Annales concours CPGE 2026

Diagramme E-pH de l'aluminiumBinaire liquide-vapeur & azéotrope, distillationÉlectrolyse : surtensions & rendement faradique+5

Chimie — PC · 2026

Deux problèmes indépendants autour du recyclage. Problème 1 — Les MOFs (Metal-Organic Frameworks) : préparation du MIL-53(Al) à partir de déchets d'aluminium et de PET. Diagramme E-pH de l'aluminium, binaire liquide-vapeur eau/acide nitrique et distillation, électrolyse (surtensions, rendement faradique), hydrolyse du PET puis dosage de l'acide téréphtalique, réacteur continu (RPAC) et bilan thermique, et diagramme d'orbitales moléculaires de la liaison Al–O. Problème 2 — Synthèse de 1,3-oxazines : chimie de l'acide (+)-tartrique (stéréochimie, protections, RMN ¹H), formation d'un succinimide, puis d'une 1,3-oxazine par oxa-Michael.

2 parties · 50 questions4 heures

Stéréochimie des oses (CIP, cyclisation)Théorie d'Eyring & thermodynamiqueCinétique : ordres, polarimétrie+5

Chimie — PC · 2026

Impact écologique de la production de sucre de betterave — trois parties indépendantes. A : structure du saccharose (stéréochimie des oses, cyclisation pyranose/furanose par la théorie d'Eyring, hydrolyse acide suivie par polarimétrie, sucre inverti). B : procédé industriel (osmose et loi de Van't Hoff, décomposition du carbonate de calcium, évaporateurs à multiple effet, dosage coulométrique de Karl-Fischer). C : lutte anti-nuisibles (synthèse de la (+)-népétalactone par catalyse NHC, phéromone du puceron : trimérisation de l'isoprène, orbitales moléculaires et catalyse au nickel).

3 parties · 48 questions4 heures

2026PCMines-PontsCorrigé

Chimie — PC · 2026

Deux parties indépendantes. Partie 1 — Synthèse totale de la cyrnéine A (synthèse de Gademann à partir de la (–)-(R)-carvone) : stéréochimie et RMN ¹H, contraction de cycle (ozonolyse + aldolisation), réarrangement sigmatropique de Claisen, condensation de Knoevenagel, réduction biomimétique par l'ester de Hantzsch, ozonolyse réductrice (mécanisme de Criegee), expansion de cycle par carbénoïde, formylation pallado-catalysée (cycle de Stille). Partie 2 — Recyclage des batteries lithium-ion : structure cristalline de LiCoO₂, cinétique hétérogène (modèle à cœur rétractant, Arrhenius), séparation Mn(II)/Co(II) par précipitation oxydante (diagrammes E-pH, couples du soufre), extraction liquide-liquide par une oxime (loi d'action de masse, van't Hoff), électrodéposition sélective (courbes courant-potentiel, complexes chlorés).

Stéréochimie (CIP, polarimétrie) & RMN ¹HRéarrangement de Claisen & réactions péricycliquesContraction et expansion de cycle en synthèse+5

2 parties · 44 questions4 heures

Diagrammes de distribution du chrome(VI)Oxydoréduction & dosage en retour (DCO)Cinétique du 1er ordre (DBO)+5

Chimie A — PC · 2026

Deux problèmes indépendants autour du cycle des substances dans l'eau : chimie analytique de l'eau (ion dichromate, demandes chimique et biologique en oxygène DCO/DBO, oxydation hydrothermale en eau supercritique) et synthèse totale de l'énacyloxine IIa (protections, ouverture d'époxyde, organométalliques, couplage au palladium).

parties · questions4 heures

Conductimétrie & titrage par précipitationForce ionique & coefficients d'activité (Debye-Hückel)Paires d'ions : théorie de Bjerrum+5

Chimie B — PC · 2026

Deux parties indépendantes. Partie 1 — Étude des paires d'ions en solution (≈65 %) : mise en évidence par conductimétrie (titrage des sulfates, force ionique, Debye-Hückel, coefficients d'activité), théorie de Bjerrum de l'association ionique (distance de Bjerrum, constante d'association) et effet des paires d'ions sur un potentiel rédox (benzophénone/perylène), puis cinétique du mécanisme d'Eigen–Tamm de formation de Sc³⁺SO₄²⁻ par spectroscopie d'absorption ultrasonore (compressibilité de relaxation, temps de relaxation d'un système d'équilibres couplés). Partie 2 — Synthèse d'une quartromicine (≈35 %) : rétrosynthèse, construction d'un spirotétronate par Diels-Alder (régiosélectivité ortho/para, endo/exo, catalyse acide de Lewis, auxiliaire chiral), réarrangement de Pummerer, couplage de deux synthons par voie organolithienne.

2 parties · 78 questions6 heures

SQL — JOIN, GROUP BYSous-requêtes corréléesTypes algébriques OCaml+6

Informatique — MPI · 2026

Logique déontique. Trois parties indépendantes : (A) base de données SQL sur la France de Maryan Turing — tables monde et conseiller, requêtes SELECT/JOIN/COUNT/sous-requêtes ; (B) analyse lexicale et syntaxique d'une formule déontique en OCaml — automate sur caractères, grammaire ambiguë, parser récursif descendant ; (C) univers de Kripke en C — modèles d'une formule, valuation, accessibilité, satisfaction $\models$ , formes normales réduites par De Morgan.

3 parties · 29 questions4 heures

2026MPMines-PontsCorrigé

Informatique (option) — MP · 2026

Décidabilité de l'arithmétique de Presburger par les automates (théorème de Büchi). En OCaml : bijection ⟦0,2ⁿ−1⟧ ↔ Σₙ, automates finis sur l'alphabet des vecteurs binaires (test de déterminisme, déterminisation par sous-ensembles, complémentaire, intersection), reconnaissabilité de l'addition binaire (automate à retenues) mais pas de la multiplication, formules de Presburger (forme simple, déduction naturelle), et décision de leur vérité en traduisant chaque formule en automate.

OCaml : récursivité, tableaux, types algébriques, exponentiation rapideAutomates finis sur Σₙ (vecteurs binaires), bijection avec ⟦0,2ⁿ−1⟧Déterminisation par construction des sous-ensembles+5

5 parties · 30 questions3 heures

Automates finis déterministesAnalyse lexicaleOCaml — types algébriques+6

Informatique (option) — MP · 2026

Coloriages. Deux parties indépendantes : (A) analyse lexicale en OCaml — automate fini déterministe pour reconnaître les tokens du langage, codage en OCaml ; (B) coloration de graphes — k-COLORATION (NP-difficile en général), 2-coloration via test de bipartitude (BFS), structure de file pour parcours, 3-coloration par backtracking, formule d'Euler $|S|-|A|+|F|=2$ , théorèmes Planar-2-COL, Planar-3-COL, Planar-4-COL et théorème des 4 couleurs.

2 parties · 42 questions4 heures

2026MPIMines-PontsCorrigé

Informatique 1 — MPI · 2026

Décidabilité de l'arithmétique de Presburger par les automates (théorème de Büchi). En OCaml : bijection ⟦0,2ⁿ−1⟧ ↔ Σₙ, automates finis sur l'alphabet des vecteurs binaires (déterminisation, complémentaire, intersection), reconnaissabilité de l'addition mais pas de la multiplication, formules de Presburger (forme simple, déduction naturelle, transitivité de ≥), réduction Sat-CNF ≤ₚ Tautologie-Presburger (NP-difficulté), et décision de vérité par traduction formule → automate.

OCaml : récursivité, tableaux, exponentiation rapideAutomates finis sur Σₙ, bijection avec ⟦0,2ⁿ−1⟧Déterminisation, complémentaire, intersection (automate produit)+5

5 parties · 30 questions3 heures

2026MPIMines-PontsCorrigé

Informatique 2 — MPI · 2026

Algorithmes de moteurs de jeux vidéo rétro (C + SQL). Le monde d'un jeu (salles reliées par des passages orientés pondérés) est stocké en base relationnelle (requêtes SQL), puis manipulé en mémoire en C : représentation par listes chaînées puis format compact CSR, recherche de chemins (parcours en largeur, Dijkstra amorcé par le BFS, A* et A* pondéré avec garantie de w-optimalité), et arbres BSP pour la génération procédurale de cartes, avec dérécursivation du parcours infixe.

Bases de données relationnelles, requêtes SQL (GROUP BY, HAVING)Programmation en C : listes chaînées, allocation dynamiqueReprésentation CSR (Compressed Sparse Row) d'un graphe+5

4 parties · 38 questions3 heures

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Année

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115 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 33

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

Diagrammes de distribution du chrome(VI)Oxydoréduction & dosage en retour (DCO)Cinétique du 1er ordre (DBO)+5

Chimie A — PC · 2026

parties · questions4 heures

Conductimétrie & titrage par précipitationForce ionique & coefficients d'activité (Debye-Hückel)Paires d'ions : théorie de Bjerrum+5

Chimie B — PC · 2026

2 parties · 78 questions6 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Informatique A — MP · 2026

Base de données de vecteurs et recherche des plus proches voisins, en trois parties indépendantes : reconnaissance musicale par minHash (signatures temps-fréquence, indice de Jaccard), listes à sauts et graphes navigables, puis quantification de produit et k-moyennes. Programmation OCaml et analyse de complexité.

minHash & indice de JaccardListes à sauts (skip lists)Algorithme des k-moyennes+5

parties · questions4 heures

2026MPIX / ENSCorrigé

Informatique A — MPI · 2026

Bases de données de vecteurs et recherche des plus proches voisins, en OCaml, en trois parties indépendantes : reconnaissance automatique d'extraits musicaux (vecteurs de bits, signatures temps-fréquence, indice de Jaccard, minHash), listes à sauts et graphes hiérarchiques navigables (analyse probabiliste de la recherche en O(log n)), et quantification de produit via l'algorithme des k-moyennes pour approcher les distances en grande dimension.

OCaml : opérations bit-à-bit, tableaux, listes, filesIndice de Jaccard, minHash, hachage sensible à la localitéComptage de bits en temps linéaire, preuve par invariant+5

3 parties · 25 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Informatique B — MP · 2026

Cycles et unification (X Informatique B, épreuve commune MP-PC-PSI). Dans un graphe orienté acyclique étiqueté : un parcours en profondeur enrichi (époque, sortie) pour détecter en temps amorti constant si l'ajout d'un arc crée un cycle ; la forme normale d'un sommet et l'unification (terminaison, complexité exponentielle sans partage, version linéaire par mémoïsation, algorithme unif) ; puis une représentation relationnelle du graphe avec deux requêtes SQL.

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

3 parties · 16 questions2 heures

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

Informatique B — PC · 2026

3 parties · 16 questions2 heures

2026PSIX / ENSCorrigé

Informatique B — PSI · 2026

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

3 parties · 16 questions2 heures

2026MPIX / ENSCorrigé

Informatique C — MPI · 2026

Vérification de systèmes concurrents (X Informatique C MPI). Systèmes de transitions et propriétés de sûreté ; langages réguliers d'exécutions et invariance ultime ; détection de cycles accessibles par double parcours en profondeur imbriqué (nested DFS) ; implémentation C multi-thread avec pthread et mutex ; puis réduction par ordre partiel : indépendance d'actions, ensembles persistants, traces de Mazurkiewicz (ordre partiel induit) et mise en veille (sleep sets) pour ne conserver qu'un représentant lexicographiquement minimal par classe d'entrelacements.

Systèmes de transitions, exécutions, propriétés de sûretéLangages réguliers, invariance ultime d'un ensemble d'étatsDétection de cycles : parcours en profondeur imbriqué (nested DFS)+5

4 parties · 24 questions4 heures

Convexité — encadrement des accroissementsMatrices de transfertGrandes déviations — formule de Stirling+5

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en trois parties centré sur les grandes déviations et la transition de phase du modèle de Curie-Weiss. Partie I : propriétés des fonctions convexes (encadrement des accroissements, convergence simple de convexes, dérivée d'une suite de Laplace). Partie II : modèle d'Ising 1D par matrices de transfert — calcul de la valeur propre dominante $\lambda(\beta,h)$ , limite de la fonction de partition $F_N$ , magnétisation limite. Partie III : modèle de Curie-Weiss — fonction de taux $I(x)$ , probabilité $P[S_N=u_N]$ via Stirling, minoration de $G_N$ , maximum unique de $\psi_{\beta,h}$ , équation auto-cohérente et exposant critique $1/3$ en $\beta=1/2$ .

3 parties · 32 questions4 heures

2026PSIX / ENSCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe $C^2$ vérifiant $\|\nabla f\| = \|\nabla g\|$ partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de $S(f)$ ). Partie II : démonstration dans le cas $n=1$ via $f'^2 - g'^2 = c$ constant (Q3) et convexité de $x \mapsto g'^2$ (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur $T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2$ . Partie IV : cas général via un flot de gradient $y' = -\nabla h(y)$ convergent exponentiellement vers $S(h)$ , inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Fonctions convexes — inégalité du premier ordreOptimisation convexe — conditions nécessairesNorme du gradient — infimum+7

4 parties · 17 questions4 heures

2026MPX / ENSCorrigé

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

4 parties · 30 questions4 heures

2026MPIX / ENSCorrigé

Mathématiques B — MPI · 2026

Distribution des valeurs propres de grandes matrices. Le sujet établit que le spectre des matrices tridiagonales de Toeplitz suit la loi de l'arcsinus, démontre le théorème d'approximation de Weierstrass par la construction explicite des polynômes (1−Xⁿ)^(2ⁿ), puis prouve la loi du demi-cercle de Wigner (spectre d'une matrice symétrique aléatoire) par la méthode des moments, dont les valeurs sont les nombres de Catalan.

Récurrences linéaires d'ordre 2 et polynômes de TchebychevSommes de Riemann, intégrales généralisées, loi de l'arcsinusMatrices tridiagonales de Toeplitz, spectre 2·cos(kπ/(n+1))+5

4 parties · 30 questions4 heures

🏆 Mines-Ponts

Annales Mines-Ponts · 35

Mines Paris, Ponts ParisTech, ENSTA, Télécom Paris — équilibre entre rigueur et applications.

2026MPMines-PontsCorrigé

IPT — MP · 2026

Jeu Quixo à deux joueurs (épreuve d'informatique commune MP-PC-PSI). Programmation en Python d'un moteur de jeu sur plateau 5×5 : initialisation, borne du nombre de configurations, validité et exécution des déplacements de cubes (glissement, terminaison par variant de boucle), détection d'alignements gagnants. Construction d'un joueur artificiel : dénombrement des mouvements, algorithme minimax sur l'arbre de jeu, heuristique d'évaluation d'une position, et élagage alphabeta avec ses coupures. On termine par deux requêtes SQL analysant les parties stockées en base relationnelle.

Représentation d'un plateau de jeu (listes de listes), initialisationDénombrement de configurations, logarithme et nombre de bitsTerminaison de boucle par variant, invariants+5

4 parties · 21 questions2 heures

2026PCMines-PontsCorrigé

IPT — PC · 2026

Représentation d'un plateau de jeu (listes de listes), initialisationDénombrement de configurations, logarithme et nombre de bitsTerminaison de boucle par variant, invariants+5

4 parties · 21 questions2 heures

2026PSIMines-PontsCorrigé

IPT — PSI · 2026

Représentation d'un plateau de jeu (listes de listes), initialisationDénombrement de configurations, logarithme et nombre de bitsTerminaison de boucle par variant, invariants+5

4 parties · 21 questions2 heures

2026MPIMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — MPI · 2026

Calcul des variations : équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami, appliquées au plus court chemin, à la brachistochrone (cycloïde) et à la caténoïde (chaînette). Avec le lemme fondamental, les fonctions plateau C∞ à support compact et la dérivation sous le signe intégral.

Équation d'Euler-LagrangeIdentité de BeltramiBrachistochrone & cycloïde+5

parties · questions3 heures

2026PCMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sommes d'endomorphismes de carré nul sur un ℂ-espace vectoriel de dimension finie. Le sujet construit en cinq parties la caractérisation Σ∞C(E) = H(E) (endomorphismes de trace nulle), exhibe via le théorème de Wang–Wu un endomorphisme hors de Σ₃C(E), puis montre — en utilisant les matrices de Hessenberg — que tout endomorphisme de trace nulle est en fait dans Σ₄C(E). Sujet commun PC-PSI à la session 2026.

Réduction des endomorphismesTrace nulle et carré nulMatrices de Hessenberg+4

5 parties · 25 questions3 heures

2026PSIMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Tout endomorphisme de trace nulle d'un espace vectoriel de dimension finie sur ℂ est somme de quatre endomorphismes de carré nul. Le sujet construit progressivement le résultat Σ∞C(E) = H(E) en étudiant la structure des endomorphismes nilpotents d'ordre 2, les matrices par blocs associées, et la décomposition en sous-espaces stables pour les endomorphismes généraux.

Endomorphismes nilpotentsTrace et déterminantRéduction des endomorphismes+4

5 parties · 25 questions3 heures

🏆 Centrale-Supélec

Annales Centrale-Supélec · 29

CentraleSupélec, Centrale Lyon, Centrale Lille — sujets longs, modélisation transverse.

Stéréochimie des oses (CIP, cyclisation)Théorie d'Eyring & thermodynamiqueCinétique : ordres, polarimétrie+5

Chimie — PC · 2026

3 parties · 48 questions4 heures

SQL — JOIN, GROUP BYSous-requêtes corréléesTypes algébriques OCaml+6

Informatique — MPI · 2026

3 parties · 29 questions4 heures

Automates finis déterministesAnalyse lexicaleOCaml — types algébriques+6

Informatique (option) — MP · 2026

2 parties · 42 questions4 heures

Groupe orthogonal Oₙ(ℝ), SOₙ(ℝ), sous-groupes finisClassification des sous-groupes finis de O₂(ℝ) : cycliques et diédrauxRéduction des isométries et matrice de Gram+5

Mathématiques 1 — MPI · 2026

Sous-groupes remarquables de GLₙ(ℝ). Trois parties indépendantes : classification des sous-groupes finis de Oₙ(ℝ) (équivalence fini ⇔ exposant fini ⇔ trace finie, via une matrice de Gram), preuve que tout sous-groupe compact de GLₙ(ℝ) préserve un produit scalaire (ellipsoïde de John et stricte log-concavité du déterminant), et croissance polynomiale de degré 4 du groupe de Heisenberg discret.

3 parties · 41 questions4 heures

Ellipses — équation réduiteInégalité triangulaireÉquations différentielles linéaires vectorielles+5

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en quatre parties sur la découverte de la planète Neptune. Partie A : étude géométrique de l'ellipse (inégalité triangulaire, équation réduite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , excentricité). Partie B : EDL vectorielles planétaires — diagonalisation de $A=-B^2$ , solutions sinusoïdales $y_i=\alpha_i\cos(\omega_it)+\beta_i\sin(\omega_it)$ . Partie C : méthode de Le Verrier — calcul de $\mathrm{Tr}(A^k)$ , identités de Newton-Girard, spectre $\{-3,-2,4\}$ . Partie D : perturbation spectrale de $D+tUU^\top$ , équation $(E_t)$ , fonctions réciproques $g_i$ , dérivabilité en $0$ ( $\lambda_1'(0)=u^2$ ).

4 parties · 34 questions4 heures

Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet en trois parties indépendantes sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Partie A : caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ — équivalence fini $\Leftrightarrow$ exposant fini $\Leftrightarrow$ trace finie — et description complète des sous-groupes de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux $\mathcal{D}_m$ ). Partie B : sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , ordre $\preccurlyeq$ sur $\mathcal{S}_n^+$ , stricte log-concavité du déterminant, et plongement dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ via maximisation du déterminant sur un compact convexe. Partie C : croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret $\mathbb{H} \subset \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ et démonstration que $\mathbb{H}$ est de degré 4.

3 parties · 41 questions4 heures

2026PSICentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet en quatre parties centré sur la probabilité d'obtenir $n$ côtés pile successifs lors de lancers d'une pièce. Parties A et B : étude des cas $n=1$ , $n=2$ (loi géométrique, trinôme $X^2-qX-pq$ ) et $n=3$ (matrice de transition $M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , diagonalisation dans $\mathbb{C}$ , équivalent $P(X_3=k)\sim m\lambda_1^k$ ). Partie C : cas général via la fonction génératrice $G_{X_n}$ et décomposition en éléments simples. Partie D : probabilité d'au moins $n$ piles consécutives en $k$ lancers, suite $(u_k)$ décroissante bornée, presque-sûreté de l'événement par un argument de comparaison géométrique.

Loi géométrique — variable de premier succèsFonction génératrice d'une variable aléatoireSérie entière — rayon de convergence+8

4 parties · 45 questions4 heures

2026PSICentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — PSI · 2026

Les polynômes de Jacobi. Sur ℝ[X] muni du produit scalaire à poids (1−t)^α(1+t)^β, on étudie la famille orthogonale associée : construction par Gram-Schmidt, récurrence à trois termes, racines simples dans ]−1,1[, formule de Rodrigues et orthogonalité. Le cas α=β=0 donne les polynômes de Legendre : équation différentielle, majoration |Lₖ|≤1, récurrence de Bonnet et fonction génératrice 1/√(1−2tx+t²).

Produit scalaire à poids sur ℝ[X], convergence d'intégrales généraliséesPolynômes orthogonaux et procédé de Gram-SchmidtFormule de Vandermonde, coefficients binomiaux généralisés+5

5 parties · 42 questions4 heures

Fonctions $\mathcal{C}^\infty$ — récurrenceDistributions de SchwartzMasse de Dirac $\delta_a$+6

Mathématiques 2 — PC · 2026

Théorie des distributions et théorème d'unicité de Cantor. Cinq parties cumulatives : (A) construction d'une fonction test régularisante $\rho_\varepsilon$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact ; (B) définition d'une distribution comme forme linéaire continue, exemples ( $\delta_a$ , $T_f$ , valeur principale) ; (C) dérivation d'une distribution $T'(\varphi)=-T(\varphi')$ , distributions à dérivée nulle (constantes), à dérivée seconde nulle (affines) ; (D) suites de distributions, lien avec convergences uniforme et $L^2$ ; (E) théorème d'unicité de Cantor pour les séries trigonométriques.

5 parties · 34 questions4 heures

Fonction zêta de RiemannConvergence normale — séries de fonctionsFamilles sommables+7

Mathématiques 2 — MP · 2026

Fonction zêta de Riemann et hypothèse de Riemann. Quatre parties cumulatives : (A) étude de $\zeta$ sur $]1,+\infty[$ , formule eulérienne $\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ , non-annulation pour $\mathrm{Re}(s)>1$ , étude géométrique des disques $\Delta_d$ ; (B) transformée de Mellin des $f_k$ , identité $\int_0^1 f_k(t)t^{s-1}dt=\frac{1}{s}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k^s})\zeta(s)$ , prolongement analytique de $\zeta$ ; (C) espace préhilbertien $L^2$ sur $]0,1]$ , libéralité de la famille $(f_k)$ , distance $d_n$ de $\mathbf{1}$ à $\mathrm{Vect}(f_2,\ldots,f_n)$ ; (D) synthèse — condition suffisante de l'hypothèse de Riemann.

4 parties · 38 questions4 heures

Fonction zêta de RiemannConvergence normale — séries de fonctionsFamilles sommables+7

Mathématiques 2 — MPI · 2026

4 parties · 38 questions4 heures

Diffusion massique — loi de FickRégime quasi-stationnaireClausius-Clapeyron+7

Physique 1 — PC · 2026

Autour des gouttes et des bulles. Trois parties indépendantes : (A) évaporation d'une goutte d'eau dans une atmosphère humide — diffusion massique en régime quasi-stationnaire (loi de Fick), équilibre thermique avec changement d'état (Clausius-Clapeyron, résolution numérique par bisect), effets radiatifs et application au psychromètre ; (B) spin coating — étalement d'une goutte sur substrat tournant, équation de Navier-Stokes en référentiel tournant, équation $\partial_t h\propto h^3$ , profil $h(t)\propto t^{-1/2}$ ; (C) interférométrie sur bulle de silicone — fonction d'Airy, contraste de franges en lumière polychromatique.

3 parties · 50 questions4 heures

🏆 CCINP

Annales CCINP · 13

Concours commun INP — porte d'entrée vers une trentaine d'écoles d'ingénieurs.

Diagramme E-pH de l'aluminiumBinaire liquide-vapeur & azéotrope, distillationÉlectrolyse : surtensions & rendement faradique+5

Chimie — PC · 2026

2 parties · 50 questions4 heures

Matrices par blocs — similitudePolynôme caractéristique par blocsDiagonalisabilité et polynôme annulateur+8

Mathématiques 1 — PC · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : réduction de matrices par blocs — Partie I étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}$ (diagonalisation via $P^{-1}MP=D$ , polynôme caractéristique $\chi_M(\lambda)=\lambda^n\cdot 2^n\cdot\chi_A(\lambda/2)$ , équivalence diagonalisabilité de $M$ et de $A$ ) ; Partie II étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\O_n&A\end{pmatrix}$ (formule $M^k$ , polynôme évalué en $M$ , CNS de diagonalisabilité : $A=O_n$ ). Exercice 2 : loi géométrique et loi binomiale négative — somme $S_n$ de $n$ variables géométriques indépendantes, DSE de la fonction génératrice, équivalent $\mathbb{E}(V_n)\sim\ln(n)/(-\ln q)$ . Exercice 3 : équation fonctionnelle $f'(x)=f(\lambda x)$ pour $|\lambda|<1$ — étude des solutions entières, unicité à constante, $\dim S_\lambda=1$ via la formule de Taylor avec reste intégral.

3 parties · 37 questions4 heures

2026MPCCINPCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet MP en deux grands blocs. Exercice : séries génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème (Parties I–III) : calcul de $g(x)=\pi e^{-x}$ par changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ via les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque $F(x)=\pi(1-e^{-4\pi})/(1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi})$ .

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

5 parties · 22 questions4 heures

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Mathématiques 1 — MPI · 2026

Sujet MPI en deux grands blocs. Exercice : fonctions génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème : calcul explicite de l'intégrale paramétrique $g(x)=\pi e^{-x}$ via changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; démonstration complète de la formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ par les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque.

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

5 parties · 22 questions4 heures

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Mathématiques 1 — PSI · 2026

Trois parties indépendantes. Exercice 1 : jeu de Pile ou Face — loi géométrique de X, loi binomiale conditionnelle de Y|X=n, calcul de P(Y=k) par la formule de la dérivée k-ième de 1/(1-x). Exercice 2 : théorème de Bohr-Mollerup — existence (Γ bien définie, C², log-convexe par Cauchy-Schwarz) et unicité (formule de Gauss via convexité et Lemme 1). Problème : classe D des endomorphismes à blocs 1×1 ou 2×2 — deux exemples (u diagonalisable par blocs, v ∉ D), caractérisation des nilpotents N₂=D∩N, critère d'appartenance à D via polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles.

Loi géométrique et loi binomialeSéries entières — dérivation terme à termeConvergence dominée — dérivation sous signe intégral+4

3 parties · 43 questions4 heures

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Mathématiques 2 — MPI · 2026

Trois parties indépendantes. Exercice 1 : algèbre matricielle — diagonalisation de J (rang 1, valeurs propres 0 et 3), valeurs propres de A = aJ + bI, polynôme minimal, puissances A^n par division euclidienne et par binôme de Newton. Exercice 2 : matrices circulantes et racines de l'unité — χ_J = X^n − 1, identification A = P(J), diagonalisation dans M_n(ℂ) avec valeurs propres P(ω_k), réalité du produit P(ω₁)⋯P(ω_{n−1}) via det(A) ∈ ℝ. Problème : polynômes de Laguerre — espace préhilbertien à poids e^{−t}, formule de Rodrigues L_n = e^t/n! h_n^{(n)}, base orthonormée (L_n), identité de Parseval pour g_α = e^{−αx}.

Rang et diagonalisationPolynôme minimalPuissances de matrices — binôme de Newton+8

3 parties · 20 questions4 heures

parties · 42 questions4 heures

Modélisation — PC · 2026

Étude d'un spectrophotomètre infrarouge. Deux parties : (I) absorption vibrationnelle — modèle classique d'une molécule diatomique avec potentiel de Morse, oscillateur harmonique masse réduite ; (II) principe du spectrophotomètre — sources IR, monochromateur à réseau, détecteurs et calcul d'absorbance.

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Modélisation et Informatique — PSI · 2026

Modélisation de l'entretien automatisé d'une piscine privée. Deux parties : (I) régulation du débit de la pompe de circulation à vitesse variable ; (II) maintien des paramètres physico-chimiques (chlore, pH) avec asservissement et simulation Python.

parties · 44 questions4 heures

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Physique — MP · 2026

Cahier de bord d'une expédition sur la planète X. Trois parties indépendantes : (I) le ressort, couteau-suisse de la physique — pendule simple, ressort masse-réparti, sismographe RLC ; (II) électromagnétisme et optique — modèle classique de l'électron lié, constante diélectrique, propagation, dispersion ; (III) physique quantique — Schrödinger sur potentiel.

parties · 50 questions4 heures