Compléments sur les séries numériques

Vue d'ensemble

Les séries de sup se contentaient des cas simples ; la MP les arme pour tout. Ce chapitre consolide les outils de comparaison (équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale) et introduit deux notions décisives : la convergence absolue (qui autorise à réorganiser et majorer sans scrupule) et les séries semi-convergentes (comme la série harmonique alternée, où l'ordre des termes compte). C'est la boîte à outils qui servira dans TOUTE l'analyse de spé — séries de fonctions, séries entières, intégrales généralisées — et un pourvoyeur d'exos dans tous les concours. Cette fiche regroupe les 5 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Compléments sur les séries numériques : convergence absolue et convergence, comparaison à une série de référence (Riemann, géométrique), règles de comparaison par équivalents et par domination pour les séries à termes positifs, règle de d'Alembert ; comparaison série-intégrale, séries de Riemann ; séries alternées et critère spécial (règle de Leibniz) ; produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes ; sommation par regroupement de termes.

Prérequis

Séries numériques de sup : convergence, séries géométrique et harmonique, reste
Comparaisons locales : équivalents, négligeabilité, développements limités
Intégration : intégrale d'une fonction continue par morceaux, monotonie

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1. Convergence absolue

Définition 1.1 — Convergence absolue

La série $\sum u_{n}$ (à termes réels ou complexes) est absolument convergente si la série des modules $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge. Elle est semi-convergente si elle converge sans être absolument convergente.

Définition 1.2 — Somme partielle, reste, nature

La somme partielle d'ordre $N$ est $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ ; la série $\sum u_{n}$ converge si $(S_{N})$ converge, et sa somme est $S = lim S_{N}$ . Pour une série convergente, le reste $R_{N} = S - S_{N} = \sum_{n > N} u_{n} \to 0$ . Étudier la nature d'une série, c'est déterminer si elle converge ou diverge.

Théorème 1.3 — Convergence absolue ⟹ convergence ★ À savoir démontrer

Toute série absolument convergente est convergente, et $∣ \sum_{n} u_{n} ∣ \leq \sum_{n} ∣ u_{n} ∣$ .

Démonstration (parties positive et négative, ou critère de Cauchy)

Cas réel. Décomposons $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}$ avec les parties positive $u_{n}^{+} = max (u_{n}, 0)$ et négative $u_{n}^{-} = max (- u_{n}, 0)$ . On a $0 \leq u_{n}^{+} \leq ∣ u_{n} ∣$ et $0 \leq u_{n}^{-} \leq ∣ u_{n} ∣$ . Comme $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_{n}^{+}$ et $\sum u_{n}^{-}$ convergent. Donc $\sum u_{n} = \sum u_{n}^{+} - \sum u_{n}^{-}$ converge (différence de séries convergentes).

Cas complexe : appliquer le résultat réel aux parties réelle et imaginaire ( $∣ Re u_{n} ∣ \leq ∣ u_{n} ∣$ , $∣ Im u_{n} ∣ \leq ∣ u_{n} ∣$ ). L'inégalité $∣ \sum u_{n} ∣ \leq \sum ∣ u_{n} ∣$ résulte de l'inégalité triangulaire, passée à la limite sur les sommes partielles.

⚠ Piège — La réciproque est FAUSSE. La série harmonique alternée

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge (critère de Leibniz, section 4), mais

\sum \frac{1}{n}

diverge : elle est semi-convergente. « Converge » n'entraîne PAS « converge absolument ». C'est justement l'existence de séries semi-convergentes qui rend l'ordre des termes crucial (Riemann : on peut les réordonner pour changer la somme — culture, mais à savoir).

📝 Pourquoi l'absolue convergence est confortable. Une série absolument convergente se manipule « comme une somme finie » : on peut la majorer par

\sum ∣ u_{n} ∣

, la réorganiser sans changer la somme, faire des produits de Cauchy (section 4). Rien de tout cela n'est permis pour une série seulement semi-convergente. D'où le réflexe : chercher D'ABORD la convergence absolue.

2. Séries à termes positifs : les outils de comparaison

Théorème 2.1 — Comparaison, équivalents, domination

Pour deux séries à termes positifs $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ :

Domination : si $u_{n} \leq v_{n}$ (à partir d'un rang) et $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge (et la contraposée) ;
Équivalents : si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature ;
Négligeabilité : si $u_{n} = o (v_{n})$ et $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.

Définition 2.2 — Séries de référence

Deux familles servent de mètre-étalon :

Séries géométriques : $\sum q^{n}$ converge $⟺ ∣ q ∣ < 1$ ;
Séries de Riemann : $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge $⟺ α > 1$ (théorème 3.2). En particulier $\sum 1/ n$ (harmonique) diverge, $\sum 1/ n^{2}$ converge.

Théorème 2.3 — Règle de d'Alembert ★ À savoir démontrer

Soit $\sum u_{n}$ à termes strictement positifs telle que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ$ . Alors :

si $ℓ < 1$ : $\sum u_{n}$ converge ;
si $ℓ > 1$ : $\sum u_{n}$ diverge (grossièrement, $u_{n} \neq \to 0$ ) ;
si $ℓ = 1$ : on ne peut pas conclure (cas douteux).

Démonstration (comparaison à une géométrique)

Cas $ℓ < 1$ . Choisissons $q$ avec $ℓ < q < 1$ . Comme $u_{n + 1} / u_{n} \to ℓ < q$ , il existe $N$ tel que $\forall n \geq N, u_{n + 1} / u_{n} \leq q$ . Par récurrence, pour $n \geq N$ : $u_{n} \leq u_{N} q^{n - N} = (u_{N} q^{- N}) q^{n}$ . La série majorante $\sum q^{n}$ converge ( $q < 1$ ), donc $\sum u_{n}$ converge par domination.

Cas $ℓ > 1$ . À partir d'un rang, $u_{n + 1} / u_{n} \geq 1$ , donc $(u_{n})$ est croissante à partir de ce rang et ne tend pas vers 0 : la série diverge grossièrement.

Cas $ℓ = 1$ : les séries de Riemann $\sum 1/ n^{α}$ ont toutes un rapport $\to 1$ , et pourtant convergent ( $α > 1$ ) ou divergent ( $α \leq 1$ ) : d'Alembert est muet. C'est la limite de l'outil — passer aux équivalents ou à la comparaison série-intégrale.

📐 Méthode-type — L'arbre de décision de la nature d'une série.

Terme général → 0 ? Si $u_{n} \neq \to 0$ , la série diverge grossièrement — c'est fini. Sinon, continuer.
Signe constant (ou termes positifs) ? Si oui, appliquer les outils de comparaison : équivalent à une série de référence (Riemann, géométrique), domination, ou règle de d'Alembert si un rapport $u_{n + 1} / u_{n}$ se simplifie.
Signe variable ? Tester d'abord la convergence absolue ( $\sum ∣ u_{n} ∣$ , série à termes positifs, retour à l'étape 2). Si elle échoue et que la série est alternée avec $(a_{n})$ décroissante $\to 0$ : critère de Leibniz.
Cas douteux (d'Alembert avec $ℓ = 1$ , équivalent inefficace) : comparaison série-intégrale, ou développement asymptotique fin du terme général pour isoler la partie qui décide.

⚠ Piège — Les comparaisons exigent des termes POSITIFS. Équivalents, domination, d'Alembert : ces règles ne valent QUE pour des séries à termes positifs (ou de signe constant). Pour une série à termes de signe variable, un équivalent ne préserve PAS la nature (contre-exemple :

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \sim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n}

, or l'une converge et l'autre diverge). Passer par la convergence ABSOLUE ou le critère des séries alternées.

3. Comparaison série-intégrale et séries de Riemann

Théorème 3.1 — Comparaison série-intégrale ★ À savoir démontrer

Soit $f : [1, + \infty [\to R_{+}$ continue par morceaux, positive et décroissante. Alors la série $\sum f (n)$ et l'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature, et on a l'encadrement des sommes partielles / restes.

Démonstration (encadrement par monotonie sur chaque intervalle)

$f$ étant décroissante, pour $t \in [n, n + 1]$ : $f (n + 1) \leq f (t) \leq f (n)$ . En intégrant sur $[n, n + 1]$ :

f (n + 1) \leq \int_{n}^{n + 1} f (t) d t \leq f (n) .

En sommant de $n = 1$ à $N - 1$ , on encadre l'intégrale par les sommes partielles :

n = 2 \sum N f (n) \leq \int_{1}^{N} f (t) d t \leq n = 1 \sum N - 1 f (n) .

Comme tout est positif, la suite des sommes partielles est bornée si et seulement si les intégrales le sont : la série et l'intégrale convergent ou divergent ensemble. L'encadrement fournit en prime les équivalents des sommes partielles divergentes et des restes convergents — l'usage le plus rentable.

Corollaire 3.2 — Séries de Riemann

$\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ , car $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ . De même, $\sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{β}}$ (séries de Bertrand) se règle par comparaison à $\int \frac{d t}{t ( ln t ) ^{β}}$ : convergence $⟺ β > 1$ .

💡 Exemple — Équivalent d'une somme partielle divergente. Pour la série harmonique (

α = 1

, divergente), l'encadrement série-intégrale avec

f (t) = 1/ t

donne

ln N \leq \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \leq 1 + ln N

, d'où

\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \sim ln N

. Plus finement,

\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} = ln N + γ + o (1)

(constante d'Euler). Ce type d'équivalent est LA question de comparaison série-intégrale des concours.

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4. Séries alternées et produit de Cauchy

Définition 4.1 — Série alternée

Une série alternée est une série de la forme $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ avec $a_{n} \geq 0$ : ses termes changent de signe à chaque rang. C'est le cadre naturel des séries semi-convergentes — leur convergence tient à la compensation entre termes consécutifs, et non à la petitesse absolue des $a_{n}$ .

Théorème 4.2 — Critère spécial des séries alternées (Leibniz) ★ À savoir démontrer

Si $(a_{n})$ est une suite positive, décroissante, de limite nulle, alors la série alternée $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ converge. De plus, le reste est majoré par le premier terme négligé et du signe de ce terme : $∣ R_{n} ∣ = \sum_{k > n} (- 1)^{k} a_{k} \leq a_{n + 1}$ .

Démonstration (suites adjacentes des sommes partielles)

Notons $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} a_{k}$ . Considérons les sous-suites des rangs pairs $(S_{2 n})$ et impairs $(S_{2 n + 1})$ .

$S_{2 n + 2} - S_{2 n} = a_{2 n + 2} - a_{2 n + 1} \leq 0$ (décroissance) : $(S_{2 n})$ est décroissante. De même $S_{2 n + 3} - S_{2 n + 1} = - a_{2 n + 3} + a_{2 n + 2} \geq 0$ : $(S_{2 n + 1})$ est croissante. Enfin $S_{2 n + 1} - S_{2 n} = - a_{2 n + 1} \to 0$ . Les deux sous-suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$ , donc $(S_{n})$ converge vers $S$ .

L'adjacence donne aussi l'encadrement $S_{2 n + 1} \leq S \leq S_{2 n}$ , d'où la majoration du reste $∣ S - S_{n} ∣ \leq ∣ S_{n + 1} - S_{n} ∣ = a_{n + 1}$ , et le signe du reste est celui de $(- 1)^{n + 1}$ (premier terme négligé). C'est la majoration la plus utile en pratique (calcul approché de sommes).

Définition 4.3 — Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ est la série $\sum c_{n}$ de terme général :

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} .

Théorème : si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont ABSOLUMENT convergentes, alors $\sum c_{n}$ l'est aussi et $\sum c_{n} = (\sum a_{n}) (\sum b_{n})$ . L'absolue convergence est indispensable : le produit de Cauchy peut diverger pour des séries seulement semi-convergentes.

💡 Exemple — L'exponentielle par produit de Cauchy. Avec

a_{n} = x^{n} / n!

b_{n} = y^{n} / n!

(absolument convergentes), le terme du produit est

c_{n} = \sum_{k} \frac{x ^{k}}{k !} \frac{y ^{n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} \sum_{k} (k n) x^{k} y^{n - k} = \frac{( x + y ) ^{n}}{n !}

(binôme). D'où

e^{x} e^{y} = \sum c_{n} = e^{x + y}

: la relation fonctionnelle de l'exponentielle, redémontrée proprement. Application-vitrine du produit de Cauchy.

⚠ Piège — Leibniz exige les TROIS hypothèses. Positive, décroissante, limite nulle : les trois sont nécessaires. Oublier la décroissance est l'erreur type — la série

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} (1 + (- 1)^{n})

, non monotone en valeur absolue, ne relève pas de Leibniz malgré son allure alternée. Vérifier et ÉNONCER la décroissance de

(a_{n})

avant d'appliquer le critère.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les séries sont un terrain d'automatismes — et donc d'automatismes mal maîtrisés. Relevé des rapports (X-ENS, Mines-Ponts, Centrale, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Utiliser un équivalent sur une série à termes non positifs. «

u_{n} \sim v_{n}

donc même nature » n'est valable que pour des termes de signe constant. Pour du signe variable, revenir à la convergence absolue ou au critère des alternées. Le contre-exemple

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

doit servir de garde-fou.

⚠ Erreur 2 — Conclure avec d'Alembert dans le cas ℓ = 1.

ℓ = 1

= cas DOUTEUX : d'Alembert ne dit rien. Les séries de Riemann sont là pour le rappeler. Enchaîner sur les équivalents ou la comparaison série-intégrale.

⚠ Erreur 3 — Oublier une hypothèse de Leibniz. Positive, décroissante, tend vers 0 : les trois. La décroissance est la plus oubliée. Une série « alternée » qui ne décroît pas en valeur absolue peut diverger — vérifier les trois points systématiquement.

⚠ Erreur 4 — Faire un produit de Cauchy de séries semi-convergentes. Le produit de Cauchy exige l'ABSOLUE convergence des deux facteurs. Sans elle, le produit peut diverger. Toujours vérifier l'absolue convergence avant de multiplier deux séries.

⚠ Erreur 5 — Confondre « le terme tend vers 0 » et « la série converge ».

u_{n} \to 0

est NÉCESSAIRE mais pas suffisant (

\sum 1/ n

: terme

\to 0

, série divergente). Réciproquement, si

u_{n} \neq \to 0

, la série diverge grossièrement — ça, c'est concluant. Ne jamais conclure « converge » du seul fait que

u_{n} \to 0

6. Pour aller plus loin

Les séries numériques sont la brique de toute l'analyse de spé :

Familles sommables — la théorie qui généralise l'absolue convergence aux sommes indexées par n'importe quel ensemble (et légitime les interversions de sommes).
Séries de fonctions et séries entières — convergence normale = absolue convergence uniforme ; le rayon de convergence se calcule par d'Alembert sur les coefficients.
Intégrales généralisées — la comparaison série-intégrale fait le pont ; l'intégrabilité est l'analogue continu de l'absolue convergence.
Probabilités — l'espérance d'une variable aléatoire discrète est une série (souvent à termes positifs ou absolument convergente) : les critères de cette fiche y sont omniprésents.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir convergence absolue et semi-convergence ?
Sais-tu démontrer que l'absolue convergence entraîne la convergence (parties ±) ?
Connais-tu un exemple de série semi-convergente (harmonique alternée) ?
Sais-tu manier domination, équivalents, négligeabilité (pour des termes POSITIFS) ?
Connais-tu les séries de référence (géométrique |q| < 1, Riemann α > 1) ?
Sais-tu démontrer la règle de d'Alembert par comparaison à une géométrique, et son cas douteux ℓ = 1 ?
Sais-tu pourquoi les équivalents échouent sur les termes de signe variable ?
Sais-tu démontrer la comparaison série-intégrale et en déduire Riemann ?
Sais-tu obtenir un équivalent de somme partielle (harmonique ~ ln N) ?
Sais-tu démontrer le critère de Leibniz (sous-suites adjacentes) et majorer le reste par a_{n+1} ?
Sais-tu définir le produit de Cauchy et l'hypothèse d'absolue convergence ?
Sais-tu que u_n → 0 est nécessaire mais pas suffisant pour la convergence ?

Démonstrations à savoir refaire

Absolue convergence ⟹ convergence — parties positive/négative, comparaison
Règle de d'Alembert — comparaison à une géométrique de raison q ∈ ]ℓ, 1[
Comparaison série-intégrale — encadrement par monotonie sur [n, n+1]
Critère de Leibniz — sous-suites paires/impaires adjacentes, reste ≤ a_{n+1}

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Convergence absolue

2. Séries à termes positifs : les outils de comparaison

3. Comparaison série-intégrale et séries de Riemann

4. Séries alternées et produit de Cauchy

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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