Ensembles

Un ensemble $E$ est une collection d'objets, appelés ses éléments. Si $x$ est un élément de $E$, on écrit $x\in E$ (« $x$ appartient à $E$ »). Dans le cas contraire, on note $x\notin E$.

Un ensemble est entièrement déterminé par ses éléments : deux ensembles ayant exactement les mêmes éléments sont égaux.

On dit que $A$ est inclus dans $B$, et on note $A\subset B$ (ou $A\subseteq B$), si tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$ :

On dit alors que $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $B$. La négation s'écrit $A\not\subset B$ : $\exists x\in A,x\notin B$.

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, et on note $A=B$, si :

C'est le principe de double inclusion, méthode universelle pour prouver une égalité d'ensembles.

On dit que l'inclusion est stricte, notée $A⊊B$ (ou $A\subset B$ avec $A\ne B$), si $A\subset B$ et $A\ne B$, c'est-à-dire si $\exists x\in B,x\notin A$.

L'ensemble vide, noté $\varnothing$ (ou $\{\}$), est l'ensemble qui ne contient aucun élément : $\forall x,x\notin \varnothing$. Propriété fondamentale : $\varnothing \subset E$ pour tout ensemble $E$ (l'inclusion est vraie par vacuité de l'hypothèse).

Un singleton est un ensemble à un seul élément, noté $\{a\}$. $E$ est fini s'il existe $n\in \mathbb{N}$ et une bijection entre $E$ et $\{1,\dots ,n\}$ ; $n$ est alors le cardinal de $E$, noté $|E|$, $\mathrm{Card}(E)$ ou $\#E$. Par convention $|\varnothing |=0$. Sinon, $E$ est dit infini.

Soit $E$ un ensemble. L'ensemble des parties de $E$, noté $\mathcal{P}(E)$, est l'ensemble dont les éléments sont les sous-ensembles de $E$ :

Ainsi $A\in \mathcal{P}(E)⟺A\subset E$. On a toujours $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ et $E\in \mathcal{P}(E)$.

L'intersection de $A$ et $B$, notée $A\cap B$, est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$ :

Deux parties $A$ et $B$ sont dites disjointes si $A\cap B=\varnothing$.

L'union (ou réunion) de $A$ et $B$, notée $A\cup B$, est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (au sens du « ou » inclusif, c'est-à-dire éventuellement aux deux) :

La différence $A\setminus B$ (parfois notée $A-B$) est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ :

Attention : $A\setminus B$ n'est défini que si $B\subset A$ n'est pas requis — on peut soustraire un $B$ qui dépasse de $A$, les éléments en trop sont simplement ignorés.

La différence symétrique de $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ mais pas aux deux (« ou » exclusif) :

Soit $A$ une partie de $E$. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ :

On note aussi $A^c$ ou $\bar{A}$ lorsque l'ensemble de référence $E$ est sans ambiguïté.

Étant donnés deux ensembles $A$ et $B$, un couple est une paire ordonnée $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$. L'égalité de couples est définie par :

Le produit cartésien de $A$ et $B$, noté $A\times B$, est l'ensemble de tous les couples :

Plus généralement, $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$ est l'ensemble des n-uplets $(x_1,\dots ,x_n)$ avec $x_i\in A_i$. Quand $A_1=\cdots =A_n=A$, on note $A^n=A\times \cdots \times A$.

Une partition d'un ensemble $E$ est une famille $(A_i{)}_{i\in I}$ de parties de $E$ telles que :

1. Chaque $A_i$ est non vide : $\forall i\in I,A_i\ne \varnothing$.
2. Disjonction deux à deux : $\forall i\ne j,A_i\cap A_j=\varnothing$.
3. Recouvrement : $\bigcup _{i\in I}{A}_i=E$.

Si l'on omet la condition de non-vacuité, on parle plus généralement d'un recouvrement disjoint.