Corrigé X / ENS 2025 — Mathématiques A MPI
Théorème de décomposition de Jordan pour endomorphismes nilpotents via les polynômes de Laurent et l'endomorphisme de produit par X. Version graduée en présence d'un automorphisme h d'ordre fini, et application à la classification des couples de matrices rectangulaires (A,B) à équivalence simultanée.
En bref
Le sujet X / ENS 2025 — Mathématiques A filière MPI est une épreuve de 4 heures composée de 18 questions réparties en 6 parties, centrée sur Endomorphismes diagonalisables et restriction à un sous-espace stable, Invariants δ_k par similitude (caractérisation des tailles de blocs de Jordan), Polynômes de Laurent C[X^±1] et endomorphisme ξ. Difficulté : Très élevée. Corrigé détaillé gratuit, rédigé par d'anciens élèves de Polytechnique, Mines Paris et CentraleSupélec, avec aide pédagogique « Comment avoir l'idée » pour chaque question.
Aperçu du corrigé Majorant
Ce que tu vas travailler dans ce sujet
Le corrigé détaillé traite les 18 questions en 6 parties. Voici les parties qui structurent le travail :
- 1Partie I Questions préliminaires
- 2Partie II Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent
- 3Partie III Prolongements compatibles
- 4Partie IV Théorème de décomposition pour les nilpotents
- 5Partie V Version « graduée » du théorème
- 6Partie VI Classification des couples de matrices rectangulaires
Commence par identifier la partie qui te résiste, cherche une première piste dans l'énoncé, puis ouvre le corrigé pour retrouver le raisonnement complet et l'aide « Comment avoir l'idée ».
De admissible à admis — prépare tes oraux.
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À propos de ce sujet
Le sujet X / ENS 2025 Mathématiques A filière MPI comporte 18 questions réparties en 6 parties pour une durée de 4 heures.
Théorème de décomposition de Jordan pour endomorphismes nilpotents via les polynômes de Laurent et l'endomorphisme de produit par X. Version graduée en présence d'un automorphisme h d'ordre fini, et application à la classification des couples de matrices rectangulaires (A,B) à équivalence simultanée.
Thèmes abordés
Ce sujet de mathématiques a couvre les notions suivantes : Endomorphismes diagonalisables et restriction à un sous-espace stable, Invariants δ_k par similitude (caractérisation des tailles de blocs de Jordan), Polynômes de Laurent C[X^±1] et endomorphisme ξ, Sous-espaces cycliques et matrices J_r, Prolongements compatibles d'applications linéaires, Théorème de Jordan : existence et unicité, Version graduée : automorphisme h avec huh⁻¹ = ζu, Symétrisation par moyenne sur le groupe cyclique, Couples (u₁:V₁→V₂, u₂:V₂→V₃) et formes normales, Classification des couples (A,B) à équivalence simultanée, Symétrie spectrale induite par l'involution H = diag(I_m,-I_n).
Corrigé rédigé par Majorant
La proposition de corrigé disponible sur cette page a été rédigée par les mentors Majorant — anciens élèves de Mines Paris, Polytechnique et CentraleSupélec. Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MPI.
Se faire accompagner sur cette épreuve
Nos mentors ont passé les mêmes concours en filière MPI et reprennent ce type de sujet en tête-à-tête : Cours particuliers de mathématiques en MPI · Cours particuliers de mathématiques en prépa scientifique. Pour une reprise encadrée sur cinq jours pendant les vacances, le stage intensif MPI travaille les chapitres sur lesquels ce type de sujet tombe.
Questions fréquentes sur ce sujet
Quels chapitres réviser pour le sujet X / ENS Mathématiques A MPI 2025 ?+
Le sujet X / ENS 2025 Mathématiques A en filière MPI mobilise principalement : Endomorphismes diagonalisables et restriction à un sous-espace stable, Invariants δ_k par similitude (caractérisation des tailles de blocs de Jordan), Polynômes de Laurent C[X^±1] et endomorphisme ξ, Sous-espaces cycliques et matrices J_r, Prolongements compatibles d'applications linéaires, Théorème de Jordan : existence et unicité, Version graduée : automorphisme h avec huh⁻¹ = ζu, Symétrisation par moyenne sur le groupe cyclique, Couples (u₁:V₁→V₂, u₂:V₂→V₃) et formes normales, Classification des couples (A,B) à équivalence simultanée, Symétrie spectrale induite par l'involution H = diag(I_m,-I_n). Ces chapitres font partie du programme officiel CPGE 2e année MPI. Pour le réviser efficacement, travaille d'abord les exercices types du cours puis enchaîne avec ce sujet d'annale en conditions réelles.
Quelle est la difficulté du sujet X / ENS Mathématiques A MPI 2025 ?+
Très élevée — concours d'élite (École Polytechnique, ENS), top 3 % des candidats CPGE. Ce sujet de Mathématiques A comporte 18 questions en 6 parties sur 4 heures, soit environ 13 minutes par question en moyenne. La progressivité (parties indépendantes ou enchaînées) est précisée dans le corrigé Majorant.
Combien de temps faut-il pour traiter le sujet X / ENS Mathématiques A MPI 2025 ?+
La durée officielle de l'épreuve Mathématiques A au concours X / ENS est de 4 heures. Avec 18 questions réparties en 6 parties, vise un rythme moyen de 13 minutes par question en conditions de concours. Pour un premier passage en autonomie, prévois 1,5× le temps officiel afin de bien comprendre les enjeux de chaque question.
Qui a rédigé le corrigé du sujet X / ENS Mathématiques A MPI 2025 ?+
Le corrigé Majorant a été rédigé par les mentors de l'équipe pédagogique : Tom L. (École Polytechnique), Ethan H. (Mines Paris — PSL) et Camille L. (CentraleSupélec). Chaque question est accompagnée d'une aide pédagogique « Comment avoir l'idée » et d'une démonstration rigoureuse conforme au programme officiel de la filière MPI. Accès gratuit sur https://www.majorant.net/ressources-concours/mpi/x/2025-maths-a.