Isométries vectorielles

Vue d'ensemble

Les isométries vectorielles sont les applications linéaires qui préservent les distances : si tu fais agir une isométrie sur l'espace, deux points qui étaient distants de $d$ le sont toujours après transformation. Cela paraît anodin, mais c'est la clé d'un édifice immense : rotations, symétries, matrices orthogonales, groupe orthogonal $O_{n} (R)$ , classification des isométries du plan et de l'espace. Cette fiche regroupe les 7 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points.

Au programme MPSI (officiel) — Espaces préhilbertiens réels : produit scalaire, norme, bases orthonormées. Endomorphismes orthogonaux d'un espace euclidien : caractérisations, matrices orthogonales, groupes

O_{n} (R)

SO_{n} (R)

. Classification des isométries vectorielles du plan (rotation, réflexion) et description des isométries de l'espace en dimension 3.

Prérequis

Produit scalaire $⟨ x, y ⟩$ et norme associée $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ sur un espace préhilbertien réel
Bases orthonormées, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité de polarisation
Algèbre linéaire en dimension finie : matrice d'une application linéaire dans une base, déterminant, matrice de passage

🎯 Accompagnement Majorant

Tu confonds isométrie, matrice orthogonale et changement de base ? C'est le noeud qui bloque la moitié des MPSI sur ce chapitre. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te démontent la triple équivalence (norme ⇔ produit scalaire ⇔ base orthonormée vers base orthonormée) sur des exos tirés de tes DS.

Trouver un mentor MPSI →

1. Définitions essentielles

Dans toute la fiche, $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ désigne un espace préhilbertien réel, et la norme associée est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ . On dira espace euclidien lorsque $E$ est de plus de dimension finie.

Définition 1.1 — Isométrie vectorielle

Un endomorphisme $f : E \to E$ est une isométrie vectorielle (ou endomorphisme orthogonal) s'il conserve la norme :

\forall x \in E, ∥ f (x) ∥ = ∥ x ∥.

On note $O (E)$ l'ensemble des isométries de $E$ . Lorsque $E$ est euclidien de dimension $n$ , c'est le groupe orthogonal de $E$ .

Définition 1.2 — Matrice orthogonale

Une matrice $P \in M_{n} (R)$ est orthogonale si :

P^{T} P = P P^{T} = I_{n},

c'est-à-dire $P^{T} = P^{- 1}$ . On note $O_{n} (R)$ l'ensemble des matrices orthogonales d'ordre $n$ .

Définition 1.3 — Groupes orthogonal et spécial orthogonal

$O_{n} (R) = {P \in M_{n} (R) ∣ P^{T} P = I_{n}}$ est le groupe orthogonal.
$SO_{n} (R) = {P \in O_{n} (R) ∣ det (P) = 1}$ est le groupe spécial orthogonal (ou groupe des rotations).

Les éléments de $SO_{n} (R)$ sont appelés isométries directes ; ceux de $O_{n} (R) ∖ SO_{n} (R)$ (déterminant $- 1$ ) sont les isométries indirectes.

Définition 1.4 — Rotation vectorielle du plan

Soit $E$ un plan euclidien orienté. La rotation d'angle $θ \in R$ est l'endomorphisme $r_{θ}$ dont la matrice dans toute base orthonormée directe est :

R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) .

On a $det (R_{θ}) = 1$ et $R_{θ} \in SO_{2} (R)$ .

Définition 1.5 — Réflexion (symétrie axiale)

Soit $D$ une droite vectorielle de $E$ (plan euclidien). La réflexion d'axe $D$ est l'endomorphisme $s_{D}$ tel que $s_{D} (x) = x$ pour $x \in D$ et $s_{D} (x) = - x$ pour $x \in D^{⊥}$ . Sa matrice dans une base orthonormée $(e_{1}, e_{2})$ avec $e_{1}$ sur $D$ est $diag (1, - 1)$ ; on a $det (s_{D}) = - 1$ .

Définition 1.6 — Rotation vectorielle de l'espace

Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension 3. La rotation d'axe $D$ (droite orientée) et d'angle $θ$ est l'endomorphisme qui fixe $D$ point par point et agit comme la rotation d'angle $θ$ dans le plan $D^{⊥}$ (orienté par le vecteur directeur de $D$ ). Sa matrice dans une base orthonormée directe adaptée $(u, v, w)$ avec $u$ dirigeant $D$ est :

100 0 cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ .

⚠ Piège #1 du chapitre — conserver la norme $\neq =$ être linéaire. Dans la définition d'isométrie vectorielle, on suppose que

f

est déjà un endomorphisme (donc linéaire). La conservation de la norme seule ne suffit pas à caractériser une application linéaire (penser aux isométries affines : translations, etc.). En MPSI, le mot isométrie sans précision sous-entend vectorielle, donc linéaire. Quand un énoncé écrit « soit

f

une isométrie de

E

», tu peux directement utiliser

f (x + y) = f (x) + f (y)

f (λ x) = λ f (x)

2. Caractérisations équivalentes d'une isométrie

Le coeur du chapitre, ce sont les trois manières équivalentes de définir une isométrie. C'est elles qu'on utilise en pratique selon le contexte (parfois la norme est plus facile à manipuler, parfois le produit scalaire, parfois la base orthonormée).

Théorème 2.1 — Triple équivalence ★ À savoir démontrer

Soit $E$ un espace euclidien et $f \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est une isométrie : $\forall x \in E, ∥ f (x) ∥ = ∥ x ∥$ .
$f$ conserve le produit scalaire : $\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), f (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ .
L'image par $f$ d'une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée.

Démonstration (chaîne 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1, par polarisation)

1 ⇒ 2. Identité de polarisation : pour tous $x, y \in E$ ,

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) .

Comme $f$ est linéaire, $f (x + y) = f (x) + f (y)$ . En appliquant l'identité à $f (x)$ et $f (y)$ puis en utilisant $∥ f (u) ∥ = ∥ u ∥$ pour $u \in {x, y, x + y}$ , on obtient $⟨ f (x), f (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ .

2 ⇒ 3. Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . Alors $⟨ f (e_{i}), f (e_{j})⟩ = ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{ij}$ , donc la famille $(f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ est orthonormée. Étant de cardinal $n = dim E$ , c'est une base orthonormée.

3 ⇒ 1. Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée envoyée par $f$ sur la base orthonormée $(f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ . Pour $x = \sum_{i} x_{i} e_{i}$ , la linéarité donne $f (x) = \sum_{i} x_{i} f (e_{i})$ . Le calcul de la norme par Pythagore (dans une base orthonormée) donne :

∥ f (x) ∥^{2} = i = 1 \sum n x_{i}^{2} = ∥ x ∥^{2},

donc $∥ f (x) ∥ = ∥ x ∥$ . $□$

📝 Identité de polarisation — l'outil de base. Sur un préhilbertien réel,

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) .

Cette identité est la passerelle universelle entre norme et produit scalaire : dès qu'un énoncé te donne une info sur la norme, polarise pour obtenir une info sur le produit scalaire.

Proposition 2.2 — Une isométrie est un automorphisme

Toute isométrie $f$ d'un espace euclidien $E$ est bijective (c'est un automorphisme orthogonal), et son inverse $f^{- 1}$ est encore une isométrie.

Preuve rapide : si $f (x) = 0$ , alors $∥ x ∥ = ∥ f (x) ∥ = 0$ , donc $x = 0$ . $f$ est injective ; en dimension finie, injective $\Rightarrow$ bijective. Pour $f^{- 1}$ : $∥ f^{- 1} (y) ∥ = ∥ f (f^{- 1} (y)) ∥ = ∥ y ∥$ . $□$

Proposition 2.3 — Caractérisation matricielle

Soit $f \in L (E)$ de matrice $A$ dans une base orthonormée. Alors :

f est une isom \overset{e}{ˊ} trie ⟺ A \in O_{n} (R) ⟺ A^{T} A = I_{n} .

En particulier, les colonnes (et les lignes) de $A$ forment une base orthonormée de $R^{n}$ muni du produit scalaire canonique.

📐 Méthode-type — Vérifier qu'une matrice est orthogonale. Trois approches selon ce qui est le plus rapide :

Calcul direct. Calculer $A^{T} A$ et vérifier que c'est $I_{n}$ . Recommandé pour $n = 2, 3$ ou matrice creuse.
Lecture des colonnes. Vérifier que les colonnes sont deux à deux orthogonales et de norme 1 (idem pour les lignes). Souvent plus rapide visuellement.
Reconnaître une forme canonique. Matrice de rotation $R_{θ}$ , matrice de symétrie diagonale par blocs, matrice de permutation $\dots$ — si tu reconnais la forme, c'est immédiat.

Bonus : une fois

A

orthogonale, calcule

det (A) = \pm 1

pour savoir si l'isométrie est directe ou indirecte — c'est gratuit et c'est ce que demandent les concours.

3. Groupe orthogonal — déterminant ±1

Théorème 3.1 — Structure de groupe

$(O_{n} (R), \times)$ est un sous-groupe de $GL_{n} (R)$ :

$I_{n} \in O_{n} (R)$ .
Si $P, Q \in O_{n} (R)$ , alors $P Q \in O_{n} (R)$ (la composée de deux isométries est une isométrie).
Si $P \in O_{n} (R)$ , alors $P^{- 1} = P^{T} \in O_{n} (R)$ .

De plus, $SO_{n} (R)$ est un sous-groupe de $O_{n} (R)$ (noyau de $det : O_{n} \to {- 1, + 1}$ ).

Théorème 3.2 — Déterminant d'une matrice orthogonale ★ À savoir démontrer

Si $P \in O_{n} (R)$ , alors $det (P) \in {- 1, + 1}$ .

Démonstration (calcul direct via

det (P^{T}) = det (P)

)

Soit $P \in O_{n} (R)$ . Par définition, $P^{T} P = I_{n}$ . En passant au déterminant :

det (P^{T} P) = det (P^{T}) \cdot det (P) = det (I_{n}) = 1.

Or $det (P^{T}) = det (P)$ (propriété générale du déterminant). Donc :

det (P)^{2} = 1 ⟹ det (P) = \pm 1. □

⚠ Piège — la réciproque est FAUSSE.

det (P) = \pm 1

n'implique pas que

P

est orthogonale. Contre-exemple :

P = (20 0 1/2)

, on a

det (P) = 1

mais

P^{T} P = diag (4, 1/4) \neq = I_{2}

. La condition

det = \pm 1

est nécessaire mais pas suffisante. Pour conclure qu'une matrice est orthogonale, il faut TOUJOURS revenir à

P^{T} P = I_{n}

(ou à l'orthonormalité des colonnes).

Proposition 3.3 — Conservation des angles

Soit $f$ une isométrie de $E$ euclidien. Pour tous vecteurs non nuls $x, y$ :

(f (x), f (y)) = (x, y),

au sens où le cosinus de l'angle non orienté est préservé : $\frac{⟨ f ( x ) , f ( y )⟩}{∥ f ( x ) ∥ \cdot ∥ f ( y ) ∥} = \frac{⟨ x , y ⟩}{∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥}$ . Les isométries directes ( $det = 1$ ) préservent en outre l'orientation de l'angle ; les isométries indirectes l'inversent.

🧑‍🏫 Décortique la triple équivalence

La démo de la triple équivalence (norme ⇔ produit scalaire ⇔ base orthonormée) est LA démo classique de khôlle MPSI sur ce chapitre. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X-ENS, tu maîtrises les trois sens, l'identité de polarisation et les pièges classiques. Format khôlle blanche + correction commentée.

Réserver une séance ciblée →

4. Classification des isométries du plan ℝ²

En dimension 2, le déterminant $\pm 1$ suffit à tout classer : il y a exactement deux types d'isométries, les rotations et les réflexions.

Théorème 4.1 — Classification des isométries du plan ★ À savoir démontrer

Soit $E$ un plan euclidien orienté et $f$ une isométrie de $E$ de matrice $A$ dans une base orthonormée directe. Alors :

Si $det (A) = + 1$ : $f$ est une rotation, et il existe un unique $θ \in R /2 π Z$ tel que $A = R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) .$
Si $det (A) = - 1$ : $f$ est une réflexion par rapport à une droite vectorielle $D$ passant par l'origine, et sa matrice est de la forme $A = (cos θ sin θ sin θ - cos θ) pour un certain θ .$

Démonstration (paramétrage par les colonnes orthonormées)

Soit $A = (a b c d) \in O_{2} (R)$ . La première colonne $(a, b)$ est de norme 1, donc il existe $θ \in R$ tel que $a = cos θ$ et $b = sin θ$ . La seconde colonne $(c, d)$ est de norme 1 et orthogonale à la première, donc elle vaut $\pm (- sin θ, cos θ)$ .

Cas 1 : $(c, d) = (- sin θ, cos θ)$ . On obtient $A = R_{θ}$ avec $det (A) = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ : $f$ est la rotation d'angle $θ$ .

Cas 2 : $(c, d) = (sin θ, - cos θ)$ . On obtient $A = (cos θ sin θ sin θ - cos θ)$ avec $det (A) = - cos^{2} θ - sin^{2} θ = - 1$ . La matrice est symétrique, donc $f$ est diagonalisable en base orthonormée à valeurs propres $+ 1$ et $- 1$ : c'est la réflexion par rapport à la droite engendrée par le vecteur propre associé à $+ 1$ (droite d'angle $θ /2$ avec $e_{1}$ ). $□$

💡 Exemple canonique — Composition de deux réflexions. Soient

s_{D_{1}}

s_{D_{2}}

deux réflexions d'axes respectifs

D_{1}

D_{2}

faisant un angle

α

. Alors

s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}

est une rotation d'angle

2 α

. En particulier, deux réflexions par rapport à des axes perpendiculaires composent en la rotation d'angle

π

(homothétie de rapport

- 1

). C'est l'argument fondamental qui prouve que toute isométrie du plan se décompose en au plus 2 réflexions.

Proposition 4.2 — Groupe cyclique des rotations

L'ensemble ${R_{2 k π / n} ∣ k = 0, 1, \dots, n - 1}$ des rotations d'angle $2 k π / n$ forme un sous-groupe cyclique de $SO_{2} (R)$ isomorphe à $Z / n Z$ ; c'est le groupe des symétries de rotation du polygone régulier à $n$ côtés centré en $O$ .

Plus généralement, l'application $θ \in R /2 π Z ⟼ R_{θ} \in SO_{2} (R)$ est un isomorphisme de groupes : $SO_{2} (R)$ est commutatif, isomorphe au cercle unité $U$ de $C$ .

⚠ Piège — $SO_{n}$ commutatif uniquement pour $n = 2$ . En dimension 2, deux rotations commutent toujours :

R_{θ} R_{φ} = R_{θ + φ} = R_{φ} R_{θ}

. Ce n'est plus vrai en dimension 3 : deux rotations d'axes différents ne commutent en général PAS (essaie avec un livre que tu tournes selon deux axes consécutifs). En conséquence,

SO_{3} (R)

est non-abélien. À retenir absolument.

5. Isométries de l'espace ℝ³

En dimension 3, le déterminant $\pm 1$ ne suffit plus pour tout classer, mais on a une description complète selon le signe et la structure des sous-espaces propres.

Théorème 5.1 — Isométries directes de l'espace

Soit $f$ une isométrie directe de $R^{3}$ euclidien orienté ( $det (f) = 1$ ), différente de l'identité. Alors $f$ est une rotation : il existe une droite $D$ (axe) et un angle $θ \neq = 0 (mod 2 π)$ tels que $f$ fixe $D$ point par point et agit comme la rotation d'angle $θ$ dans le plan $D^{⊥}$ .

Caractérisation pratique : l'axe $D$ est l'ensemble des vecteurs fixes $ker (f - id)$ , et l'angle $θ$ vérifie :

tr (f) = 1 + 2 cos θ .

Théorème 5.2 — Isométries indirectes de l'espace

Soit $f$ une isométrie indirecte de $R^{3}$ ( $det (f) = - 1$ ). Alors $f$ est de l'une des trois formes suivantes :

Réflexion par rapport à un plan $P$ passant par $O$ (cas $θ = 0$ dans la décomposition).
Symétrie centrale par rapport à $O$ : $f = - id$ (cas $θ = π$ ).
Antirotation : composée d'une rotation d'axe $D$ et angle $θ \in] 0, π [$ avec la réflexion par rapport au plan $D^{⊥}$ . Cas générique.

📐 Méthode-type — Reconnaître une isométrie de l'espace à partir de sa matrice $A$ .

Vérifier orthogonalité. Calculer $A^{T} A$ et vérifier $= I_{3}$ .
Calculer $det (A)$ .
- Si $det (A) = + 1$ : isométrie directe, donc rotation.
- Si $det (A) = - 1$ : isométrie indirecte (réflexion, symétrie centrale ou antirotation).
Trouver l'axe (cas $det = 1$ ). Résoudre $A X = X$ , c'est-à-dire calculer $ker (A - I_{3})$ . C'est une droite $D = Vect (u)$ avec $∥ u ∥ = 1$ (à choisir).
Calculer l'angle. Utiliser $tr (A) = 1 + 2 cos θ$ , d'où $cos θ = (tr (A) - 1) /2$ . Pour le signe de $sin θ$ , on regarde l'orientation : par exemple, pour un vecteur $v \in D^{⊥}$ , calculer $det (u, v, f (v))$ qui a le signe de $sin θ$ .

Cette méthode se reproduit identiquement en spé sur la réduction des endomorphismes orthogonaux. Apprends-la maintenant, tu la rentabilises 2 ans.

💡 Exemple — Reconnaître la matrice $A = \frac{1}{3} - 1 22 2 - 1 2 22 - 1$ . On vérifie que

A^{T} = A

et que les colonnes sont orthonormées (chaque colonne a pour norme

(1 + 4 + 4) /9 = 1

, et le produit scalaire de deux colonnes vaut

(- 2 - 2 + 4) /9 = 0

). Donc

A \in O_{3} (R)

. On calcule

tr (A) = - 1

, donc

cos θ = (- 1 - 1) /2 = - 1

, soit

θ = π

. Et

det (A) = 1

(calcul direct). C'est donc le retournement d'axe $Vect (1, 1, 1)$ et d'angle $π$ , c'est-à-dire la symétrie par rapport à cette droite.

📝 Lien avec le programme spé. En MP/PC/PSI, on démontrera ce théorème de classification proprement via la réduction des endomorphismes orthogonaux : tout élément de

O_{n} (R)

est semblable, dans une base orthonormée bien choisie, à une matrice diagonale par blocs avec des

\pm 1

et des blocs

R_{θ_{k}}

de rotation planaire. En MPSI, on s'en tient à

n = 2

n = 3

, mais le mécanisme est déjà là.

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des isométries. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre $det = \pm 1$ et matrice orthogonale.

det (P) = \pm 1

est une condition nécessaire mais pas suffisante. Une matrice

diag (2, 1/2)

a déterminant 1 mais n'est pas orthogonale. Pour démontrer qu'une matrice est orthogonale, reviens TOUJOURS à

P^{T} P = I_{n}

ou à l'orthonormalité des colonnes.

⚠ Erreur 2 — Croire que la matrice d'une isométrie est orthogonale dans toute base. FAUX. La matrice de

f

est orthogonale uniquement dans une base orthonormée. Dans une base quelconque, la matrice peut avoir n'importe quel déterminant. Quand on parle de matrice orthogonale d'une isométrie, c'est toujours implicitement « dans une base orthonormée ».

⚠ Erreur 3 — Oublier la linéarité dans la définition. Une isométrie vectorielle est par définition un endomorphisme, donc linéaire. Quand on démontre une propriété (ex : conservation du produit scalaire), on a le droit d'utiliser

f (λ x + μ y) = λ f (x) + μ f (y)

. En revanche, conserver la norme seule ne suffit pas à prouver la linéarité — c'est un théorème non trivial (en français, dit de Mazur-Ulam, hors-programme MPSI).

⚠ Erreur 4 — Calculer l'angle d'une rotation 3D avec un mauvais signe de sinus.

cos θ = (tr (A) - 1) /2

donne le cosinus, donc

θ

au signe près. Pour le signe, il FAUT regarder l'orientation : prendre un vecteur

v

orthogonal à l'axe, calculer

f (v)

et le déterminant

det (u, v, f (v))

où

u

dirige l'axe (norme 1, orienté par convention) ; ce déterminant a le signe de

sin θ

. Beaucoup d'élèves donnent un angle « à

\pm

près » alors qu'on attend l'angle orienté précis.

⚠ Erreur 5 — Croire que $SO_{3}$ est commutatif. En dimension 2, le groupe

SO_{2} (R)

est commutatif (

R_{θ} R_{φ} = R_{θ + φ}

). En dimension 3, NON : deux rotations d'axes distincts ne commutent en général pas. C'est une faute conceptuelle classique en composition d'isométries. Ne dis JAMAIS « par commutativité du groupe orthogonal » sans préciser la dimension.

7. Pour aller plus loin

Le chapitre des isométries est le pont entre l'algèbre linéaire et la géométrie. Les chapitres qui le réinvestissent directement :

Espaces euclidiens (MP/PC/PSI) — Réduction des endomorphismes orthogonaux : tout élément de $O_{n} (R)$ est diagonalisable par blocs en base orthonormée, avec des blocs $\pm 1$ et des blocs de rotation $R_{θ_{k}}$ .
Endomorphismes symétriques (spé) — Théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée. L'analogue « adjoint = inverse » devient « adjoint = lui-même ».
Géométrie affine et coniques — Les isométries affines (translations + isométries vectorielles) classifient les figures à symétrie : rosaces, frises, pavages du plan.
Mécanique du solide (sup et spé physique) — Les rotations $SO_{3}$ décrivent les changements de repère d'un solide indéformable ; la matrice d'inertie est diagonalisée en base orthonormée principale.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu donner les trois caractérisations équivalentes d'une isométrie (norme, produit scalaire, base orthonormée vers base orthonormée) ?
Sais-tu démontrer cette triple équivalence en utilisant l'identité de polarisation ?
Sais-tu écrire la définition d'une matrice orthogonale ( $P^{T} P = I_{n}$ ) et caractériser via les colonnes ?
Sais-tu démontrer que $det (P) = \pm 1$ pour toute matrice orthogonale ?
Sais-tu donner le contre-exemple à la réciproque $det = \pm 1 \Rightarrow$ orthogonale ?
Connais-tu par cœur la matrice $R_{θ}$ d'une rotation du plan ?
Sais-tu démontrer la classification des isométries du plan (rotation si $det = 1$ , réflexion si $det = - 1$ ) ?
Sais-tu énoncer la classification des isométries de l'espace (rotation, réflexion, antirotation, symétrie centrale) ?
Sais-tu trouver l'axe et l'angle d'une rotation 3D à partir de sa matrice ( $ker (A - I_{3})$ et $tr (A) = 1 + 2 cos θ$ ) ?
Sais-tu reconnaître que $SO_{2}$ est commutatif mais que $SO_{3}$ ne l'est pas ?
Sais-tu montrer que la composée de deux réflexions est une rotation d'angle double de l'angle des axes ?

Démonstrations à savoir refaire

Triple équivalence des caractérisations d'une isométrie — chaîne 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1 via identité de polarisation
Déterminant d'une matrice orthogonale = ±1 — passage au déterminant dans $P^{T} P = I_{n}$
Classification des isométries du plan — paramétrage des colonnes orthonormées par $θ$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Caractérisations équivalentes d'une isométrie

3. Groupe orthogonal — déterminant ±1

4. Classification des isométries du plan ℝ²

5. Isométries de l'espace ℝ³

6. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

7. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

Tu veux aller plus loin sur ce chapitre ?