Corrigé X / ENS / ESPCI 2026 — Mathématiques A MP
Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$, d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$. Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$, par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$. Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$, rayon numérique $r(A)$, inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$, sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$, optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.
Préparation aux oraux X / ENS / ESPCI
De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles
Khôlleurs issus de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. 6 à 10 oraux blancs filière MP, feedback écrit détaillé, pack TP inclus. La même méthode qui a permis à nos élèves de décrocher X, CS, Mines.
- Oraux Mines-Ponts · X · Centrale · CCINP
- Feedback écrit après chaque oral
- Pack TP complet inclus
- Khôlleurs issus de l'X, Centrale et Mines Paris
Premiers oraux dès juin
À propos de ce sujet
Le sujet X / ENS / ESPCI 2026 Mathématiques A filière MP comporte 30 questions réparties en 4 parties pour une durée de 4 heures.
Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$, d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$. Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$, par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$. Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$, rayon numérique $r(A)$, inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$, sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$, optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.
Thèmes abordés
Ce sujet de mathématiques a couvre les notions suivantes : Norme subordonnée — existence et propriétés, Conditionnement d'une matrice inversible, Matrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral, Calcul polynomial matriciel — $p(A)$, Principe du maximum pour les polynômes, Inégalité de Von Neumann, Dilatation unitaire — matrices $D_A$ et $D_{A^*}$, Hausdorffien (domaine numérique) $\mathcal{H}(A)$, Rayon numérique $r(A)$ — norme et propriétés, Racines $k$-ièmes de l'unité — identités polynomiales, Conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$, Théorème de Okubo-Ando (admis).
Corrigé rédigé par Majorant
La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.