Formules de Taylor

Vue d'ensemble

Les formules de Taylor sont la colonne vertébrale du calcul différentiel local en MPSI. Elles fournissent une approximation polynomiale d'une fonction au voisinage d'un point, avec un contrôle quantitatif du reste. Trois versions cohabitent — reste intégral (la plus fine, mais la plus exigeante en régularité), inégalité de Taylor-Lagrange (majoration explicite du reste, idéale pour les approximations numériques) et Taylor-Young (formule asymptotique avec petit-o, le moteur des développements limités). Cette fiche rassemble les 3 formules clés, les 4 démonstrations à savoir refaire, les 9 DL usuels à connaître par cœur et les techniques de calcul (somme, produit, composition, intégration) qui te suivront jusqu'aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Formule de Taylor avec reste intégral pour

f

de classe

C^{n + 1}

sur un intervalle ; inégalité de Taylor-Lagrange ; formule de Taylor-Young pour

f

de classe

C^{n}

au voisinage d'un point. Développements limités au voisinage de

0

: ordre, partie régulière, reste en

o (x^{n})

. DL usuels :

e^{x}

sin x

cos x

ln (1 + x)

(1 + x)^{α}

1/ (1 - x)

arctan x

. Opérations : somme, produit, composition, intégration. Applications : équivalent, limites, position courbe/tangente, extrema.

Prérequis

Fonctions de classe $C^{n}$ et $C^{\infty}$ , dérivées successives $f^{(k)}$
Intégration par parties (IPP) sur un segment $[a, b]$
Notations de Landau $o$ et $O$ au voisinage d'un point
Équivalents et limites usuelles $sin x \sim x$ , $e^{x} - 1 \sim x$ , $ln (1 + x) \sim x$

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Les DL te paraissent calculatoires et opaques ? C'est LE chapitre qui sépare les élèves qui pensent « j'ai compris » des élèves qui rentabilisent en DS. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te transmettent les automatismes de calcul (truncature, composition à l'ordre, DL en a≠0) en cours particuliers, avec tes propres DS comme support.

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1. Les trois formules de Taylor

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $x$ , suffisamment régulière. L'idée commune aux trois formules est d'écrire :

f (x) = polyn \overset{o}{ˆ} me de Taylor d’ordre n k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + reste R_{n} (x) .

La différence entre les trois formules tient à la forme du reste $R_{n} (x)$ — et aux hypothèses de régularité requises pour l'écrire.

Définition 1.1 — Polynôme de Taylor d'ordre n

Soit $f$ de classe $C^{n}$ sur un intervalle contenant $a$ . Le polynôme de Taylor de $f$ d'ordre $n$ en $a$ est :

T_{n} [f; a] (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} .

C'est l'unique polynôme de degré ≤ $n$ coïncidant avec $f$ jusqu'à l'ordre $n$ en $a$ (mêmes dérivées successives en $a$ jusqu'à l'ordre $n$ ).

Définition 1.2 — Reste d'ordre n

Le reste d'ordre $n$ est la différence $R_{n} (x) = f (x) - T_{n} [f; a] (x)$ . Selon l'hypothèse de régularité sur $f$ et la formule utilisée, il s'écrit sous une forme intégrale (TRI), majorée (ITL) ou asymptotique en $o$ (TY).

1.1 — Formule de Taylor avec reste intégral (TRI)

Théorème 1.1 — Formule de Taylor avec reste intégral ★ À savoir démontrer

Soit $f : I \to R$ de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ , et $a, x \in I$ . Alors :

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .

Démonstration (récurrence sur n, par IPP itérée)

Posons $P (n) : f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t$ .

Initialisation ( $n = 0$ ) : il faut montrer $f (x) = f (a) + \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t$ . C'est exactement le théorème fondamental de l'analyse, vrai dès que $f$ est $C^{1}$ sur $I$ . Donc $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie, avec $f$ de classe $C^{n + 2}$ (régularité requise pour passer au rang $n + 1$ ). Notons $R_{n} = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t$ . On effectue une intégration par parties en posant :

u (t) = f^{(n + 1)} (t), u^{'} (t) = f^{(n + 2)} (t), v^{'} (t) = \frac{( x - t ) ^{n}}{n !}, v (t) = - \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur $[a, x]$ (ou $[x, a]$ ). On a donc :

R_{n} = [- \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (t)]_{a}^{x} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 2)} (t) d t .

Le crochet vaut $0 - (- \frac{( x - a ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 1)} (a)) = \frac{f ^{(n + 1)} ( a )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ . En reportant dans $P (n)$ , on obtient :

f (x) = k = 0 \sum n + 1 \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{( n + 1 )!} f^{(n + 2)} (t) d t,

ce qui est exactement $P (n + 1)$ . Par principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \in N$ , sous l'hypothèse $f \in C^{n + 1}$ .

📝 Régularité requise. TRI demande

f \in C^{n + 1}

— c'est la formule la plus exigeante mais aussi la plus précise : le reste est une expression intégrale exacte, à utiliser quand on veut estimer finement l'erreur (ex. convergence d'une série de Taylor).

1.2 — Inégalité de Taylor-Lagrange (ITL)

Théorème 1.2 — Inégalité de Taylor-Lagrange ★ À savoir démontrer

Soit $f : I \to R$ de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ , et $a, x \in I$ . Si $f^{(n + 1)} (t) \leq M_{n + 1}$ pour tout $t$ entre $a$ et $x$ , alors :

f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} \leq \frac{M _{n + 1}}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣^{n + 1} .

Démonstration (majoration du reste intégral)

On part de TRI : $R_{n} (x) = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t$ . Pour $x \geq a$ et $t \in [a, x]$ , $(x - t)^{n} \geq 0$ ; l'inégalité triangulaire intégrale donne : $∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M _{n + 1}}{n !} \int_{a}^{x} (x - t)^{n} d t$ . Or $\int_{a}^{x} (x - t)^{n} d t = [- \frac{( x - t ) ^{n + 1}}{n + 1}]_{a}^{x} = \frac{( x - a ) ^{n + 1}}{n + 1}$ , d'où $∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M _{n + 1}}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ . Le cas $x < a$ se traite symétriquement en inversant les bornes et en valeur absolue. On retrouve l'inégalité annoncée.

💡 Exemple — Approximation de $sin (0.1)$ . Avec

f = sin

a = 0

n = 3

∣ f^{(4)} (t) ∣ = ∣ sin (t) ∣ \leq 1

. L'ITL donne

sin (0.1) - (0.1 - \frac{( 0.1 ) ^{3}}{6}) \leq \frac{1}{24} (0.1)^{4} \approx 4.2 \times 1 0^{- 6}

: l'approximation est exacte à

1 0^{- 5}

près. C'est l'argument qui justifie qu'à la calculatrice on tronque la série de Taylor à l'ordre 3.

1.3 — Formule de Taylor-Young (TY)

Théorème 1.3 — Formule de Taylor-Young ★ À savoir démontrer

Soit $f : I \to R$ de classe $C^{n}$ sur $I$ , et $a \in I$ . Alors au voisinage de $a$ :

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + o ((x - a)^{n}) quand x \to a .

Démonstration (à partir de TRI, en majorant le reste par un o)

Supposons d'abord $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ . Par TRI à l'ordre $n$ , le reste s'écrit $R_{n} (x) = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t$ . Comme $f^{(n + 1)}$ est continue, elle est bornée par un $M$ sur un voisinage compact de $a$ . Par ITL : $∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣^{n + 1} = ∣ x - a ∣^{n} \cdot \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣$ . Or $\frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣ \to 0$ quand $x \to a$ , donc $R_{n} (x) = o ((x - a)^{n})$ . C'est TY pour $f \in C^{n + 1}$ .

Cas général $f \in C^{n}$ . On écrit TRI à l'ordre $n - 1$ (ne demande que $C^{n}$ ) : $f (x) - \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} = \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t$ . On scinde $f^{(n)} (t) = f^{(n)} (a) + ε (t)$ avec $ε (t) \to 0$ (continuité de $f^{(n)}$ ). L'intégrale du premier terme vaut $\frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}$ , celle du second est majorée par $sup ∣ ε ∣ \cdot \frac{∣ x - a ∣ ^{n}}{n !} = o ((x - a)^{n})$ . On retrouve TY à l'ordre $n$ .

📝 Hiérarchie des trois formules. TRI ⇒ ITL ⇒ TY (chaque formule se déduit de la précédente en perdant en précision pour gagner en simplicité d'emploi). En MPSI, on rédige presque toujours avec TY pour les développements limités, et avec ITL pour les majorations d'erreur. TRI sert surtout en démonstration.

2. Développements limités au voisinage de 0

Définition 2.1 — Développement limité (DL) à l'ordre n en 0

On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que :

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) quand x \to 0.

Définition 2.2 — Partie régulière et reste d'un DL

Dans l'écriture précédente, le polynôme $P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ s'appelle la partie régulière du DL, et le terme $o (x^{n})$ est le reste. L'ordre $n$ est le degré maximal de la partie régulière (avec convention $a_{n} \neq = 0$ si on parle d'ordre exact, mais on autorise $a_{n} = 0$ en pratique).

Définition 2.3 — Notation o(x^n) au voisinage de 0

Une fonction $ε$ est un petit-o de $x^{n}$ en $0$ , notée $ε (x) = o (x^{n})$ , si $ε (x) / x^{n} \to 0$ quand $x \to 0$ . Plus généralement, $ε (x) = o ((x - a)^{n})$ en $a$ signifie $ε (x) / (x - a)^{n} \to 0$ quand $x \to a$ .

Définition 2.4 — Équivalent obtenu par DL

Si $f (x) = a_{p} x^{p} + o (x^{p})$ avec $a_{p} \neq = 0$ (premier terme non nul du DL), alors $f (x) \sim_{x \to 0} a_{p} x^{p}$ . C'est le réflexe d'équivalent : le DL donne automatiquement le terme dominant.

Proposition 2.2 — Unicité du DL

Si $f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ , il est unique. Autrement dit, les coefficients $a_{0}, \dots, a_{n}$ sont déterminés sans ambiguïté.

⚠ Piège #1 — DL ≠ Taylor. Une fonction peut admettre un DL à l'ordre

n

sans être

n

fois dérivable au-delà de l'ordre 1. Existence d'un DL d'ordre $n$ est une propriété plus faible que

f \in C^{n}

. Inversement, si

f \in C^{n}

, la formule de Taylor-Young fournit un DL d'ordre

n

— mais la réciproque est fausse.

2.1 — DL usuels en 0 (à connaître par cœur)

Tous ces DL sont obtenus en appliquant Taylor-Young à l'origine avec $f \in C^{\infty}$ au voisinage de $0$ .

Proposition 2.3 — DL de l'exponentielle ★ À savoir démontrer

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n}) .

Démonstration (par Taylor-Young direct, ou par TRI et passage à la limite)

Méthode 1 — Taylor-Young direct. La fonction $exp$ est $C^{\infty}$ sur $R$ , et $(exp)^{(k)} = exp$ pour tout $k \geq 0$ . Donc $(exp)^{(k)} (0) = 1$ pour tout $k$ . La formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ en $0$ donne directement :

e^{x} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} x^{k} + o (x^{n}) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n}) .

Méthode 2 — TRI puis passage à la limite. Par TRI à l'ordre $n$ : $e^{x} - k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} = \int_{0}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} e^{t} d t$ . Pour $x$ dans un voisinage borné de $0$ , $∣ e^{t} ∣ \leq e^{∣ x ∣}$ , donc le reste est majoré en valeur absolue par $\frac{e ^{∣ x ∣}}{( n + 1 )!} ∣ x ∣^{n + 1}$ , qui est bien $o (x^{n})$ quand $x \to 0$ . Notons au passage que cette majoration prouve aussi la convergence de la série de Taylor de $exp$ sur $R$ tout entier (en faisant $n \to + \infty$ à $x$ fixé).

Proposition 2.4 — DL des fonctions trigonométriques

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{2 p + 1}) .

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{2 p + 2}) .

Remarque : par parité, le DL de $cos$ ne contient que des puissances paires, celui de $sin$ que des puissances impaires. C'est un excellent réflexe de contrôle de cohérence : si un calcul de DL casse cette parité, il y a une faute de signe ou de coefficient.

Proposition 2.5 — DL de

ln (1 + x)

ln (1 - x)

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n}) .

ln (1 - x) = - x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} - \dots - \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n}) .

Proposition 2.6 — DL de

(1 + x)^{α}

(binôme généralisé) ★ À savoir démontrer

Pour tout $α \in R$ :

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + o (x^{n}) .

On note $(k α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !}$ le coefficient binomial généralisé, ce qui donne la forme compacte $(1 + x)^{α} = \sum_{k = 0}^{n} (k α) x^{k} + o (x^{n})$ .

Démonstration (par récurrence sur les dérivées successives)

Posons $f (x) = (1 + x)^{α}$ , définie et de classe $C^{\infty}$ sur $] - 1, + \infty [$ (en particulier au voisinage de $0$ ).

Calcul des dérivées successives. On vérifie par récurrence sur $k$ que :

f^{(k)} (x) = α (α - 1) (α - 2) \dots (α - k + 1) (1 + x)^{α - k} .

En effet, $f^{'} (x) = α (1 + x)^{α - 1}$ (initialisation). Si $f^{(k)} (x) = α (α - 1) \dots (α - k + 1) (1 + x)^{α - k}$ , alors en dérivant : $f^{(k + 1)} (x) = α (α - 1) \dots (α - k + 1) (α - k) (1 + x)^{α - k - 1}$ , qui est bien la formule au rang $k + 1$ .

Évaluation en $0$ . En $x = 0$ on a $(1 + 0)^{α - k} = 1$ , donc $f^{(k)} (0) = α (α - 1) \dots (α - k + 1)$ .

Conclusion par Taylor-Young. Comme $f \in C^{\infty}$ , la formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ en $0$ donne :

(1 + x)^{α} = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n}) = k = 0 \sum n \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !} x^{k} + o (x^{n}),

ce qui est le DL annoncé.

Proposition 2.7 — DL de

1/ (1 - x)

1/ (1 + x)

(série géométrique)

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n}), \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n}) .

Ce sont des cas particuliers de la Prop 2.6 avec $α = - 1$ , mais on les retient indépendamment car ils s'obtiennent aussi directement par division formelle ou par série géométrique tronquée.

Proposition 2.8 — DL de

arctan x

arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2}) .

Méthode standard d'obtention : on part de $arctan^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , on développe cette dérivée en série géométrique $\sum (- 1)^{k} x^{2 k}$ , puis on intègre terme à terme (cf. §3.4).

📐 Tableau-réflexe — Les 9 DL usuels en $0$ à l'ordre $n$ .

$e^{x} = k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} + o (x^{n})$
$cos x = p = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{n})$
$sin x = p = 0 \sum ⌊(n - 1) /2 ⌋ (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{n})$
$ch x = p \sum \frac{x ^{2 p}}{( 2 p )!} + o (x^{n})$
$sh x = p \sum \frac{x ^{2 p + 1}}{( 2 p + 1 )!} + o (x^{n})$
$ln (1 + x) = k = 1 \sum n (- 1)^{k - 1} \frac{x ^{k}}{k} + o (x^{n})$
$(1 + x)^{α} = k = 0 \sum n (k α) x^{k} + o (x^{n})$
$\frac{1}{1 - x} = k = 0 \sum n x^{k} + o (x^{n})$
$arctan x = p \sum (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{n})$

Mnémotechnique : pour $sin / cos$ , les signes alternent en (−1)^p ; pour $sinh / cosh$ , tous les signes sont +.

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3. Opérations sur les développements limités

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant un DL en $0$ à l'ordre $n$ : $f (x) = P (x) + o (x^{n})$ , $g (x) = Q (x) + o (x^{n})$ , avec $P, Q$ polynômes de degré $\leq n$ .

3.1 — Somme et combinaison linéaire

Proposition 3.1 — Somme de DL

Pour tous $λ, μ \in R$ , $(λ f + μg) (x) = λ P (x) + μ Q (x) + o (x^{n})$ . Autrement dit, on additionne les parties régulières et le reste reste un $o (x^{n})$ .

3.2 — Produit

Proposition 3.2 — Produit de DL

$(f \cdot g) (x) = [P (x) \cdot Q (x)]_{n} + o (x^{n})$ , où $[\cdot]_{n}$ signifie « tronquer le polynôme à l'ordre $n$ » (on supprime tous les termes de degré $> n$ ).

⚠ Piège #2 — Tronquature systématique. Quand on multiplie deux DL d'ordre

n

, seuls les coefficients des puissances jusqu'à

x^{n}

ont un sens. Tous les termes de degré

> n

doivent être jetés et absorbés dans le

o (x^{n})

. Ne pas tronquer = écrire des coefficients faux (puisque les termes en

x^{n + 1}, x^{n + 2}, \dots

du produit ne sont pas calculés correctement).

💡 Exemple — DL de $e^{x} cos x$ à l'ordre 3. Avec

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3})

, on produit et on tronque à l'ordre 3 :

e^{x} cos x = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} - \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3}) = 1 + x - \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})

3.3 — Composition

Proposition 3.3 — Composition de DL

Soit $u : x \mapsto u (x)$ admettant un DL d'ordre $n$ en $0$ avec $u (0) = 0$ , et $g$ admettant un DL d'ordre $n$ en $0$ . Alors $g \circ u$ admet un DL d'ordre $n$ en $0$ , obtenu en remplaçant la variable de $g$ par le DL de $u$ et en tronquant à l'ordre $n$ .

⚠ Piège #3 — Hypothèse $u (0) = 0$ indispensable. Si

u (0) = a \neq = 0

, on ne peut pas composer directement avec le DL de

g

en $0$ : il faudrait le DL de

g

a

. Le bon réflexe est alors d'écrire

u (x) = a + v (x)

avec

v (0) = 0

, et de composer

g (a + v (x))

avec le DL de

g

a

💡 Exemple — DL de $e^{s i n x}$ à l'ordre 3. Avec

u (x) = sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

(

u (0) = 0

✓) et

g (t) = e^{t} = 1 + t + \frac{t ^{2}}{2} + \frac{t ^{3}}{6} + o (t^{3})

, on remplace et on tronque à l'ordre 3 :

e^{s i n x} = 1 + (x - \frac{x ^{3}}{6}) + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3})

3.4 — Intégration et dérivation

Proposition 3.4 — Intégration d'un DL

Si $f$ est continue sur un voisinage de $0$ et admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ , $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , alors une primitive $F$ de $f$ admet un DL à l'ordre $n + 1$ en $0$ :

F (x) = F (0) + k = 0 \sum n \frac{a _{k}}{k + 1} x^{k + 1} + o (x^{n + 1}) .

💡 Exemple — Retrouver le DL de $arctan$ . On a

arctan^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - \dots + (- 1)^{p} x^{2 p} + o (x^{2 p + 1})

(série géométrique). En intégrant terme à terme (avec

arctan (0) = 0

) :

arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots + (- 1)^{p} \frac{x ^{2 p + 1}}{2 p + 1} + o (x^{2 p + 2})

⚠ Piège #4 — On n'a PAS de règle générale pour dériver un DL. Connaître un DL de

f

à l'ordre

n

ne donne pas automatiquement un DL de

f^{'}

à l'ordre

n - 1

. Il faut une hypothèse supplémentaire (typiquement,

f

de classe

C^{n}

, auquel cas Taylor-Young sur

f^{'}

donne un DL d'ordre

n - 1

). C'est l'asymétrie fondamentale du chapitre : intégration ↗ ordre, dérivation ↘ ordre mais avec précaution.

3.5 — DL en a≠0 par translation

📐 Méthode-type — DL au voisinage de $a \neq = 0$ .

Translation : poser $h = x - a$ , de sorte que $x \to a$ équivaut à $h \to 0$ .
Réécrire : $f (x) = f (a + h)$ en fonction de $h$ .
Développer $f (a + h)$ en $h = 0$ à l'aide des DL usuels (souvent après une factorisation $a + h = a (1 + h / a)$ ).
Revenir à la variable $x$ en remplaçant $h$ par $x - a$ si l'énoncé l'exige.

💡 Exemple — DL de $ln x$ au voisinage de $a = 1$ , ordre 3. On pose

h = x - 1

ln x = ln (1 + h) = h - \frac{h ^{2}}{2} + \frac{h ^{3}}{3} + o (h^{3})

. En revenant à

x

ln x = (x - 1) - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + o ((x - 1)^{3})

quand

x \to 1

4. Applications des DL

4.1 — Calcul de limites et équivalents

📐 Méthode-type — Calculer une limite $lim_{x \to a} f (x) / g (x)$ de forme $0/0$ .

Translation en 0 si $a \neq = 0$ (pose $h = x - a$ ).
DL de $f$ et $g$ à l'ordre suffisant pour que la partie régulière soit non nulle.
Identifier le premier terme non nul du numérateur et du dénominateur — il donne l'équivalent.
Conclure la limite par quotient des équivalents.

Règle de pouce : si tu poses l'ordre trop bas et que tu obtiens

0/0

malgré tout, augmente d'un cran. Mieux vaut un terme de trop qu'un terme de moins.

💡 Exemple — $x \to 0 lim \frac{sin x - x}{x ^{3}}$ . Avec

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

, on a

sin x - x = - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})

. Donc

\frac{sin x - x}{x ^{3}} = - \frac{1}{6} + o (1) \to - \frac{1}{6}

. L'astuce de l'exercice : il faut développer

sin x

à l'ordre 3 (pas 2), car le terme en

x

se simplifie avec le

- x

du numérateur.

4.2 — Position courbe/tangente, asymptotes

Proposition 4.1 — Équation de la tangente via DL

Si $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + a_{2} (x - a)^{2} + o ((x - a)^{2})$ en $a$ , alors :

L'équation de la tangente au graphe en $(a, f (a))$ est $y = a_{0} + a_{1} (x - a)$ .
Le signe de $a_{2}$ (premier coefficient non nul après $a_{1}$ ) donne la position locale du graphe par rapport à la tangente :
- $a_{2} > 0$ : la courbe est au-dessus de la tangente (convexité locale).
- $a_{2} < 0$ : la courbe est en dessous (concavité locale).
- $a_{2} = 0$ et $a_{3} \neq = 0$ : point d'inflexion en $a$ .

💡 Exemple — Tangente et position pour $f (x) = ln (1 + x)$ en $0$ .

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

. Tangente :

y = x

. Coefficient

a_{2} = - \frac{1}{2} < 0

, donc le graphe est en dessous de la tangente

y = x

au voisinage de

0

. C'est l'inégalité classique

ln (1 + x) \leq x

pour

x > - 1

, retrouvée localement par DL.

4.3 — Recherche d'extrema

Proposition 4.2 — Critère d'extremum par le premier coefficient non nul

Soit $f \in C^{n}$ sur un voisinage de $a$ avec $f^{'} (a) = 0$ . On écrit $f (x) - f (a) = c_{k} (x - a)^{k} + o ((x - a)^{k})$ avec $c_{k} \neq = 0$ (premier coefficient non nul après $f (a)$ ).

Si $k$ est pair et $c_{k} > 0$ : minimum local strict en $a$ .
Si $k$ est pair et $c_{k} < 0$ : maximum local strict en $a$ .
Si $k$ est impair : ni max ni min — point d'inflexion à tangente horizontale.

💡 Exemple — Nature du point critique de $f (x) = x^{4}$ en $0$ .

f (x) - f (0) = x^{4}

. Premier coefficient non nul :

c_{4} = 1 > 0

, avec

k = 4

pair. Donc

0

est un minimum local strict (et même global). Ce critère généralise la condition usuelle «

f^{''} (a) > 0

⇒ min local », qui ne couvre pas le cas où

f^{''} (a) = 0

lui-même.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des formules de Taylor ou des DL. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier le reste $o (x^{n})$ ou $O (x^{n + 1})$ dans l'écriture d'un DL. Un DL n'est pas une égalité polynomiale, c'est une approximation asymptotique. Écrire

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}

sans le

+ o (x^{2})

est faux sauf sur

{0}

. Le correcteur le sanctionne systématiquement — souvent à la première occurrence pour faire passer le message.

⚠ Erreur 2 — Choisir un ordre de DL insuffisant. Si tu calcules

sin x - x

à l'ordre 1, tu obtiens

0 + o (x)

— pas d'information. Il faut aller à l'ordre où le premier terme non nul apparaît (ordre 3 ici). Règle : pour une limite

0/0

, développe au moins jusqu'à obtenir un terme non nul dans le numérateur ET dans le dénominateur, puis aligne les ordres.

⚠ Erreur 3 — Composer un DL sans vérifier $u (0) = 0$ . Pour faire

g (u (x))

avec le DL de

g

en $0$ , l'hypothèse

u (0) = 0

est non négociable. Sinon il faut prendre le DL de

g

en $u (0)$ . Le piège classique : « DL de

cos (1 + x)

» — ici

u (x) = 1 + x

avec

u (0) = 1 \neq = 0

, donc on ne peut PAS composer avec le DL de

cos

0

⚠ Erreur 4 — Ne pas tronquer après un produit ou une composition. Multiplier deux DL d'ordre 3 produit mécaniquement des termes en

x^{4}, x^{5}, x^{6}

— qui sont faux car les facteurs ne sont eux-mêmes connus qu'à

o (x^{3})

. Tu dois tronquer à l'ordre 3 en absorbant tout ce qui dépasse dans le

o (x^{3})

. Garder des termes d'ordre supérieur dans la partie régulière est une faute typique.

⚠ Erreur 5 — Confondre TY (formule asymptotique) et TRI/ITL (formules globales). TY est locale (valable près de

a

) et ne permet pas de borner une erreur globale. ITL est globale (donne une majoration valable sur tout l'intervalle où

f^{(n + 1)}

est bornée). Utiliser TY pour estimer

∣ sin (1) - (1 - 1/6) ∣

sans plus de justification est une erreur logique : il faut ITL ici. Inversement, sortir l'ITL pour calculer une limite

0/0

est de l'artillerie lourde inutile (TY suffit).

6. Pour aller plus loin

Les formules de Taylor sont l'épine dorsale du calcul différentiel, et leurs DL sont la grammaire locale de toute l'analyse de spé. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Séries entières (spé) — la série de Taylor $\sum f^{(n)} (a) (x - a)^{n} / n!$ est la série entière associée à $f$ ; la question « $f$ est-elle développable en série entière en $a$ ? » se ramène à un passage à la limite dans l'ITL.
Équivalents et études asymptotiques — les DL donnent automatiquement le premier terme non nul, donc l'équivalent. On les utilise pour comparer des fonctions au voisinage d'un point.
Étude de fonctions et tracé de courbes — la position courbe/tangente, les points d'inflexion, les branches infinies sont systématiquement traités par DL en MPSI puis en spé.
Analyse numérique (spé / TIPE) — l'ITL fournit l'estimation d'erreur des méthodes d'approximation polynomiale (interpolation, intégration numérique).
Fonctions de plusieurs variables (spé) — la formule de Taylor à l'ordre 2 généralise au cadre multivarié (hessienne, classification des points critiques).

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer la formule de Taylor avec reste intégral et préciser l'hypothèse $C^{n + 1}$ ?
Sais-tu démontrer TRI par récurrence avec IPP ?
Sais-tu énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange et l'utiliser pour estimer une erreur (ex. $sin (0.1)$ ) ?
Sais-tu démontrer TY à partir de TRI en majorant le reste par un $o$ ?
Connais-tu par cœur les 9 DL usuels en $0$ (exp, sin, cos, sh, ch, ln(1+x), (1+x)^α, 1/(1−x), arctan) ?
Sais-tu démontrer le DL de $e^{x}$ en $0$ par Taylor-Young ?
Sais-tu démontrer le DL de $(1 + x)^{α}$ par récurrence sur les dérivées ?
Sais-tu calculer un produit de DL en pensant à tronquer à l'ordre demandé ?
Connais-tu la condition $u (0) = 0$ pour composer avec un DL en $0$ ?
Sais-tu intégrer un DL pour gagner un ordre (et pourquoi on ne dérive pas naïvement) ?
Sais-tu effectuer un DL en $a \neq = 0$ par translation $h = x - a$ ?
Sais-tu déduire d'un DL la position courbe/tangente et la nature d'un extremum ?

Démonstrations à savoir refaire

Formule de Taylor avec reste intégral — récurrence sur $n$ , hérédité par IPP avec $u = f^{(n + 1)}$ , $v^{'} = (x - t)^{n} / n!$
Inégalité de Taylor-Lagrange — majoration de $∣ R_{n} ∣$ à partir de TRI, calcul $\int_{a}^{x} (x - t)^{n} d t = (x - a)^{n + 1} / (n + 1)$
Formule de Taylor-Young — partir de TRI ou ITL, montrer que le reste est $o ((x - a)^{n})$
DL de $e^{x}$ en $0$ — Taylor-Young direct (toutes dérivées valent 1 en 0), ou TRI avec contrôle uniforme du reste
DL de $(1 + x)^{α}$ — calcul par récurrence de $f^{(k)} (x) = α (α - 1) \dots (α - k + 1) (1 + x)^{α - k}$ , puis Taylor-Young

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Les trois formules de Taylor

1.1 — Formule de Taylor avec reste intégral (TRI)

1.2 — Inégalité de Taylor-Lagrange (ITL)

1.3 — Formule de Taylor-Young (TY)

2. Développements limités au voisinage de 0

2.1 — DL usuels en 0 (à connaître par cœur)

3. Opérations sur les développements limités

3.1 — Somme et combinaison linéaire

3.2 — Produit

3.3 — Composition

3.4 — Intégration et dérivation

3.5 — DL en a≠0 par translation

4. Applications des DL

4.1 — Calcul de limites et équivalents

4.2 — Position courbe/tangente, asymptotes

4.3 — Recherche d'extrema

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Limites et continuité

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