Séries numériques

Vue d'ensemble

Additionner une INFINITÉ de termes : voilà l'objet des séries numériques. La première question est celle de la nature — la série converge-t-elle ? Pour les séries à termes positifs, une batterie de critères (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale) répond presque toujours. Pour un signe quelconque, on passe par la convergence absolue. Le chapitre s'élargit ensuite aux familles sommables : sommer sur un ensemble d'indices DÉNOMBRABLE quelconque (pas forcément $N$ ), ce qui autorise à réorganiser les termes librement (sommation par paquets, théorème de Fubini) et à définir le produit de Cauchy. C'est le socle de l'analyse de PC — séries entières, séries de Fourier, probabilités. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Séries numériques : convergence, somme, reste ; séries à termes positifs (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale) ; convergence absolue et son implication ; séries de référence (géométrique, Riemann, exponentielle). Familles sommables : famille sommable à valeurs positives puis complexes, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

Prérequis

Suites numériques, limites, équivalents et négligeabilité
Intégrales généralisées (pour la comparaison série-intégrale)
Séries géométriques et exponentielles (1re année)

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1. Séries numériques

Définition 1.1 — Série, convergence, somme, reste

La série de terme général $u_{n}$ est la suite des sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . Elle converge si $(S_{N})$ a une limite finie $S$ , la somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ . Le reste est $R_{N} = S - S_{N} = \sum_{n > N} u_{n}$ , qui tend vers $0$ .

Condition nécessaire : si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ (mais la réciproque est FAUSSE : $\sum 1/ n$ diverge).

Définition 1.2 — Convergence absolue

La série $\sum u_{n}$ est absolument convergente si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge. L'intérêt : $∣ u_{n} ∣$ est positif, on lui applique tous les critères des séries à termes positifs. Une série qui converge sans converger absolument est semi-convergente (ex. $\sum (- 1)^{n} / n$ ).

Définition 1.3 — Séries de référence

À connaître par cœur :

Géométrique : $\sum q^{n}$ converge ssi $∣ q ∣ < 1$ , de somme $\frac{1}{1 - q}$ .
Riemann : $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge ssi $α > 1$ .
Exponentielle : $\sum \frac{x ^{n}}{n !}$ converge (vers $e^{x}$ ) pour tout $x$ .

Théorème 1.1 — Comparaison et équivalents (séries à termes positifs) ★ À savoir démontrer

Soient $(u_{n}), (v_{n})$ POSITIVES. Alors :

Majoration : si $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ et $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.
Équivalents : si $u_{n} \sim v_{n}$ , les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de MÊME NATURE.

Démonstration (sommes partielles bornées et croissantes)

Majoration. Notons $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ et $T_{N} = \sum_{n = 0}^{N} v_{n}$ . Comme $u_{n} \geq 0$ , la suite $(S_{N})$ est CROISSANTE. Comme $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ , on a $S_{N} \leq T_{N} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n} =: T$ (finie car $\sum v_{n}$ converge). Ainsi $(S_{N})$ est croissante et MAJORÉE par $T$ , donc CONVERGE (théorème de la limite monotone). $\sum u_{n}$ converge.

Équivalents. Si $u_{n} \sim v_{n}$ (termes positifs), alors pour $n$ grand, $\frac{1}{2} v_{n} \leq u_{n} \leq 2 v_{n}$ . Par la majoration appliquée dans les deux sens : $\sum v_{n}$ converge $\Rightarrow \sum u_{n}$ converge (via $u_{n} \leq 2 v_{n}$ ), et $\sum u_{n}$ converge $\Rightarrow \sum v_{n}$ converge (via $v_{n} \leq 2 u_{n}$ ). Même nature. CQFD.

Théorème 1.2 — Règle de d'Alembert et comparaison série-intégrale

Deux outils complémentaires :

d'Alembert : si $u_{n} > 0$ et $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ$ , alors $ℓ < 1$ ⟹ convergence, $ℓ > 1$ ⟹ divergence ( $ℓ = 1$ : cas douteux).
Comparaison série-intégrale : pour $f$ positive DÉCROISSANTE, $\sum f (n)$ et $\int^{+ \infty} f$ sont de même nature (encadrement par des intégrales sur des intervalles de longueur $1$ ).

⚠ Piège — uₙ → 0 ne suffit PAS à la convergence. La condition

u_{n} \to 0

est NÉCESSAIRE mais pas suffisante :

\sum 1/ n

diverge alors que

1/ n \to 0

. Inversement, si

u_{n} \neq \to 0

, la série diverge GROSSIÈREMENT (contrôle rapide à faire en premier).

2. Familles sommables

Définition 2.1 — Famille sommable

Une famille $(u_{i})_{i \in I}$ indexée par un ensemble DÉNOMBRABLE $I$ , à valeurs positives, est sommable si l'ensemble des sommes finies est majoré ; sa somme est $\sum_{i \in I} u_{i} = sup_{J fini} \sum_{i \in J} u_{i}$ . Pour une famille à valeurs COMPLEXES, elle est sommable si $(∣ u_{i} ∣)$ l'est (sommabilité = convergence absolue). L'avantage : l'ordre de sommation n'a AUCUNE importance.

Définition 2.2 — Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ est la série de terme général :

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} .

Il correspond au « produit des sommes » regroupé selon $k + (n - k) = n$ . Si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont ABSOLUMENT convergentes, alors $\sum c_{n}$ l'est aussi et $\sum c_{n} = (\sum a_{n}) (\sum b_{n})$ .

Théorème 2.1 — Convergence absolue, sommabilité et Fubini ★ À savoir démontrer

Toute série absolument convergente est convergente. Pour une famille sommable, on peut sommer par paquets et intervertir l'ordre des sommations (théorème de Fubini) :

(i, j) \sum u_{i, j} = i \sum (j \sum u_{i, j}) = j \sum (i \sum u_{i, j}) .

Démonstration (convergence absolue ⟹ convergence)

Soit $\sum u_{n}$ absolument convergente ( $\sum ∣ u_{n} ∣ < + \infty$ ). Posons $w_{n} = u_{n} + ∣ u_{n} ∣$ . Comme $- ∣ u_{n} ∣ \leq u_{n} \leq ∣ u_{n} ∣$ , on a $0 \leq w_{n} \leq 2∣ u_{n} ∣$ . La série $\sum 2∣ u_{n} ∣$ converge (série à termes positifs), donc par comparaison (Thm 1.1), $\sum w_{n}$ converge.

Par linéarité, $\sum u_{n} = \sum (w_{n} - ∣ u_{n} ∣) = \sum w_{n} - \sum ∣ u_{n} ∣$ , différence de deux séries convergentes : $\sum u_{n}$ converge. CQFD. (La sommation par paquets et le théorème de Fubini pour les familles sommables sont ADMIS ; leur usage sur des familles $(u_{i, j})$ sommables est exigible.)

📐 Méthode-type — Déterminer la nature d'une série.

Terme → 0 ? Si $u_{n} \neq \to 0$ , divergence grossière (fin).
Signe constant ? Si oui, chercher un ÉQUIVALENT simple ( $C / n^{α}$ ) et conclure par Riemann ; ou d'Alembert si des factorielles/puissances.
Signe quelconque ? Étudier la convergence ABSOLUE ( $\sum ∣ u_{n} ∣$ , série positive). Si elle converge, la série converge.
Sommes doubles / familles : vérifier la sommabilité ( $\sum ∣ u_{i, j} ∣ < \infty$ ) avant d'intervertir les sommations (Fubini).

💡 Exemple — Nature par équivalent, et une somme double.
—

\sum \frac{n + 1}{n ^{3} + 2}

: le terme général

\sim \frac{n}{n ^{3}} = \frac{1}{n ^{2}}

(positif), et

\sum 1/ n^{2}

converge (Riemann,

α = 2 > 1

) : donc CONVERGE.
—

i, j \geq 1 \sum \frac{1}{2 ^{i} 3 ^{j}}

: famille positive, sommable car

\sum_{i} \sum_{j} \frac{1}{2 ^{i} 3 ^{j}} = (\sum_{i} \frac{1}{2 ^{i}}) (\sum_{j} \frac{1}{3 ^{j}}) = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

(Fubini + géométriques).

🧑‍🏫 Les critères de convergence au point

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les séries punissent les critères appliqués hors de leurs hypothèses. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Appliquer un équivalent à une série de signe non constant. Le théorème des équivalents exige un SIGNE CONSTANT (termes positifs à partir d'un rang).

u_{n} \sim v_{n}

avec des termes oscillants ne donne pas la même nature. Pour un signe quelconque : passer par la convergence absolue.

⚠ Erreur 2 — Conclure au cas ℓ = 1 de d'Alembert. Si

u_{n + 1} / u_{n} \to 1

, la règle de d'Alembert NE CONCLUT PAS (cas douteux) : il faut un autre critère (équivalent, Riemann). Beaucoup écrivent «

ℓ = 1

donc divergence » — faux.

⚠ Erreur 3 — Intervertir des sommations sans sommabilité.

\sum_{i} \sum_{j} = \sum_{j} \sum_{i}

(Fubini) n'est licite que si la famille est SOMMABLE (

\sum ∣ u_{i, j} ∣ < \infty

). Sans cette hypothèse, l'interversion peut changer le résultat. Toujours vérifier la sommabilité (souvent via les termes positifs).

⚠ Erreur 4 — Confondre convergence et convergence absolue. La convergence absolue IMPLIQUE la convergence, mais pas l'inverse (

\sum (- 1)^{n} / n

est semi-convergente). Montrer que

\sum ∣ u_{n} ∣

diverge ne prouve PAS que

\sum u_{n}

diverge : il faut une étude directe (critère spécial des séries alternées, regroupement).

⚠ Erreur 5 — Oublier de vérifier la décroissance (série-intégrale). La comparaison série-intégrale exige

f

positive ET DÉCROISSANTE. Sans la décroissance, l'encadrement par les intégrales est faux. Vérifier la monotonie avant d'appliquer.

4. Pour aller plus loin

Les séries sont la brique de toute l'analyse de PC :

Séries de fonctions et séries entières — convergence normale, rayon de convergence : des séries paramétrées.
Séries de Fourier — décomposition d'un signal périodique en série trigonométrique.
Probabilités — l'espérance et les fonctions génératrices sont des sommes de séries / familles sommables.
Exponentielle de matrice et analyse — le produit de Cauchy fonde la manipulation des séries entières (produit, composition).

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir convergence, somme et reste d'une série ?
Sais-tu que uₙ → 0 est nécessaire mais pas suffisant ?
Connais-tu les séries de référence (géométrique, Riemann α > 1, exponentielle) ?
Sais-tu démontrer le critère de comparaison (sommes partielles bornées) ?
Sais-tu utiliser les équivalents (signe constant) pour la nature ?
Connais-tu la règle de d'Alembert (et le cas douteux ℓ = 1) ?
Sais-tu la comparaison série-intégrale (f positive décroissante) ?
Sais-tu définir la convergence absolue et la semi-convergence ?
Sais-tu démontrer que convergence absolue ⟹ convergence ?
Sais-tu ce qu'est une famille sommable (ordre indifférent) ?
Sais-tu qu'on n'intervertit les sommations (Fubini) que si sommable ?
Connais-tu le produit de Cauchy (cₙ = Σ aₖ bₙ₋ₖ) ?

Démonstrations à savoir refaire

Comparaison des séries positives — sommes partielles croissantes majorées
Convergence absolue ⟹ convergence — encadrement 0 ≤ uₙ + |uₙ| ≤ 2|uₙ|

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Séries numériques

2. Familles sommables

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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