Filière MP

Informatique (option) — MP · 2026

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Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet en trois parties indépendantes sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Partie A : caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ — équivalence fini $\Leftrightarrow$ exposant fini $\Leftrightarrow$ trace finie — et description complète des sous-groupes de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux $\mathcal{D}_m$ ). Partie B : sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , ordre $\preccurlyeq$ sur $\mathcal{S}_n^+$ , stricte log-concavité du déterminant, et plongement dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ via maximisation du déterminant sur un compact convexe. Partie C : croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret $\mathbb{H} \subset \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ et démonstration que $\mathbb{H}$ est de degré 4.

3 parties · 41 questions4 heures

Physique-Chimie 1 — MP · 2026

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S2I — MP · 2026

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Fonction π des nombres premiersCoefficient binomial centralValuation p-adique et formule de Legendre+7

Mathématiques 1 — MP · 2025

Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)=\sum 1/k^2$ sans calculer $\pi^2/6$ : encadrement de la fonction $\pi$ par des inégalités combinatoires, majoration du PPCM $d_n\leq 3^n$ via le théorème des nombres premiers, critère d'irrationalité par approximations rationnelles, calcul d'une intégrale double $J_{r,s}$ par séries entières et décomposition en éléments simples, enfin construction d'une suite $I_n\to 0$ à travers les polynômes de Legendre perturbés $P_n$ , forçant $p_n+\zeta(2)q_n\to 0$ pour des entiers non nuls — contradiction avec la rationalité. Conclut sur l'irrationalité de $\pi$ .

5 parties · 40 questions4 heures

Mathématiques 2 — MP · 2025

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Endomorphismes — translation polynomialeMatrice de Pascal — triangulaire supérieureNilpotence — différences finies+7

E3A

2026MPE3A

Mathématiques 1 — MP · 2026

Trois exercices indépendants. Exercice 1 : endomorphisme de translation $u(P)(X)=P(X+1)$ sur $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ — matrice de Pascal (triangulaire supérieure), nilpotence de $\Delta=u-\mathrm{Id}$ d'indice $n$ , formule des différences finies via le polynôme minimal $(X-1)^n$ . Exercice 2 : séries et intégrales impliquant $\sin(at)/(e^t-1)$ et $\zeta(s)$ — inversion somme/intégrale par convergence dominée, développement en série entière de $H(a)=\int_0^{+\infty}\!\sin(at)/(e^t-1)\,dt$ , calcul de $\int_0^1\!\ln(t)/(t-1)\,dt=\pi^2/6$ . Exercice 3 : fonction log-Laplace $\Phi_X(t)=(1/t)\ln(\mathbb{E}[e^{Xt}])$ pour une v.a. discrète — prolongement dérivable, lien avec espérance et variance, comportement en $\pm\infty$ , additivité sous indépendance.

3 parties · 35 questions4 heures

2026MPE3A

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Fonctions génératrices — loi de PoissonProduit de Cauchy de séries entièresIntégrale paramétrique — dérivation sous le signe intégral+5

CCINP

2026MPCCINP

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet MP en deux grands blocs. Exercice : séries génératrices, loi de Poisson et produit de Cauchy — stabilité par convolution et loi de somme. Problème (Parties I–III) : calcul de $g(x)=\pi e^{-x}$ par changement de variable et dérivation sous l'intégrale ; équation différentielle $y''-y=0$ issue de l'harmonicité ; formule sommatoire de Poisson pour $f(t)=1/(1+t^2)$ via les coefficients de Fourier et un théorème d'unicité ; noyau de Poisson du disque $F(x)=\pi(1-e^{-4\pi})/(1-2e^{-2\pi}\cos(2\pi x)+e^{-4\pi})$ .

5 parties · 22 questions4 heures

2026MPCCINP

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2026MPCCINP

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Mines-Ponts

Calcul des variationsÉquation d'Euler-LagrangeFonctionnelles d'énergie+3

Mathématiques 1 — MP · 2026

Calcul des variations et brachistochrone. Le sujet aborde l'équation d'Euler-Lagrange, la régularité des extrémales, la cycloid comme solution de Bernoulli, et des questions d'existence/unicité par des méthodes de compacité (Bolzano-Weierstrass, inégalité de Wirtinger).

5 parties · 18 questions4 heures

Groupe orthogonal O_n(ℝ)SL_n(ℝ) et GL_n(ℝ)Calcul différentiel matriciel+5

Mathématiques 2 — MP · 2026

Groupes matriciels et morphismes continus. Le problème étudie le groupe orthogonal O_n(ℝ) (partie I), le calcul différentiel sur O_n(ℝ) et SL_n(ℝ) (partie II), les morphismes continus de 𝕌 dans GL_n(ℝ) (partie III) et les morphismes de (ℝ,+) dans (GL_n(ℝ),×), établissant que tout tel morphisme est de la forme t ↦ exp(tA) (partie IV). Réduction, compacité, équations différentielles linéaires.

4 parties · 30 questions3 heures

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Variables de RademacherInégalité de HölderInégalité de Young+9

Mathématiques 1 — MP · 2025

Inégalités de Khintchine — comparaison des normes $L^p$ pour des combinaisons linéaires de variables de Rademacher : inégalité de Hölder, inégalité de déviation gaussienne (méthode de Chernoff), borne supérieure et inférieure sur les moments d'ordre $p$ , équivalence de toutes les normes $\|\cdot\|_p$ sur l'espace engendré, et construction d'un sous-espace de dimension $k$ de $\mathbb{R}^{2^k}$ sur lequel $\|\cdot\|_1\sim\sqrt{n}\,\|\cdot\|_2$ .

5 parties · 21 questions3 heures

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X / ENS / ESPCI

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

4 parties · 30 questions4 heures

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

4 parties · 20 questions4 heures

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

4 parties · 22 questions4 heures

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

4 parties · 27 questions6 heures

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