Concours Centrale

Informatique (option) — MP · 2026

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Ellipses — équation réduiteInégalité triangulaireÉquations différentielles linéaires vectorielles+5

2026PCCentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PC · 2026

Sujet en quatre parties sur la découverte de la planète Neptune. Partie A : étude géométrique de l'ellipse (inégalité triangulaire, équation réduite $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , excentricité). Partie B : EDL vectorielles planétaires — diagonalisation de $A=-B^2$ , solutions sinusoïdales $y_i=\alpha_i\cos(\omega_it)+\beta_i\sin(\omega_it)$ . Partie C : méthode de Le Verrier — calcul de $\mathrm{Tr}(A^k)$ , identités de Newton-Girard, spectre $\{-3,-2,4\}$ . Partie D : perturbation spectrale de $D+tUU^\top$ , équation $(E_t)$ , fonctions réciproques $g_i$ , dérivabilité en $0$ ( $\lambda_1'(0)=u^2$ ).

4 parties · 34 questions4 heures

Sous-groupes finis de O_n(ℝ)Groupes d'exposant fini — trace finieGroupes diédraux D_m+7

Mathématiques 1 — MP · 2026

Sujet en trois parties indépendantes sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Partie A : caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ — équivalence fini $\Leftrightarrow$ exposant fini $\Leftrightarrow$ trace finie — et description complète des sous-groupes de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ (groupes cycliques et diédraux $\mathcal{D}_m$ ). Partie B : sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , ordre $\preccurlyeq$ sur $\mathcal{S}_n^+$ , stricte log-concavité du déterminant, et plongement dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ via maximisation du déterminant sur un compact convexe. Partie C : croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret $\mathbb{H} \subset \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ et démonstration que $\mathbb{H}$ est de degré 4.

3 parties · 41 questions4 heures

2026PSICentrale-Supélec

Mathématiques 1 — PSI · 2026

Sujet en quatre parties centré sur la probabilité d'obtenir $n$ côtés pile successifs lors de lancers d'une pièce. Parties A et B : étude des cas $n=1$ , $n=2$ (loi géométrique, trinôme $X^2-qX-pq$ ) et $n=3$ (matrice de transition $M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , diagonalisation dans $\mathbb{C}$ , équivalent $P(X_3=k)\sim m\lambda_1^k$ ). Partie C : cas général via la fonction génératrice $G_{X_n}$ et décomposition en éléments simples. Partie D : probabilité d'au moins $n$ piles consécutives en $k$ lancers, suite $(u_k)$ décroissante bornée, presque-sûreté de l'événement par un argument de comparaison géométrique.

Loi géométrique — variable de premier succèsFonction génératrice d'une variable aléatoireSérie entière — rayon de convergence+8

4 parties · 45 questions4 heures

2026MPICentrale-Supélec

Physique-Chimie 1 — MPI · 2026

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S2I — MP · 2026

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2025MPICentrale-Supélec

Informatique — MPI · 2025

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Informatique (option) — MP · 2025

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Valeurs propresTransformée de FourierGaussiennes+5

Mathématiques 1 — PC · 2025

Un principe d'incertitude matriciel : étude de l'opérateur dérivée seconde et des fonctions gaussiennes, puis définition du laplacien d'une matrice de graphe et démonstration d'une formule explicite pour la courbe d'incertitude associée à une matrice étoile.

4 parties · 35 questions4 heures

Fonction π des nombres premiersCoefficient binomial centralValuation p-adique et formule de Legendre+7

Mathématiques 1 — MP · 2025

Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)=\sum 1/k^2$ sans calculer $\pi^2/6$ : encadrement de la fonction $\pi$ par des inégalités combinatoires, majoration du PPCM $d_n\leq 3^n$ via le théorème des nombres premiers, critère d'irrationalité par approximations rationnelles, calcul d'une intégrale double $J_{r,s}$ par séries entières et décomposition en éléments simples, enfin construction d'une suite $I_n\to 0$ à travers les polynômes de Legendre perturbés $P_n$ , forçant $p_n+\zeta(2)q_n\to 0$ pour des entiers non nuls — contradiction avec la rationalité. Conclut sur l'irrationalité de $\pi$ .

5 parties · 40 questions4 heures

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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