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Majorant
E3A2026Filière MPMathématiques 1

Corrigé E3A 2026 — Mathématiques 1 MP

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation u(P)(X)=P(X+1)u(P)(X)=P(X+1) sur Cn−1[X]\mathbb{C}_{n-1}[X] — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de Δ=u−Id\Delta=u-\mathrm{Id} d'indice nn, formule des différences finies via le polynôme minimal (X−1)n(X-1)^n. Exercice 2 : séries et intégrales impliquant sin⁡(at)/(et−1)\sin(at)/(e^t-1) et ζ(s)\zeta(s) — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de H(a)=∫0+∞ ⁣sin⁡(at)/(et−1) dtH(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt, calcul de ∫01 ⁣ln⁡(t)/(t−1) dt=π2/6\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6. Exercice 3 : fonction log-Laplace ΦX(t)=(1/t)ln⁡(E[eXt])\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}]) pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en ±∞\pm\infty, additivité sous indépendance.

Endomorphismes — translation polynomialeMatrice de Pascal — triangulaire supérieureNilpotence — différences finiesPolynôme minimal et Cayley-HamiltonSérie ζ(s) et intégrales impropresConvergence dominée — inversion somme/intégraleSéries entières — développement de H(a)Intégrale ∫ln(t)/(t-1)dt = π²/6Fonction log-Laplace Φ_XEspérance, variance, indépendance

Préparation aux oraux E3A

De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles

Khôlleurs issus de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. 6 à 10 oraux blancs filière MP, feedback écrit détaillé, pack TP inclus. La même méthode qui a permis à nos élèves de décrocher X, CS, Mines.

  • Oraux Mines-Ponts · X · Centrale · CCINP
  • Feedback écrit après chaque oral
  • Pack TP complet inclus
  • Khôlleurs issus de l'X, Centrale et Mines Paris
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Premiers oraux dès juin

À propos de ce sujet

Le sujet E3A 2026 Mathématiques 1 filière MP comporte 35 questions réparties en 3 parties pour une durée de 4 heures.

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation u(P)(X)=P(X+1)u(P)(X)=P(X+1) sur Cn−1[X]\mathbb{C}_{n-1}[X] — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de Δ=u−Id\Delta=u-\mathrm{Id} d'indice nn, formule des différences finies via le polynôme minimal (X−1)n(X-1)^n. Exercice 2 : séries et intégrales impliquant sin⁡(at)/(et−1)\sin(at)/(e^t-1) et ζ(s)\zeta(s) — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de H(a)=∫0+∞ ⁣sin⁡(at)/(et−1) dtH(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt, calcul de ∫01 ⁣ln⁡(t)/(t−1) dt=π2/6\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6. Exercice 3 : fonction log-Laplace ΦX(t)=(1/t)ln⁡(E[eXt])\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}]) pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en ±∞\pm\infty, additivité sous indépendance.

Thèmes abordés

Ce sujet de mathématiques 1 couvre les notions suivantes : Endomorphismes — translation polynomiale, Matrice de Pascal — triangulaire supérieure, Nilpotence — différences finies, Polynôme minimal et Cayley-Hamilton, Série ζ(s) et intégrales impropres, Convergence dominée — inversion somme/intégrale, Séries entières — développement de H(a), Intégrale ∫ln(t)/(t-1)dt = π²/6, Fonction log-Laplace Φ_X, Espérance, variance, indépendance.

Corrigé rédigé par Majorant

La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MP.