Espaces affines

Vue d'ensemble

Les espaces affines sont la formalisation de la géométrie élémentaire : on y manipule des points (objets sans origine privilégiée) et des vecteurs (déplacements entre ces points). En MPSI, ce chapitre fait le pont entre l'algèbre linéaire (espaces vectoriels) et la géométrie classique (droites, plans, parallélisme, barycentres). Cette fiche regroupe les 9 théorèmes et propositions clés, les 4 démonstrations à savoir refaire (Chasles, unicité du barycentre, associativité, caractérisation des sous-espaces affines) et les pièges qui font perdre des points dès le DS1 de géométrie analytique.

Au programme MPSI (officiel) — Espaces affines : définition par action d'un espace vectoriel, vecteur

A B

, relation de Chasles, repère affine et coordonnées affines, sous-espace affine (SEA), direction d'un SEA, parallélisme, barycentre de

n

points pondérés, associativité du barycentre, isobarycentre, applications affines (composées d'une application linéaire et d'une translation), exemples canoniques : translations, projections, symétries, droites et plans affines.

Prérequis

Structure d'espace vectoriel sur ℝ : combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels, base, dimension
Applications linéaires : noyau, image, matrice dans une base
Géométrie élémentaire du collège/lycée : vecteurs, relation de Chasles intuitive, barycentre du parallélogramme

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1. Espace affine, points et vecteurs

Définition 1.1 — Espace affine

Soit $E$ un ℝ-espace vectoriel. Un espace affine de direction $E$ est un ensemble $E$ non vide muni d'une application $E \times E \to E, (A, B) \mapsto A B$ , telle que :

(A1) Relation de Chasles : $\forall A, B, C \in E, A B + B C = A C$ .
(A2) Liberté de l'origine : $\forall A \in E, \forall u \in E, \exists! B \in E, A B = u$ . On note alors $B = A + u$ .

Les éléments de $E$ sont les points, ceux de $E$ les vecteurs. La dimension de $E$ est par définition $dim E$ .

📝 Point versus vecteur. Un point n'a pas de coordonnées intrinsèques : pour le repérer numériquement, il faut choisir un repère (= une origine + une base). Un vecteur, lui, vit dans l'ev associé : on peut l'écrire dans n'importe quelle base sans choisir de point. Cette distinction est l'idée centrale du chapitre — confondre les deux, c'est confondre une position et un déplacement.

Proposition 1.2 — Conséquences immédiates de Chasles ★ À savoir démontrer

Pour tous points $A, B, C \in E$ :

$AA = 0$
$B A = - A B$
$A B = A C + C B$ (Chasles avec point intermédiaire libre)

Démonstration (à partir des axiomes (A1) et (A2))

Premier point. Appliquons (A1) avec $A = B = C$ : $AA + AA = AA$ , donc $AA = 0$ (on simplifie dans $E$ par soustraction).

Deuxième point. Appliquons (A1) avec $C = A$ : $A B + B A = AA = 0$ , d'où $B A = - A B$ .

Troisième point. C'est exactement (A1) écrite avec les rôles de $B$ et $C$ échangés :

A B = A C + C B .

En pratique, on retient : « $A B = A C + C B$ : on peut toujours insérer un point libre $C$ entre les deux extrémités ». C'est l'outil n°1 pour faire apparaître un point utile (l'origine, le barycentre, le milieu…) dans un calcul vectoriel.

Définition 1.3 — Action additive du groupe

(E, +)

sur

E

Pour $A \in E$ et $u \in E$ , on définit $A + u$ comme l'unique point $B$ tel que $A B = u$ (existence et unicité par (A2)). On vérifie alors :

$A + 0 = A$
$(A + u) + v = A + (u + v)$ (associativité)

Autrement dit, $(E, +)$ agit librement et transitivement sur $E$ : étant donné deux points $A, B$ , il existe un unique vecteur qui « va de $A$ à $B$ », à savoir $A B$ .

Définition 1.4 — Repère affine et coordonnées affines

Un repère affine de $E$ est un couple $R = (O; B)$ où $O \in E$ est une origine et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ (avec $n = dim E$ ). Les coordonnées affines d'un point $M \in E$ dans $R$ sont les coordonnées du vecteur $O M$ dans la base $B$ :

O M = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} ⟹ M \leftrightarrow (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Changer d'origine $O \to O^{'}$ translate toutes les coordonnées du vecteur constant $O^{'} O$ . Changer de base $B \to B^{'}$ applique la matrice de passage usuelle de l'ev associé.

⚠ Piège #1 du chapitre — confondre coordonnées affines et coordonnées vectorielles. Les coordonnées affines d'un point

M

dépendent du choix de l'origine

O

, alors que les coordonnées d'un vecteur

u

ne dépendent que de la base. Quand un énoncé impose un repère, lis-le au mot près : « coordonnées dans le repère $(O; i, j)$ » n'a pas le même sens que « coordonnées dans la base $(i, j)$ ». Beaucoup d'erreurs en début de DS viennent de là.

2. Sous-espaces affines et parallélisme

Définition 2.1 — Sous-espace affine (SEA)

Une partie $F \subset E$ est un sous-espace affine s'il existe un point $A \in F$ et un sous-espace vectoriel $F \subset E$ tels que :

F = A + F := {A + u, u \in F} .

Le sev $F$ est appelé direction de $F$ . On définit la dimension de $F$ comme $dim F$ . On dit qu'un SEA est une droite affine si $dim F = 1$ , un plan affine si $dim F = 2$ , un hyperplan affine si $dim F = dim E - 1$ .

Proposition 2.2 — Caractérisation point/direction ★ À savoir démontrer

Soit $F = A + F$ un SEA de direction $F$ . Alors pour tout point $M \in E$ :

M \in F ⟺ A M \in F .

En particulier, la direction $F$ ne dépend pas du point $A$ choisi dans $F$ : pour tout $A^{'} \in F$ , on a $F = A^{'} + F$ .

Démonstration (équivalence et indépendance du point de base)

Sens direct. Si $M \in F = A + F$ , il existe $u \in F$ tel que $M = A + u$ , c'est-à-dire $A M = u \in F$ .

Sens réciproque. Si $A M \in F$ , posons $u = A M$ . Alors $M = A + u \in A + F = F$ .

Indépendance du point de base. Soit $A^{'} \in F$ . On a $A A^{'} \in F$ (par le sens direct). Pour tout $M \in E$ , la relation de Chasles donne :

A^{'} M = A^{'} A + A M = - A A^{'} + A M .

Comme $F$ est un sev (stable par opposé et par somme), $A^{'} M \in F$ si et seulement si $A M \in F$ , donc $M \in A^{'} + F$ si et seulement si $M \in A + F$ . D'où $A^{'} + F = A + F = F$ .

Définition 2.3 — Parallélisme

Soient $F$ et $G$ deux SEA de directions $F$ et $G$ .

$F$ et $G$ sont parallèles (au sens fort, ou « strictement parallèles ») si $F = G$ .
$F$ est parallèle à $G$ (au sens faible) si $F \subset G$ .

Le parallélisme strict est une relation d'équivalence entre SEA de même dimension. Pour deux droites, « parallèles » = « mêmes directions » (= même direction vectorielle).

💡 Exemple — Droite affine. Soient

A, B \in E

distincts. La droite affine $(A B)$ est le SEA passant par

A

de direction

Vect (A B)

(A B) = {A + t A B, t \in R} = {M \in E, \exists t \in R, A M = t A B} .

Deux droites

(A B)

(C D)

sont parallèles ssi

A B

C D

sont colinéaires.

Proposition 2.4 — Intersection de deux SEA

Soient $F = A + F$ et $G = B + G$ deux SEA. Alors :

Si $F \cap G \neq = \emptyset$ et $C \in F \cap G$ , alors $F \cap G = C + (F \cap G)$ est un SEA de direction $F \cap G$ .
L'intersection peut être vide (cas de deux droites parallèles distinctes, par exemple).

⚠ Piège fréquent. Contrairement aux sous-espaces vectoriels, un sous-espace affine ne contient pas forcément l'origine ! L'intersection

F \cap G

peut être vide (parallèles disjoints), ce qui n'arrive jamais avec deux sev (qui contiennent toujours

0

en commun). Rédige toujours « si l'intersection est non vide, alors… » avant d'affirmer qu'elle est de la forme

C + (F \cap G)

3. Barycentre de n points pondérés

Définition 3.1 — Point pondéré, masse totale

Un point pondéré est un couple $(A, λ)$ où $A \in E$ et $λ \in R$ . Un système de points pondérés est une famille $((A_{i}, λ_{i}))_{1 \leq i \leq n}$ . Sa masse totale est :

m = i = 1 \sum n λ_{i} .

Théorème 3.2 — Existence et unicité du barycentre ★ À savoir démontrer

Soit $((A_{i}, λ_{i}))_{1 \leq i \leq n}$ un système de points pondérés de masse totale $m = \sum λ_{i} \neq = 0$ . Il existe un unique point $G \in E$ tel que :

i = 1 \sum n λ_{i} G A_{i} = 0 .

Ce point $G$ est appelé barycentre du système et noté $G = Bar ((A_{i}, λ_{i}))$ . Il est caractérisé par : pour tout point $M \in E$ ,

M G = \frac{1}{m} i = 1 \sum n λ_{i} M A_{i} .

Démonstration (existence par choix d'une origine + unicité par calcul)

Existence. Choisissons un point arbitraire $M \in E$ (origine de travail). On cherche $G$ tel que $\sum λ_{i} G A_{i} = 0$ . Par la relation de Chasles, $G A_{i} = GM + M A_{i} = - M G + M A_{i}$ . Donc :

i = 1 \sum n λ_{i} G A_{i} = - (i = 1 \sum n λ_{i}) M G + i = 1 \sum n λ_{i} M A_{i} = - m M G + i = 1 \sum n λ_{i} M A_{i} .

Cette quantité est nulle ssi $M G = \frac{1}{m} \sum λ_{i} M A_{i}$ . Comme $m \neq = 0$ , ce vecteur est bien défini, et par l'axiome (A2), il existe un unique point $G$ tel que $M G$ prenne cette valeur. D'où existence.

Unicité. Si $G$ et $G^{'}$ sont deux solutions, alors par soustraction $\sum λ_{i} (G A_{i} - G^{'} A_{i}) = 0$ . Or $G A_{i} - G^{'} A_{i} = G G^{'} + G^{'} A_{i} - G^{'} A_{i}$ — non, repartons proprement : $G A_{i} = G G^{'} + G^{'} A_{i}$ par Chasles, donc $G A_{i} - G^{'} A_{i} = G G^{'}$ . D'où $\sum λ_{i} \cdot G G^{'} = m G G^{'} = 0$ , et comme $m \neq = 0$ , $G G^{'} = 0$ , soit $G = G^{'}$ .

Caractérisation pour tout $M$ . La formule $M G = \frac{1}{m} \sum λ_{i} M A_{i}$ est précisément ce qu'on a obtenu pour l'existence : elle est valable pour tout point $M$ , pas seulement pour l'origine de travail.

📝 Cas masse totale nulle. Si

\sum λ_{i} = 0

, le barycentre n'existe pas comme point. En revanche, la quantité

\sum λ_{i} M A_{i}

ne dépend alors plus du point

M

(c'est un vecteur fixe) : c'est la situation des « vecteurs des moments » en mécanique du point. Hors-programme strict en MPSI, mais utile à connaître pour les exercices fins.

Définition 3.3 — Isobarycentre

Lorsque tous les poids $λ_{i}$ sont égaux (et non nuls), le barycentre est appelé isobarycentre des points $A_{1}, \dots, A_{n}$ . Il est caractérisé par :

M G = \frac{1}{n} i = 1 \sum n M A_{i} (\forall M \in E) .

Cas particuliers à connaître : $n = 2$ → milieu du segment $[A_{1} A_{2}]$ ; $n = 3$ → centre de gravité du triangle $A_{1} A_{2} A_{3}$ (intersection des médianes) ; $n = 4$ → isobarycentre du tétraèdre.

Théorème 3.4 — Associativité du barycentre ★ À savoir démontrer

Soit un système de points pondérés $((A_{i}, λ_{i}))_{1 \leq i \leq n}$ de masse totale $m \neq = 0$ . On le partitionne en deux sous-systèmes $((A_{i}, λ_{i}))_{i \in I_{1}}$ et $((A_{i}, λ_{i}))_{i \in I_{2}}$ de masses partielles $m_{1} = \sum_{i \in I_{1}} λ_{i}$ et $m_{2} = \sum_{i \in I_{2}} λ_{i}$ , toutes deux non nulles. Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ les barycentres partiels. Alors le barycentre $G$ du système total est aussi le barycentre du système $((G_{1}, m_{1}), (G_{2}, m_{2}))$ :

G = Bar ((G_{1}, m_{1}), (G_{2}, m_{2})) .

Démonstration (regroupement direct via la caractérisation universelle)

Par la caractérisation universelle (Thm 3.2), pour tout $M \in E$ :

m M G = i = 1 \sum n λ_{i} M A_{i} = i \in I_{1} \sum λ_{i} M A_{i} + i \in I_{2} \sum λ_{i} M A_{i} .

Or par définition de $G_{1}$ (avec masse $m_{1} \neq = 0$ ) et de $G_{2}$ (avec masse $m_{2} \neq = 0$ ) :

i \in I_{1} \sum λ_{i} M A_{i} = m_{1} M G_{1}, i \in I_{2} \sum λ_{i} M A_{i} = m_{2} M G_{2} .

En remplaçant, on obtient :

m M G = m_{1} M G_{1} + m_{2} M G_{2} .

Comme $m = m_{1} + m_{2} \neq = 0$ , cette identité (vraie pour tout $M$ ) caractérise $G$ comme barycentre de $((G_{1}, m_{1}), (G_{2}, m_{2}))$ . Ce qui conclut.

📐 Méthode-type — Utiliser l'associativité pour calculer un barycentre lourd. Quand tu dois calculer le barycentre de 4 points ou plus avec des poids encombrants :

Regroupe. Choisis un sous-ensemble $I_{1}$ dont les poids se somment facilement (par exemple deux poids opposés qui se simplifient, ou trois poids égaux qui donnent un isobarycentre).
Réduis. Remplace ce sous-ensemble par son barycentre partiel $G_{1}$ affecté de la masse $m_{1}$ (somme des poids).
Itère. Tu te ramènes à un barycentre de 2 ou 3 points, beaucoup plus simple à manipuler géométriquement.
Vérifie la masse totale. Chaque étape exige $m_{k} \neq = 0$ — sinon l'associativité est invalide.

Exemple type : centre de gravité d'un quadrilatère = isobarycentre des 4 sommets = milieu des deux milieux des diagonales (par associativité).

Proposition 3.5 — Homogénéité du barycentre

Le barycentre est invariant par multiplication scalaire non nulle des poids : pour tout $k \in R^{*}$ ,

Bar ((A_{i}, λ_{i})) = Bar ((A_{i}, k λ_{i})) .

On peut donc toujours normaliser à masse totale $1$ : un barycentre « usuel » s'écrit aussi $G = \sum μ_{i} A_{i}$ avec $\sum μ_{i} = 1$ , où $μ_{i} = λ_{i} / m$ .

🧑‍🏫 Décortique l'associativité avec un mentor

L'associativité du barycentre revient à chaque DS et khôlle de géométrie. C'est la technique qui permet de transformer un calcul de 5 points en un milieu trivial. En 1 séance avec un mentor Majorant alumni X · Centrale · Mines, tu maîtrises les regroupements astucieux et tu gagnes 3-4 points par DS sur les exos « centre de gravité ».

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4. Applications affines

Définition 4.1 — Application affine

Soient $E, E^{'}$ deux espaces affines de directions $E, E^{'}$ . Une application $f : E \to E^{'}$ est dite affine s'il existe une application linéaire $f : E \to E^{'}$ (la partie linéaire, ou application linéaire associée) telle que :

\forall A, B \in E, f (A) f (B) = f (A B) .

De manière équivalente : il existe un point $O \in E$ tel que pour tout $M \in E$ ,

f (M) = f (O) + f (O M) .

Autrement dit, une application affine est la composée d'une application linéaire et d'une translation (modulo le choix d'une origine).

Proposition 4.2 — Propriétés élémentaires

Composition : si $f : E \to E^{'}$ et $g : E^{'} \to E^{''}$ sont affines, alors $g \circ f$ est affine, de partie linéaire $g \circ f$ .
Réciproque : si $f$ est affine bijective, sa réciproque est affine de partie linéaire $(f)^{- 1}$ .
Conservation des SEA : l'image directe $f (F)$ d'un SEA $F = A + F$ est le SEA $f (A) + f (F)$ .
Conservation des barycentres : pour tout système $((A_{i}, λ_{i}))$ de masse totale $m \neq = 0$ , $f (Bar (A_{i}, λ_{i})) = Bar ((f (A_{i}), λ_{i}))$ .

💡 Exemples canoniques d'applications affines.

Translation $t_{u}$ de vecteur $u$ : $t_{u} (M) = M + u$ . Partie linéaire = identité $Id_{E}$ .
Homothétie $h_{O, k}$ de centre $O$ et rapport $k \in R^{*}$ : $h_{O, k} (M) = O + k O M$ . Partie linéaire = multiplication par $k$ (notée $k \cdot Id_{E}$ ).
Projection affine sur un SEA $F$ parallèlement à un sev supplémentaire de la direction.
Symétrie affine par rapport à un SEA $F$ parallèlement à un supplémentaire.

Proposition 4.3 — Points fixes d'une application affine

Soit $f : E \to E$ une application affine de partie linéaire $f$ .

Si $1$ n'est pas valeur propre de $f$ (c'est-à-dire $f - Id_{E}$ est inversible), alors $f$ admet un unique point fixe.
Si $f = Id_{E}$ , $f$ est une translation : soit aucun point fixe (translation non triviale), soit tous les points sont fixes ( $f = Id_{E}$ ).
Dans les autres cas, l'ensemble des points fixes — s'il est non vide — est un SEA de direction $ker (f - Id_{E})$ .

📝 Lecture matricielle d'une application affine. Dans un repère

R = (O; B)

, une application affine

f

s'écrit matriciellement :

X^{'} = A X + b

où

X

est le vecteur des coordonnées affines de

M

X^{'}

celui de

f (M)

A

la matrice de

f

dans

B

, et

b

le vecteur des coordonnées de

f (O) - O

(la « translation résiduelle »). C'est la forme

M \mapsto A M + b

que tu rencontreras en informatique (transformations 2D/3D) et en mécanique (changement de référentiel).

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont relevées chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant de la géométrie affine. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence et peuvent invalider toute une question.

⚠ Erreur 1 — Écrire un barycentre sans vérifier que la masse totale est non nulle. Le théorème 3.2 exige

m = \sum λ_{i} \neq = 0

. Si tu manipules un système avec

\sum λ_{i} = 0

, le barycentre n'existe pas et la formule

M G = \frac{1}{m} \sum λ_{i} M A_{i}

n'a aucun sens (division par zéro). Précise systématiquement la condition de masse totale avant d'écrire « soit

G

le barycentre de… ».

⚠ Erreur 2 — Confondre « point » et « vecteur » dans une combinaison linéaire. Une expression comme

2 A - B + 3 C

n'a pas de sens en géométrie affine pure (on ne peut pas additionner des points). Ce qui a un sens :

2 O A - O B + 3 O C

(vecteurs, depuis une origine

O

), ou

Bar ((A, 2), (B, - 1), (C, 3))

(barycentre, à condition que la masse totale

2 - 1 + 3 = 4

soit non nulle). Mélanger les deux notations est sanctionné.

⚠ Erreur 3 — Oublier que la direction d'un SEA est indépendante du point de base. Beaucoup d'élèves écrivent « la direction de

F

au point

A

» comme si elle dépendait de

A

— non, elle est unique (Prop 2.2). C'est ce qui permet de définir le parallélisme : deux SEA sont parallèles ssi leurs directions (intrinsèques) coïncident, indépendamment des points qui les paramètrent.

⚠ Erreur 4 — Croire que toute application qui envoie une droite sur une droite est affine. Dans

R^{2}

, une application qui préserve l'alignement n'est pas nécessairement affine si on n'impose pas en plus la conservation des rapports (ou la continuité, etc.). Le critère sûr d'application affine est :

f (A) f (B) = f (A B)

avec

f

linéaire — point. Ne te contente pas d'arguments visuels.

⚠ Erreur 5 — Confondre projection et application affine surjective. Une projection affine

p

sur un SEA

F

vérifie

p \circ p = p

(idempotence) et son image est

F

— c'est ce qui la caractérise. Toute application affine surjective n'est pas une projection : seules celles qui sont idempotentes le sont. Erreur classique sur les questions « caractériser les projections ».

6. Pour aller plus loin

Les espaces affines sont l'infrastructure géométrique du programme MPSI et MP/PSI. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Espaces euclidiens et géométrie du plan/de l'espace — on ajoute un produit scalaire à la direction $E$ : les SEA deviennent des droites/plans orthogonaux, les applications affines deviennent des isométries (translations, rotations, symétries orthogonales) ou similitudes.
Géométrie analytique du plan — équations cartésiennes de droites $a x + b y + c = 0$ , équations paramétriques $M = A + t u$ : ce sont des SEA déguisés en coordonnées.
Géométrie affine et projective en MP/PSI — généralisation à l'espace projectif, théorèmes de Thalès, Ceva, Ménélaüs, qui sont des énoncés affines.
Algèbre linéaire avancée — l'étude des applications affines $M \mapsto A M + b$ est la base de la théorie des systèmes affines $A X = b$ et de la résolution géométrique des SEL.
Mécanique du point et du solide — la cinématique des solides utilise massivement les barycentres (centre de masse) et les applications affines (composition de mouvements).

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu énoncer les deux axiomes définissant un espace affine (Chasles + liberté/unicité du translaté) ?
Sais-tu démontrer $AA = 0$ et $B A = - A B$ à partir de Chasles ?
Sais-tu distinguer coordonnées affines (dépendent de l'origine) et coordonnées vectorielles (dépendent de la base) ?
Sais-tu définir un sous-espace affine $F = A + F$ et démontrer que sa direction $F$ ne dépend pas du point de base ?
Sais-tu caractériser $M \in F$ par $A M \in F$ ?
Connais-tu la différence entre parallélisme strict ( $F = G$ ) et parallélisme faible ( $F \subset G$ ) ?
Sais-tu démontrer l'existence et l'unicité du barycentre quand $\sum λ_{i} \neq = 0$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer l'associativité du barycentre ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour calculer un barycentre lourd par regroupement (4 étapes) ?
Sais-tu définir une application affine et sa partie linéaire $f$ ?
Connais-tu les 4 exemples canoniques : translation, homothétie, projection, symétrie ?
Sais-tu écrire matriciellement $M \mapsto A M + b$ une application affine dans un repère ?

Démonstrations à savoir refaire

Conséquences de Chasles — $AA = 0$ , $B A = - A B$ , insertion d'un point intermédiaire
Caractérisation $M \in F \Leftrightarrow A M \in F$ — et indépendance de la direction par rapport au point de base
Existence et unicité du barycentre — par choix d'une origine + caractérisation universelle $m M G = \sum λ_{i} M A_{i}$
Associativité du barycentre — regroupement direct via la caractérisation universelle

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Espace affine, points et vecteurs

2. Sous-espaces affines et parallélisme

3. Barycentre de n points pondérés

4. Applications affines

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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