Espaces probabilisés finis

Vue d'ensemble

Les espaces probabilisés finis sont la porte d'entrée rigoureuse vers les probabilités en MPSI : on y formalise ce que tu sais intuitivement depuis le lycée (tirer une carte, lancer un dé) en un cadre mathématique précis — un univers Ω, des événements qui sont des parties de Ω, et une probabilité P qui mesure leur « chance ». Cette fiche regroupe les 9 définitions, les 5 théorèmes incontournables et les 4 démonstrations à savoir refaire pour aborder sereinement les variables aléatoires et le conditionnement.

Au programme MPSI (officiel) — Univers Ω fini, événements (parties de Ω), événements particuliers (certain, impossible, élémentaire, contraires, incompatibles), système complet d'événements, tribu des événements (=

P (Ω)

en cas fini), probabilité comme application

P : P (Ω) \to [0, 1]

, propriétés élémentaires, formule du crible (Poincaré 2 termes), équiprobabilité et application au dénombrement, indépendance de deux événements.

Prérequis

Manipulation des parties d'un ensemble : $A \subset Ω$ , $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{c} = Ω ∖ A$ , lois de De Morgan
Dénombrement : cardinal d'une réunion disjointe, $p$ -listes, arrangements, combinaisons $(k n)$
Sommes finies $\sum$ et propriété de linéarité

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1. Univers Ω et événements

Définition 1.1 — Expérience aléatoire et univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît a priori l'ensemble des résultats possibles, mais dont le résultat ne peut être prédit avec certitude. L'ensemble $Ω$ de tous les résultats possibles (appelés aussi issues ou éventualités) est appelé univers de l'expérience.

Dans tout ce chapitre, on suppose $Ω$ fini et non vide.

💡 Trois univers canoniques.

Lancer un dé à six faces : $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $∣Ω∣ = 6$ .
Lancer deux pièces (issues ordonnées) : $Ω = {(P, P), (P, F), (F, P), (F, F)}$ , $∣Ω∣ = 4$ .
Tirer une main de 5 cartes dans un jeu de 32 : $Ω$ = ensemble des parties à 5 éléments de l'ensemble des 32 cartes, $∣Ω∣ = (5 32) = 201376$ .

Définition 1.2 — Événement

Un événement est une partie $A$ de $Ω$ (notation : $A \subset Ω$ ). On dit que l'événement $A$ est réalisé si le résultat $ω$ de l'expérience appartient à $A$ , c.-à-d. si $ω \in A$ .

📝 Vocabulaire ensembliste vs probabiliste. Les opérations sur les événements ne sont rien d'autre que les opérations ensemblistes — il faut juste apprendre le dictionnaire :

$A \cup B$ : « $A$ ou $B$ est réalisé » (au moins l'un des deux)
$A \cap B$ : « $A$ et $B$ sont réalisés » (les deux simultanément)
$A^{c} = Ω ∖ A$ : « $A$ n'est pas réalisé » (événement contraire)
$A \subset B$ : « $A$ implique $B$ » (si $A$ est réalisé, $B$ l'est aussi)

Définition 1.3 — Événements particuliers

L'événement certain est $Ω$ (toujours réalisé).
L'événement impossible est $\emptyset$ (jamais réalisé).
Un événement élémentaire est un singleton ${ω}$ avec $ω \in Ω$ (une seule issue).
L'événement contraire de $A$ est $\overset{ˉ}{A} = A^{c} = Ω ∖ A$ . On a toujours $A \cap \overset{ˉ}{A} = \emptyset$ et $A \cup \overset{ˉ}{A} = Ω$ .
Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si $A \cap B = \emptyset$ — ils ne peuvent jamais être réalisés simultanément.

⚠ Piège #1 du chapitre — Incompatibles ≠ contraires. Deux événements contraires

(A, \overset{ˉ}{A})

sont toujours incompatibles, mais la réciproque est fausse. Exemple : sur un dé,

A = {1}

B = {2}

sont incompatibles (

A \cap B = \emptyset

) mais ne sont pas contraires (

A \cup B = {1, 2} \neq = Ω

). Pour être contraires, il faut en plus que

A \cup B = Ω

Définition 1.4 — Système complet d'événements

Une famille finie $(A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n})$ d'événements de $Ω$ est un système complet d'événements (SCE) si :

les $A_{i}$ sont deux à deux incompatibles : $\forall i \neq = j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ ,
leur réunion est l'univers : $i = 1 ⋃ n A_{i} = Ω$ .

Autrement dit, $(A_{1}, \dots, A_{n})$ est une partition de $Ω$ (on autorise parfois les $A_{i} = \emptyset$ selon les conventions, mais le résultat est le même : chaque $ω \in Ω$ appartient à exactement un $A_{i}$ ).

💡 Exemples cultes de SCE.

Tout couple $(A, \overset{ˉ}{A})$ est un SCE à 2 éléments.
La famille $({ω})_{ω \in Ω}$ des événements élémentaires est un SCE.
Sur un dé : $A_{1} = {1, 2}$ , $A_{2} = {3, 4}$ , $A_{3} = {5, 6}$ est un SCE à 3 éléments.

Définition 1.5 — Tribu (algèbre des événements)

Une tribu sur $Ω$ est un ensemble $A$ de parties de $Ω$ stable par passage au complémentaire et par réunion (finie ou dénombrable). C'est l'ensemble des « événements observables ».

En cas fini (programme MPSI), on prend toujours $A = P (Ω)$ : toute partie de $Ω$ est un événement. La notion de tribu ne reprend tout son sens qu'avec un univers infini (programme de 2e année).

2. Probabilité sur Ω

Définition 2.1 — Probabilité (axiomes de Kolmogorov, cas fini)

Soit $Ω$ un univers fini. Une probabilité sur $Ω$ est une application $P : P (Ω) \to [0, 1]$ vérifiant :

Normalisation : $P (Ω) = 1$ .
Additivité finie : pour tous événements $A$ et $B$ incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), $P (A \cup B) = P (A) + P (B) .$

Le couple $(Ω, P)$ (ou plus précisément le triplet $(Ω, P (Ω), P)$ ) est alors appelé espace probabilisé fini.

📝 Additivité finie par récurrence. Par une récurrence immédiate sur

n

, l'additivité s'étend à toute famille finie d'événements deux à deux incompatibles :

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) = i = 1 \sum n P (A_{i}) si \forall i \neq = j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset.

L'hypothèse d'incompatibilité 2 à 2 est cruciale — sans elle, la formule devient celle du crible (théorème 2.5 ci-dessous).

Proposition 2.2 — Probabilité de l'événement contraire ★ À savoir démontrer

Pour tout événement $A$ : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ . En particulier, $P (\emptyset) = 0$ .

Démonstration (additivité + normalisation)

Par définition, $A$ et $\overset{ˉ}{A}$ sont incompatibles ( $A \cap \overset{ˉ}{A} = \emptyset$ ) et leur réunion vaut $Ω$ ( $A \cup \overset{ˉ}{A} = Ω$ ). L'additivité finie donne :

P (A \cup \overset{ˉ}{A}) = P (A) + P (\overset{ˉ}{A}),

soit, par normalisation $P (Ω) = 1$ :

1 = P (A) + P (\overset{ˉ}{A}), donc P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A) .

En appliquant à $A = Ω$ , on obtient $P (\emptyset) = P (\overset{ˉ}{Ω}) = 1 - P (Ω) = 0$ .

Proposition 2.3 — Monotonie

Si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ (et même $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ ).

Démonstration

Supposons $A \subset B$ . On peut décomposer $B$ en deux parties incompatibles : $B = A \cup (B ∖ A)$ avec $A \cap (B ∖ A) = \emptyset$ . L'additivité donne :

P (B) = P (A) + P (B ∖ A) .

Comme $P (B ∖ A) \geq 0$ (image dans $[0, 1]$ ), on en déduit $P (B) \geq P (A)$ , et l'égalité $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ en découle.

Proposition 2.4 — Détermination par les événements élémentaires

Une probabilité $P$ sur $Ω = {ω_{1}, \dots, ω_{n}}$ est entièrement déterminée par les valeurs $p_{i} = P ({ω_{i}})$ , qui vérifient :

p_{i} \geq 0 pour tout i, i = 1 \sum n p_{i} = 1.

Et pour tout événement $A$ :

P (A) = ω \in A \sum P ({ω}) .

Réciproquement, la donnée de tels $(p_{i})$ définit bien une probabilité sur $Ω$ .

Théorème 2.5 — Formule du crible (Poincaré, 2 termes) ★ À savoir démontrer

Pour tous événements $A$ et $B$ (pas nécessairement incompatibles) :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .

Démonstration (décomposition en union disjointe)

L'idée est de réécrire $A \cup B$ et $B$ comme des unions disjointes, pour pouvoir appliquer l'additivité. On a :

A \cup B = A \cup (B ∖ A) avec A \cap (B ∖ A) = \emptyset.

L'additivité donne donc $P (A \cup B) = P (A) + P (B ∖ A)$ . De même :

B = (A \cap B) \cup (B ∖ A) avec (A \cap B) \cap (B ∖ A) = \emptyset,

d'où $P (B) = P (A \cap B) + P (B ∖ A)$ , soit $P (B ∖ A) = P (B) - P (A \cap B)$ . En substituant :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .

Corollaire 2.6 — Sous-additivité (crible majorant)

Pour tous événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ (pas nécessairement incompatibles) :

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) \leq i = 1 \sum n P (A_{i}) .

C'est une majoration grossière mais souvent suffisante (notamment en raisonnements de type « union bound »).

📝 Formule du crible — généralisation (hors programme MPSI). Pour

n

événements quelconques, la formule de Poincaré donne :

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) = k = 1 \sum n (- 1)^{k + 1} 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n \sum P (A_{i_{1}} \cap \dots \cap A_{i_{k}}) .

Tu la reverras en spé. (Hors programme MPSI, à connaître en 2e année.)

🧑‍🏫 Décortique la formule du crible

La formule du crible est LE point technique qui sépare un 10 d'un 16 en probabilités. Idée : décomposer en union disjointe + bien gérer $B ∖ A$ . En 1 séance avec un mentor Majorant alumni de l'X, tu maîtrises la version 2 termes, la version $n$ termes et les exos type Mines / Centrale.

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3. Équiprobabilité et application au dénombrement

Définition 3.1 — Probabilité uniforme (équiprobabilité)

Sur un univers fini $Ω$ non vide, on appelle probabilité uniforme (ou équiprobabilité) l'unique probabilité $P$ telle que tous les événements élémentaires ont la même probabilité :

\forall ω \in Ω, P ({ω}) = \frac{1}{∣Ω∣} .

Cette hypothèse traduit mathématiquement « tous les résultats sont également probables » — formules consacrées : « on tire une boule au hasard », « on lance un dé équilibré », « on choisit une carte au hasard »…

Théorème 3.2 — Formule fondamentale de l'équiprobabilité ★ À savoir démontrer

Si $Ω$ est muni de la probabilité uniforme, alors pour tout événement $A \subset Ω$ :

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles} .

Démonstration (additivité sur les singletons)

Notons $n = ∣Ω∣$ et $k = ∣ A ∣$ . Écrivons $A = {ω_{i_{1}}, \dots, ω_{i_{k}}}$ comme réunion disjointe de ses singletons :

A = j = 1 ⋃ k {ω_{i_{j}}}, avec {ω_{i_{j}}} \cap {ω_{i_{ℓ}}} = \emptyset pour j \neq = ℓ .

Par additivité finie (étendue à $k$ événements 2 à 2 incompatibles) :

P (A) = j = 1 \sum k P ({ω_{i_{j}}}) = j = 1 \sum k \frac{1}{n} = \frac{k}{n} = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} .

Pour la cohérence (vérifier que $P$ ainsi définie est bien une probabilité) : $P (Ω) = ∣Ω∣/∣Ω∣ = 1$ et si $A \cap B = \emptyset$ , $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ , donc $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ . ✓

⚠ Piège — L'équiprobabilité n'est PAS automatique. La formule

P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣

ne s'applique que sous l'hypothèse d'équiprobabilité. Si l'énoncé ne dit pas « au hasard », « équilibré », « uniformément » (ou équivalent), n'utilise pas cette formule. Exemple : un dé pipé, une pièce truquée, un tirage avec biais. Toujours commencer ta copie par : « On munit $Ω$ de la probabilité uniforme » (justifié par l'énoncé) avant d'utiliser

∣ A ∣/∣Ω∣

📐 Méthode-type — Calculer une probabilité par dénombrement (équiprobabilité).

Choisir $Ω$ . Décris précisément l'univers (ordonné ou non ? avec ou sans remise ?). Par exemple : « $Ω$ = ensemble des arrangements de $p$ éléments parmi $n$ » donne $∣Ω∣ = n! / (n - p)!$ .
Justifier l'équiprobabilité. Rédige une phrase du type « par hypothèse, tous les tirages sont équiprobables, on munit donc $Ω$ de la probabilité uniforme ».
Décrire $A$ en mots puis traduire ensemblistement.
Compter $∣ A ∣$ par dénombrement (combinaisons, arrangements, $p$ -listes, principe additif/multiplicatif).
Conclure par $P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣$ , simplifier l'expression (souvent une fraction de coefficients binomiaux).

💡 Exemple canonique — Probabilité d'avoir une paire au poker. On tire une main de 5 cartes dans un jeu de 52.

Ω

est l'ensemble des parties à 5 éléments, équiprobables :

∣Ω∣ = (5 52) = 2598960

.

Soit

A

= « la main contient exactement une paire » (deux cartes de même valeur, les trois autres de valeurs différentes deux à deux et différentes de la paire). Comptage :

Choix de la valeur de la paire : $(1 13) = 13$ .
Choix des 2 couleurs (sur 4) pour la paire : $(2 4) = 6$ .
Choix des 3 valeurs distinctes restantes : $(3 12) = 220$ .
Choix d'une couleur (sur 4) pour chacune de ces 3 cartes : $4^{3} = 64$ .

Donc

∣ A ∣ = 13 \cdot 6 \cdot 220 \cdot 64 = 1098240

, et

P (A) = 1098 240/2 598960 \approx 0, 4226

(environ 42 %).

💡 Exemple — Lancer de 2 dés équilibrés.

Ω = {1, \dots, 6}^{2}

∣Ω∣ = 36

, équiprobabilité. Soit

S

= « la somme vaut 7 ». On dénombre :

S = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

, donc

∣ S ∣ = 6

P (S) = 6/36 = 1/6

. C'est la valeur de somme la plus probable — un classique de copie.

4. Indépendance de deux événements

Définition 4.1 — Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants (pour la probabilité $P$ ) si :

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) .

Intuition : la réalisation de $B$ n'apporte aucune information sur celle de $A$ (et réciproquement). Cette intuition deviendra rigoureuse au chapitre suivant via la probabilité conditionnelle ( $P (A ∣ B) = P (A)$ ssi $A$ et $B$ sont indépendants avec $P (B) > 0$ ).

⚠ Piège #2 du chapitre — Indépendance ≠ Incompatibilité. C'est l'erreur la plus sanctionnée dans ce chapitre. Au contraire :

Si $A$ et $B$ sont incompatibles avec $P (A) > 0$ et $P (B) > 0$ , alors $P (A \cap B) = P (\emptyset) = 0$ mais $P (A) \cdot P (B) > 0$ . Donc $A$ et $B$ sont tout sauf indépendants : savoir que $B$ est réalisé t'apprend immédiatement que $A$ ne l'est pas.
Inversement, deux événements indépendants avec $P (A), P (B) > 0$ ne peuvent pas être incompatibles.

Règle mnémo : incompatibles = mutuellement exclusifs (info maximale), indépendants = sans info mutuelle (info nulle). Les deux extrêmes opposés.

Proposition 4.2 — Indépendance et passage au contraire ★ À savoir démontrer

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors :

$A$ et $\overset{ˉ}{B}$ sont indépendants,
$\overset{ˉ}{A}$ et $B$ sont indépendants,
$\overset{ˉ}{A}$ et $\overset{ˉ}{B}$ sont indépendants.

Démonstration (cas

A

\overset{ˉ}{B}

)

L'idée est de décomposer $A$ selon $B$ et $\overset{ˉ}{B}$ (union disjointe), puis d'utiliser l'indépendance de $A$ et $B$ .

On a $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overset{ˉ}{B})$ avec $(A \cap B) \cap (A \cap \overset{ˉ}{B}) = \emptyset$ (puisque $B \cap \overset{ˉ}{B} = \emptyset$ ). Par additivité :

P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overset{ˉ}{B}) .

L'indépendance de $A$ et $B$ donne $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , d'où :

P (A \cap \overset{ˉ}{B}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\overset{ˉ}{B}) .

C'est précisément la définition de l'indépendance de $A$ et $\overset{ˉ}{B}$ . Les deux autres cas s'obtiennent par symétrie (échanger $A$ et $B$ , puis appliquer deux fois).

Définition 4.3 — Indépendance mutuelle de

n

événements

Les événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont dits mutuellement indépendants (ou simplement indépendants) si, pour toute partie $I \subset {1, \dots, n}$ de cardinal au moins 2 :

P (i \in I ⋂ A_{i}) = i \in I \prod P (A_{i}) .

⚠ Piège — Indépendance 2 à 2 ≠ Indépendance mutuelle. Pour

n \geq 3

événements, être indépendants 2 à 2 (

P (A_{i} \cap A_{j}) = P (A_{i}) P (A_{j})

pour tous

i \neq = j

) est strictement plus faible qu'être mutuellement indépendants. Contre-exemple classique : lancer deux pièces équilibrées,

A

= « la 1re tombe sur Pile »,

B

= « la 2e tombe sur Pile »,

C

= « les deux pièces donnent le même résultat ». On vérifie aisément

P (A) = P (B) = P (C) = 1/2

P (A \cap B) = P (A \cap C) = P (B \cap C) = 1/4 = (1/2) (1/2)

✓, mais

P (A \cap B \cap C) = P (2 piles) = 1/4 \neq = (1/2)^{3} = 1/8

✗.

💡 Exemple — Loi binomiale (anticipation, traitée en profondeur en cours de variables aléatoires). On répète

n

fois de façon indépendante une expérience à deux issues : succès (probabilité

p

) ou échec (probabilité

1 - p

). On note

X

le nombre de succès. Alors pour tout

k \in {0, 1, \dots, n}

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

On dit que

X

suit la loi binomiale de paramètres

(n, p)

, notée

X ↪ B (n, p)

. L'apparition du coefficient binomial

(k n)

s'explique par le dénombrement des choix des

k

instants de succès parmi

n

. Tu formaliseras tout cela rigoureusement dans le chapitre sur les variables aléatoires discrètes finies.

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs sont systématiquement relevées dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves de probabilités. Elles coûtent entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Confondre incompatibilité et indépendance. Vu plus haut, mais c'est le récidiviste n°1 du chapitre. Vérifie systématiquement : si l'énoncé écrit «

A

B

incompatibles », alors

P (A \cap B) = 0

— c'est de l'information, pas de l'indépendance. Si l'énoncé écrit «

A

B

indépendants », utilise

P (A \cap B) = P (A) P (B)

— pas

P (A \cap B) = 0

⚠ Erreur 2 — Appliquer $P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣$ sans équiprobabilité. Si l'énoncé parle de dé pipé, urne biaisée, pièce truquée, ou plus généralement ne précise pas « équilibré / au hasard / uniformément », tu n'as PAS le droit d'utiliser cette formule. Repasse aux probabilités élémentaires

p_{i} = P ({ω_{i}})

et somme :

P (A) = \sum_{ω \in A} p_{ω}

⚠ Erreur 3 — Oublier le « $- P (A \cap B)$ » dans le crible. Écrire

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

en pensant à l'union « ou » sans vérifier l'incompatibilité. Toujours écrire la formule complète

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

, puis discuter le cas

A \cap B = \emptyset

si nécessaire.

⚠ Erreur 4 — Confondre indépendance 2 à 2 et mutuelle pour $n \geq 3$ . Quand un énoncé donne « les

A_{i}

sont indépendants », il s'agit en général de l'indépendance mutuelle (cf. Déf 4.3), pas seulement 2 à 2. Si l'énoncé précise « 2 à 2 indépendants », tu n'as pas le droit d'utiliser

P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3})

⚠ Erreur 5 — Univers ambigu (ordonné vs non ordonné). Sur un tirage simultané de plusieurs boules, deux modélisations sont possibles : tirages ordonnés (arrangements,

n! / (n - p)!

) ou non ordonnés (combinaisons,

(p n)

). Choisis une fois pour toutes et reste cohérent dans le numérateur ET le dénominateur. Mélanger

∣ A ∣

ordonné avec

∣Ω∣

non ordonné donne un résultat faux d'un facteur

p!

6. Pour aller plus loin

Les espaces probabilisés finis sont le socle du bloc probabilités MPSI. Les chapitres qui les réinvestissent immédiatement :

Probabilités conditionnelles — $P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)$ , formule des probabilités totales sur un SCE, formule de Bayes. L'indépendance $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ s'y réécrit $P (A ∣ B) = P (A)$ , donnant son sens intuitif.
Variables aléatoires discrètes finies — fonction $X : Ω \to R$ ; loi $P (X = k)$ , espérance $E [X] = \sum k P (X = k)$ , variance. Les lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale, hypergéométrique) reposent toutes sur les outils de cette fiche.
Couples de variables aléatoires — lois conjointes, lois marginales, indépendance de variables (extension de la Déf 4.1 / 4.3 aux v.a.).
Probabilités sur un univers infini dénombrable (2e année) — la tribu $P (Ω)$ reste la bonne mais l'additivité finie devient $σ$ -additivité (additivité dénombrable), prérequis au cours de MP/PC/PSI.

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir univers, événement, événement élémentaire, événement contraire, événement impossible et événement certain sans hésiter ?
Sais-tu écrire la différence entre incompatibles et contraires avec un contre-exemple ?
Sais-tu énoncer la définition d'un système complet d'événements et donner trois exemples ?
Sais-tu énoncer les deux axiomes définissant une probabilité (normalisation + additivité finie) ?
Sais-tu démontrer $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ ?
Sais-tu démontrer la monotonie $A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$ ?
Sais-tu énoncer et démontrer la formule du crible 2 termes $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ?
Sais-tu démontrer $P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣$ sous l'hypothèse d'équiprobabilité ?
Sais-tu rédiger les 5 étapes de la méthode-type « probabilité par dénombrement » ?
Sais-tu définir l'indépendance et démontrer que si $A, B$ sont indépendants, alors $A, \overset{ˉ}{B}$ le sont aussi ?
Sais-tu distinguer indépendance 2 à 2 et indépendance mutuelle pour $n \geq 3$ événements (avec contre-exemple) ?
Sais-tu reconnaître la loi binomiale $B (n, p)$ dans un énoncé et écrire $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ?

Démonstrations à savoir refaire

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ — additivité sur $Ω = A \cup \overset{ˉ}{A}$ + normalisation
Formule du crible 2 termes — décomposition de $A \cup B$ et $B$ en unions disjointes via $B ∖ A$
$P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣$ sous équiprobabilité — additivité finie sur les singletons
Indépendance et événement contraire — décomposer $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overset{ˉ}{B})$ , factoriser par $P (A)$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Univers Ω et événements

2. Probabilité sur Ω

3. Équiprobabilité et application au dénombrement

4. Indépendance de deux événements

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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