Concours CPGE · Filières MP, MPI

Concours X-ENS

Le sommet des concours CPGE. Polytechnique, ENS Ulm, ENS Paris-Saclay — les écoles d'élite accessibles depuis les filières MP et MPI.

141

annales

filières

corrigés

Voir les 141 annales →🎤 Préparer les oraux 📅 Calendrier

📊 En chiffres

Le concours X-ENS décrypté

Annales par filière

Filière MP57 sujets

Filière MPI20 sujets

Répartition par matière

Maths56 sujets · 40%

Physique46 sujets · 33%

Info30 sujets · 21%

SI7 sujets · 5%

Physique-Chimie2 sujets · 1%

Couverture temporelle · 7 années disponibles

2026

16 sujets

2025

23 sujets

2024

26 sujets

2023

24 sujets

2022

19 sujets

2021

19 sujets

2020

14 sujets

Le concours X-ENS

Le concours X-ENS regroupe les épreuves d'admission à l'École Polytechnique (X) et aux Écoles Normales Supérieures (ENS Ulm, ENS Paris-Saclay, ENS Lyon). C'est le concours le plus sélectif de France : environ 400 admis à l'X pour 50 000 élèves de CPGE. Les épreuves (mathématiques, physique, informatique, français, anglais, TIPE) exigent une maîtrise parfaite du programme MP et MPI à un niveau de profondeur sans équivalent. Les tuteurs Majorant issus de Polytechnique t'accompagnent de la révision des écrits aux oraux de l'X.

filière

MPI

filière

🎯 4 écoles accessibles

1.École Polytechnique
2.ENS Ulm
3.ENS Paris-Saclay
4.ENS Lyon (voie MP/MPI)

🎤 Préparation oraux X-ENS

De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles

Khôlleurs alumni de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris. 6 à 10 oraux blancs filière MP, feedback écrit détaillé, pack TP inclus. La même méthode qui a permis à nos élèves de décrocher X, CS et Mines.

Oraux X-ENS en conditions réelles
Feedback écrit après chaque session
Pack TP complet inclus
Khôlleurs alumni X · CS · Mines

Découvrir les oraux blancs →Voir le calendrier

Premières sessions dès mi-mai

📚 Banque d'annales

141 annales X-ENS

Énoncés officiels en libre accès · Corrigés rédigés par des anciens de Polytechnique, CentraleSupélec et Mines Paris.

Année

Matière

141 sujets

X / ENS / ESPCI

2026PCX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en trois parties centré sur les grandes déviations et la transition de phase du modèle de Curie-Weiss. Partie I : propriétés des fonctions convexes (encadrement des accroissements, convergence simple de convexes, dérivée d'une suite de Laplace). Partie II : modèle d'Ising 1D par matrices de transfert — calcul de la valeur propre dominante $\lambda(\beta,h)$ , limite de la fonction de partition $F_N$ , magnétisation limite. Partie III : modèle de Curie-Weiss — fonction de taux $I(x)$ , probabilité $P[S_N=u_N]$ via Stirling, minoration de $G_N$ , maximum unique de $\psi_{\beta,h}$ , équation auto-cohérente et exposant critique $1/3$ en $\beta=1/2$ .

Convexité — encadrement des accroissementsMatrices de transfertGrandes déviations — formule de Stirling+5

3 parties · 32 questions4 heures

2026PSIX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet autour du théorème de Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis : deux fonctions convexes, minorées, de classe $C^2$ vérifiant $\|\nabla f\| = \|\nabla g\|$ partout diffèrent d'une constante. Partie I : propriétés des fonctions convexes (inégalité de convexité, monotonie du gradient, structure de $S(f)$ ). Partie II : démonstration dans le cas $n=1$ via $f'^2 - g'^2 = c$ constant (Q3) et convexité de $x \mapsto g'^2$ (Q4–5). Partie III : cas des fonctions quadratiques, surjectivité/injectivité de l'opérateur $T : f \mapsto \frac{1}{2}\|\nabla f\|^2$ . Partie IV : cas général via un flot de gradient $y' = -\nabla h(y)$ convergent exponentiellement vers $S(h)$ , inégalité de Hardy–Littlewood (Q14), et argument de transport le long du flot (Q16–17).

Fonctions convexes — inégalité du premier ordreOptimisation convexe — conditions nécessairesNorme du gradient — infimum+7

4 parties · 17 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCI

Mathématiques A — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la norme subordonnée et du calcul polynomial matriciel. Préliminaires (Q1–5) : propriétés fondamentales de $\|A\|$ (existence, diagonale, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ ). Partie A (Q6–10) : principe du maximum pour les polynômes — construction d'une matrice unitaire $U$ telle que $p(z) = e_1^*p(U)e_1$ , d'où $|p(z)| \leq \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$ et généralisation $\|p\|_S = \|p\|_{\partial S}$ . Partie B (Q11–17) : inégalité de Von Neumann $\|p(A)\| \leq \|p\|_{\mathbb{D}}$ pour toute contraction $A$ , par construction d'une dilatation unitaire $U_k$ via les racines carrées hermitiennes $D_A$ et $D_{A^*}$ . Partie C (Q18–26) : Hausdorffien $\mathcal{H}(A)$ , rayon numérique $r(A)$ , inégalité $\frac{1}{2}\|A\| \leq r(A) \leq \|A\|$ , sous-multiplicativité $r(A^k) \leq r(A)^k$ via les racines de l'unité. Partie D (Q27–30) : conjecture de Crouzeix $\|p(A)\| \leq 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}$ , optimalité de la constante 2, cas des monômes et du théorème de Okubo-Ando.

Norme subordonnée — existence et propriétésConditionnement d'une matrice inversibleMatrices unitaires et hermitiennes — théorème spectral+9

4 parties · 30 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCI

Mathématiques B — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour de la mesure spectrale empirique. Préliminaire (Q1) : suite récurrente $u_n = \alpha u_{n-1} - u_{n-2}$ , quatre régimes selon $|\alpha|\gtrless 2$ . Partie I (Q2–4b) : la loi arc-sinus comme limite des suites de Riemann généralisées ; convergence en loi de $2\cos(\pi U_n/(n+1))$ . Partie II (Q5–9b) : matrice tridiagonale $T_n$ , polynôme caractéristique $\chi_n$ (polynômes de Chebyshev de 2e espèce), valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , spectre de $T_n(a,b,c)$ , loi de Marchenko–Pastur arc-sinus généralisée. Partie III (Q10–12) : démonstration constructive du théorème de Weierstrass via approximation de la fonction de Heaviside $H$ par des polynômes $P_n = Q_n((1-X)/2)$ . Partie IV (Q13–17b) : matrices de Wigner, moments de la loi semi-circulaire (nombres de Catalan), convergence en probabilité de la mesure spectrale empirique vers $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}$ (théorème de Wigner).

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2Loi arc-sinus — intégrale de ChebyshevSommes de Riemann généralisées+10

4 parties · 20 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCI

Mathématiques C — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des inégalités variationnelles et de l'analyse convexe. Partie I : solutions fortes/faibles d'une inégalité variationnelle, opérateurs monotones, projection sur un convexe fermé ( $\Pi_C$ ) et ses propriétés lipschitziennes. Partie II : existence de solution via un algorithme extrapolé, inégalité minimax de von Neumann pour les jeux à somme nulle. Partie III : itérations de Krasnoselskii–Mann pour les applications 1-lipschitziennes, convergence vers un point fixe. Partie IV : théorème de Baillon–Haddad (co-coercivité du gradient d'une fonction convexe à gradient lipschitzien), convergence de la descente de gradient à pas constant.

Inégalités variationnellesOpérateurs monotonesProjection sur convexe fermé+6

4 parties · 22 questions4 heures

2026MPX / ENS / ESPCI

Mathématiques D — MP · 2026

Sujet en quatre parties autour des approximations probabilistes de lois de Poisson et des inégalités de concentration. Préliminaire : propriétés de la loi de Poisson $Z_\lambda$ (fonction génératrice, encadrements factoriels, inégalité de Markov exponentielle $\mathbb{P}(Z_\lambda\leq k)\leq e^{-\lambda}(e\lambda/k)^k$ ). Partie 1 — Opérateur de Chen–Stein $\mathscr{L}_\lambda$ : équation de Stein, bornes $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ pour l'approximation poissonienne de sommes de Bernoulli dépendantes. Partie 2 — Espérance conditionnelle et couples échangeables : méthode des moments exponentiels, inégalité $\mathbb{P}(|\phi(W)|\geq t)\leq 2e^{-t^2/(2C+2Bt)}$ . Partie 3 — Applications : inégalité de Bernstein–Efron–Stein pour sommes bornées, permutations aléatoires (points fixes), modèle de Curie–Weiss (magnétisation).

Loi de Poisson — fonction génératriceInégalité de Markov exponentielleOpérateur de Chen–Stein+9

4 parties · 27 questions6 heures

2025PCX / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PC · 2025

Corrigé disponible prochainement.

Concours X-ENS

Le concours X-ENS décrypté

Le concours X-ENS

De admissible à admis — oraux blancs en conditions réelles

141 annales X-ENS

X / ENS / ESPCI

Mathématiques 1 — PC · 2026

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Mathématiques A — MP · 2026

Mathématiques B — MP · 2026

Mathématiques C — MP · 2026

Mathématiques D — MP · 2026

Mathématiques 1 — PC · 2025

Mathématiques 1 — PSI · 2025

Mathématiques A — MP · 2025

Mathématiques A — MPI · 2025

Mathématiques B — MP · 2025

Mathématiques B — MPI · 2025

Mathématiques C — MP · 2025

Mathématiques C — MPI · 2025

Mathématiques D — MP · 2025

Mathématiques D — MPI · 2025

Mathématiques 1 — PC · 2024

Mathématiques 1 — PSI · 2024

Mathématiques A — MP · 2024

Mathématiques A — MPI · 2024

Mathématiques B — MP · 2024

Mathématiques B — MPI · 2024

Mathématiques C — MP · 2024

Mathématiques C — MPI · 2024

Mathématiques D — MP · 2024

Mathématiques D — MPI · 2024

Mathématiques 1 — PC · 2023

Mathématiques 1 — PSI · 2023

Mathématiques A — MP · 2023

Mathématiques A — MPI · 2023

Mathématiques B — MP · 2023

Mathématiques B — MPI · 2023

Mathématiques C — MP · 2023

Mathématiques C — MPI · 2023

Mathématiques D — MP · 2023

Mathématiques D — MPI · 2023

Mathématiques 1 — PC · 2022

Mathématiques 1 — PSI · 2022

Mathématiques A — MP · 2022

Mathématiques B — MP · 2022

Mathématiques C — MP · 2022

Mathématiques D — MP · 2022

Mathématiques 1 — PC · 2021

Mathématiques 1 — PSI · 2021

Mathématiques A — MP · 2021

Mathématiques B — MP · 2021

Mathématiques C — MP · 2021

Mathématiques D — MP · 2021

Mathématiques 1 — PC · 2020

Mathématiques 1 — PSI · 2020

Mathématiques A — MP · 2020

Mathématiques B — MP · 2020

Mathématiques C — MP · 2020

Mathématiques D — MP · 2020

X / ENS

Modélisation — PSI · 2026

Physique — MP · 2026

Physique A — PC · 2026

Physique B — PC · 2026

Physique C — PC · 2026

Physique et Sciences de l'Ingénieur — MP · 2026

Physique U — PSI · 2026

Physique X — MPI · 2026

Physique X — PSI · 2026

Physique-Chimie — PC · 2026

Informatique A — MP · 2025

Informatique B — MP · 2025

Informatique B — PC · 2025

Informatique B — PSI · 2025

Informatique C — MPI · 2025

Physique — MP · 2025

Physique A — PC · 2025

Physique B — PC · 2025

Physique C — PC · 2025