Annales E3A en MP

Mathématiques 1 — MP · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation $u(P)(X)=P(X+1)$ sur $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de $\Delta=u-\mathrm{Id}$ d'indice $n$, formule des différences finies via le polynôme minimal $(X-1)^n$. Exercice 2 : séries et intégrales impliquant $\sin(at)/(e^t-1)$ et $\zeta(s)$ — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de $H(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt$, calcul de $\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6$. Exercice 3 : fonction log-Laplace $\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}])$ pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en $\pm\infty$, additivité sous indépendance.