Annales concours CPGE 2025

Informatique — MPI · 2025

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Informatique — PC · 2025

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Informatique — PSI · 2025

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Informatique (option) — MP · 2025

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Mathématiques 1 — MP · 2025

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Mathématiques 1 — MPI · 2025

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Mathématiques 1 — PC · 2025

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Mathématiques 1 — PSI · 2025

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Mathématiques 2 — MP · 2025

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Mathématiques 2 — MPI · 2025

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Modélisation — PC · 2025

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Modélisation et Informatique — PSI · 2025

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Physique — MP · 2025

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Physique — PC · 2025

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Physique-Chimie — MP · 2025

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Physique-Chimie — MPI · 2025

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Physique-Chimie — PSI · 2025

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Centrale-Supélec

2025MPICentrale-Supélec

Informatique — MPI · 2025

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Informatique (option) — MP · 2025

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Valeurs propresTransformée de FourierGaussiennes+5

Un principe d'incertitude matriciel : étude de l'opérateur dérivée seconde et des fonctions gaussiennes, puis définition du laplacien d'une matrice de graphe et démonstration d'une formule explicite pour la courbe d'incertitude associée à une matrice étoile.

4 parties · 35 questions4 heures

Fonction π des nombres premiersCoefficient binomial centralValuation p-adique et formule de Legendre+7

Mathématiques 1 — MP · 2025

Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)=\sum 1/k^2$ sans calculer $\pi^2/6$ : encadrement de la fonction $\pi$ par des inégalités combinatoires, majoration du PPCM $d_n\leq 3^n$ via le théorème des nombres premiers, critère d'irrationalité par approximations rationnelles, calcul d'une intégrale double $J_{r,s}$ par séries entières et décomposition en éléments simples, enfin construction d'une suite $I_n\to 0$ à travers les polynômes de Legendre perturbés $P_n$ , forçant $p_n+\zeta(2)q_n\to 0$ pour des entiers non nuls — contradiction avec la rationalité. Conclut sur l'irrationalité de $\pi$ .

5 parties · 40 questions4 heures

Mathématiques 1 — PSI · 2025

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Mathématiques 2 — MP · 2025

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Mathématiques 2 — PC · 2025

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Mathématiques 2 — PSI · 2025

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Physique 1 — PC · 2025

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Physique 2 — PC · 2025

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2025MPICentrale-Supélec

Physique-Chimie 1 — MPI · 2025

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Physique-Chimie 1 — MP · 2025

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Physique-Chimie 1 — PSI · 2025

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2025MPICentrale-Supélec

Physique-Chimie 2 — MPI · 2025

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Physique-Chimie 2 — MP · 2025

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Physique-Chimie 2 — PSI · 2025

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Mines-Ponts

Informatique (option) — MP · 2025

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Informatique 1 — MPI · 2025

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Informatique 2 — MPI · 2025

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IPT — MP · 2025

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IPT — MPI · 2025

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2025PCMines-Ponts

IPT — PC · 2025

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2025PSIMines-Ponts

IPT — PSI · 2025

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ProbabilitésInégalités de KhintchineVariables de Rademacher+3

Mathématiques 1 — MPI · 2025

Inégalités de Khintchine — encadrement des normes $L^p$ de combinaisons linéaires de variables de Rademacher, inégalité de Hoeffding et équivalence de normes sur un sous-espace de $\mathbf{R}^n$ .

5 parties · 21 questions3 heures

2025PSIMines-Ponts

Mathématiques 1 — PSI · 2025

Caractérisation des matrices semblables à leur inverse via les polynômes réciproques, la forme de Jordan et les produits de matrices de symétries.

Polynômes réciproquesForme de JordanMatrices de symétries

5 parties · 21 questions3 heures

Variables de RademacherInégalité de HölderInégalité de Young+9

Mathématiques 1 — MP · 2025

Inégalités de Khintchine — comparaison des normes $L^p$ pour des combinaisons linéaires de variables de Rademacher : inégalité de Hölder, inégalité de déviation gaussienne (méthode de Chernoff), borne supérieure et inférieure sur les moments d'ordre $p$ , équivalence de toutes les normes $\|\cdot\|_p$ sur l'espace engendré, et construction d'un sous-espace de dimension $k$ de $\mathbb{R}^{2^k}$ sur lequel $\|\cdot\|_1\sim\sqrt{n}\,\|\cdot\|_2$ .

5 parties · 21 questions3 heures

2025PCMines-Ponts

Mathématiques 1 — PC · 2025

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Séries alternées (Leibniz)Intégrales à paramètreConvergence dominée+4

2025PCMines-Ponts

Mathématiques 2 — PC · 2025

Étude des séries congruo-harmoniques alternées $u_k = (-1)^k/(pk+q)$ : convergence par le critère de Leibniz, représentation intégrale $S_{p,q} = \int_0^1 t^{q-1}/(1+t^p)\,dt$ , formules fermées dans trois cas (p=q, p|q, p>q) via décomposition en éléments simples, calculs de probabilités sur les paramètres, vitesse de convergence infra-linéaire.

4 parties · 24 questions3 heures

2025PSIMines-Ponts

Mathématiques 2 — PSI · 2025

Modèle SIR de propagation d'épidémie et séries de Dirichlet. Étude d'une EDO non linéaire par linéarisation, analyse des séries de Dirichlet (convergence uniforme, régularité, injectivité), relations de récurrence sur les coefficients, approximation par troncature (matrice de Vandermonde), lien avec le système SIR continu, et modèle SIR probabiliste discret (loi binomiale, espérance conditionnelle).

Équations différentielles non linéairesSéries de DirichletConvergence uniforme+5

6 parties · 26 questions3 heures