Filière MP

Procédé électro-Fenton, radical hydroxyleCourbes courant-potentiel & surtensionsDiagramme E-pH du fer+3

Chimie — MP · 2026

La chimie et le traitement des eaux — deux parties indépendantes. Partie 1, procédé électro-Fenton : production électrochimique du radical hydroxyle HO•, courbe intensité-potentiel et tension minimale, diagramme E-pH du fer, cinétique d'ordre 1 de la dégradation du bleu de méthylène par spectrophotométrie, cristallographie du platine. Partie 2, procédés biologiques : oxydation de l'éthanol par le dioxygène (aérobie) puis par les ions nitrate (anaérobie, dénitrification), avec bilans thermodynamiques.

2 parties · 26 questions1 heure 30

OCaml : récursivité, tableaux, types algébriques, exponentiation rapideAutomates finis sur Σₙ (vecteurs binaires), bijection avec ⟦0,2ⁿ−1⟧Déterminisation par construction des sous-ensembles+5

Informatique (option) — MP · 2026

Décidabilité de l'arithmétique de Presburger par les automates (théorème de Büchi). En OCaml : bijection ⟦0,2ⁿ−1⟧ ↔ Σₙ, automates finis sur l'alphabet des vecteurs binaires (test de déterminisme, déterminisation par sous-ensembles, complémentaire, intersection), reconnaissabilité de l'addition binaire (automate à retenues) mais pas de la multiplication, formules de Presburger (forme simple, déduction naturelle), et décision de leur vérité en traduisant chaque formule en automate.

5 parties · 30 questions3 heures

Automates finis déterministesAnalyse lexicaleOCaml — types algébriques+6

Informatique (option) — MP · 2026

Coloriages. Deux parties indépendantes : (A) analyse lexicale en OCaml — automate fini déterministe pour reconnaître les tokens du langage, codage en OCaml ; (B) coloration de graphes — k-COLORATION (NP-difficile en général), 2-coloration via test de bipartitude (BFS), structure de file pour parcours, 3-coloration par backtracking, formule d'Euler $|S|-|A|+|F|=2$ , théorèmes Planar-2-COL, Planar-3-COL, Planar-4-COL et théorème des 4 couleurs.

2 parties · 42 questions4 heures

minHash & indice de JaccardListes à sauts (skip lists)Algorithme des k-moyennes+5

Informatique A — MP · 2026

Base de données de vecteurs et recherche des plus proches voisins, en trois parties indépendantes : reconnaissance musicale par minHash (signatures temps-fréquence, indice de Jaccard), listes à sauts et graphes navigables, puis quantification de produit et k-moyennes. Programmation OCaml et analyse de complexité.

parties · questions4 heures

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

Informatique B — MP · 2026

Cycles et unification (X Informatique B, épreuve commune MP-PC-PSI). Dans un graphe orienté acyclique étiqueté : un parcours en profondeur enrichi (époque, sortie) pour détecter en temps amorti constant si l'ajout d'un arc crée un cycle ; la forme normale d'un sommet et l'unification (terminaison, complexité exponentielle sans partage, version linéaire par mémoïsation, algorithme unif) ; puis une représentation relationnelle du graphe avec deux requêtes SQL.

3 parties · 16 questions2 heures

Représentation d'un plateau de jeu (listes de listes), initialisationDénombrement de configurations, logarithme et nombre de bitsTerminaison de boucle par variant, invariants+5

IPT — MP · 2026

Jeu Quixo à deux joueurs (épreuve d'informatique commune MP-PC-PSI). Programmation en Python d'un moteur de jeu sur plateau 5×5 : initialisation, borne du nombre de configurations, validité et exécution des déplacements de cubes (glissement, terminaison par variant de boucle), détection d'alignements gagnants. Construction d'un joueur artificiel : dénombrement des mouvements, algorithme minimax sur l'arbre de jeu, heuristique d'évaluation d'une position, et élagage alphabeta avec ses coupures. On termine par deux requêtes SQL analysant les parties stockées en base relationnelle.

4 parties · 21 questions2 heures

Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet en trois parties indépendantes sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Partie A : caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ — équivalence fini $\Leftrightarrow$ exposant fini $\Leftrightarrow$ trace finie — et description complète des sous-groupes de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux $\mathcal{D}_m$ ). Partie B : sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , ordre $\preccurlyeq$ sur $\mathcal{S}_n^+$ , stricte log-concavité du déterminant, et plongement dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ via maximisation du déterminant sur un compact convexe. Partie C : croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret $\mathbb{H} \subset \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ et démonstration que $\mathbb{H}$ est de degré 4.

3 parties · 41 questions4 heures

2026MPE3ACorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation $u(P)(X)=P(X+1)$ sur $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de $\Delta=u-\mathrm{Id}$ d'indice $n$ , formule des différences finies via le polynôme minimal $(X-1)^n$ . Exercice 2 : séries et intégrales impliquant $\sin(at)/(e^t-1)$ et $\zeta(s)$ — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de $H(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt$ , calcul de $\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6$ . Exercice 3 : fonction log-Laplace $\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}])$ pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en $\pm\infty$ , additivité sous indépendance.

Endomorphismes — translation polynomialeMatrice de Pascal — triangulaire supérieureNilpotence — différences finies+7

3 parties · 35 questions4 heures

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet MP en deux grands blocs. Exercice : séries génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème (Parties I–III) : calcul de $g(x)=\pi e^{-x}$ par changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ via les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque $F(x)=\pi(1-e^{-4\pi})/(1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi})$ .

5 parties · 22 questions4 heures

Calcul des variationsÉquation d'Euler-LagrangeFonctionnelles d'énergie+3

Mathématiques 1 — MP · 2026

Calcul des variations et brachistochrone. Le sujet aborde l'équation d'Euler-Lagrange, la régularité des extrémales, la cycloid comme solution de Bernoulli, et des questions d'existence/unicité par des méthodes de compacité (Bolzano-Weierstrass, inégalité de Wirtinger).

5 parties · 18 questions3 heures

Fonction zêta de RiemannConvergence normale — séries de fonctionsFamilles sommables+7

Mathématiques 2 — MP · 2026

Fonction zêta de Riemann et hypothèse de Riemann. Quatre parties cumulatives : (A) étude de $\zeta$ sur $]1,+\infty[$ , formule eulérienne $\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ , non-annulation pour $\mathrm{Re}(s)>1$ , étude géométrique des disques $\Delta_d$ ; (B) transformée de Mellin des $f_k$ , identité $\int_0^1 f_k(t)t^{s-1}dt=\frac{1}{s}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k^s})\zeta(s)$ , prolongement analytique de $\zeta$ ; (C) espace préhilbertien $L^2$ sur $]0,1]$ , libéralité de la famille $(f_k)$ , distance $d_n$ de $\mathbf{1}$ à $\mathrm{Vect}(f_2,\ldots,f_n)$ ; (D) synthèse — condition suffisante de l'hypothèse de Riemann.

4 parties · 38 questions4 heures

Groupe orthogonal O_n(ℝ)SL_n(ℝ) et GL_n(ℝ)Calcul différentiel matriciel+5

Mathématiques 2 — MP · 2026

Groupes matriciels et morphismes continus. Le problème étudie le groupe orthogonal O_n(ℝ) (partie I), le calcul différentiel sur O_n(ℝ) et SL_n(ℝ) (partie II), les morphismes continus de 𝕌 dans GL_n(ℝ) (partie III) et les morphismes de (ℝ,+) dans (GL_n(ℝ),×), établissant que tout tel morphisme est de la forme t ↦ exp(tA) (partie IV). Réduction, compacité, équations différentielles linéaires.

4 parties · 30 questions4 heures

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247 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 61

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

minHash & indice de JaccardListes à sauts (skip lists)Algorithme des k-moyennes+5

Informatique A — MP · 2026

parties · questions4 heures

Graphe orienté acyclique, parcours en profondeur, numérotation post-fixeInvariants de programme (époque, sortie) et détection de cyclesPython : dictionnaires, récursivité, mémoïsation+4

Informatique B — MP · 2026

3 parties · 16 questions2 heures

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

4 parties · 30 questions4 heures

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

4 parties · 20 questions4 heures

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

4 parties · 22 questions4 heures

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

4 parties · 27 questions6 heures

parties · 45 questions4 heures

Physique — MP · 2026

Étude des ondes mécaniques dans une plaque élastique. Trois parties : (I) compression unidimensionnelle — chaîne de masses, relation de dispersion, limite continue $c_0=\sqrt{E/\rho}$ ; (II) flexion d'une plaque mince — équation $D\Delta^2 w+\rho e\partial_t^2 w=0$ , dispersion quadratique ; (III) méthode optique de mesure par interférométrie de speckle.

parties · 32 questions4 heures

Physique et Sciences de l'Ingénieur — MP · 2026

Sur les satellites d'étude du Soleil. Étude des missions SOHO et SMILE — communications spatiales (formule de Friis, antennes paraboliques, modulation BPSK/QPSK), bilan de liaison, théorème de Shannon, codes correcteurs. Application : télémétrie depuis L1.

2026MPX / ENSÉnoncé seul

Français — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

2026MPX / ENSÉnoncé seul

Langue Vivante — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Distributions de probabilité finies et mises à jour bayésiennesReprésentation OCaml des mesures et états (listes d'associations)Arbres de décision et hauteur moyenne+7

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique A — MP · 2025

Construction d'arbres de décision pour identifier des espèces de plantes à partir d'observations probabilistes : raisonnement bayésien, énumération exhaustive, heuristique gloutonne entropique, optimisation par récursion ouverte et coupure, formules logiques en DNF.

5 parties · 26 questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique B — MP · 2025

Le jeu de Röckse : recherche d'un chemin de pénalité minimale dans une grille avec sauts par défaut, cases bonus et condition lexicographique stricte. Recherche exhaustive récursive, mémoïsation, heuristique gloutonne par horizon, et programmation dynamique 3D avec encodage binaire des bonus activés.

Chemins dans une grille et sauts lexicographiquement positifsRecherche exhaustive récursive avec horizonMémoïsation et clés d'état (case + horizon + bonus)+7

4 parties · 15 questions4 heures

🏆 Mines-Ponts

Annales Mines-Ponts · 80

Mines Paris, Ponts ParisTech, ENSTA, Télécom Paris — équilibre entre rigueur et applications.

Spectroscopie atomiqueModèle de BohrForce centrale et énergie potentielle effective+7

Physique 1 — MP · 2026

Du spectre à la structure de l'hydrogène : raies d'émission de Balmer-Rydberg, modèle semi-classique de Bohr (énergie potentielle effective, quantification du moment cinétique), équation de Schrödinger 1D et 3D, expérience de Davisson-Germer (diffraction d'électrons), retrouvant le rayon de Bohr et l'énergie fondamentale par calcul direct.

3 parties · 25 questions3 heures

Tache d'AiryInterférences à 2 et N ondesThéorème de Gauss gravitationnel+2

Physique 2 — MP · 2026

De la physique avec les galaxies. Deux parties indépendantes : (I) observation des galaxies — diffraction d'un télescope unique, association interférentielle de 2 puis $N$ télescopes (Event Horizon Telescope) ; (II) propriétés galactiques — répartition de masse via théorème de Gauss gravitationnel, évidence pour matière noire, formation d'étoiles et séquence principale.

2 parties · 20 questions4 heures

Schéma cinématique, liaisons glissières, translation guidéeLoi de mouvement en trapèze de vitesse, profils, durée de cycleÉnergie cinétique, masse équivalente, comparaison MLS / vis-écrou+5

SI — MP · 2026

Machine à gravure laser à moteur linéaire synchrone (MLS). Sur l'axe X d'une machine de microgravure de guides d'onde : loi de commande en trapèze de vitesse et durée du cycle de gravure, comparaison MLS / vis-écrou par la masse équivalente, dimensionnement mécanique du guidage (bilan de puissance, théorème de l'énergie-puissance, torseur d'efforts d'une glissière), modélisation électromécanique du MLS triphasé (équations électriques matricielles, force de poussée, synchronisme), puis conception de l'asservissement en position en cascade (boucles de vitesse et de position, correcteurs P, PI et à avance de phase).

8 parties · 24 questions3 heures

2026MPMines-PontsÉnoncé seul

Français — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

2026MPMines-PontsÉnoncé seul

Langue Vivante — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Apprentissage L* d'AngluinAutomates finis déterministesThéorème de Myhill–Nerode+8

2025MPMines-PontsCorrigé

Informatique (option) — MP · 2025

Apprentissage automatique d'un langage régulier $L \subseteq \Sigma^*$ via une variante de l'algorithme L* d'Angluin. Quatre sections : prolégomènes (alphabet, mots, automates finis déterministes), relation d'inséparabilité $\equiv_L$ (Myhill–Nerode), arbre discriminant et opération de criblage, construction d'un automate à partir d'un crible avec traitement des contre-exemples et preuve de minimalité. Programmation OCaml.

4 parties · 28 questions3 heures

2025MPMines-PontsCorrigé

IPT — MP · 2025

Autour du sac à dos. Étude de quatre méthodes algorithmiques pour résoudre le problème classique d'optimisation combinatoire $\max \sum p_i x_i$ sous contrainte $\sum r_i x_i \leq b$ : (1) requêtes SQL sur base navires/conteneurs, (2) algorithme glouton (tri par rapport profit/ressource), (3) programmation dynamique (récurrence sur $P_\max(i, r)$ ), (4) PSE (branch-and-bound avec élagage), (5) métaheuristique ACO (colonies de fourmis avec phéromones). Comparaison expérimentale.

Problème du sac à dos (KP)SQL : SELECT, GROUP BY, ORDER BY, COUNTAlgorithme glouton+8

8 parties · 24 questions3 heures

🏆 Centrale-Supélec

Annales Centrale-Supélec · 54

CentraleSupélec, Centrale Lyon, Centrale Lille — sujets longs, modélisation transverse.

Automates finis déterministesAnalyse lexicaleOCaml — types algébriques+6

Informatique (option) — MP · 2026

2 parties · 42 questions4 heures

Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

3 parties · 41 questions4 heures

Fonction zêta de RiemannConvergence normale — séries de fonctionsFamilles sommables+7

Mathématiques 2 — MP · 2026

4 parties · 38 questions4 heures

Oscillateur harmonique quantiquePrincipe d'incertitude d'HeisenbergRotateur rigide — branches P/R+7

Physique-Chimie 1 — MP · 2026

Spectroscopie rovibrationnelle et laser. Trois parties relativement indépendantes : (A) dynamique vibrationnelle puis rovibrationnelle de la molécule HCl — oscillateur quantique $E_p=\hbar\omega_0(p+1/2)$ , principe d'incertitude d'Heisenberg, rotateur rigide $E_J=BJ(J+1)$ , branches P et R d'un spectre FTIR ; (B) cavité d'un laser entre deux miroirs plans — équation d'onde, modes propres $\nu_m=mc/(2L)$ , intervalle spectral libre, finesse $\mathcal{F}=\text{FSR}/\Delta\nu_0$ ; (C) milieu amplificateur — système à 4 niveaux, équations cinétiques (pompage, désexcitation non radiative, absorption, émission stimulée), condition d'inversion de population, application au laser à colorant Bleu de Nil A.

3 parties · 46 questions4 heures

Diagramme E-pH — azoteOxydoréduction — équation de NernstÉquation de la chaleur 1D+5

Physique-Chimie 2 — MP · 2026

Microscopie thermique à sonde locale (pointe Wollaston). Diagramme E-pH simplifié de l'azote pour la fabrication de la pointe par attaque acide nitrique, équation de la chaleur 1D dans un fil de platine en régime continu (modèle d'ailette), couplage thermique au contact d'un échantillon, méthode du 3ω en régime alternatif avec traitement par pont de Wheatstone et détection synchrone.

3 parties · 46 questions4 heures

Cinématique — profil trapézoïdalFermeture cinématiqueCâbles et poulies+5

S2I — MP · 2026

Tour British Airways i360. Étude de l'ascenseur panoramique de Brighton (162 m, nacelle 200 passagers, montée 130 m en 6 min). Quatre parties : (A) cinématique souhaitée de la nacelle — exigences sécurité/accessibilité/panorama/confort ; (B) transmission par câble tracteur, contrepoids et 4 câbles d'équilibrage ; (C) actionneur et asservissement de vitesse (correcteur PI) ; (D) consommation énergétique avec freinage régénératif (récupération $\geq 50\%$ ).

4 parties · 17 questions4 heures

2026MPCentrale-SupélecÉnoncé seul

Français — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

2026MPCentrale-SupélecÉnoncé seul

Langue Vivante — MP · 2026

Corrigé disponible prochainement.

Tas d'appariement (pairing heap)File de priorité fonctionnelleOptimums de Pareto — ordre produit+7

Informatique (option) — MP · 2025

Meilleurs itinéraires dans un réseau ferroviaire. Quatre parties OCaml : (I) tas d'appariement (pairing heaps) — file de priorité fonctionnelle, fusion en deux passes, complexité amortie ; (II) optimums de Pareto — ordre partiel produit, élément minimal, algorithme général ; (III) éléments minimaux d'un langage régulier — automates marqués, automate des minimaux et preuve que $\min(L)$ est régulier dès que $L$ l'est ; (IV) Dijkstra-Pareto — généralisation de Dijkstra pour calculer tous les optimums de Pareto des poids de chemins, terminaison par variant et correction par invariant.

4 parties · 42 questions4 heures

Fonction π des nombres premiersCoefficient binomial centralValuation p-adique et formule de Legendre+7

Mathématiques 1 — MP · 2025

Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)=\sum 1/k^2$ sans calculer $\pi^2/6$ : encadrement de la fonction $\pi$ par des inégalités combinatoires, majoration du PPCM $d_n\leq 3^n$ via le théorème des nombres premiers, critère d'irrationalité par approximations rationnelles, calcul d'une intégrale double $J_{r,s}$ par séries entières et décomposition en éléments simples, enfin construction d'une suite $I_n\to 0$ à travers les polynômes de Legendre perturbés $P_n$ , forçant $p_n+\zeta(2)q_n\to 0$ pour des entiers non nuls — contradiction avec la rationalité. Conclut sur l'irrationalité de $\pi$ .

5 parties · 40 questions4 heures

parties · questions4 heures

Mathématiques 2 — MP · 2025

Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme. Un matériau est modélisé par des particules d'orientation , soumises à un champ extérieur, à l'agitation thermique (...

Diffraction par un réseau — loi de BraggConducteur parfait — réflexion HFEffet Doppler EM+8

Physique-Chimie 1 — MP · 2025

Observation et protection côtières. Trois grandes parties : (A) télédétection HF des courants marins par diffraction de Bragg sur les vagues — modèle réseau, conducteur parfait, effet Doppler ; (B) chaîne de mesure — détection synchrone, FMCW, échantillonnage et résolution spectrale ; (C) chimie de l'eau de mer — équilibres acidobasiques du CO₂ dissous, électrolyse cathodique pour protéger l'acier de la corrosion, structure cristalline du carbonate de calcium (aragonite vs calcite). Outils : électromagnétisme dans les conducteurs, optique ondulatoire (Bragg), traitement du signal (Fourier, Shannon-Nyquist), thermodynamique électrochimique (Nernst), VSEPR et cristallographie.

3 parties · 45 questions4 heures

🏆 CCINP

Annales CCINP · 42

Concours commun INP — porte d'entrée vers une trentaine d'écoles d'ingénieurs.

Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

Mathématiques 1 — MP · 2026

5 parties · 22 questions4 heures

parties · 50 questions4 heures

Physique — MP · 2026

Cahier de bord d'une expédition sur la planète X. Trois parties indépendantes : (I) le ressort, couteau-suisse de la physique — pendule simple, ressort masse-réparti, sismographe RLC ; (II) électromagnétisme et optique — modèle classique de l'électron lié, constante diélectrique, propagation, dispersion ; (III) physique quantique — Schrödinger sur potentiel.

Théorème de Gauss gravitationnelAnomalie gravimétrique (prospection pétrole)Référentiel terrestre et force de Coriolis+10

Physique-Chimie — MP · 2026

Notre Terre : attractive, si chaleureuse et magn(if)(ét)ique. Six parties indépendantes : champ gravitationnel et anomalie de pétrole, forme de la Terre (Coriolis, aplatissement), mesure optique de g par interféromètre de Mach-Zehnder, chimie du calcaire et du ciment (calcination, formules de Bogue, pluies acides), thermodynamique interne (conductivité, énergie d’accrétion, radioactivité), champ magnétique terrestre.

6 parties · 33 questions4 heures

Connexité par arcs — image continueFonction $C^1$ à valeurs vectoriellesOptimisation $\mathbb R^2$ — point critique, Hessienne+7

Mathématiques 1 — MP · 2025

Connexité par arcs, optimisation et théorème de comparaison série–intégrale. Trois blocs indépendants : (Ex. I) image $f'(]-1,1[)$ d'une fonction $C^1$ à valeurs dans $\mathbb R^2$ , théorème « image continue d'un connexe par arcs » et contre-exemple à $C^0$ près (oscillations $t^2\sin(1/t),t^2\cos(1/t)$ ) ; (Ex. II) minimisation d'une somme de carrés sur $\mathbb R^2$ par Hessienne et par projection orthogonale dans $\mathbb R^3$ ; (Pb) théorème de comparaison série–intégrale, séries de Bertrand $\sum 1/(n(\ln n)^\alpha)$ , constante d'Euler $\gamma$ , série de fonctions $\sum x/(n^2+x^2)$ encadrée par $\arctan$ , et contre-exemples ( $\sin(2\pi x)$ non intégrable / triangle isocèle d'aire $1/n^2$ avec $\sum f(n)$ divergente).

3 parties · 12 questions4 heures

Python — graphes orientés, colorationSQL — agrégats, HAVINGPolynômes de Tchebychev+7

Mathématiques 2 — MP · 2025

Polynômes de Tchebychev et matrices de rang 1. Trois blocs : (Ex. 1) informatique tronc commun — Python sur graphes orientés (degré sortant maximal, graphe inverse, coloration valide, complexité $\mathcal O(N+M)$ ) et SQL ( $\mathrm{MAX}$ , jointure FILMS-LOCATIONS et $\mathrm{HAVING}$ sur $\mathrm{AVG}$ ) ; (Ex. 2) polynômes de Tchebychev de première espèce $P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ , produit scalaire à poids $1/\sqrt{1-t^2}$ , base orthonormale ; (Pb) matrices de rang 1 — Partie I : exemples ( $M=UU^T$ avec $X_i$ Bernoulli/Poisson, matrice $J$ , contre-exemple $E_{12}$ ) ; Partie II : résultats généraux $A=CL$ , $A^2=\mathrm{Tr}(A)A$ , polynôme caractéristique $X^{n-1}(X-\mathrm{Tr}(A))$ , équivalence diagonalisable ⇔ $\mathrm{Tr}(A)\ne 0$ , classification à similitude près par la trace.

3 parties · 25 questions4 heures

Force centrale conservative — KeplerÉnergie potentielle effectiveTransfert de Hohmann+8

Physique — MP · 2025

Altimétrie spatiale et voile solaire. Trois parties : (I) mouvement d'un satellite — force centrale conservative, énergie potentielle effective $E_{p,\mathrm{eff}}=-GM_Tm/r+L_0^2/(2mr^2)$ , troisième loi de Kepler, transfert de Hohmann pour orbite cimetière ; (II) mesure du niveau des océans par radar à impulsions — filtre adapté avec enveloppe triangulaire $\Lambda$ , compression d'impulsion (chirp linéaire avec sinc, gain $\Delta d_{\min}=c/(2B)$ ), traversée de l'ionosphère (plasma à conductivité $\gamma=-i\varepsilon_0\omega_p^2/\omega$ , relation de dispersion $k^2=(\omega^2-\omega_p^2)/c^2$ , filtre passe-haut, correction ionosphérique bi-fréquence ~5 cm) ; (III) voile solaire — pression de radiation $P_m=2I/c$ , conducteur parfait, manœuvre énergétique optimale, simulation numérique en Python par Euler explicite (recherche d'angle $\varphi$ optimal, vitesse de libération $\sqrt{2GM_T/r}$ ).

3 parties · 52 questions4 heures

Mécanique relativiste — facteur de LorentzSection efficace de collisionChamp magnétique — quadrupôles, focalisation faisceau+8

Physique-Chimie — MP · 2025

Synchrotron SOLEIL et batterie au plomb. Deux problèmes : (I) Synchrotron SOLEIL — accélération des électrons par champ électrostatique puis Linac, mécanique relativiste $E_c=(\gamma-1)m_ec^2$ , sections efficaces, éléments magnétiques (dipôles, quadrupôles QF/QD pour focalisation, sextupôles), rayonnement dipolaire électrique avec polarisation et anisotropie en $\sin^2\theta$ , rayonnement synchrotron très directif avec demi-angle $\theta'\sim 1/\gamma$ pour électrons ultrarelativistes, spectroscopie d'absorption par interféromètre de Michelson en lame d'air ; (II) Batterie au plomb — composition isotopique, cristal CFC, électrochimie PbO $_2$ /PbSO $_4$ /Pb, fém ~2,1 V, capacité 40 A·h, courbes intensité-potentiel, dégradation par oxydation à la recharge.

7 parties · 44 questions4 heures

2025MPCCINPÉnoncé seul

Informatique (option) — MP · 2025

Corrigé disponible prochainement.

Graphes — nombre chromatique, cliquesHeuristique de Welsh-PowelReprésentation par dictionnaire d'adjacences+9

2024MPCCINPCorrigé

Informatique (option) — MP · 2024

Trois parties indépendantes en algorithmique et programmation. (I) Coloration de graphes en Python — nombre chromatique, cliques, heuristique de Welsh-Powel implémentée pas à pas, application à la formation de groupes. (II) Satisfiabilité d'une formule propositionnelle en OCaml — type récursif, évaluation, énumération exhaustive des valuations, complexité $O(2^n m)$ , retour sur trace (DPLL) et conséquence logique. (III) Automates et reconnaissance de motifs en OCaml — algorithme naïf, périodes et bords, localisation par automate déterministe.

3 parties · 36 questions3 heures

2024MPCCINPCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2024

Probabilités, équations différentielles linéaires et calcul de $\zeta(2)$ . Trois blocs indépendants : (Ex. I) espérance d'une v.a. à valeurs dans $\mathbb N$ via $E(X)=\sum_{k\ge 0}P(X>k)$ , application au maximum d'un échantillon ; (Ex. II) EDL d'ordre 2 $x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1$ étudiée par DSE ; (Pb.) calcul de $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ par intégrales de Wallis et série de l'arcsinus, puis par l'intégrale à paramètre $f(x)=\int_0^{+\infty}\arctan(xt)/(1+t^2)\,\mathrm dt$ .

V.a. à valeurs dans $\mathbb N$ — espérance par sommation des queuesSommation d'AbelLoi du maximum d'un échantillon uniforme+9

4 parties · 18 questions4 heures

2024MPCCINPCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2024

Algèbre linéaire et matrices définies positives. Trois blocs : (Ex. 1) diagonalisation d'une matrice $3\times 3$ de spectre $\{1,-2\}$ et application à un système récurrent couplé ; (Ex. 2) permutations en Python — composition, inverse, test de sous-groupe, sous-groupe cyclique engendré ; (Pb.) caractérisation spectrale, critère trace+déterminant en dimension 2, et démonstration complète du critère de Sylvester par les mineurs principaux, avec applications (matrice paramétrée, forme quadratique, matrice tridiagonale).

Diagonalisation d'une matrice $3\times 3$Système récurrent couplé — découplage par changement de basePermutations en Python — composition, inverse+9

3 parties · 22 questions4 heures

2024MPCCINPÉnoncé seul

Physique — MP · 2024

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Endomorphismes — translation polynomialeMatrice de Pascal — triangulaire supérieureNilpotence — différences finies+7

🏆 E3A

Annales E3A · 10

Banque d'épreuves E3A-Polytech — accès aux écoles du réseau Polytech et Arts et Métiers.

2026MPE3ACorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2026

3 parties · 35 questions4 heures

2026MPE3ACorrigé

Physique-Chimie — MP · 2026

Autour de l'hélium. Cinq parties : (I) l'hélium, gaz rare dans notre atmosphère — diffusion thermique, vitesse d'évasion gravitationnelle ; (II-V) hélium et étoiles, refroidissement cryogénique, fusion stellaire, applications technologiques (IRM, LHC).

parties · 60 questions4 heures

2025MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2025

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2024MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2024

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2023MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2023

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2022MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2022

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2021MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2021

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2020MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2020

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2019MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 1 — MP · 2019

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2019MPE3AÉnoncé seul

Mathématiques 2 — MP · 2019

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