Calcul des primitives

Vue d'ensemble

Le calcul de primitives est l'outil n°1 de toute l'analyse MPSI : sans primitives, pas d'intégrale, pas de longueur d'arc, pas d'équation différentielle, pas de probabilités continues en spé. Ce chapitre est en apparence « technique » (apprendre une table par cœur, repérer la bonne méthode parmi 4) — en réalité, il repose sur un seul théorème central, le théorème fondamental de l'analyse, qui relie primitive et intégrale. Cette fiche regroupe la table des primitives usuelles, les 4 méthodes incontournables (IPP, changement de variable, fractions rationnelles, règles de Bioche) et les 3 démonstrations à savoir refaire pour les khôlles et écrits.

Au programme MPSI (officiel) — Primitive d'une fonction continue sur un intervalle, lien primitive ↔ intégrale (théorème fondamental de l'analyse), intégration par parties, changement de variable (avec

φ

de classe

C^{1}

), primitives de fractions rationnelles (décomposition en éléments simples sur ℝ), primitives trigonométriques (règles de Bioche), intégration de produits polynôme × exponentielle, polynôme × sinus, polynôme × cosinus (IPP itérée).

Prérequis

Dérivation des fonctions usuelles (exp, ln, sin, cos, tan, Arctan, Arcsin, Arccos, sh, ch)
Formule de dérivation d'un produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ et d'une composée $(f \circ g)^{'} = (f^{'} \circ g) \cdot g^{'}$
Notion d'intégrale d'une fonction continue sur un segment (cours sur l'intégration)
Décomposition d'un polynôme en facteurs irréductibles sur ℝ (chap. polynômes)

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1. Définition d'une primitive et propriétés

Définition 1.1 — Primitive d'une fonction

Soit $f : I \to R$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de ℝ. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F : I \to R$ dérivable sur $I$ telle que :

\forall x \in I, F^{'} (x) = f (x) .

Proposition 1.2 — Deux primitives diffèrent d'une constante

Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ , alors il existe une constante $C \in R$ telle que :

\forall x \in I, G (x) = F (x) + C .

Justification : $(G - F)^{'} = G^{'} - F^{'} = f - f = 0$ sur $I$ ; or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante.

⚠ Piège #1 — l'hypothèse « intervalle ». L'unicité « à une constante près » n'est valable que sur un intervalle. Sur une réunion d'intervalles disjoints, on choisit une constante par morceau. Ex. culte :

f (x) = 1/ x

sur ℝ*, primitive

F (x) = ln ∣ x ∣ + C_{1}

sur

] - \infty, 0 [

ln ∣ x ∣ + C_{2}

sur

] 0, + \infty [

, avec

C_{1}, C_{2}

indépendantes. Oublier ce détail coûte un demi-point.

Définition 1.3 — Notation « intégrale indéfinie »

On note $\int f (x) d x$ une primitive de $f$ — la notation est définie modulo une constante additive. On écrit par exemple :

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C, \int cos (x) d x = sin (x) + C .

Définition 1.4 — Fonction primitivable, fonction de classe

C^{1}

$f : I \to R$ est primitivable sur $I$ si elle admet (au moins) une primitive ; le TFA (§2) garantit que toute fonction continue l'est. Une fonction $F$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ si elle est dérivable sur $I$ et que $F^{'}$ est continue.

Définition 1.5 — Intégrale définie d'une fonction continue

Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est la limite des sommes de Riemann $\sum_{k} (b - a) / n \cdot f (a + k (b - a) / n)$ . Conventions : $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ et $\int_{a}^{a} f = 0$ .

Proposition 1.6 — Linéarité

Si $F$ est une primitive de $f$ , $G$ une primitive de $g$ , et $λ, μ \in R$ , alors $λ F + μ G$ est une primitive de $λ f + μg$ . En notation indéfinie :

\int (λ f (x) + μg (x)) d x = λ \int f (x) d x + μ \int g (x) d x .

2. Théorème fondamental de l'analyse

C'est le théorème central du chapitre : il garantit qu'une fonction continue admet toujours une primitive, et il fournit la formule de calcul d'une intégrale via une primitive.

Théorème 2.1 — Théorème fondamental de l'analyse (TFA) ★ À savoir démontrer

Soit $f : I \to R$ une fonction continue sur l'intervalle $I$ , et soit $a \in I$ . La fonction

F : x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t

est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ . Autrement dit, $F$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ .

Démonstration (continuité + taux d'accroissement)

Soit $x_{0} \in I$ . On veut montrer que $F$ est dérivable en $x_{0}$ avec $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ . Considérons le taux d'accroissement, pour $h \neq = 0$ tel que $x_{0} + h \in I$ :

\frac{F ( x _{0} + h ) - F ( x _{0} )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t .

Par continuité de $f$ en $x_{0}$ , pour tout $ε > 0$ il existe $η > 0$ tel que $∣ t - x_{0} ∣ \leq η \Rightarrow ∣ f (t) - f (x_{0}) ∣ \leq ε$ . Pour $∣ h ∣ \leq η$ , on a alors, en écrivant $f (x_{0}) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (x_{0}) d t$ :

\frac{F ( x _{0} + h ) - F ( x _{0} )}{h} - f (x_{0}) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (f (t) - f (x_{0})) d t \leq \frac{1}{∣ h ∣} \cdot ∣ h ∣ \cdot ε = ε .

Donc $h \to 0 lim \frac{F ( x _{0} + h ) - F ( x _{0} )}{h} = f (x_{0})$ , ce qui prouve que $F$ est dérivable en $x_{0}$ de dérivée $f (x_{0})$ . Comme $f$ est continue sur $I$ , $F^{'}$ est continue sur $I$ , donc $F$ est de classe $C^{1}$ . Enfin $F (a) = \int_{a}^{a} f = 0$ , ce qui caractérise $F$ parmi les primitives de $f$ .

Corollaire 2.2 — Formule de Newton-Leibniz

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors :

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) = [F (t)]_{a}^{b} .

📝 Lecture du TFA. Le TFA dit deux choses : (1) continue ⇒ admet une primitive (existence) ; (2) cette primitive se calcule comme

\int_{a}^{x} f

. C'est la passerelle qui justifie pourquoi « calculer une intégrale » revient à « trouver une primitive ». Sans le TFA, la formule

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

n'aurait pas de moteur de calcul.

3. Table des primitives usuelles (à connaître par cœur)

Ces primitives sont à savoir instantanément, sans hésitation : c'est la table de multiplication du chapitre. Chaque ligne est valable sur tout intervalle où la fonction est définie.

3.1 — Puissances et logarithme

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ pour $n \in Z ∖ {- 1}$ (ou $n \in R ∖ {- 1}$ sur $] 0, + \infty [$ )
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ (sur ℝ* — attention à la valeur absolue)
$\int \frac{1}{( x - a ) ^{n}} d x = - \frac{1}{( n - 1 ) ( x - a ) ^{n - 1}} + C$ pour $n \geq 2$

3.2 — Exponentielle

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int e^{α x} d x = \frac{1}{α} e^{α x} + C$ (pour $α \neq = 0$ )
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ (pour $a > 0, a \neq = 1$ )

3.3 — Trigonométrie circulaire

$\int sin (x) d x = - cos (x) + C$
$\int cos (x) d x = sin (x) + C$
$\int tan (x) d x = - ln ∣ cos (x) ∣ + C$
$\int \frac{1}{cos ^{2} ( x )} d x = tan (x) + C$
$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan (x) + C$
$\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin (x) + C$ (sur $] - 1, 1 [$ )

3.4 — Trigonométrie hyperbolique

$\int sh (x) d x = ch (x) + C$
$\int ch (x) d x = sh (x) + C$
$\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x} + C = argth (x) + C$ (sur $] - 1, 1 [$ )
$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = argsh (x) + C = ln (x + 1 + x^{2}) + C$

📐 Reflex — Formes $u^{'} / u$ , $u^{'} u^{n}$ , $u^{'} e^{u}$ . Avant d'engager IPP ou changement de variable, vérifie si l'intégrande est de la forme :

u^{'} / u \Rightarrow ln ∣ u ∣ + C

;

u^{'} u^{n} \Rightarrow u^{n + 1} / (n + 1) + C

(pour

n \neq = - 1

) ;

u^{'} e^{u} \Rightarrow e^{u} + C

;

u^{'} cos (u) \Rightarrow sin (u) + C

. Ex. :

\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1) + C

— forme

u^{'} / u

, zéro effort.

4. Intégration par parties (IPP)

Théorème 4.1 — Formule d'intégration par parties ★ À savoir démontrer

Soient $u, v : [a, b] \to R$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ . Alors :

\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .

Version primitives indéfinies : $\int u^{'} (x) v (x) d x = u (x) v (x) - \int u (x) v^{'} (x) d x + C$ .

Démonstration (à partir de la dérivée d'un produit)

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ , donc le produit $uv$ est également de classe $C^{1}$ et :

(uv)^{'} (t) = u^{'} (t) v (t) + u (t) v^{'} (t) .

La fonction $(uv)^{'}$ est continue sur $[a, b]$ , donc intégrable. En intégrant l'identité ci-dessus entre $a$ et $b$ et en appliquant la formule de Newton-Leibniz au membre de gauche (qui est une dérivée) :

\int_{a}^{b} (uv)^{'} (t) d t = [uv (t)]_{a}^{b} = u (b) v (b) - u (a) v (a) .

Par linéarité du membre de droite :

u (b) v (b) - u (a) v (a) = \int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t + \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .

En isolant $\int u^{'} v$ on obtient la formule annoncée.

📐 Méthode-type — Quand appliquer IPP ? L'IPP déplace la dérivée d'un facteur sur l'autre. Tu y gagnes si le facteur dérivé se simplifie (polynôme dont le degré baisse,

ln

qui devient

1/ x

). Cas canoniques :

Polynôme × $e^{α x}$ : $v =$ polynôme (dérivé), $u^{'} = e^{α x}$ (intégré). Itérer jusqu'à annulation du polynôme.
Polynôme × $cos$ ou $sin$ : idem, $v =$ polynôme.
Présence de $ln, arctan, arcsin$ : poser $v =$ cette fonction (qui se dérive bien : $1/ x$ , $1/ (1 + x^{2})$ , …).
Astuce $ln (x) = ln (x) \cdot 1$ : $u^{'} = 1, v = ln$ , donne $\int ln (x) d x = x ln (x) - x + C$ .

💡 Exemple canonique — Calcul de $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ . On pose

u^{'} (t) = e^{t}

(donc

u (t) = e^{t}

) et

v (t) = t

(donc

v^{'} (t) = 1

). Les deux fonctions sont

C^{1}

. L'IPP donne :

\int_{0}^{1} t e^{t} d t = [t e^{t}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} d t = e - (e - 1) = 1.

⚠ Piège — choisir $v$ et $u^{'}$ dans le mauvais sens. Si tu poses

v (t) = e^{t}

u^{'} (t) = t

, tu obtiens

u (t) = t^{2} /2

, et l'intégrale de droite devient

\int (t^{2} /2) e^{t}

— de degré supérieur. Tu as compliqué le problème. Règle : dérive ce qui se simplifie, intègre ce qui se conserve (exponentielles, sinus, cosinus).

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5. Changement de variable

Théorème 5.1 — Formule de changement de variable ★ À savoir démontrer

Soit $φ : [α, β] \to [a, b]$ une fonction de classe $C^{1}$ avec $φ (α) = a$ et $φ (β) = b$ , et soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ . Alors :

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t .

Mnémonique : on écrit $x = φ (t)$ donc $d x = φ^{'} (t) d t$ , et les bornes changent par $φ$ .

Démonstration (à partir de la dérivée d'une composée)

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$ (qui existe par le TFA, puisque $f$ est continue). La fonction $F \circ φ$ est de classe $C^{1}$ sur $[α, β]$ comme composée de fonctions $C^{1}$ , et par la formule de la dérivée d'une composée :

(F \circ φ)^{'} (t) = F^{'} (φ (t)) \cdot φ^{'} (t) = f (φ (t)) \cdot φ^{'} (t) .

Ainsi $F \circ φ$ est une primitive de $t \mapsto f (φ (t)) \cdot φ^{'} (t)$ sur $[α, β]$ . Par la formule de Newton-Leibniz appliquée à droite :

\int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = [F (φ (t))]_{α}^{β} = F (φ (β)) - F (φ (α)) = F (b) - F (a) .

Et par Newton-Leibniz appliquée à gauche : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . D'où l'égalité.

📐 Méthode-type — Comment choisir le changement de variable ?

Changement direct $t = φ (x)$ : on remplace une expression composée par sa version simple. Ex. : $t = ln (x) \Rightarrow d t = d x / x$ ; $t = e^{x} \Rightarrow d t = e^{x} d x$ ; $t = a x + b$ .
Changement indirect $x = φ (t)$ : pour éliminer une racine. Ex. : $x = sin (t)$ si $1 - x^{2}$ ; $x = sh (t)$ si $x^{2} + 1$ ; $x = tan (t)$ si $1 + x^{2}$ .

Ne jamais oublier de changer les bornes :

t

parcourt

[α, β]

tel que

φ (α) = a, φ (β) = b

💡 Exemple — Calcul de $\int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x$ (aire d'un quart de disque). On pose

x = sin (t)

avec

t \in [0, π /2]

φ

est

C^{1}

, bijective de

[0, π /2]

sur

[0, 1]

d x = cos (t) d t

1 - sin^{2} (t) = cos (t)

(positif sur

[0, π /2]

). Donc :

\int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x = \int_{0}^{π /2} cos^{2} (t) d t = \int_{0}^{π /2} \frac{1 + cos ( 2 t )}{2} d t = \frac{π}{4} .

Cohérent avec l'aire

π r^{2} /4

pour

r = 1

⚠ Piège — oublier de changer les bornes. Si tu calcules une intégrale définie et que tu poses

t = φ (x)

, tu DOIS remplacer les bornes

a, b

par

φ (a), φ (b)

. Beaucoup d'élèves « changent la variable mais gardent les anciennes bornes » — le résultat est faux. Alternative : revenir à

x

avant d'évaluer en

a

b

(plus sûr en primitive indéfinie).

6. Primitives de fractions rationnelles

Définition 6.1 — Fraction rationnelle et élément simple sur ℝ

Une fraction rationnelle est une fonction de la forme $R (x) = P (x) / Q (x)$ avec $P, Q \in R [X]$ et $Q \neq = 0$ . Un élément simple sur ℝ est une fraction rationnelle de l'un des deux types : première espèce $\frac{A}{( x - a ) ^{j}}$ avec $a \in R$ , $j \geq 1$ ; seconde espèce $\frac{α x + β}{( x ^{2} + b x + c ) ^{j}}$ avec $b^{2} - 4 c < 0$ , $j \geq 1$ . Toute fraction rationnelle s'écrit de manière unique comme somme d'un polynôme (partie entière) et d'éléments simples sur ℝ.

📐 Méthode-type — Primitive d'une fraction rationnelle $P / Q$ .

Division euclidienne si $de g P \geq de g Q$ : $P / Q = E + R / Q$ , $de g R < de g Q$ .
Factoriser $Q$ sur ℝ en $(x - a)^{k}$ et $(x^{2} + b x + c)^{m}$ ( $b^{2} - 4 c < 0$ ).
Décomposer $R / Q$ en éléments simples : $\frac{A}{( x - a ) ^{j}}$ + $\frac{α x + β}{( x ^{2} + b x + c ) ^{j}}$ .
Intégrer terme à terme : $\int \frac{A}{x - a} = A ln ∣ x - a ∣ + C$ ; $\int \frac{A}{( x - a ) ^{j}} = \frac{- A}{( j - 1 ) ( x - a ) ^{j - 1}} + C$ ( $j \geq 2$ ) ; $\int \frac{α x + β}{x ^{2} + b x + c}$ : isoler $\frac{α}{2} \cdot \frac{2 x + b}{x ^{2} + b x + c}$ (→ ln) + reste constant (→ arctan via forme canonique).

💡 Exemple — Calcul de $\int \frac{1}{x ^{2} - 1} d x$ . On factorise

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

puis on décompose :

\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} .

D'où :

\int \frac{1}{x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x - 1∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1∣ + C = \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C .

💡 Exemple — Pôle complexe : $\int \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d x$ . Le discriminant

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0

, le facteur est irréductible sur ℝ. On met sous forme canonique :

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} .

On pose

u = x + 1/2

, donc

d u = d x

\int \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d x = \int \frac{1}{u ^{2} + 3/4} d u = \frac{2}{3} arctan (\frac{2 u}{3}) + C = \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C .

⚠ Piège — la valeur absolue dans le logarithme.

\int \frac{1}{x - a} d x = ln ∣ x - a ∣

— la valeur absolue est obligatoire car

ln

n'est défini que sur

] 0, + \infty [

et l'intégrande est défini sur

] - \infty, a [\cup] a, + \infty [

. Oublier la valeur absolue est sanctionné en concours, même si le résultat numérique sur un segment précis est correct.

7. Primitives trigonométriques — règles de Bioche

Pour les intégrales de la forme $\int R (cos x, sin x) d x$ avec $R$ fraction rationnelle de deux variables, les règles de Bioche indiquent le bon changement de variable.

📐 Règles de Bioche. On teste les invariances de

ω (x) = R (cos x, sin x) d x

$ω (- x) = ω (x)$ : poser $u = cos (x)$ , $d u = - sin (x) d x$ .
$ω (π - x) = ω (x)$ : poser $u = sin (x)$ , $d u = cos (x) d x$ .
$ω (π + x) = ω (x)$ : poser $u = tan (x)$ , $d u = d x / cos^{2} (x)$ .
Aucune des trois : changement universel $t = tan (x /2)$ , avec $cos x = (1 - t^{2}) / (1 + t^{2})$ , $sin x = 2 t / (1 + t^{2})$ , $d x = 2 d t / (1 + t^{2})$ .

💡 Exemple — $\int \frac{sin x}{1 + cos ^{2} x} d x$ . On teste

x \mapsto - x

sin (- x) = - sin (x)

cos (- x) = cos (x)

d (- x) = - d x

. Donc :

ω (- x) = \frac{- sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} \cdot (- d x) = ω (x)

. Règle 1 → poser

u = cos (x)

d u = - sin (x) d x

\int \frac{sin x}{1 + cos ^{2} x} d x = - \int \frac{d u}{1 + u ^{2}} = - arctan (u) + C = - arctan (cos x) + C .

7.1 — Linéarisation de

cos^{p} x \cdot sin^{q} x

Si $p$ ou $q$ est impair, Bioche s'applique directement (cas 1 ou 2). Si les deux sont pairs, on linéarise via les formules d'Euler ou les identités $cos^{2} (x) = (1 + cos (2 x)) /2$ , $sin^{2} (x) = (1 - cos (2 x)) /2$ . L'intégrale se ramène à une combinaison de $cos (k x)$ et $sin (k x)$ , qui s'intègrent directement.

💡 Exemple — $\int cos^{2} (x) sin^{2} (x) d x$ . On écrit

cos^{2} x sin^{2} x = \frac{1}{4} sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - c o s ( 4 x )}{2}

. Donc :

\int cos^{2} (x) sin^{2} (x) d x = \int \frac{1 - cos ( 4 x )}{8} d x = \frac{x}{8} - \frac{sin ( 4 x )}{32} + C .

8. Intégrales du type P(x)·e^(αx), P(x)·cos(αx), P(x)·sin(αx)

Ces produits se traitent par IPP itérée ou par la méthode du complexe. Chaque correcteur attend que tu saches faire au moins l'une des deux.

📐 Méthode 1 — IPP itérée. Pour

\int P (x) e^{α x} d x

avec

de g P = n

, faire

n + 1

IPP successives en posant

v = P

(qu'on dérive) et

u^{'} = e^{α x}

. Idem avec

cos (α x), sin (α x)

à la place de

e^{α x}

📐 Méthode 2 — Passage au complexe (cos/sin). Pour

\int P (x) cos (α x) d x

, calculer

I = \int P (x) e^{i α x} d x

(une seule IPP itérée avec exp), puis prendre

Re (I)

. Pour

sin

, prendre

Im (I)

. Évite les IPP couplées cos→-sin→-cos.

💡 Exemple — $\int_{0}^{π} x sin (x) d x$ . On pose

v (t) = t

v^{'} (t) = 1

u^{'} (t) = sin (t)

u (t) = - cos (t)

. IPP :

\int_{0}^{π} t sin (t) d t = [- t cos (t)]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos (t) d t = π + [sin (t)]_{0}^{π} = π .

💡 Exemple — Calcul de $\int e^{a x} cos (b x) d x$ par le complexe. On calcule

I = \int e^{(a + ib) x} d x = \frac{e ^{(a + ib) x}}{a + ib} + C

. En prenant la partie réelle et en multipliant numérateur et dénominateur par

a - ib

\int e^{a x} cos (b x) d x = \frac{e ^{a x} ( a cos ( b x ) + b sin ( b x ) )}{a ^{2} + b ^{2}} + C .

À comparer avec la double IPP qui demande deux pages.

📝 Cas particulier — primitive de $e^{a x} cos (b x)$ par méthode des coefficients indéterminés. On cherche directement

F (x) = e^{a x} (A cos (b x) + B sin (b x))

, on dérive, on identifie. Méthode rapide et propre pour les concours.

9. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur toutes les épreuves d'analyse comportant un calcul intégral. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence.

⚠ Erreur 1 — Oublier la constante d'intégration. En primitive indéfinie, le «

+ C

» est obligatoire. Tu ne calcules pas UNE fonction, tu décris LA FAMILLE des primitives. Beaucoup d'élèves l'oublient sur les copies — c'est 0,25 point à chaque fois.

⚠ Erreur 2 — Oublier la valeur absolue dans $ln$ . Sur ℝ*, la primitive de

1/ x

est

ln ∣ x ∣

, pas

ln (x)

. Idem pour

\int u^{'} / u = ln ∣ u ∣

. Écrire «

ln (x)

» suppose implicitement

x > 0

, ce qui peut être faux sur le domaine considéré.

⚠ Erreur 3 — Oublier de changer les bornes dans le changement de variable. Si tu poses

t = φ (x)

dans

\int_{a}^{b} f (x) d x

, tu DOIS remplacer les bornes par

φ (a)

φ (b)

. Ne pas le faire conduit à une intégrale fausse — et le résultat dépend généralement du changement, ce qui se voit.

⚠ Erreur 4 — Choisir le mauvais $v$ en IPP. L'IPP n'est utile que si l'intégrale qui apparaît à droite est PLUS SIMPLE que celle de départ. Vérifie toujours mentalement : « après IPP, l'expression est-elle de degré inférieur ou de structure plus simple ? » Si non, change le découpage.

⚠ Erreur 5 — Ne pas vérifier les hypothèses (continuité, classe $C^{1}$ ). TFA exige

f

continue. IPP exige

u, v

de classe

C^{1}

. Changement de variable exige

φ

de classe

C^{1}

. Sans ces hypothèses, les formules ne sont pas justifiées — un correcteur exigeant retire des points sur les copies qui « appliquent sans énoncer ».

10. Pour aller plus loin

Le calcul de primitives est l'outil moteur de la quasi-totalité du programme d'analyse. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Équations différentielles linéaires — la résolution d'une ED du 1er ordre $y^{'} + a (x) y = b (x)$ demande de calculer une primitive de $a$ (intégrant) et une primitive d'un produit (variation de la constante).
Intégrales généralisées (spé) — étude de la convergence de $\int_{a}^{+ \infty} f$ ; on cherche une primitive pour exhiber la limite.
Séries entières (spé) — on intègre terme à terme une série entière dans son disque de convergence pour obtenir des développements de $arctan$ , $ln (1 + x)$ , etc.
Probabilités continues (spé) — la densité d'une variable aléatoire continue est l'intégrande, sa primitive est la fonction de répartition.
Géométrie (longueur d'arc, aire, volume de révolution) — chaque grandeur géométrique se définit par une intégrale, donc une primitive.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une primitive et justifier que deux primitives diffèrent d'une constante sur un intervalle ?
Connais-tu par cœur la table des primitives usuelles (puissances, exp, ln, sin, cos, tan, arctan, arcsin, sh, ch) ?
Sais-tu énoncer le TFA et le démontrer (continuité de $f$ + taux d'accroissement) ?
Sais-tu démontrer la formule d'IPP à partir de la dérivée d'un produit ?
Sais-tu démontrer la formule de changement de variable à partir de la dérivée d'une composée ?
Sais-tu reconnaître les trois formes-réflexes $u^{'} / u$ , $u^{'} u^{n}$ , $u^{'} e^{u}$ ?
Sais-tu choisir entre IPP et changement de variable selon la structure de l'intégrande ?
Sais-tu décomposer en éléments simples et intégrer chaque morceau (pôle réel simple, multiple, complexe) ?
Sais-tu appliquer les trois règles de Bioche et le changement universel $t = tan (x /2)$ en dernier recours ?
Sais-tu calculer $\int P (x) cos (α x) d x$ par IPP itérée OU par méthode du complexe ?
Connais-tu les 5 erreurs sanctionnées en copie (constante, valeur absolue, bornes, mauvais $v$ , hypothèses) ?

Démonstrations à savoir refaire

Théorème fondamental de l'analyse — taux d'accroissement + continuité de $f$ pour majorer par $ε$
Formule d'intégration par parties — intégrer l'identité $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ sur $[a, b]$
Formule de changement de variable — utiliser le TFA et la dérivée de $F \circ φ$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définition d'une primitive et propriétés

2. Théorème fondamental de l'analyse

3. Table des primitives usuelles (à connaître par cœur)

4. Intégration par parties (IPP)

5. Changement de variable

6. Primitives de fractions rationnelles

7. Primitives trigonométriques — règles de Bioche

8. Intégrales du type P(x)·e^(αx), P(x)·cos(αx), P(x)·sin(αx)

9. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

10. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Généralités sur les fonctions

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