📅 Session 2025

Annales concours CPGE 2025

Session 2025 : 100 sujets répertoriés, 54 corrigés disponibles. Consultez le catalogue par concours, filière et matière.

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100 sujets répertoriés — session 2025

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100 sujets

🏆 X / ENS / ESPCI

Annales X / ENS / ESPCI · 24

Polytechnique, ENS Ulm, Lyon, Paris-Saclay et ESPCI — sujets de haut niveau, recul théorique, créativité.

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique A — MP · 2025

Construction d'arbres de décision pour identifier des espèces de plantes à partir d'observations probabilistes : raisonnement bayésien, énumération exhaustive, heuristique gloutonne entropique, optimisation par récursion ouverte et coupure, formules logiques en DNF.

Distributions de probabilité finies et mises à jour bayésiennesReprésentation OCaml des mesures et états (listes d'associations)Arbres de décision et hauteur moyenne+7

5 parties · 26 questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Informatique B — MP · 2025

Le jeu de Röckse : recherche d'un chemin de pénalité minimale dans une grille avec sauts par défaut, cases bonus et condition lexicographique stricte. Recherche exhaustive récursive, mémoïsation, heuristique gloutonne par horizon, et programmation dynamique 3D avec encodage binaire des bonus activés.

Chemins dans une grille et sauts lexicographiquement positifsRecherche exhaustive récursive avec horizonMémoïsation et clés d'état (case + horizon + bonus)+7

4 parties · 15 questions4 heures

2025PCX / ENSCorrigé

Informatique B — PC · 2025

Chemins dans une grille et sauts lexicographiquement positifsRecherche exhaustive récursive avec horizonMémoïsation et clés d'état (case + horizon + bonus)+7

4 parties · 15 questions4 heures

2025PSIX / ENSCorrigé

Informatique B — PSI · 2025

Chemins dans une grille et sauts lexicographiquement positifsRecherche exhaustive récursive avec horizonMémoïsation et clés d'état (case + horizon + bonus)+7

4 parties · 15 questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Mathématiques A — MP · 2025

Théorème de décomposition de Jordan pour endomorphismes nilpotents via les polynômes de Laurent et l'endomorphisme de produit par X. Version graduée en présence d'un automorphisme h d'ordre fini, et application à la classification des couples de matrices rectangulaires (A,B) à équivalence simultanée.

Endomorphismes diagonalisables et restriction à un sous-espace stableInvariants δ_k par similitude (caractérisation des tailles de blocs de Jordan)Polynômes de Laurent C[X^±1] et endomorphisme ξ+8

6 parties · 18 questions4 heures

2025MPIX / ENSCorrigé

Mathématiques A — MPI · 2025

6 parties · 18 questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Mathématiques C — MP · 2025

Fonctions d'un grand nombre de variables aléatoires : phénomène de concentration. Le problème étudie la taille d'une somme de variables bornées centrées, sous des hypo...

parties · questions4 heures

2025MPIX / ENSCorrigé

Mathématiques C — MPI · 2025

Ce problème étudie les phénomènes de concentration pour des fonctions d'un grand nombre de variables aléatoires bornées, indépendantes et identiquement distribuées. La...

parties · questions4 heures

2025MPX / ENSCorrigé

Mathématiques D — MP · 2025

Points entiers dans les polytopes et théorème de Brion. Le problème construit progressivement les outils du comptage des points à coordonnées entières dans les polytop...

parties · questions4 heures

2025PCX / ENSÉnoncé seul

Chimie A — PC · 2025

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

2025MPIX / ENSÉnoncé seul

Informatique C — MPI · 2025

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

2025PCX / ENSÉnoncé seul

Mathématiques 1 — PC · 2025

Corrigé disponible prochainement.

Corrigé en cours de rédaction

🏆 Mines-Ponts

Annales Mines-Ponts · 36

Mines Paris, Ponts ParisTech, ENSTA, Télécom Paris — équilibre entre rigueur et applications.

2025MPMines-PontsCorrigé

Informatique (option) — MP · 2025

Apprentissage automatique d'un langage régulier $L \subseteq \Sigma^*$ via une variante de l'algorithme L* d'Angluin. Quatre sections : prolégomènes (alphabet, mots, automates finis déterministes), relation d'inséparabilité $\equiv_L$ (Myhill–Nerode), arbre discriminant et opération de criblage, construction d'un automate à partir d'un crible avec traitement des contre-exemples et preuve de minimalité. Programmation OCaml.

Apprentissage L* d'AngluinAutomates finis déterministesThéorème de Myhill–Nerode+8

4 parties · 28 questions3 heures

2025MPIMines-PontsCorrigé

Informatique 1 — MPI · 2025

Étude des tableaux associatifs en C : implémentation par arbre binaire de recherche fonctionnel, ramasse-miettes mark & sweep, implémentation probabiliste par skip lists, et conception d'un analyseur syntaxique (grammaire et automate déterministe).

Tableaux associatifsArbre binaire de rechercheRécursion fonctionnelle+13

4 parties · 34 questions3 heures

2025MPIMines-PontsCorrigé

Informatique 2 — MPI · 2025

Le jeu de Shannon : jeu combinatoire à deux joueurs (Positus / Minus) sur un graphe non orienté connexe. Trois sections : (1) implémentation en C avec union-find pour les composantes connexes, requêtes SQL sur tournois ; (2) stratégies gagnantes (terminaison, classification des graphes en trois types selon qui gagne) ; (3) construction de deux arbres couvrants disjoints — caractérisation des arêtes principales par récurrence sur les chaînes de cycles induits par échange.

Jeu de ShannonThéorie des graphesArbres couvrants disjoints+8

3 parties · 33 questions4 heures

2025MPMines-PontsCorrigé

IPT — MP · 2025

Autour du sac à dos. Étude de quatre méthodes algorithmiques pour résoudre le problème classique d'optimisation combinatoire $\max \sum p_i x_i$ sous contrainte $\sum r_i x_i \leq b$ : (1) requêtes SQL sur base navires/conteneurs, (2) algorithme glouton (tri par rapport profit/ressource), (3) programmation dynamique (récurrence sur $P_\max(i, r)$ ), (4) PSE (branch-and-bound avec élagage), (5) métaheuristique ACO (colonies de fourmis avec phéromones). Comparaison expérimentale.

Problème du sac à dos (KP)SQL : SELECT, GROUP BY, ORDER BY, COUNTAlgorithme glouton+8

8 parties · 24 questions3 heures

2025MPIMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — MPI · 2025

Inégalités de Khintchine — encadrement des normes $L^p$ de combinaisons linéaires de variables de Rademacher, inégalité de Hoeffding et équivalence de normes sur un sous-espace de $\mathbf{R}^n$ .

ProbabilitésInégalités de KhintchineVariables de Rademacher+3

5 parties · 21 questions3 heures

2025PSIMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2025

Caractérisation des matrices semblables à leur inverse via les polynômes réciproques, la forme de Jordan et les produits de matrices de symétries.

Polynômes réciproquesForme de JordanMatrices de symétries

5 parties · 21 questions3 heures

2025MPMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2025

Inégalités de Khintchine — comparaison des normes $L^p$ pour des combinaisons linéaires de variables de Rademacher : inégalité de Hölder, inégalité de déviation gaussienne (méthode de Chernoff), borne supérieure et inférieure sur les moments d'ordre $p$ , équivalence de toutes les normes $\|\cdot\|_p$ sur l'espace engendré, et construction d'un sous-espace de dimension $k$ de $\mathbb{R}^{2^k}$ sur lequel $\|\cdot\|_1\sim\sqrt{n}\,\|\cdot\|_2$ .

Variables de RademacherInégalité de HölderInégalité de Young+9

5 parties · 21 questions3 heures

2025PCMines-PontsCorrigé

Mathématiques 1 — PC · 2025

Matrices complexes semblables à leur inverse : polynômes réciproques (sujet en cinq parties).

parties · questions3 heures

2025PCMines-PontsCorrigé

Mathématiques 2 — PC · 2025

Étude des séries congruo-harmoniques alternées $u_k = (-1)^k/(pk+q)$ : convergence par le critère de Leibniz, représentation intégrale $S_{p,q} = \int_0^1 t^{q-1}/(1+t^p)\,dt$ , formules fermées dans trois cas (p=q, p|q, p>q) via décomposition en éléments simples, calculs de probabilités sur les paramètres, vitesse de convergence infra-linéaire.

Séries alternées (Leibniz)Intégrales à paramètreConvergence dominée+4

4 parties · 24 questions4 heures

🏆 Centrale-Supélec

Annales Centrale-Supélec · 18

CentraleSupélec, Centrale Lyon, Centrale Lille — sujets longs, modélisation transverse.

2025MPICentrale-SupélecCorrigé

Informatique — MPI · 2025

Rush Hour & Casse automobile. Deux problèmes indépendants : (A) Rush Hour en C — modélisation des états, file d'attente avec analyse amortie par méthode du potentiel, table de hachage en adressage ouvert avec doublement de capacité, BFS pour solution optimale ; (B) Casse automobile en OCaml — couvrir un terrain par voitures (couplage parfait dans un graphe biparti par algorithme de Hopcroft-Karp avec phases BFS+DFS), placement de camions et NP-complétude (réduction depuis Planar 3SAT via gadgets de clause/transmission/division).

C — gestion mémoire dynamiqueTableaux dynamiques — doublementFiles circulaires+7

2 parties · 38 questions4 heures

2025MPCentrale-SupélecCorrigé

Informatique (option) — MP · 2025

Meilleurs itinéraires dans un réseau ferroviaire. Quatre parties OCaml : (I) tas d'appariement (pairing heaps) — file de priorité fonctionnelle, fusion en deux passes, complexité amortie ; (II) optimums de Pareto — ordre partiel produit, élément minimal, algorithme général ; (III) éléments minimaux d'un langage régulier — automates marqués, automate des minimaux et preuve que $\min(L)$ est régulier dès que $L$ l'est ; (IV) Dijkstra-Pareto — généralisation de Dijkstra pour calculer tous les optimums de Pareto des poids de chemins, terminaison par variant et correction par invariant.

Tas d'appariement (pairing heap)File de priorité fonctionnelleOptimums de Pareto — ordre produit+7

4 parties · 42 questions4 heures

2025PCCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 1 — PC · 2025

Un principe d'incertitude matriciel : étude de l'opérateur dérivée seconde et des fonctions gaussiennes, puis définition du laplacien d'une matrice de graphe et démonstration d'une formule explicite pour la courbe d'incertitude associée à une matrice étoile.

Valeurs propresTransformée de FourierGaussiennes+5

4 parties · 35 questions4 heures

2025MPCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2025

Démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)=\sum 1/k^2$ sans calculer $\pi^2/6$ : encadrement de la fonction $\pi$ par des inégalités combinatoires, majoration du PPCM $d_n\leq 3^n$ via le théorème des nombres premiers, critère d'irrationalité par approximations rationnelles, calcul d'une intégrale double $J_{r,s}$ par séries entières et décomposition en éléments simples, enfin construction d'une suite $I_n\to 0$ à travers les polynômes de Legendre perturbés $P_n$ , forçant $p_n+\zeta(2)q_n\to 0$ pour des entiers non nuls — contradiction avec la rationalité. Conclut sur l'irrationalité de $\pi$ .

Fonction π des nombres premiersCoefficient binomial centralValuation p-adique et formule de Legendre+7

5 parties · 40 questions4 heures

2025PSICentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 1 — PSI · 2025

Conditionnement d'une matrice et applications. Le problème construit la norme subordonnée sur , en établit les propriétés (sous-multiplicativité, invariance orthogonal...

parties · questions4 heures

2025MPCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2025

Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme. Un matériau est modélisé par des particules d'orientation , soumises à un champ extérieur, à l'agitation thermique (...

parties · questions4 heures

2025PCCentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — PC · 2025

Le problème construit le théorème d'approximation de Jackson : toute fonction continue -périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques, et la vitesse d'a...

parties · questions4 heures

2025PSICentrale-SupélecCorrigé

Mathématiques 2 — PSI · 2025

Attribution d'une valeur finie à des « sommes infinies » divergentes, autour de la célèbre égalité de Ramanujan . La partie A fait apparaître deux fois la constante (v...

parties · questions4 heures

2025PCCentrale-SupélecCorrigé

Physique 1 — PC · 2025

Vitesses mécaniques et célérités des ondes. Sujet articulé autour de la distinction entre vitesse cinématique et célérité d'onde. Cinq grands thèmes : (I) effet Doppler et observations astronomiques de Jupiter ; (II) précession du périhélie de Mercure par effet relativiste ; (III) expérience de Fizeau sur l'entraînement de la lumière par un milieu en mouvement, modèle classique vs relativiste ; (IV) chant des dunes — modélisation du sable comme un système granulaire vibrant ; (V) ondes acoustiques dans l'eau — équation de Navier-Stokes linéarisée, célérité, atténuation, effet de courant. Outils : effet Doppler, mécanique céleste, relativité restreinte, lois de composition des vitesses, ondes mécaniques, Navier-Stokes.

Effet DopplerMécanique célestePrécession du périhélie+7

5 parties · 35 questions4 heures

2025PCCentrale-SupélecCorrigé

Physique 2 — PC · 2025

Laser à électrons libres (XFEL). Sept thèmes : (I) cryogénie de la cavité supraconductrice — transfert thermique stationnaire avec source Joule ; (II) cavités résonantes électromagnétiques cylindriques — modes propres TM₀₁₀, fonctions de Bessel ; (III) accélération relativiste des électrons jusqu'à γ ~ 10⁴ ; (IV) chaîne d'oscillateurs couplés représentant l'accélérateur ; (V) ondulateur — trajectoire sinusoïdale d'un électron en champ magnétique alternatif, paramètre K ; (VI) émission cohérente par interférences entre périodes de l'ondulateur ; (VII) regroupement temporel (microbunching) qui amplifie l'émission via SASE.

Transferts thermiques stationnairesCavité résonante TM₀₁₀ — BesselRelativité restreinte — γ ~ 10⁴+7

7 parties · 38 questions4 heures

2025MPICentrale-SupélecCorrigé

Physique-Chimie 1 — MPI · 2025

Enregistrement et reproduction du son. Trois problèmes indépendants : (A) microphones et oreille — capteur électrostatique à condensateur, directivité par tube à interférences, modèle ondulatoire WKB de la cochlée ; (B) haut-parleurs — électrodynamique du transducteur, équations couplées électromécaniques, sélectivité fréquentielle, filtres de Butterworth d'ordre 2 et 3, déphasage entre woofer et tweeter ; (C) disques vinyle — chimie du PVC, oxydoréduction Pd/HCO₂H, équilibres acidobasiques, géométrie du sillon vinyle.

Capteur électrostatique — capacité variableConversion électromécaniqueTube à interférences — directivité+7

3 parties · 40 questions4 heures

2025MPCentrale-SupélecCorrigé

Physique-Chimie 1 — MP · 2025

Observation et protection côtières. Trois grandes parties : (A) télédétection HF des courants marins par diffraction de Bragg sur les vagues — modèle réseau, conducteur parfait, effet Doppler ; (B) chaîne de mesure — détection synchrone, FMCW, échantillonnage et résolution spectrale ; (C) chimie de l'eau de mer — équilibres acidobasiques du CO₂ dissous, électrolyse cathodique pour protéger l'acier de la corrosion, structure cristalline du carbonate de calcium (aragonite vs calcite). Outils : électromagnétisme dans les conducteurs, optique ondulatoire (Bragg), traitement du signal (Fourier, Shannon-Nyquist), thermodynamique électrochimique (Nernst), VSEPR et cristallographie.

Diffraction par un réseau — loi de BraggConducteur parfait — réflexion HFEffet Doppler EM+8

3 parties · 45 questions4 heures

🏆 CCINP

Annales CCINP · 18

Concours commun INP — porte d'entrée vers une trentaine d'écoles d'ingénieurs.

2025MPICCINPCorrigé

Informatique — MPI · 2025

Grammaires non contextuelles, NP-complétude (bin-packing) et algorithmes de couplage. Trois parties : (I) grammaires non contextuelles G avec récursivité gauche directe — élimination de la récursivité gauche, ambiguïté, langage reconnu $\{a,b,c\}^\ast$ ; (II) bin-packing — preuve NP par certificat polynomial, NP-complétude par réduction depuis PARTITION, heuristique Premier Casier Décroissant (3/2-approximation), implémentation OCaml complète (boîtes, objets, tri décroissant) ; (III) algorithmes de couplage — Gale-Shapley (terminaison, stabilité, complexité $\mathcal O(n^2)$ , $V$ -Pareto-optimalité par caractérisation $A^\ast=\{(v,M(v))\}$ ), couplages Pareto-optimaux par graphe orienté avec circuits, P-stabilité, implémentation C complète (rang, matrices, listes d'adjacence).

Grammaire non contextuelle — récursivité gaucheAmbiguïté et arbres de dérivationNP, NP-complétude — réductions+7

3 parties · 38 questions4 heures

2025MPCCINPCorrigé

Mathématiques 1 — MP · 2025

Connexité par arcs, optimisation et théorème de comparaison série–intégrale. Trois blocs indépendants : (Ex. I) image $f'(]-1,1[)$ d'une fonction $C^1$ à valeurs dans $\mathbb R^2$ , théorème « image continue d'un connexe par arcs » et contre-exemple à $C^0$ près (oscillations $t^2\sin(1/t),t^2\cos(1/t)$ ) ; (Ex. II) minimisation d'une somme de carrés sur $\mathbb R^2$ par Hessienne et par projection orthogonale dans $\mathbb R^3$ ; (Pb) théorème de comparaison série–intégrale, séries de Bertrand $\sum 1/(n(\ln n)^\alpha)$ , constante d'Euler $\gamma$ , série de fonctions $\sum x/(n^2+x^2)$ encadrée par $\arctan$ , et contre-exemples ( $\sin(2\pi x)$ non intégrable / triangle isocèle d'aire $1/n^2$ avec $\sum f(n)$ divergente).

Connexité par arcs — image continueFonction $C^1$ à valeurs vectoriellesOptimisation $\mathbb R^2$ — point critique, Hessienne+7

3 parties · 12 questions4 heures

2025MPCCINPCorrigé

Mathématiques 2 — MP · 2025

Polynômes de Tchebychev et matrices de rang 1. Trois blocs : (Ex. 1) informatique tronc commun — Python sur graphes orientés (degré sortant maximal, graphe inverse, coloration valide, complexité $\mathcal O(N+M)$ ) et SQL ( $\mathrm{MAX}$ , jointure FILMS-LOCATIONS et $\mathrm{HAVING}$ sur $\mathrm{AVG}$ ) ; (Ex. 2) polynômes de Tchebychev de première espèce $P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ , produit scalaire à poids $1/\sqrt{1-t^2}$ , base orthonormale ; (Pb) matrices de rang 1 — Partie I : exemples ( $M=UU^T$ avec $X_i$ Bernoulli/Poisson, matrice $J$ , contre-exemple $E_{12}$ ) ; Partie II : résultats généraux $A=CL$ , $A^2=\mathrm{Tr}(A)A$ , polynôme caractéristique $X^{n-1}(X-\mathrm{Tr}(A))$ , équivalence diagonalisable ⇔ $\mathrm{Tr}(A)\ne 0$ , classification à similitude près par la trace.

Python — graphes orientés, colorationSQL — agrégats, HAVINGPolynômes de Tchebychev+7

3 parties · 25 questions4 heures

2025MPCCINPCorrigé

Physique — MP · 2025

Altimétrie spatiale et voile solaire. Trois parties : (I) mouvement d'un satellite — force centrale conservative, énergie potentielle effective $E_{p,\mathrm{eff}}=-GM_Tm/r+L_0^2/(2mr^2)$ , troisième loi de Kepler, transfert de Hohmann pour orbite cimetière ; (II) mesure du niveau des océans par radar à impulsions — filtre adapté avec enveloppe triangulaire $\Lambda$ , compression d'impulsion (chirp linéaire avec sinc, gain $\Delta d_{\min}=c/(2B)$ ), traversée de l'ionosphère (plasma à conductivité $\gamma=-i\varepsilon_0\omega_p^2/\omega$ , relation de dispersion $k^2=(\omega^2-\omega_p^2)/c^2$ , filtre passe-haut, correction ionosphérique bi-fréquence ~5 cm) ; (III) voile solaire — pression de radiation $P_m=2I/c$ , conducteur parfait, manœuvre énergétique optimale, simulation numérique en Python par Euler explicite (recherche d'angle $\varphi$ optimal, vitesse de libération $\sqrt{2GM_T/r}$ ).

Force centrale conservative — KeplerÉnergie potentielle effectiveTransfert de Hohmann+8

3 parties · 52 questions4 heures

2025MPCCINPCorrigé

Physique-Chimie — MP · 2025

Synchrotron SOLEIL et batterie au plomb. Deux problèmes : (I) Synchrotron SOLEIL — accélération des électrons par champ électrostatique puis Linac, mécanique relativiste $E_c=(\gamma-1)m_ec^2$ , sections efficaces, éléments magnétiques (dipôles, quadrupôles QF/QD pour focalisation, sextupôles), rayonnement dipolaire électrique avec polarisation et anisotropie en $\sin^2\theta$ , rayonnement synchrotron très directif avec demi-angle $\theta'\sim 1/\gamma$ pour électrons ultrarelativistes, spectroscopie d'absorption par interféromètre de Michelson en lame d'air ; (II) Batterie au plomb — composition isotopique, cristal CFC, électrochimie PbO $_2$ /PbSO $_4$ /Pb, fém ~2,1 V, capacité 40 A·h, courbes intensité-potentiel, dégradation par oxydation à la recharge.