique).

Un sous-groupe $H$ est alors lui-même un groupe pour la loi $⋆$ restreinte à $H \times H$ , avec le même neutre $e$ que $G$ .

Théorème 3.2 — Caractérisation pratique d'un sous-groupe ★ À savoir démontrer

Soit $(G, ⋆)$ un groupe et $H \subset G$ . Alors $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :

H \neq = \emptyset et \forall x, y \in H, x ⋆ y^{- 1} \in H .

Démonstration (équivalence, deux sens)

( $\Rightarrow$ ) Sens direct. Supposons $H \leq G$ . Alors $e \in H$ , donc $H \neq = \emptyset$ . Soient $x, y \in H$ . Par (3) on a $y^{- 1} \in H$ , puis par (2) on a $x ⋆ y^{- 1} \in H$ . La condition est bien vérifiée.

( $\Leftarrow$ ) Sens réciproque. Supposons $H \neq = \emptyset$ et $\forall x, y \in H, x ⋆ y^{- 1} \in H$ . Montrons que $H$ vérifie les trois axiomes du sous-groupe.

Neutre. Comme $H \neq = \emptyset$ , il existe $a \in H$ . En appliquant l'hypothèse à $x = y = a$ : $a ⋆ a^{- 1} = e \in H$ .
Symétrique. Soit $x \in H$ . Avec $e \in H$ et l'hypothèse appliquée à $e$ et $x$ : $e ⋆ x^{- 1} = x^{- 1} \in H$ .
Stabilité par la loi. Soient $x, y \in H$ . Par l'étape précédente, $y^{- 1} \in H$ . L'hypothèse appliquée à $x$ et $y^{- 1}$ donne $x ⋆ (y^{- 1})^{- 1} = x ⋆ y \in H$ .

Les trois axiomes sont vérifiés, donc $H \leq G$ . $■$

📐 Méthode-type — Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ . Tu utilises presque toujours la caractérisation 3.2 (deux conditions au lieu de trois). Schéma à appliquer mécaniquement :

Inclusion : préciser $H \subset G$ (souvent évident, mais à dire).
Non vide : exhiber un élément simple, en général $e \in H$ (cela évite l'oubli).
Stabilité $x ⋆ y^{- 1} \in H$ : prendre $x, y \in H$ , écrire la propriété définissant $H$ , et vérifier sur $x ⋆ y^{- 1}$ .
Conclusion : « par la caractérisation 3.2, $H \leq G$ ».

Ne re-démontre jamais les trois axiomes à la main quand la caractérisation suffit — c'est l'erreur de débutant qui te coûte du temps en DS.

💡 Exemples fondamentaux de sous-groupes.

${e}$ et $G$ sont sous-groupes de $G$ (sous-groupes triviaux).
$Z \leq Q \leq R \leq C$ pour l'addition.
Pour tout $n \in Z$ , $n Z = {nk, k \in Z}$ est un sous-groupe de $(Z, +)$ . On verra dans le chapitre « Arithmétique » que ce sont les seuls sous-groupes de $Z$ .
$R_{+}^{*} \leq R^{*}$ pour la multiplication.
$U = {z \in C, ∣ z ∣ = 1} \leq C^{*}$ pour la multiplication.
$SL_{n} (R) = {A \in GL_{n} (R), det (A) = 1}$ est un sous-groupe de $GL_{n} (R)$ .

Proposition 3.3 — Intersection de sous-groupes

Soit $(G, ⋆)$ un groupe et $(H_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de $G$ . Alors $i \in I ⋂ H_{i}$ est un sous-groupe de $G$ .

⚠ Piège — La RÉUNION de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe en général. Dans

(Z, +)

2 Z

3 Z

sont sous-groupes mais

2 + 3 = 5 \in / 2 Z \cup 3 Z

. D'où la notion de sous-groupe engendré.

🧑‍🏫 Maîtrise la caractérisation 3.2

Cette démo est LE rite de passage de l'algèbre MPSI. 90 % des questions de DS sur les groupes commencent par « montrer que $H$ est un sous-groupe » — et 50 % des élèves redémontrent les trois axiomes au lieu d'utiliser la caractérisation. En 1 séance avec un mentor Majorant, tu adoptes le réflexe « $x ⋆ y^{- 1}$ » pour de bon.

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4. Sous-groupe engendré et groupes cycliques

Définition 4.1 — Sous-groupe engendré

Soit $(G, ⋆)$ un groupe et $A \subset G$ . Le sous-groupe engendré par $A$ , noté $⟨ A ⟩$ , est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $A$ — c'est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ . En particulier, pour $a \in G$ :

⟨ a ⟩ = {a^{n}, n \in Z} = {\dots, a^{- 1}, e, a, a^{2}, \dots} .

Un groupe de la forme $⟨ a ⟩$ est appelé groupe monogène.

Définition 4.3 — Groupe cyclique

Un groupe $G$ est cyclique s'il est monogène ET fini. Autrement dit, il existe $a \in G$ tel que $G = ⟨ a ⟩$ avec $∣ G ∣ < + \infty$ . Un tel élément $a$ est appelé générateur de $G$ .

💡 Exemples de groupes monogènes et cycliques.

(Z, +) = ⟨ 1 ⟩

est monogène mais infini (donc pas cyclique). Le groupe

U_{n} = {z \in C, z^{n} = 1}

des racines

n

-ièmes de l'unité est cyclique d'ordre

n

, engendré par

ω = e^{2 iπ / n}

(Z / n Z, +)

est cyclique d'ordre

n

, engendré par la classe

\overset{ˉ}{1}

Définition 4.4 — Ordre d'un élément

Soit $G$ un groupe et $a \in G$ . On dit que $a$ est d'ordre fini s'il existe un entier $n \geq 1$ tel que $a^{n} = e$ . Dans ce cas, l'ordre de $a$ , noté $ord (a)$ , est :

ord (a) = min {n \geq 1, a^{n} = e} .

Si aucun tel entier n'existe, $a$ est dit d'ordre infini.

Proposition 4.5 — Propriétés de l'ordre

Soit $a \in G$ d'ordre fini $n$ . Alors :

$⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}}$ a exactement $n$ éléments distincts ;
pour tout $k \in Z$ , $a^{k} = e ⟺ n ∣ k$ ;
$ord (a) = ∣ ⟨ a ⟩ ∣$ (ordre de $a$ = cardinal du sous-groupe qu'il engendre).

💡 Exemple — Ordre dans $(U, \times)$ . Soit

ω = e^{2 iπ /6}

. On a

ω^{6} = 1

ω^{k} \neq = 1

pour

1 \leq k \leq 5

, donc

ord (ω) = 6

⟨ ω ⟩ = U_{6}

. Plus généralement,

ord (e^{2 iπ p / n}) = n

dès que

pgcd (p, n) = 1

⚠ Piège — Ordre de l'élément ≠ cardinal du groupe. Le mot « ordre » désigne deux choses : ordre d'un élément (plus petite puissance qui rend

e

) et ordre d'un groupe (son cardinal). Le théorème de Lagrange (vu en spé) reliera les deux : l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe.

5. Morphismes de groupes

Définition 5.1 — Morphisme de groupes

Soient $(G, ⋆)$ et $(G^{'}, ⋆^{'})$ deux groupes. Une application $f : G \to G^{'}$ est un morphisme de groupes (ou homomorphisme) si :

\forall x, y \in G, f (x ⋆ y) = f (x) ⋆^{'} f (y) .

Un endomorphisme est un morphisme $f : G \to G$ . Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. Deux groupes $G$ et $G^{'}$ sont dits isomorphes (noté $G ≃ G^{'}$ ) s'il existe un isomorphisme entre eux.

Proposition 5.2 — Propriétés calculatoires d'un morphisme

Soit $f : (G, ⋆) \to (G^{'}, ⋆^{'})$ un morphisme de groupes. Alors :

$f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ — un morphisme envoie le neutre sur le neutre ;
$\forall x \in G, f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ — un morphisme commute avec le passage au symétrique ;
$\forall x \in G, \forall n \in Z, f (x^{n}) = f (x)^{n}$ .

Démonstration (la première égalité)

On a $f (e_{G}) = f (e_{G} ⋆ e_{G}) = f (e_{G}) ⋆^{'} f (e_{G})$ par la définition du morphisme. En multipliant à droite par $f (e_{G})^{- 1}$ dans $G^{'}$ (qui existe car $G^{'}$ est un groupe) :

f (e_{G}) ⋆^{'} f (e_{G})^{- 1} = f (e_{G}) ⋆^{'} f (e_{G}) ⋆^{'} f (e_{G})^{- 1},

soit $e_{G^{'}} = f (e_{G}) ⋆^{'} e_{G^{'}} = f (e_{G})$ . Donc $f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ . Pour le symétrique : $f (x) ⋆^{'} f (x^{- 1}) = f (x ⋆ x^{- 1}) = f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ , et de même $f (x^{- 1}) ⋆^{'} f (x) = e_{G^{'}}$ . Par unicité du symétrique dans $G^{'}$ , $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ .

💡 Exemples canoniques de morphismes.

$ln : (R_{+}^{*}, \times) \to (R, +)$ — isomorphisme, de réciproque $exp$ .
$det : (GL_{n} (R), \times) \to (R^{*}, \times)$ et $z \mapsto ∣ z ∣ : (C^{*}, \times) \to (R_{+}^{*}, \times)$ — morphismes surjectifs.
Signature $ε : (S_{n}, \circ) \to ({- 1, + 1}, \times)$ — morphisme surjectif (programme MPSI).

Définition 5.3 — Noyau et image

Soit $f : (G, ⋆) \to (G^{'}, ⋆^{'})$ un morphisme. On définit :

le noyau de $f$ : $Ker (f) = {x \in G, f (x) = e_{G^{'}}} = f^{- 1} ({e_{G^{'}}})$ ;
l'image de $f$ : $Im (f) = {f (x), x \in G} = f (G)$ .

Théorème 5.4 — Le noyau est un sous-groupe de

G

, l'image est un sous-groupe de

G^{'}

★ À savoir démontrer

Soit $f : (G, ⋆) \to (G^{'}, ⋆^{'})$ un morphisme de groupes. Alors :

$Ker (f) \leq G$ ;
$Im (f) \leq G^{'}$ .

Démonstration (via la caractérisation 3.2)

Noyau. On utilise la caractérisation 3.2. D'abord $Ker (f) \neq = \emptyset$ car $f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ , donc $e_{G} \in Ker (f)$ . Soient ensuite $x, y \in Ker (f)$ . Alors :

f (x ⋆ y^{- 1}) = f (x) ⋆^{'} f (y^{- 1}) = f (x) ⋆^{'} f (y)^{- 1} = e_{G^{'}} ⋆^{'} e_{G^{'}}^{- 1} = e_{G^{'}},

donc $x ⋆ y^{- 1} \in Ker (f)$ . Par 3.2, $Ker (f) \leq G$ .

Image. On a $e_{G^{'}} = f (e_{G}) \in Im (f)$ , donc $Im (f) \neq = \emptyset$ . Soient $u, v \in Im (f)$ : il existe $x, y \in G$ tels que $u = f (x)$ et $v = f (y)$ . Alors :

u ⋆^{'} v^{- 1} = f (x) ⋆^{'} f (y)^{- 1} = f (x) ⋆^{'} f (y^{- 1}) = f (x ⋆ y^{- 1}),

et $x ⋆ y^{- 1} \in G$ , donc $u ⋆^{'} v^{- 1} \in Im (f)$ . Par 3.2, $Im (f) \leq G^{'}$ . $■$

Théorème 5.5 — Caractérisation de l'injectivité d'un morphisme

Soit $f : (G, ⋆) \to (G^{'}, ⋆^{'})$ un morphisme de groupes. Alors :

f est injectif ⟺ Ker (f) = {e_{G}} .

Et bien sûr : $f$ est surjectif si et seulement si $Im (f) = G^{'}$ .

📐 Méthode-type — Montrer qu'un morphisme $f$ est injectif. Réflexe : calculer

Ker (f)

, pas

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

à la main. Schéma : (1) soit

x \in Ker (f)

, c.-à-d.

f (x) = e_{G^{'}}

; (2) à l'aide de la définition explicite de

f

, montrer

x = e_{G}

; (3) conclure

Ker (f) = {e_{G}}

donc

f

injectif par 5.5. Exemple :

Ker (ln) = {1}

, donc

ln

est injectif.

Proposition 5.6 — Composition, isomorphisme réciproque

La composée $g \circ f$ de deux morphismes est un morphisme. Si $f$ est un isomorphisme, alors $f^{- 1}$ l'est aussi. La relation $≃$ est une relation d'équivalence.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier de vérifier l'internalité de la loi. Avant tout,

⋆ : E \times E \to E

(le résultat reste dans

E

). Sur

GL_{n} (R) \cup {0}

, la multiplication n'est plus une LCI car le produit peut tomber sur

0

. Cette ligne sauve des points en DS.

⚠ Erreur 2 — Re-démontrer les 3 axiomes au lieu d'utiliser la caractérisation 3.2. La caractérisation

H \neq = \emptyset, x ⋆ y^{- 1} \in H

est faite exprès pour économiser deux vérifications. Beaucoup d'élèves perdent 5 minutes en DS à réécrire les trois axiomes séparément. Une fois acquise : une ligne de calcul.

⚠ Erreur 3 — Inverser l'ordre dans $(x ⋆ y)^{- 1}$ . Sur un groupe NON abélien (

S_{n}

GL_{n}

, diédral…), écrire

(x ⋆ y)^{- 1} = x^{- 1} ⋆ y^{- 1}

est FAUX. La formule correcte est

(x ⋆ y)^{- 1} = y^{- 1} ⋆ x^{- 1}

. LA coquille la plus fréquente du chapitre.

⚠ Erreur 4 — Confondre « morphisme » et « respecte les neutres ». Un morphisme doit vérifier

f (x ⋆ y) = f (x) ⋆^{'} f (y)

pour tous

x, y

, pas seulement pour le neutre.

f (e_{G}) = e_{G^{'}}

est une conséquence, pas la définition. Si

f (e_{G}) \neq = e_{G^{'}}

, c'est néanmoins une preuve immédiate de non-morphisme.

⚠ Erreur 5 — Confondre $Ker (f) = {e_{G}}$ et $Ker (f) = \emptyset$ . Le noyau d'un morphisme n'est jamais vide : il contient au moins

e_{G}

. Dire «

f

injectif car

Ker (f) = \emptyset

» est doublement faux. Bonne formulation : «

Ker (f) = {e_{G}}

, donc

f

injectif ».

7. Pour aller plus loin

La structure de groupe est l'infrastructure de toute l'algèbre MPSI/MP. Les chapitres qui la réinvestissent directement :

Arithmétique dans $Z$ — les sous-groupes de $(Z, +)$ sont exactement les $n Z$ ; cette classification donne le PGCD et Bézout.
Anneaux, corps, espaces vectoriels — toutes ces structures sont d'abord des groupes abéliens additifs ; les applications linéaires sont des morphismes de groupes.
Groupe symétrique $S_{n}$ et déterminant — $S_{n}$ et la signature $ε : S_{n} \to {\pm 1}$ sont à la base de la définition du déterminant.
Spé : Lagrange, groupes quotients, théorèmes d'isomorphisme — toute la suite de l'algèbre s'appuie sur cette fiche.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire les 3 axiomes d'un groupe $(G, ⋆)$ sans regarder ?
Sais-tu démontrer l'unicité du neutre et du symétrique (en expliquant le rôle de l'associativité) ?
Sais-tu énoncer ET démontrer la caractérisation pratique d'un sous-groupe ( $H \neq = \emptyset, x ⋆ y^{- 1} \in H$ ) ?
Connais-tu les groupes canoniques par cœur : $(Z, +)$ , $(R^{*}, \times)$ , $(GL_{n} (R), \times)$ , $(S_{n}, \circ)$ ?
Sais-tu expliquer pourquoi $(N, +)$ n'est pas un groupe ?
Sais-tu écrire $(x ⋆ y)^{- 1} = y^{- 1} ⋆ x^{- 1}$ avec l'ordre inversé et le justifier ?
Sais-tu définir groupe monogène, groupe cyclique et ordre d'un élément ?
Sais-tu énoncer la définition d'un morphisme et redémontrer $f (e_{G}) = e_{G^{'}}$ , $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ ?
Sais-tu démontrer que $Ker (f) \leq G$ et $Im (f) \leq G^{'}$ ?
Sais-tu utiliser le critère « $f$ injectif $\Leftrightarrow Ker (f) = {e_{G}}$ » ?
Connais-tu les morphismes-types $ln / exp$ , $det$ , signature $ε$ , module $z \mapsto ∣ z ∣$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Unicité de l'élément neutre — jouer $e$ et $e^{'}$ l'un contre l'autre : $e = e ⋆ e^{'} = e^{'}$
Unicité du symétrique (loi associative) — calculer $x^{'} ⋆ x ⋆ x^{''}$ de deux manières grâce à l'associativité
Caractérisation pratique d'un sous-groupe — équivalence avec $H \neq = \emptyset$ et $x ⋆ y^{- 1} \in H$
Noyau et image d'un morphisme sont des sous-groupes — application directe de la caractérisation 3.2

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Lois de composition interne sur un ensemble

2. Définition d'un groupe

3. Sous-groupes

4. Sous-groupe engendré et groupes cycliques

5. Morphismes de groupes

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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