Annales concours CPGE 2024

Intégrale paramétrique — théorème de LeibnizThéorème de convergence dominéeFormule des compléments d'Euler — fonction Bêta+8

Mathématiques 1 — MP · 2024

« Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application probabiliste ». Quatre parties : (I) calcul de $\int_0^\infty t^{x-1}/(1+t)\,dt=\pi/\sin(\pi x)$ via une fonction analytique $g(\theta)=e^{ix\theta}\int_0^\infty t^{x-1}/(1+te^{i\theta})\,dt$ démontrée constante par dérivation sous l'intégrale (Leibniz) puis évaluation à $\theta\to\pi^-$ par convergence dominée ; (II) développement en série partielle $\pi/\sin(\pi x)=1/x-\sum 2(-1)^n x/(n^2-x^2)$ et identité-clé $\sum 2(-1)^n y\sin y/(y^2-n^2\pi^2)=1-\sin y/y$ ; (III) calcul de $\int_0^\infty(1-\cos^{2p+1}t)/t^2\,dt=\pi(2p+1)!/(2\cdot 4^p(p!)^2)$ par double intégration alternée et formule de Wallis ; (IV) application probabiliste — pour $S_n=\sum X_k$ avec $X_k$ Rademacher i.i.d., $E(|S_{2n}|)=E(|S_{2n-1}|)=(2n-1)!/(2^{2n-2}((n-1)!)^2)$ .

4 parties · 25 questions3 heures

Force centrale et conservation du moment cinétiqueLois de Kepler — vecteur excentricitéConique en coordonnées polaires+10

Physique 1 — MP · 2024

« Des objets astronomiques, de Mars à Sirius » — deux problèmes indépendants. (I) Mécanique céleste : champ central, lois de Kepler dérivées du vecteur excentricité $\vec e$ de Laplace–Runge–Lenz, équation polaire $r=p/(1+e\cos\theta)$ , période $T=\mathcal I p^{3/2}/\sqrt{\mathcal G m_A}$ , mesure historique de l'unité astronomique par parallaxe de Mars (Cassini, 1672). (II) Énergie des étoiles : énergie gravitationnelle d'une boule homogène $W_g=-3\mathcal G M^2/(5R)$ , équation hydrostatique sphérique, pression cinétique et théorème du viriel ; pression de confinement quantique via Schrödinger 1D et 3D, principe d'Heisenberg ; rayon d'équilibre des naines blanches $R_{eq}\propto M^{-1/3}$ ; argument relativiste de Chandrasekhar (vitesse $v\sim c/2$ , masse limite).

7 parties · 26 questions3 heures

Diffusion thermique — équation de FourierModèle capacité + résistance thermiqueRefroidissement exponentiel — constante de temps+9

Physique 2 — MP · 2024

« Thermodynamique du froid » — deux problèmes indépendants. (I) Refroidissement des supraconducteurs : (I.A) refroidissement transitoire d'une boule plongée dans un bain via convection-conduction ; modèle « capacité + résistance thermique », équation différentielle exponentielle de constante $\tau=\rho R c/(3k)$ , durée $\Delta t=\tau\ln((T_i-T_0)/(T_{sc}-T_0))$ . (I.B) Régime stationnaire d'un fil cylindrique avec source volumique uniforme $p_u$ : profil $T(r)=T_0+p_u R/(2k)+p_u(R^2-r^2)/(4\lambda)$ parabolique, condition de non-quench $p_u<p_{\max}$ . (II) Réfrigérateur à détente : (II.A) statistique de Boltzmann pour gaz parfait monoatomique, fonction de partition $Z(\beta)=QA\beta^{-3/2}$ , $U=\tfrac{3}{2}Nk_BT$ ; (II.B) modèle énergétique de Van der Waals à partir des interactions $\varepsilon_p=-\alpha/r^6$ et du covolume, équation d'état $(P+aN^2/V^2)(V-u)=Nk_BT$ ; (II.C) détente de Joule-Thomson, température d'inversion $T_r=2A/(BR)$ , comparaison N $_2$ ( $T_r\approx 865$ K) et H $_2$ ( $T_r\approx 223$ K) — H $_2$ nécessite un pré-refroidissement (procédé Linde).

5 parties · 25 questions4 heures

PFD avion en freinage — loi de CoulombThéorème de l'énergie cinétiqueMéthode d'Euler explicite+9

SI — MP · 2024

L'inverseur de poussée eTras® de Safran (Airbus A380). Sept sous-parties : (2) modélisation énergétique du freinage avion + schéma d'Euler explicite ; (3) chaîne structurelle et schéma bloc fonctionnel ; (4.1) cinématique d'ouverture de la nacelle — fermeture de chaîne, course $\lambda(\theta_b)$ , régression linéaire scikit-learn, $K_{cc}$ et temps d'ouverture ; (4.2) couple sur le flex-shaft — torseur des actions de l'air, inertie équivalente, théorème de l'énergie cinétique ; (5.1) moteur à courant continu — schéma bloc, asservissement en intensité avec correcteur PI compensant le pôle électrique ; (5.2) flex-shaft modélisé comme un 2 $^{\text{nd}}$ ordre élastique-amorti, erreur de traînage nulle ; (5.3) asservissement en position avec correcteur à avance de phase $\phi_{\max}$ , calage de $a$ et $\tau$ pour respecter marge de phase $\geqslant 45°$ .

7 parties · 33 questions3 heures

2024MPMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — MP · 2024

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2024PCMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — PC · 2024

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2024PSIMines-PontsÉnoncé seul

Chimie — PSI · 2024

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2024MPMines-PontsÉnoncé seul

Français — MP · 2024

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2024PCMines-PontsÉnoncé seul

Français — PC · 2024

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2024PSIMines-PontsÉnoncé seul

Français — PSI · 2024

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2024MPIMines-PontsÉnoncé seul

Français — MPI · 2024

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2024MPCentrale-SupélecCorrigé

🏆 Centrale-Supélec

Annales Centrale-Supélec · 19

CentraleSupélec, Centrale Lyon, Centrale Lille — sujets longs, modélisation transverse.

Mathématiques 1 — MP · 2024

Inégalités de Carleman, Knopp et Carleman-Yang : trois parties largement indépendantes — (I) analogue intégral via Jensen, IPP et la transformée $h(x)=\frac{1}{x^2}\!\int_0^x t f(t)\,\mathrm dt$ ; (II) preuve par calcul différentiel sur le simplexe avec multiplicateurs de Lagrange et AM-GM ; (III) DSE de $\varphi(t)=(1-t)^{1-1/t}$ , suite récurrente $(b_n)$ et raffinement quantitatif de la constante $\mathrm e$ .

Inégalité de Jensen intégraleSommes de RiemannConvergence dominée+11

3 parties · 29 questions4 heures

2024MPCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2024

Équation aux différences $f(x+1)-f(x)=h(x)$ . Quatre parties : (I) opérateur différence finie $\Delta$ sur $\mathbb K[X]$ — endomorphisme nilpotent, noyau, image, polynôme annulateur ; (II) fonctions entières — DSE de rayon infini, intégrales sur $\mathbb U$ ; (III) polynômes de Bernoulli $B_n$ — définition intégrale, $B'_n=nB_{n-1}$ , unicité, fonction génératrice $\psi(x)\mathrm e^{tx}$ ; (IV) extension au cas entier via la minoration $|\mathrm e^z-1|\ge c$ sur les cercles $|z|=(2n+1)\pi$ .

Opérateur différence finieEndomorphismes nilpotentsPolynôme annulateur+11

4 parties · 29 questions4 heures

2024PCCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — PC · 2024

Produits infinis. Cinq parties : (I) préliminaires — inégalités multiplicatives, $(1+z/n)^n\to\mathrm e^z$ ; (II) exemples — produits télescopiques, intégrales de Wallis, lemme de Borel-Cantelli ; (III) théorèmes de continuité et $\mathcal C^1$ pour fonctions définies par produit infini ; (IV) factorisation $\sin(x)=x\prod(1-x^2/(n\pi)^2)$ et calcul de $\zeta(2)=\pi^2/6$ ; (V) fonction Γ — formules de Gauss, réflexion $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi/\sin(\pi x)$ , formule de Weierstrass.

Produits infinisInégalités multiplicativesConvergence $(1+z/n)^n\to\mathrm e^z$+11

5 parties · 38 questions4 heures

Chimie — PC · 2024

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2024MPICentrale-SupélecÉnoncé seul

Informatique — MPI · 2024

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2024MPCentrale-SupélecÉnoncé seul

Informatique (option) — MP · 2024

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Mathématiques 1 — PC · 2024

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2024PSICentrale-SupélecÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PSI · 2024

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2024PSICentrale-SupélecÉnoncé seul

Mathématiques 2 — PSI · 2024

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Physique 1 — PC · 2024

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Physique 2 — PC · 2024

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2024MPICentrale-SupélecÉnoncé seul

Physique-Chimie 1 — MPI · 2024

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