Espaces probabilisés

Vue d'ensemble

En sup, les probabilités portaient sur un univers FINI (dés, cartes). En MP, on passe à l'infini : que se passe-t-il pour un univers dénombrable — « lancer une pièce jusqu'au premier pile », « nombre de clients dans une file » ? Il faut un cadre rigoureux : l'espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , formé d'un univers $Ω$ , d'une tribu $A$ d'événements, et d'une probabilité $P$ . La nouveauté cruciale est la $σ$ -additivité : la probabilité d'une réunion DÉNOMBRABLE d'événements disjoints est la SOMME (d'une série) de leurs probabilités. Elle entraîne les propriétés de continuité monotone, absentes du cas fini. On retrouve ensuite les outils familiers — probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, Bayes — désormais avec des séries. Ce chapitre fonde toute la théorie des variables aléatoires de spé. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Espaces probabilisés : univers dénombrable, tribu (

σ

-algèbre), événements ; probabilité, axiome de

σ

-additivité, propriétés (croissance, continuité croissante et décroissante, sous-additivité) ; probabilité conditionnelle, indépendance d'événements ; système complet d'événements, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Prérequis

Probabilités sur un univers fini (1re année)
Séries numériques (à termes positifs), sommes dénombrables
Ensembles dénombrables, opérations sur les ensembles

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1. Espace probabilisé

Définition 1.1 — Univers, tribu, événements

L'univers $Ω$ est l'ensemble des issues possibles (ici dénombrable). Une tribu (ou $σ$ -algèbre) $A$ sur $Ω$ est un ensemble de parties de $Ω$ tel que :

$Ω \in A$ ;
stabilité par complémentaire : $A \in A \Rightarrow \overset{ˉ}{A} \in A$ ;
stabilité par réunion DÉNOMBRABLE : $(A_{n})_{n \in N} \in A^{N} \Rightarrow ⋃_{n} A_{n} \in A$ .

Les éléments de $A$ sont les événements. Pour un univers dénombrable, on prend en général $A = P (Ω)$ (toutes les parties).

Définition 1.2 — Probabilité et σ-additivité

Une probabilité sur $(Ω, A)$ est une application $P : A \to [0, 1]$ telle que $P (Ω) = 1$ et vérifiant l'axiome de $σ$ -additivité : pour toute suite $(A_{n})$ d'événements deux à deux disjoints,

P (n = 0 ⨆ + \infty A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .

La probabilité d'une réunion dénombrable disjointe est la SOMME d'une SÉRIE (convergente, à termes positifs). C'est LA différence avec le cas fini : on somme une infinité de termes.

Définition 1.3 — Espace probabilisé

Un espace probabilisé est le triplet $(Ω, A, P)$ . Sur un univers dénombrable $Ω = {ω_{0}, ω_{1}, \dots}$ , une probabilité est entièrement déterminée par les $p_{n} = P ({ω_{n}})$ , avec $p_{n} \geq 0$ et $\sum_{n} p_{n} = 1$ : toute distribution de « masses » sommant à $1$ convient.

Théorème 1.1 — Propriétés d'une probabilité et continuité croissante ★ À savoir démontrer

Une probabilité vérifie : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ , la croissance ( $A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$ ), la sous-additivité, et surtout la continuité croissante : pour toute suite CROISSANTE d'événements $A_{n} \subset A_{n + 1}$ ,

P (n ⋃ A_{n}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .

Démonstration (continuité croissante par disjonction)

Soit $(A_{n})$ croissante. Construisons une suite d'événements DEUX À DEUX DISJOINTS de même réunion : posons $B_{0} = A_{0}$ et $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ . Les $B_{n}$ sont disjoints (car $(A_{n})$ croissante), et pour tout $N$ : $n = 0 ⨆ N B_{n} = A_{N}$ , ainsi que $n = 0 ⨆ + \infty B_{n} = n ⋃ A_{n}$ .

Par $σ$ -additivité appliquée aux $B_{n}$ disjoints : $P (n ⋃ A_{n}) = P (n ⨆ B_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (B_{n}) = N \to + \infty lim n = 0 \sum N P (B_{n}) = N \to + \infty lim P (A_{N}),$ la dernière égalité venant de l'additivité finie $\sum_{n = 0}^{N} P (B_{n}) = P (A_{N})$ . CQFD. (La continuité DÉCROISSANTE s'en déduit par passage au complémentaire.)

⚠ Piège — La σ-additivité exige des événements DISJOINTS. La formule

P (⨆ A_{n}) = \sum P (A_{n})

n'est valable que si les

A_{n}

sont DEUX À DEUX DISJOINTS. Pour une réunion quelconque, on n'a que la SOUS-additivité

P (⋃ A_{n}) \leq \sum P (A_{n})

. Toujours vérifier (ou construire) la disjonction avant de sommer les probabilités.

2. Conditionnement et indépendance

Définition 2.1 — Probabilité conditionnelle

Soit $B$ un événement de probabilité $P (B) > 0$ . La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .

C'est la probabilité de $A$ réactualisée par l'information « $B$ est réalisé ». À $B$ fixé, $A \mapsto P (A ∣ B)$ est elle-même une probabilité. On en tire la formule des probabilités composées : $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$ .

Définition 2.2 — Indépendance

Deux événements $A, B$ sont indépendants si :

P (A \cap B) = P (A) P (B),

ce qui équivaut (si $P (B) > 0$ ) à $P (A ∣ B) = P (A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $A$ . Une famille est mutuellement indépendante si la relation vaut pour TOUTE sous-famille (attention : l'indépendance deux à deux ne suffit pas).

Théorème 2.1 — Formule des probabilités totales ★ À savoir démontrer

Soit $(A_{n})_{n}$ un système complet d'événements (les $A_{n}$ forment une partition de $Ω$ , avec $P (A_{n}) > 0$ ). Alors, pour tout événement $B$ :

P (B) = n \sum P (B ∣ A_{n}) P (A_{n}) .

Démonstration (décomposition sur la partition)

Comme $(A_{n})$ est une partition de $Ω$ , on décompose $B$ en morceaux disjoints : $B = B \cap Ω = B \cap (n ⨆ A_{n}) = n ⨆ (B \cap A_{n}),$ les $B \cap A_{n}$ étant deux à deux disjoints (car les $A_{n}$ le sont).

Par $σ$ -additivité, puis par la formule des probabilités composées ( $P (B \cap A_{n}) = P (B ∣ A_{n}) P (A_{n})$ , licite car $P (A_{n}) > 0$ ) : $P (B) = n \sum P (B \cap A_{n}) = n \sum P (B ∣ A_{n}) P (A_{n}) .$ CQFD. C'est l'outil pour calculer $P (B)$ en « conditionnant selon les cas ».

Théorème 2.2 — Formule de Bayes

Pour deux événements de probabilités non nulles, ou avec un système complet $(A_{n})$ :

P (A_{k} ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A _{k} ) P ( A _{k} )}{\sum _{n} P ( B ∣ A _{n} ) P ( A _{n} )} .

Bayes « inverse » le conditionnement : de $P (B ∣ A)$ (souvent connu, la « cause » vers l'« effet »), on remonte à $P (A ∣ B)$ (l'« effet » vers la « cause »). Outil central des tests, diagnostics et de l'inférence.

📐 Méthode-type — Calculer une probabilité par conditionnement.

Identifier un système complet $(A_{n})$ adapté (les « cas » naturels : premier tirage, panne/pas panne, etc.).
Probabilités totales : $P (B) = \sum_{n} P (B ∣ A_{n}) P (A_{n})$ , en calculant chaque $P (B ∣ A_{n})$ (souvent plus simple).
Bayes si on cherche l'inverse : pour $P (A_{k} ∣ B)$ , diviser $P (B ∣ A_{k}) P (A_{k})$ par la somme du dénominateur.
Vérifier : les probabilités obtenues sont dans $[0, 1]$ , et $\sum_{k} P (A_{k} ∣ B) = 1$ .

💡 Exemple — Le test médical (paradoxe de Bayes). Une maladie touche

1%

de la population. Un test la détecte à

99%

chez les malades (

P (+ ∣ M) = 0, 99

) mais donne

5%

de faux positifs (

P (+ ∣ \overset{ˉ}{M}) = 0, 05

). Si le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ? Par Bayes :

P (M ∣ +) = \frac{0 , 99 \times 0 , 01}{0 , 99 \times 0 , 01 + 0 , 05 \times 0 , 99} = \frac{0 , 0099}{0 , 0099 + 0 , 0495} \approx 0, 17.

Seulement

17%

! La rareté de la maladie domine — un résultat contre-intuitif qui piège même les médecins.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les probabilités sur un univers infini punissent l'imprécision sur la disjonction et le conditionnement. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Sommer des probabilités d'événements non disjoints.

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

est FAUX en général : il faut

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. La σ-additivité ne s'applique QU'aux événements disjoints. Vérifier la disjonction ou soustraire l'intersection.

⚠ Erreur 2 — Conditionner par un événement de probabilité nulle.

P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)

n'a de sens que si

P (B) > 0

. Oublier de vérifier

P (B) > 0

(ou l'utiliser dans un système complet avec un

A_{n}

de proba nulle) est une faute. Toujours s'assurer que le conditionnant est de probabilité strictement positive.

⚠ Erreur 3 — Confondre indépendance deux à deux et mutuelle. Trois événements peuvent être indépendants DEUX À DEUX sans être MUTUELLEMENT indépendants (l'égalité

P (A \cap B \cap C) = P (A) P (B) P (C)

peut échouer). L'indépendance mutuelle exige la factorisation pour TOUTES les sous-familles. Ne pas déduire l'une de l'autre.

⚠ Erreur 4 — Oublier de vérifier que le système est complet. La formule des probabilités totales exige que les

(A_{n})

forment une PARTITION de

Ω

(disjoints ET de réunion

Ω

), chacun de proba non nulle. Un « système » qui ne couvre pas tout

Ω

, ou dont les cas se chevauchent, invalide la formule.

⚠ Erreur 5 — Inverser P(A|B) et P(B|A).

P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)

en général : c'est toute la subtilité de Bayes. Confondre les deux (« probabilité d'être malade sachant test positif » vs « test positif sachant malade ») est l'erreur conceptuelle par excellence — celle du paradoxe des faux positifs.

4. Pour aller plus loin

Les espaces probabilisés fondent toute la théorie des probabilités de spé et au-delà :

Variables aléatoires discrètes — lois (géométrique, Poisson), fonction de répartition : définies sur ces espaces probabilisés.
Espérance et variance — moments, fonctions génératrices : des séries sur l'univers dénombrable.
Chaînes de Markov — le conditionnement itéré, cœur des processus aléatoires (post-bac, mais très présent en oral).
Statistiques et inférence — Bayes est le fondement de l'apprentissage statistique et du raisonnement sous incertitude.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu ce qu'est une tribu (σ-algèbre) et ses trois propriétés ?
Sais-tu énoncer l'axiome de σ-additivité (événements disjoints) ?
Sais-tu qu'une proba sur Ω dénombrable est fixée par les pₙ avec Σ pₙ = 1 ?
Sais-tu démontrer la continuité croissante P(∪Aₙ) = lim P(Aₙ) ?
Connais-tu la construction Bₙ = Aₙ \ Aₙ₋₁ (disjonction) ?
Sais-tu que sans disjonction, on n'a que la sous-additivité ?
Sais-tu définir la probabilité conditionnelle P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ?
Sais-tu définir l'indépendance P(A∩B) = P(A)P(B) ?
Sais-tu que l'indépendance 2 à 2 n'implique pas la mutuelle ?
Sais-tu démontrer la formule des probabilités totales ?
Sais-tu appliquer la formule de Bayes (et ne pas inverser P(A|B) et P(B|A)) ?
Comprends-tu le paradoxe des faux positifs (test médical) ?

Démonstrations à savoir refaire

Continuité croissante — disjonction Bₙ = Aₙ \ Aₙ₋₁, σ-additivité
Formule des probabilités totales — décomposition sur la partition

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Espace probabilisé

2. Conditionnement et indépendance

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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