Corrigé X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques B MP
Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$, quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$. Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$. Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$, polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$, spectre de $T_n(a,b,c)$, loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$. Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).
Préparation aux oraux X / ENS / ESPCI
De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles
Khôlleurs issus de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. 6 à 10 oraux blancs filière MP, feedback écrit détaillé, pack TP inclus. La même méthode qui a permis à nos élèves de décrocher X, CS, Mines.
- Oraux Mines-Ponts · X · Centrale · CCINP
- Feedback écrit après chaque oral
- Pack TP complet inclus
- Khôlleurs issus de l'X, Centrale et Mines Paris
Premiers oraux dès juin
À propos de ce sujet
Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques B filière MP comporte 20 questions réparties en 4 parties pour une durée de 4 heures.
Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$, quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$. Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$. Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$, polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$, spectre de $T_n(a,b,c)$, loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$. Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).
Thèmes abordés
Ce sujet de mathématiques b couvre les notions suivantes : Suites récurrentes linéaires d'ordre 2, Loi arc-sinus — intégrale de Chebyshev, Sommes de Riemann généralisées, Convergence en loi — fonction de répartition, Polynômes de Chebyshev de 2e espèce, Matrices tridiagonales symétriques, Valeurs propres et théorème spectral, Fonctionnelle spectrale $S_f(M)$, Théorème de Weierstrass — démonstration constructive, Matrices de Wigner — mesure spectrale empirique, Nombres de Catalan — moments de la loi semi-circulaire, Loi semi-circulaire de Wigner, Inégalité de Markov — convergence en probabilité.
Corrigé rédigé par Majorant
La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.