Corrigé X / ENS 2026 — Mathématiques B MPI
Distribution des valeurs propres de grandes matrices. Le sujet établit que le spectre des matrices tridiagonales de Toeplitz suit la loi de l'arcsinus, démontre le théorème d'approximation de Weierstrass par la construction explicite des polynômes (1−Xⁿ)^(2ⁿ), puis prouve la loi du demi-cercle de Wigner (spectre d'une matrice symétrique aléatoire) par la méthode des moments, dont les valeurs sont les nombres de Catalan.
En bref
Le sujet X / ENS 2026 — Mathématiques B filière MPI est une épreuve de 4 heures composée de 30 questions réparties en 4 parties, centrée sur Récurrences linéaires d'ordre 2 et polynômes de Tchebychev, Sommes de Riemann, intégrales généralisées, loi de l'arcsinus, Matrices tridiagonales de Toeplitz, spectre 2·cos(kπ/(n+1)). Difficulté : Très élevée. Corrigé détaillé gratuit, rédigé par d'anciens élèves de Polytechnique, Mines Paris et CentraleSupélec, avec aide pédagogique « Comment avoir l'idée » pour chaque question.
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À propos de ce sujet
Le sujet X / ENS 2026 Mathématiques B filière MPI comporte 30 questions réparties en 4 parties pour une durée de 4 heures.
Distribution des valeurs propres de grandes matrices. Le sujet établit que le spectre des matrices tridiagonales de Toeplitz suit la loi de l'arcsinus, démontre le théorème d'approximation de Weierstrass par la construction explicite des polynômes (1−Xⁿ)^(2ⁿ), puis prouve la loi du demi-cercle de Wigner (spectre d'une matrice symétrique aléatoire) par la méthode des moments, dont les valeurs sont les nombres de Catalan.
Thèmes abordés
Ce sujet de mathématiques b couvre les notions suivantes : Récurrences linéaires d'ordre 2 et polynômes de Tchebychev, Sommes de Riemann, intégrales généralisées, loi de l'arcsinus, Matrices tridiagonales de Toeplitz, spectre 2·cos(kπ/(n+1)), Similitude diagonale et réduction Tn(a,b,c), Théorème d'approximation de Weierstrass (preuve constructive), Loi du demi-cercle de Wigner, méthode des moments, Nombres de Catalan et coefficients binomiaux centraux, Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité.
Corrigé rédigé par Majorant
La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MPI.
Questions fréquentes sur ce sujet
Quels chapitres réviser pour le sujet X / ENS Mathématiques B MPI 2026 ?+
Le sujet X / ENS 2026 Mathématiques B en filière MPI mobilise principalement : Récurrences linéaires d'ordre 2 et polynômes de Tchebychev, Sommes de Riemann, intégrales généralisées, loi de l'arcsinus, Matrices tridiagonales de Toeplitz, spectre 2·cos(kπ/(n+1)), Similitude diagonale et réduction Tn(a,b,c), Théorème d'approximation de Weierstrass (preuve constructive), Loi du demi-cercle de Wigner, méthode des moments, Nombres de Catalan et coefficients binomiaux centraux, Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité. Ces chapitres font partie du programme officiel CPGE 2e année MPI. Pour le réviser efficacement, travaille d'abord les exercices types du cours puis enchaîne avec ce sujet d'annale en conditions réelles.
Quelle est la difficulté du sujet X / ENS Mathématiques B MPI 2026 ?+
Très élevée — concours d'élite (École Polytechnique, ENS), top 3 % des candidats CPGE. Ce sujet de Mathématiques B comporte 30 questions en 4 parties sur 4 heures, soit environ 8 minutes par question en moyenne. La progressivité (parties indépendantes ou enchaînées) est précisée dans le corrigé Majorant.
Combien de temps faut-il pour traiter le sujet X / ENS Mathématiques B MPI 2026 ?+
La durée officielle de l'épreuve Mathématiques B au concours X / ENS est de 4 heures. Avec 30 questions réparties en 4 parties, vise un rythme moyen de 8 minutes par question en conditions de concours. Pour un premier passage en autonomie, prévois 1,5× le temps officiel afin de bien comprendre les enjeux de chaque question.
Qui a rédigé le corrigé du sujet X / ENS Mathématiques B MPI 2026 ?+
Le corrigé Majorant a été rédigé par les mentors de l'équipe pédagogique : Tom L. (École Polytechnique), Ethan H. (Mines Paris — PSL) et Camille L. (CentraleSupélec). Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MPI. Accès gratuit sur https://www.majorant.net/ressources-concours/mpi/x/2026-maths-b.