Matrices et applications linéaires

Vue d'ensemble

Ce chapitre est le pont central de l'algèbre linéaire MPSI : il met en correspondance les applications linéaires $f : E \to F$ (objets abstraits) et les matrices (objets de calcul). Une fois cette correspondance maîtrisée, tout calcul d'algèbre linéaire — composition, image, noyau, rang, changement de base, diagonalisation à venir en spé — se ramène à du calcul matriciel mécanique. Cette fiche regroupe les 9 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges récurrents sur les matrices de passage.

Au programme MPSI (officiel) — Matrice d'une famille de vecteurs, matrice d'une application linéaire dans des bases, isomorphisme

L (E, F) ≃ M_{n, p} (K)

, matrice d'un vecteur, composition et produit matriciel, matrice de passage, formules de changement de base pour un vecteur et pour une application linéaire (cas particulier endomorphisme : matrices semblables), rang d'une matrice, invariance du rang par opérations élémentaires, égalité

rg (A) = rg (A^{⊤})

Prérequis

Espaces vectoriels, bases, dimension finie (théorème de la base incomplète)
Applications linéaires : noyau, image, théorème du rang $dim E = dim ker f + rg f$
Calcul matriciel élémentaire : somme, produit, transposée, matrice inversible et $GL_{n} (K)$
Opérations élémentaires sur les lignes et colonnes (méthode du pivot de Gauss)

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1. Matrice d'une application linéaire

1.1 — Construction et définition

Définition 1.1 — Matrice d'une famille de vecteurs

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $p$ , $B = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E$ , et $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de vecteurs de $E$ . La matrice de cette famille dans la base $B$ est la matrice de $M_{p, n} (K)$ dont la $j$ -ième colonne est formée des coordonnées de $x_{j}$ dans $B$ .

Définition 1.2 — Matrice d'une application linéaire

Soient $E$ et $F$ deux $K$ -espaces vectoriels de dimensions finies $p$ et $n$ , $B_{E} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E$ , $B_{F} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ une base de $F$ , et $f \in L (E, F)$ . La matrice de $f$ dans les bases $B_{E}$ et $B_{F}$ , notée $Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ , est la matrice de $M_{n, p} (K)$ dont la $j$ -ième colonne est formée des coordonnées de $f (e_{j})$ dans la base d'arrivée $B_{F}$ :

Mat_{B_{F}, B_{E}} (f) = ([f (e_{1})]_{B_{F}} [f (e_{2})]_{B_{F}} \dots [f (e_{p})]_{B_{F}}) .

Quand $f$ est un endomorphisme ( $E = F$ ) et que l'on prend la même base $B$ au départ et à l'arrivée, on note simplement $Mat_{B} (f)$ .

⚠ Piège n°1 du chapitre — l'ordre des bases dans la notation. Dans

Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)

, la base de départ

B_{E}

est à droite, la base d'arrivée

B_{F}

est à gauche. C'est l'inverse de l'ordre où l'on lit

f : E \to F

— mais c'est cohérent avec la composition et le produit matriciel (voir §2). Erreur n°1 sanctionnée en début de chapitre : inverser les deux bases et obtenir une matrice transposée de la bonne.

💡 Exemple canonique — Dérivation sur $R_{3} [X]$ . Soit

D : R_{3} [X] \to R_{3} [X]

P \mapsto P^{'}

. Dans la base canonique

B = (1, X, X^{2}, X^{3})

, on calcule

D (1) = 0

D (X) = 1

D (X^{2}) = 2 X

D (X^{3}) = 3 X^{2}

. On écrit ces coordonnées en colonne :

Mat_{B} (D) = 0000100002000030 .

Lecture : la 3^e colonne donne

D (X^{2}) = 2 X = 0 \cdot 1 + 2 \cdot X + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X^{3}

1.2 — L'isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂)

Théorème 1.3 — Isomorphisme

L (E, F) ≃ M_{n, p} (K)

Une fois fixées les bases $B_{E}$ et $B_{F}$ , l'application

Φ : L (E, F) ⟶ M_{n, p} (K), f ⟼ Mat_{B_{F}, B_{E}} (f),

est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier :

$dim L (E, F) = dim M_{n, p} (K) = n \cdot p = dim F \cdot dim E$ .
Une AL est entièrement déterminée par l'image d'une base : à toute matrice $A \in M_{n, p} (K)$ correspond une unique AL $f$ telle que $Mat_{B_{F}, B_{E}} (f) = A$ .

📝 Lecture pédagogique. Ce théorème dit que « faire de l'algèbre linéaire en dimension finie = faire du calcul matriciel ». Le seul prix à payer est de fixer une fois pour toutes une base de chaque espace — c'est précisément l'objet des sections 3 et 4 (changement de base).

1.3 — Matrice d'un vecteur et formule Y = AX

Proposition 1.4 — Image d'un vecteur par calcul matriciel

Soit $f \in L (E, F)$ , $A = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ . Pour $x \in E$ , notons $X \in M_{p, 1} (K)$ la matrice colonne des coordonnées de $x$ dans $B_{E}$ , et $Y \in M_{n, 1} (K)$ celle de $f (x)$ dans $B_{F}$ . Alors :

Y = A X .

Autrement dit, calculer $f (x)$ en coordonnées se réduit à une multiplication matricielle.

📐 Méthode-type — Calculer $f (x)$ à partir de la matrice.

Coordonnées de $x$ . Écrire $X = [x]_{B_{E}}$ en colonne.
Produit matriciel. Calculer $Y = A X$ avec $A = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ .
Retour aux vecteurs. Si $Y = (y_{1}, \dots, y_{n})^{⊤}$ , alors $f (x) = y_{1} f_{1} + \dots + y_{n} f_{n}$ (recombinaison dans $B_{F}$ ).

Astuce mémoire : « les colonnes de

A

sont les coordonnées des images des vecteurs de base, donc multiplier

A

par

X

revient à faire la combinaison linéaire des colonnes pondérée par

X

». C'est exactement la définition du produit matriciel.

2. Composition d'AL et produit matriciel

Théorème 2.1 — Matrice d'une composée ★ À savoir démontrer

Soient $E, F, G$ trois $K$ -espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement des bases $B_{E}, B_{F}, B_{G}$ . Pour $f \in L (E, F)$ et $g \in L (F, G)$ :

Mat_{B_{G}, B_{E}} (g \circ f) = Mat_{B_{G}, B_{F}} (g) \cdot Mat_{B_{F}, B_{E}} (f) .

Autrement dit : la matrice d'une composée est le produit des matrices, dans le même ordre que la composition.

Démonstration (par calcul terme à terme)

Notons $B_{E} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ , $B_{F} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ , $B_{G} = (g_{1}, \dots, g_{m})$ . Posons $A = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f) = (a_{k j})$ et $B = Mat_{B_{G}, B_{F}} (g) = (b_{ik})$ . Par définition des matrices :

f (e_{j}) = k = 1 \sum n a_{k j} f_{k}, g (f_{k}) = i = 1 \sum m b_{ik} g_{i} .

Par linéarité de $g$ , on en déduit :

(g \circ f) (e_{j}) = g (k = 1 \sum n a_{k j} f_{k}) = k = 1 \sum n a_{k j} g (f_{k}) = k = 1 \sum n a_{k j} i = 1 \sum m b_{ik} g_{i} = i = 1 \sum m (k = 1 \sum n b_{ik} a_{k j}) g_{i} .

Le coefficient sur $g_{i}$ est donc $\sum_{k = 1}^{n} b_{ik} a_{k j}$ — c'est exactement le coefficient $(i, j)$ du produit matriciel $B A$ . En empilant ces colonnes pour $j = 1, \dots, p$ , on obtient $Mat_{B_{G}, B_{E}} (g \circ f) = B A$ , c.-à-d. la formule annoncée.

📝 Justification a posteriori du produit matriciel. La définition « bizarre » du produit matriciel

(\sum_{k} b_{ik} a_{k j})

n'a pas été inventée par hasard : c'est l'unique définition qui rend la composition d'AL compatible avec le calcul en coordonnées. Le théorème 2.1 dit : « si on veut

Mat (g \circ f) = Mat (g) \cdot Mat (f)

, alors le produit doit forcément être défini ainsi ».

Corollaire 2.2 — Isomorphisme et inversibilité

Soit $f \in L (E, F)$ avec $dim E = dim F = n$ . Alors $f$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice $A = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ est inversible dans $M_{n} (K)$ . Dans ce cas :

Mat_{B_{E}, B_{F}} (f^{- 1}) = A^{- 1} .

⚠ Piège n°2 — ordre du produit. Le produit matriciel n'est pas commutatif.

Mat (g \circ f) = Mat (g) \cdot Mat (f)

— pas l'inverse. Comme

g

est appliqué après

f

, sa matrice est à gauche. Erreur très fréquente en début de chapitre : écrire

A B

au lieu de

B A

et obtenir une matrice qui n'a aucun sens (souvent même pas de bonne taille).

3. Changement de base

3.1 — Matrice de passage

Définition 3.1 — Matrice de passage

Soient $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ et $B^{'} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ deux bases du même espace $E$ . La matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ , notée $P_{B \to B^{'}}$ , est la matrice de $M_{n} (K)$ dont la $j$ -ième colonne contient les coordonnées du vecteur $e_{j}^{'}$ dans l'ancienne base $B$ :

P_{B \to B^{'}} = ([e_{1}^{'}]_{B} [e_{2}^{'}]_{B} \dots [e_{n}^{'}]_{B}) .

De manière équivalente : $P_{B \to B^{'}} = Mat_{B, B^{'}} (id_{E})$ (matrice de l'identité de $E$ avec base de départ $B^{'}$ et base d'arrivée $B$ ).

⚠ Piège n°3 — la direction « trompeuse » de la matrice de passage.

P_{B \to B^{'}}

se lit « passage de

B

B^{'}

», mais ses colonnes contiennent les coordonnées de

B^{'}

dans

B

— pas l'inverse. Et c'est la matrice de

id_{E}

avec base de départ

B^{'}

et base d'arrivée

B

. Ce double renversement est la source d'erreurs du chapitre. La bonne intuition : «

P

sert à traduire des coordonnées exprimées dans

B^{'}

vers des coordonnées exprimées dans

B

».

Proposition 3.2 — Inversibilité de la matrice de passage

Pour toutes bases $B$ et $B^{'}$ de $E$ , la matrice $P_{B \to B^{'}}$ est inversible, et :

(P_{B \to B^{'}})^{- 1} = P_{B^{'} \to B} .

3.2 — Formules de changement de base

Théorème 3.3 — Changement de base pour un vecteur

Soit $x \in E$ , $X = [x]_{B}$ , $X^{'} = [x]_{B^{'}}$ , et $P = P_{B \to B^{'}}$ . Alors :

X = P X^{'} ou de mani \overset{e}{ˋ} re \overset{e}{ˊ} quivalente X^{'} = P^{- 1} X .

📝 Sens à donner aux formules.

X = P X^{'}

signifie : « pour récupérer les anciennes coordonnées

X

à partir des nouvelles

X^{'}

, on multiplie par

P

». C'est cohérent avec «

P

sert à traduire de

B^{'}

vers

B

». Réciproquement,

X^{'} = P^{- 1} X

: pour passer des anciennes aux nouvelles coordonnées, on multiplie par

P^{- 1}

Théorème 3.4 — Changement de base pour un endomorphisme ★ À savoir démontrer

Soit $f \in L (E)$ un endomorphisme, $A = Mat_{B} (f)$ , $A^{'} = Mat_{B^{'}} (f)$ , et $P = P_{B \to B^{'}}$ . Alors :

A^{'} = P^{- 1} A P .

Deux matrices $A, A^{'}$ reliées par $A^{'} = P^{- 1} A P$ avec $P \in GL_{n} (K)$ sont dites semblables (ou conjuguées) : elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

Démonstration (par décomposition de l'identité)

L'idée est de factoriser $f : E \to E$ à travers les deux bases en intercalant l'identité. Considérons la chaîne :

(E, B^{'}) id_{E} (E, B) f (E, B) id_{E} (E, B^{'}) .

Composée totale : $f = id_{E} \circ f \circ id_{E}$ , vu comme application de $(E, B^{'})$ dans $(E, B^{'})$ . Par le théorème de la matrice d'une composée (Thm 2.1) :

Mat_{B^{'}, B^{'}} (f) = Mat_{B^{'}, B} (id_{E}) \cdot Mat_{B, B} (f) \cdot Mat_{B, B^{'}} (id_{E}) .

Or par définition, $Mat_{B, B^{'}} (id_{E}) = P_{B \to B^{'}} = P$ et $Mat_{B^{'}, B} (id_{E}) = P_{B^{'} \to B} = P^{- 1}$ . D'où :

A^{'} = P^{- 1} A P . □

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Le changement de base est LA notion qui sépare les copies 12 des copies 16. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X ou de Centrale, tu construis 5 exemples de bout en bout (passage, formule, vérification numérique) jusqu'à ce que la mécanique $A^{'} = P^{- 1} A P$ devienne automatique — y compris à l'oral de khôlle.

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Théorème 3.5 — Changement de base pour une AL générale

Soit $f \in L (E, F)$ , $B_{E}, B_{E}^{'}$ deux bases de $E$ et $B_{F}, B_{F}^{'}$ deux bases de $F$ . Notons :

$M = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ , $M^{'} = Mat_{B_{F}^{'}, B_{E}^{'}} (f)$ ,
$P = P_{B_{E} \to B_{E}^{'}}$ (passage dans $E$ ),
$Q = P_{B_{F} \to B_{F}^{'}}$ (passage dans $F$ ).

Alors :

M^{'} = Q^{- 1} M P .

Deux matrices ainsi reliées sont dites équivalentes (généralisation du cas « semblables » qui correspond à $E = F$ , $B_{E} = B_{F}$ , $P = Q$ ).

Définition 3.6 — Matrices semblables et matrices équivalentes

Deux matrices $A, A^{'} \in M_{n} (K)$ sont semblables s'il existe $P \in GL_{n} (K)$ telle que $A^{'} = P^{- 1} A P$ . Elles représentent alors le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Deux matrices $M, M^{'} \in M_{n, p} (K)$ sont équivalentes s'il existe $P \in GL_{p} (K)$ , $Q \in GL_{n} (K)$ telles que $M^{'} = Q^{- 1} M P$ . Elles représentent alors la même AL dans des couples de bases différents.

La similitude est un cas particulier de l'équivalence (avec $P = Q$ et $n = p$ ).

💡 Exemple — Rotation dans $R^{2}$ . Soit

r_{θ}

la rotation d'angle

θ

dans la base canonique

B = (e_{1}, e_{2})

. On a

A = Mat_{B} (r_{θ}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

. Dans la base

B^{'} = (e_{1} + e_{2}, e_{1} - e_{2})

, la matrice de passage est

P = (11 1 - 1)

P^{- 1} = \frac{1}{2} (11 1 - 1)

, et l'on retrouve

A^{'} = P^{- 1} A P

— la nouvelle matrice représente la même rotation, mais lue dans

B^{'}

4. Rang d'une matrice

Définition 4.1 — Rang d'une matrice

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ . Le rang de $A$ , noté $rg (A)$ ou $rang (A)$ , est défini de manière équivalente par :

Le rang de la famille des colonnes de $A$ , vues comme vecteurs de $K^{n}$ : $rg (A) = dim Vect (C_{1}, \dots, C_{p})$ .
Le rang de toute application linéaire $f$ que $A$ représente (dans n'importe quelles bases) : si $A = Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ , alors $rg (A) = rg (f) = dim Im f$ .
Le nombre de pivots non nuls dans toute forme échelonnée de $A$ (obtenue par le pivot de Gauss).

Proposition 4.2 — Bornes naturelles du rang

Pour $A \in M_{n, p} (K)$ :

0 \leq rg (A) \leq min (n, p) .

L'égalité $rg (A) = p$ signifie « colonnes linéairement indépendantes » (équivalent à $f$ injective). L'égalité $rg (A) = n$ signifie « colonnes engendrant l'espace d'arrivée » (équivalent à $f$ surjective).

Théorème 4.3 — Invariance du rang par opérations élémentaires

Le rang d'une matrice est conservé par les opérations élémentaires sur les lignes ET sur les colonnes :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ (échange de deux lignes) et $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ (échange de colonnes),
$L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ avec $λ \neq = 0$ (dilatation), idem en colonnes,
$L_{i} \leftarrow L_{i} + μ L_{j}$ ( $i \neq = j$ , transvection), idem en colonnes.

En particulier, on calcule $rg (A)$ en mettant $A$ sous forme échelonnée par pivot de Gauss puis en comptant les pivots non nuls.

📐 Méthode-type — Calculer le rang d'une matrice.

Pivot de Gauss. Échelonner $A$ par opérations élémentaires sur les lignes (et éventuellement colonnes — en gardant la trace, si on veut aussi le noyau).
Compter les pivots. Le rang est le nombre de pivots non nuls dans la forme échelonnée.
Vérification dimension. Si $A$ représente $f$ , vérifier la cohérence avec le théorème du rang : $dim ker f = p - rg (A)$ et $dim Im f = rg (A)$ .

Astuce : pour une matrice carrée

n \times n

rg (A) = n

équivaut à

A

inversible — c'est souvent la voie la plus rapide quand on cherche juste à savoir si

det A \neq = 0

Théorème 4.4 — Égalité

rg (A) = rg (A^{⊤})

★ À savoir démontrer

Pour toute matrice $A \in M_{n, p} (K)$ , le rang des lignes est égal au rang des colonnes :

rg (A) = rg (A^{⊤}) .

Démonstration (par réduction à la forme

J_{r}

)

On utilise le théorème de réduction : toute matrice $A \in M_{n, p} (K)$ de rang $r$ est équivalente à la matrice

J_{r} = (I_{r} 0 00) \in M_{n, p} (K),

c'est-à-dire qu'il existe $P \in GL_{p} (K)$ , $Q \in GL_{n} (K)$ telles que $A = Q J_{r} P^{- 1}$ (résultat obtenu par opérations élémentaires sur lignes et colonnes, qui sont multiplications par des matrices inversibles).

En transposant : $A^{⊤} = (P^{- 1})^{⊤} J_{r}^{⊤} Q^{⊤} = (P^{⊤})^{- 1} J_{r}^{⊤} Q^{⊤}$ . Donc $A^{⊤}$ est équivalente à $J_{r}^{⊤}$ . Or

J_{r}^{⊤} = (I_{r} 0 00) \in M_{p, n} (K),

qui a aussi $r$ colonnes indépendantes (les $r$ premières), donc rang $r$ . Comme le rang est invariant par équivalence (opérations élémentaires), $rg (A^{⊤}) = r = rg (A)$ . $□$

Corollaire 4.5 — Rang par les lignes

Le rang d'une matrice est aussi égal au rang de la famille de ses lignes (vues comme vecteurs de $K^{p}$ ) : $rg (A) = dim Vect (L_{1}, \dots, L_{n})$ . Conséquence pratique : pour calculer le rang, on peut au choix échelonner par lignes OU par colonnes.

Théorème 4.6 — Rang d'un produit ★ À savoir démontrer

Soient $A \in M_{n, p} (K)$ et $B \in M_{p, q} (K)$ . Alors :

rg (A B) \leq min (rg (A), rg (B)) .

De plus, si $P \in GL_{n} (K)$ et $Q \in GL_{p} (K)$ , alors $rg (P A Q) = rg (A)$ : multiplier par des matrices inversibles ne change pas le rang.

Démonstration (via les AL associées)

Identifions $A$ à $f \in L (K^{p}, K^{n})$ et $B$ à $g \in L (K^{q}, K^{p})$ (matrices dans les bases canoniques). Alors $A B$ représente $f \circ g$ .

(i) $rg (A B) \leq rg (A)$ . On a $Im (f \circ g) \subset Im (f)$ (car tout vecteur de la forme $f (g (x))$ est dans l'image de $f$ ). En passant aux dimensions : $rg (f \circ g) \leq rg (f)$ , soit $rg (A B) \leq rg (A)$ .

(ii) $rg (A B) \leq rg (B)$ . Notons $g_{∣} : K^{q} \to Im (g)$ la corestriction de $g$ . Alors $f \circ g = (f_{∣ Im (g)}) \circ g$ , donc $Im (f \circ g) = f (Im g)$ est l'image par $f$ du sous-espace $Im (g)$ . Par le théorème du rang appliqué à la restriction de $f$ à $Im (g)$ : $dim f (Im g) \leq dim Im (g) = rg (g)$ , d'où $rg (A B) \leq rg (B)$ .

(iii) Invariance par multiplication par inversibles. Si $P$ est inversible, $P$ représente un isomorphisme, qui préserve la dimension de l'image. Donc $rg (P A) = rg (A)$ et $rg (A Q) = rg (A)$ . $□$

📝 Conséquence pour les matrices semblables. Si

A^{'} = P^{- 1} A P

alors

rg (A^{'}) = rg (A)

(par le théorème 4.6). Le rang est un invariant de similitude — il ne dépend pas du choix de la base utilisée pour représenter l'endomorphisme. C'est pour cela que parler du « rang d'un endomorphisme » a un sens.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves d'algèbre linéaire. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — et sont fatales aux questions de cours qui ouvrent les sujets.

⚠ Erreur 1 — Inverser l'ordre des bases dans $Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ . Beaucoup d'élèves écrivent les images

f (e_{j})

en lignes au lieu de en colonnes, ou interprètent la matrice de passage à l'envers. Mnémo absolu : jième colonne = image (ou coordonnées) du jième vecteur de la base de départ, lues dans la base d'arrivée. Toujours.

⚠ Erreur 2 — Inverser $P$ et $P^{- 1}$ dans la formule de changement de base. Pour un vecteur :

X = P X^{'}

(anciennes =

P

× nouvelles). Pour un endomorphisme :

A^{'} = P^{- 1} A P

(nouvelles =

P^{- 1}

× anciennes ×

P

). Truc : écrire

A^{'} = P^{- 1} A P

et vérifier que les bases « s'enchaînent » correctement (cf. démo par décomposition de

id

en composée).

⚠ Erreur 3 — Multiplier les matrices dans le mauvais sens pour la composée.

Mat (g \circ f) = Mat (g) \cdot Mat (f)

— la matrice de

g

est à gauche (

g

agit en dernier, donc à gauche). Très fréquent : écrire

Mat (f) \cdot Mat (g)

, ce qui n'a souvent même pas de sens dimensionnel.

⚠ Erreur 4 — Confondre « matrices équivalentes » et « matrices semblables ». Équivalentes :

A^{'} = Q^{- 1} A P

avec deux matrices inversibles différentes (la base de départ et la base d'arrivée changent indépendamment, AL générale). Semblables :

A^{'} = P^{- 1} A P

avec une seule matrice

P

(cas particulier : endomorphisme avec une seule base). Les invariants ne sont pas les mêmes : équivalence préserve le rang, similitude préserve aussi la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique (vu en spé).

⚠ Erreur 5 — Croire que $rg (A + B) = rg (A) + rg (B)$ . FAUX. Contre-exemple immédiat :

A = I_{n}

B = - I_{n}

, alors

A + B = 0

donc rang

0

, tandis que

rg (A) + rg (B) = 2 n

. La bonne inégalité est

∣ rg (A) - rg (B) ∣ \leq rg (A + B) \leq rg (A) + rg (B)

(sous-additivité), jamais l'égalité en général.

6. Pour aller plus loin

Ce chapitre est le tronc commun de toute l'algèbre linéaire ultérieure. Les chapitres qui le réinvestissent immédiatement, en MPSI puis en spé :

Déterminants — Le déterminant d'un endomorphisme est défini comme celui de sa matrice dans n'importe quelle base, justement parce que $det (P^{- 1} A P) = det A$ (invariant de similitude). Le calcul pratique passe systématiquement par les matrices et les opérations élémentaires.
Systèmes linéaires — Tout système $A X = B$ se lit comme « trouver $x$ tel que $f (x) = b$ » où $A = Mat (f)$ . Le rang de $A$ (et celui de la matrice augmentée) dicte directement la dimension des solutions.
Réduction des endomorphismes (spé) — Diagonalisation et trigonalisation cherchent une base $B^{'}$ dans laquelle $A^{'} = P^{- 1} A P$ est la plus simple possible (diagonale, triangulaire). Le formalisme du changement de base est le terrain de jeu.
Espaces euclidiens (spé) — Les matrices orthogonales sont les matrices de passage entre bases orthonormées. $P^{⊤} = P^{- 1}$ simplifie les formules de changement de base.
Calcul de puissances $A^{n}$ — Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ . Toute la mécanique récurrences linéaires/Fibonacci-en-matriciel repose dessus.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu construire la matrice d'une AL $f : E \to F$ à partir de bases données (jième colonne = coordonnées de $f (e_{j})$ dans la base d'arrivée) ?
Sais-tu énoncer l'isomorphisme $L (E, F) ≃ M_{n, p} (K)$ et donner la dimension $n \cdot p$ ?
Sais-tu calculer $f (x)$ en coordonnées via $Y = A X$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer $Mat (g \circ f) = Mat (g) \cdot Mat (f)$ (avec l'ordre correct des bases) ?
Sais-tu écrire la matrice de passage $P_{B \to B^{'}}$ et expliquer pourquoi ses colonnes sont les coordonnées de $B^{'}$ dans $B$ ?
Sais-tu énoncer les deux formules de changement de base — $X = P X^{'}$ pour un vecteur, $A^{'} = P^{- 1} A P$ pour un endomorphisme ?
Sais-tu démontrer $A^{'} = P^{- 1} A P$ en passant par $f = id \circ f \circ id$ ?
Sais-tu énoncer la formule générale $M^{'} = Q^{- 1} M P$ et la différence « équivalentes vs semblables » ?
Sais-tu calculer le rang d'une matrice par le pivot de Gauss et l'interpréter comme $dim Im f$ ?
Sais-tu démontrer $rg (A) = rg (A^{⊤})$ par réduction à $J_{r}$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer $rg (A B) \leq min (rg (A), rg (B))$ ?
Connais-tu les 5 erreurs classiques (ordre des bases, $P$ vs $P^{- 1}$ , ordre du produit, semblables vs équivalentes, rang d'une somme) ?

Démonstrations à savoir refaire

Matrice d'une composée $Mat (g \circ f) = Mat (g) \cdot Mat (f)$ — calcul terme à terme à partir des définitions
Formule $A^{'} = P^{- 1} A P$ pour un endomorphisme — décomposer $f = id \circ f \circ id$ et appliquer le théorème de la composée
Égalité $rg (A) = rg (A^{⊤})$ — réduire $A$ à $J_{r}$ par opérations élémentaires puis transposer
Rang d'un produit $rg (A B) \leq min (rg (A), rg (B))$ — passer aux AL et utiliser $Im (f \circ g) \subset Im (f)$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Matrice d'une application linéaire

1.1 — Construction et définition

1.2 — L'isomorphisme L(E,F) ≃ 𝕄_(n,p)(𝕂)

1.3 — Matrice d'un vecteur et formule Y = AX

2. Composition d'AL et produit matriciel

3. Changement de base

3.1 — Matrice de passage

3.2 — Formules de changement de base

4. Rang d'une matrice

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?