Suites et séries de fonctions

Vue d'ensemble

Quand une suite de fonctions $(f_{n})$ « tend » vers une fonction $f$ , la limite hérite-t-elle des propriétés des $f_{n}$ — continuité, intégrabilité, dérivabilité ? La réponse dépend CRUCIALEMENT du MODE de convergence. La convergence simple (point par point) est trop faible : elle ne préserve rien. La convergence uniforme, elle, transmet la continuité et permet d'intervertir limite et intégrale. Pour les séries de fonctions, un critère très commode s'ajoute : la convergence normale (série des normes infinies convergente), qui entraîne la convergence uniforme. Ces outils sont la clé des séries entières et des séries de Fourier, où l'on manipule des sommes infinies de fonctions. Ce chapitre est un pilier de l'analyse de PC. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Suites et séries de fonctions : convergence simple, convergence uniforme (norme de la convergence uniforme) ; théorème de continuité de la limite, théorème d'interversion limite-intégrale sur un segment, théorème de dérivation ; séries de fonctions, convergence simple, uniforme et normale ; théorème de la double limite ; application aux séries entières et de Fourier.

Prérequis

Séries numériques (convergence, comparaison)
Continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
Borne supérieure, norme infinie $∥ f ∥_{\infty} = sup ∣ f ∣$

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1. Suites de fonctions

Définition 1.1 — Convergence simple

Une suite de fonctions $(f_{n})$ sur un intervalle $I$ converge simplement vers $f$ si, pour CHAQUE $x \in I$ fixé, la suite numérique $(f_{n} (x))$ tend vers $f (x)$ :

\forall x \in I, \forall ε > 0, \exists N (x, ε), \forall n \geq N, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε .

Le rang $N$ dépend de $x$ . C'est une convergence FAIBLE : elle ne préserve ni la continuité, ni l'intégrale, ni la dérivée en général.

Définition 1.2 — Convergence uniforme

$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si :

∥ f_{n} - f ∥_{\infty, I} = x \in I sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to \infty 0.

Ici le rang $N$ est le MÊME pour tous les $x$ (uniforme). C'est une convergence FORTE : elle transmet les bonnes propriétés. En pratique : majorer $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ par une quantité $\to 0$ indépendante de $x$ .

Théorème 1.1 — Continuité de la limite (convergence uniforme) ★ À savoir démontrer

Si les $f_{n}$ sont CONTINUES sur $I$ et convergent UNIFORMÉMENT vers $f$ , alors $f$ est continue sur $I$ .

Démonstration (argument en ε/3)

Fixons $x_{0} \in I$ et $ε > 0$ . Pour tout $x$ et tout $n$ : $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \leq (1) ∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ + (2) ∣ f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) ∣ + (3) ∣ f_{n} (x_{0}) - f (x_{0}) ∣ .$

Par convergence UNIFORME, on choisit $n$ tel que $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \leq ε /3$ : cela majore $(1)$ et $(3)$ par $ε /3$ , UNIFORMÉMENT en $x$ . Ce $n$ étant fixé, $f_{n}$ est continue en $x_{0}$ , donc il existe un voisinage de $x_{0}$ où $(2) = ∣ f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) ∣ \leq ε /3$ . Au total, pour $x$ proche de $x_{0}$ : $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \leq ε$ . Donc $f$ est continue en $x_{0}$ . CQFD. (C'est la convergence uniforme qui permet de fixer le MÊME $n$ pour tout $x$ .)

Théorème 1.2 — Interversion limite-intégrale et dérivation

Sous convergence uniforme (sur un SEGMENT $[a, b]$ ) :

n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} n \to \infty lim f_{n} (t) d t .

Pour la dérivation, l'hypothèse porte sur les DÉRIVÉES : si $(f_{n})$ converge simplement, que les $f_{n}$ sont $C^{1}$ et que $(f_{n}^{'})$ converge UNIFORMÉMENT, alors $f$ est $C^{1}$ et $f^{'} = lim f_{n}^{'}$ . (On dérive une limite en contrôlant la limite des dérivées.)

⚠ Piège — La convergence simple ne préserve pas la continuité. Contre-exemple :

f_{n} (x) = x^{n}

sur

[0, 1]

converge SIMPLEMENT vers

f

valant

0

sur

[0, 1 [

1

1

— une limite DISCONTINUE, alors que chaque

f_{n}

est continue. La convergence n'est pas uniforme (

∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = 1

). Il faut la convergence UNIFORME pour conclure.

2. Séries de fonctions

Définition 2.1 — Série de fonctions, convergences simple et uniforme

La série de fonctions $\sum u_{n}$ a pour sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . Elle converge simplement (resp. uniformément) si la suite $(S_{N})$ converge simplement (resp. uniformément) vers la somme $S$ . La convergence uniforme équivaut à $∥ R_{N} ∥_{\infty} \to 0$ , où $R_{N} = S - S_{N} = \sum_{n > N} u_{n}$ est le RESTE.

Définition 2.2 — Convergence normale

La série $\sum u_{n}$ converge normalement sur $I$ si la série NUMÉRIQUE des normes infinies converge :

n \sum ∥ u_{n} ∥_{\infty, I} = n \sum x \in I sup ∣ u_{n} (x) ∣ < + \infty.

C'est le critère le plus COMMODE : il suffit de majorer chaque $∣ u_{n} (x) ∣$ par un terme $a_{n}$ indépendant de $x$ avec $\sum a_{n}$ convergente. La convergence normale entraîne les autres.

Définition 2.3 — Théorème de la double limite

Si $\sum u_{n}$ converge uniformément sur $I$ et si chaque $u_{n}$ a une limite $ℓ_{n}$ en un point $a$ (ou en $\pm \infty$ ), alors on peut intervertir limite et somme :

x \to a lim n = 0 \sum + \infty u_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty x \to a lim u_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty ℓ_{n} .

C'est le pendant, pour les séries, de la continuité de la limite. Idem pour la continuité et l'intégration terme à terme de la somme.

Théorème 2.1 — Convergence normale ⟹ uniforme ⟹ simple ★ À savoir démontrer

On a les IMPLICATIONS (aucune réciproque) :

normale ⟹ uniforme ⟹ simple .

Démonstration (majoration du reste par la queue de série)

Supposons la convergence NORMALE : $\sum ∥ u_{n} ∥_{\infty} < + \infty$ . Alors, pour chaque $x$ , $\sum ∣ u_{n} (x) ∣ \leq \sum ∥ u_{n} ∥_{\infty} < + \infty$ : la série $\sum u_{n} (x)$ est absolument convergente, donc CONVERGE (convergence simple). Notons $S$ sa somme.

Pour la convergence UNIFORME, majorons le reste : pour tout $x$ , $∣ R_{N} (x) ∣ = n > N \sum u_{n} (x) \leq n > N \sum ∣ u_{n} (x) ∣ \leq n > N \sum ∥ u_{n} ∥_{\infty} .$ Ce majorant $\sum_{n > N} ∥ u_{n} ∥_{\infty}$ est le RESTE d'une série numérique convergente, donc tend vers $0$ quand $N \to \infty$ , INDÉPENDAMMENT de $x$ . Donc $∥ R_{N} ∥_{\infty} \to 0$ : convergence uniforme. Enfin, uniforme $\Rightarrow$ simple est immédiat ( $∣ S_{N} (x) - S (x) ∣ \leq ∥ R_{N} ∥_{\infty}$ ). CQFD.

📐 Méthode-type — Étudier la convergence d'une série de fonctions.

Convergence simple : fixer $x$ , étudier la série numérique $\sum u_{n} (x)$ (critères des séries numériques) → domaine de convergence.
Convergence normale (le réflexe) : majorer $∣ u_{n} (x) ∣ \leq a_{n}$ (indépendant de $x$ ) avec $\sum a_{n} < \infty$ . Souvent $a_{n} = ∥ u_{n} ∥_{\infty}$ .
Si normale échoue : étudier directement le reste $∥ R_{N} ∥_{\infty}$ (convergence uniforme), ou restreindre l'intervalle.
Exploiter : sous convergence uniforme, appliquer continuité, interversion limite/somme (double limite), intégration terme à terme.

💡 Exemple — Convergence normale. La série

\sum_{n \geq 1} \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}

converge NORMALEMENT sur

R

: en effet

\frac{cos ( n x )}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

pour tout

x

, et

\sum 1/ n^{2}

converge (Riemann). Donc

∥ u_{n} ∥_{\infty} \leq 1/ n^{2}

\sum ∥ u_{n} ∥_{\infty} < \infty

. La somme est donc CONTINUE sur

R

(série de fonctions continues, convergence normale donc uniforme).

🧑‍🏫 Les modes de convergence au point

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les modes de convergence sont une source majeure d'erreurs. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Intervertir limite et intégrale sous convergence SIMPLE. L'interversion

lim \int = \int lim

exige la convergence UNIFORME (sur un segment), pas simple. Contre-exemple : des « bosses glissantes » d'intégrale constante alors que la limite simple est nulle. Toujours justifier la convergence uniforme (ou invoquer un théorème adapté).

⚠ Erreur 2 — Confondre convergence normale et uniforme. Normale

\Rightarrow

uniforme, mais PAS l'inverse : une série peut converger uniformément sans converger normalement. La normale est plus FORTE (et plus simple à établir). Ne pas « déduire la normale » d'une convergence uniforme.

⚠ Erreur 3 — Dériver une limite via la limite des fonctions. Pour dériver, l'hypothèse porte sur les DÉRIVÉES (

(f_{n}^{'})

converge uniformément), PAS sur

(f_{n})

. La convergence uniforme de

(f_{n})

NE suffit PAS à dériver terme à terme. Vérifier la convergence des dérivées.

⚠ Erreur 4 — Calculer ||fₙ − f||∞ sans étudier les variations.

sup_{x} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣

se trouve en étudiant les VARIATIONS de

x \mapsto ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣

(dérivée, points critiques), pas en « devinant ». Une majoration grossière peut surestimer le sup et rater la convergence uniforme.

⚠ Erreur 5 — Convergence normale sur un intervalle trop grand. Une série peut converger normalement sur tout SEGMENT

[a, b]

sans converger normalement sur l'intervalle OUVERT ou infini entier (le sup peut être infini). Préciser le domaine : « normale sur tout segment de

I

» suffit pour la continuité, mais pas toujours la normale globale.

4. Pour aller plus loin

Les suites et séries de fonctions fondent l'analyse avancée de PC :

Séries entières — convergence normale sur tout compact du disque : somme $C^{\infty}$ , dérivable et intégrable terme à terme.
Séries de Fourier — convergence des sommes trigonométriques, représentation des signaux périodiques.
Intégrales à paramètre — continuité et dérivation sous le signe intégrale, même logique de domination.
Fonctions définies par des séries — Gamma, zêta : régularité obtenue par convergence uniforme.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu distinguer convergence simple (point par point) et uniforme (norme infinie) ?
Sais-tu que la convergence uniforme équivaut à ||fₙ − f||∞ → 0 ?
Sais-tu démontrer que la limite uniforme de fonctions continues est continue (ε/3) ?
Sais-tu qu'on intervertit limite et intégrale sous convergence UNIFORME (segment) ?
Sais-tu que pour dériver, l'hypothèse porte sur les DÉRIVÉES (fₙ') ?
Connais-tu le contre-exemple xⁿ sur [0,1] (limite discontinue) ?
Sais-tu définir la convergence uniforme d'une série (reste ||R_N||∞ → 0) ?
Sais-tu définir la convergence normale (Σ ||uₙ||∞ < ∞) ?
Sais-tu démontrer normale ⟹ uniforme ⟹ simple ?
Sais-tu qu'aucune réciproque n'est vraie ?
Connais-tu le théorème de la double limite (interversion lim/somme) ?
Sais-tu calculer ||fₙ − f||∞ en étudiant les variations ?

Démonstrations à savoir refaire

Continuité de la limite — argument en ε/3, convergence uniforme
Normale ⟹ uniforme ⟹ simple — majoration du reste par la queue de série

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Suites de fonctions

2. Séries de fonctions

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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