Annales concours CPGE 2026

Informatique (option) — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Ellipses — équation réduiteInégalité triangulaireÉquations différentielles linéaires vectorielles+5

2026PCCentrale-Supélec

Sujet en quatre parties sur la découverte de la planète Neptune. Partie A : étude géométrique de l'ellipse (inégalité triangulaire, équation réduite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , excentricité). Partie B : EDL vectorielles planétaires — diagonalisation de $A=-B^2$ , solutions sinusoïdales $y_i=\alpha_i\cos(\omega_it)+\beta_i\sin(\omega_it)$ . Partie C : méthode de Le Verrier — calcul de $\mathrm{Tr}(A^k)$ , identités de Newton-Girard, spectre $\{-3,-2,4\}$ . Partie D : perturbation spectrale de $D+tUU^\top$ , équation $(E_t)$ , fonctions réciproques $g_i$ , dérivabilité en $0$ ( $\lambda_1'(0)=u^2$ ).

4 parties · 34 questions4 heures

Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet en trois parties indépendantes sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Partie A : caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ — équivalence fini $\Leftrightarrow$ exposant fini $\Leftrightarrow$ trace finie — et description complète des sous-groupes de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux $\mathcal{D}_m$ ). Partie B : sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , ordre $\preccurlyeq$ sur $\mathcal{S}_n^+$ , stricte log-concavité du déterminant, et plongement dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ via maximisation du déterminant sur un compact convexe. Partie C : croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret $\mathbb{H} \subset \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ et démonstration que $\mathbb{H}$ est de degré 4.

3 parties · 41 questions4 heures

2026PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet en quatre parties centré sur la probabilité d'obtenir $n$ côtés pile successifs lors de lancers d'une pièce. Parties A et B : étude des cas $n=1$ , $n=2$ (loi géométrique, trinôme $X^2-qX-pq$ ) et $n=3$ (matrice de transition $M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , diagonalisation dans $\mathbb{C}$ , équivalent $P(X_3=k)\sim m\lambda_1^k$ ). Partie C : cas général via la fonction génératrice $G_{X_n}$ et décomposition en éléments simples. Partie D : probabilité d'au moins $n$ piles consécutives en $k$ lancers, suite $(u_k)$ décroissante bornée, presque-sûreté de l'événement par un argument de comparaison géométrique.

Loi géométrique — variable de premier succèsFonction génératrice d'une variable aléatoireSérie entière — rayon de convergence+8

4 parties · 45 questions4 heures

2026MPICentrale-Supélec

Physique-Chimie 1 — MPI · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Physique-Chimie 1 — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

S2I — MP · 2026

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Endomorphismes antisymétriquesValeurs propres et réductionDécomposition en somme directe+7

E3A

2026PCE3A

Mathématiques — PC · 2026

Trois exercices indépendants : endomorphisme antisymétrique de ℝ⁵ (valeurs propres de f et f², décomposition E = ker(f) ⊕ Im(f), forme normale semblable à une matrice par blocs 2×2) ; intégrales à paramètre Fₙ(x) = ∫₀¹ tⁿ/(x+t) dt (récurrence, téléscopage, Fₙ(x) = (−x)ⁿ(ln(1+1/x)−Pₙ(1/x))) et comportement G(x) ∼ −ln(x) en 0⁺ via une fonction auxiliaire de dérivée nulle ; maximisation/minimisation de la variance d'une variable aléatoire à valeurs dans {1,2,3} ramenée à des extrema sur un compact triangulaire.

3 parties · 42 questions4 heures

2026MPE3A

Mathématiques 1 — MP · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation $u(P)(X)=P(X+1)$ sur $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de $\Delta=u-\mathrm{Id}$ d'indice $n$ , formule des différences finies via le polynôme minimal $(X-1)^n$ . Exercice 2 : séries et intégrales impliquant $\sin(at)/(e^t-1)$ et $\zeta(s)$ — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de $H(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt$ , calcul de $\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6$ . Exercice 3 : fonction log-Laplace $\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}])$ pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en $\pm\infty$ , additivité sous indépendance.

Endomorphismes — translation polynomialeMatrice de Pascal — triangulaire supérieureNilpotence — différences finies+7

3 parties · 35 questions4 heures

2026PSIE3A

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Quatre exercices indépendants. Exercice 1 : optimisation en dimension n — spectre de J (rang 1) et I_n+J (définie positive), gradient et hessienne d'une fonction quadratique, minimum global via Sherman-Morrison. Exercice 2 : suite contractante par f(x)=ln(1−x/2) et série de fonctions normalement convergente par domination géométrique. Exercice 3 : endomorphisme Φ(P)=(X²−1)P''+4XP'+2P de ℝ_n[X], valeurs propres (k+1)(k+2), diagonalisation, orthogonalité des polynômes propres par rapport au produit scalaire à poids (1−t²). Exercice 4 : impossibilité de simuler une loi uniforme sur [[2,22]] par la somme de deux dés truqués — argument des racines 11e de l'unité et du théorème de la valeur intermédiaire.

Optimisation quadratique — hessienne et spectreFormule de Sherman-MorrisonSuites contractantes et convergence uniforme+4

4 parties · 40 questions3 heures

2026MPE3A

Physique-Chimie — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

2026PCE3A

Physique-Chimie — PC · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Convexité — encadrement des accroissementsMatrices de transfertGrandes déviations — formule de Stirling+5

X / ENS / ESPCI

2026PCX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en trois parties centré sur les grandes déviations et la transition de phase du modèle de Curie-Weiss. Partie I : propriétés des fonctions convexes (encadrement des accroissements, convergence simple de convexes, dérivée d'une suite de Laplace). Partie II : modèle d'Ising 1D par matrices de transfert — calcul de la valeur propre dominante $\lambda(\beta,h)$ , limite de la fonction de partition $F_N$ , magnétisation limite. Partie III : modèle de Curie-Weiss — fonction de taux $I(x)$ , probabilité $P[S_N=u_N]$ via Stirling, minoration de $G_N$ , maximum unique de $\psi_{\beta,h}$ , équation auto-cohérente et exposant critique $1/3$ en $\beta=1/2$ .

3 parties · 32 questions4 heures

2026PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe $C^2$ vérifiant $\|\nabla f\| = \|\nabla g\|$ partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de $S(f)$ ). Partie II : démonstration dans le cas $n=1$ via $f'^2 - g'^2 = c$ constant (Q3) et convexité de $x \mapsto g'^2$ (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur $T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2$ . Partie IV : cas général via un flot de gradient $y' = -\nabla h(y)$ convergent exponentiellement vers $S(h)$ , inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Fonctions convexes — inégalité du premier ordreOptimisation convexe — conditions nécessairesNorme du gradient — infimum+7

4 parties · 17 questions4 heures

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

4 parties · 30 questions4 heures

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

4 parties · 20 questions4 heures

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

4 parties · 22 questions4 heures

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

4 parties · 27 questions6 heures

CCINP

2026PCCCINP

Mathématiques 1 — PC · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : réduction de matrices par blocs — Partie I étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}$ (diagonalisation via $P^{-1}MP=D$ , polynôme caractéristique $\chi_M(\lambda)=\lambda^n\cdot 2^n\cdot\chi_A(\lambda/2)$ , équivalence diagonalisabilité de $M$ et de $A$ ) ; Partie II étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\O_n&A\end{pmatrix}$ (formule $M^k$ , polynôme évalué en $M$ , CNS de diagonalisabilité : $A=O_n$ ). Exercice 2 : loi géométrique et loi binomiale négative — somme $S_n$ de $n$ variables géométriques indépendantes, DSE de la fonction génératrice, équivalent $\mathbb{E}(V_n)\sim\ln(n)/(-\ln q)$ . Exercice 3 : équation fonctionnelle $f'(x)=f(\lambda x)$ pour $|\lambda|<1$ — étude des solutions entières, unicité à constante, $\dim S_\lambda=1$ via la formule de Taylor avec reste intégral.

Matrices par blocs — similitudePolynôme caractéristique par blocsDiagonalisabilité et polynôme annulateur+8

3 parties · 37 questions4 heures

2026MPCCINP

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet MP en deux grands blocs. Exercice : séries génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème (Parties I–III) : calcul de $g(x)=\pi e^{-x}$ par changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ via les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque $F(x)=\pi(1-e^{-4\pi})/(1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi})$ .

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

5 parties · 22 questions4 heures

2026MPICCINP

Mathématiques 1 — MPI · 2026

Sujet MPI en deux grands blocs. Exercice : fonctions génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème : calcul explicite de l'intégrale paramétrique $g(x)=\pi e^{-x}$ via changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; démonstration complète de la formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ par les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque.

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

5 parties · 22 questions4 heures

2026PSICCINP

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Trois parties indépendantes. Exercice 1 : jeu de Pile ou Face — loi géométrique de X, loi binomiale conditionnelle de Y|X=n, calcul de P(Y=k) par la formule de la dérivée k-ième de 1/(1-x). Exercice 2 : théorème de Bohr-Mollerup — existence (Γ bien définie, C², log-convexe par Cauchy-Schwarz) et unicité (formule de Gauss via convexité et Lemme 1). Problème : classe D des endomorphismes à blocs 1×1 ou 2×2 — deux exemples (u diagonalisable par blocs, v ∉ D), caractérisation des nilpotents N₂=D∩N, critère d'appartenance à D via polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles.

Loi géométrique et loi binomialeSéries entières — dérivation terme à termeConvergence dominée — dérivation sous signe intégral+4

3 parties · 43 questions3 heures

2026MPICCINP

Mathématiques 2 — MPI · 2026

Trois parties indépendantes. Exercice 1 : algèbre matricielle — diagonalisation de J (rang 1, valeurs propres 0 et 3), valeurs propres de A = aJ + bI, polynôme minimal, puissances A^n par division euclidienne et par binôme de Newton. Exercice 2 : matrices circulantes et racines de l'unité — χ_J = X^n − 1, identification A = P(J), diagonalisation dans M_n(ℂ) avec valeurs propres P(ω_k), réalité du produit P(ω₁)⋯P(ω_{n−1}) via det(A) ∈ ℝ. Problème : polynômes de Laguerre — espace préhilbertien à poids e^{−t}, formule de Rodrigues L_n = e^t/n! h_n^{(n)}, base orthonormée (L_n), identité de Parseval pour g_α = e^{−αx}.

Rang et diagonalisationPolynôme minimalPuissances de matrices — binôme de Newton+8

3 parties · 20 questions4 heures

2026PCCCINP

Modélisation — PC · 2026

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2026PSICCINP

Modélisation et Informatique — PSI · 2026

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2026MPCCINP

Physique — MP · 2026

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2026PCCCINP

Physique — PC · 2026

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2026MPCCINP

Physique-Chimie — MP · 2026

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2026MPICCINP

Physique-Chimie — MPI · 2026

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2026PSICCINP

Physique-Chimie — PSI · 2026

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