Réduction des endomorphismes

Vue d'ensemble

Réduire un endomorphisme (ou une matrice carrée), c'est trouver une base dans laquelle sa matrice est la plus SIMPLE possible — idéalement diagonale. L'idée est puissante : dans une base de vecteurs propres, l'endomorphisme se contente de dilater chaque axe par un facteur, la valeur propre. Tout devient alors facile : calculer $A^{n}$ , résoudre un système différentiel, comprendre la géométrie de l'application. La méthode : chercher les valeurs propres via le polynôme caractéristique, puis les sous-espaces propres ; l'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si ces sous-espaces « remplissent » tout l'espace. Ce chapitre, central en PC, irrigue la physique (modes propres, oscillateurs couplés, mécanique quantique). Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Réduction des endomorphismes : valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres ; polynôme caractéristique ; endomorphismes et matrices diagonalisables, caractérisation par la somme directe des sous-espaces propres et par la dimension ; conditions suffisantes (

n

valeurs propres distinctes) ; applications (puissances, systèmes différentiels). Le théorème de Cayley-Hamilton est hors programme PC.

Prérequis

Algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires, matrices
Déterminant d'une matrice carrée
Polynômes, factorisation, racines

🎯 Accompagnement Majorant

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1. Éléments propres

Définition 1.1 — Valeur propre, vecteur propre

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Un scalaire $λ$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur $x \neq = 0_{E}$ tel que :

u (x) = λ x .

Un tel $x$ est un vecteur propre associé à $λ$ . Géométriquement, $u$ laisse la direction de $x$ invariante, en la dilatant du facteur $λ$ . Même définition pour une matrice $A$ ( $A X = λ X$ , $X \neq = 0$ ).

Définition 1.2 — Sous-espace propre, spectre

Le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ est :

E_{λ} (u) = ker (u - λ Id) = {x \in E : u (x) = λ x} .

C'est un sous-espace vectoriel (non réduit à ${0}$ puisque $λ$ est valeur propre), formé des vecteurs propres associés à $λ$ et du vecteur nul. L'ensemble des valeurs propres est le spectre $Sp (u)$ .

Définition 1.3 — Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de $A \in M_{n} (K)$ est :

χ_{A} (λ) = det (A - λ I_{n}) .

C'est un polynôme de degré $n$ . Ses RACINES sont exactement les valeurs propres de $A$ . La multiplicité $m_{λ}$ d'une valeur propre est son ordre de multiplicité comme racine de $χ_{A}$ .

Théorème 1.1 — Les valeurs propres sont les racines de χ ★ À savoir démontrer

$λ$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $χ_{A} (λ) = 0$ :

λ \in Sp (A) ⟺ det (A - λ I_{n}) = 0.

Démonstration (caractérisation par le noyau)

$λ$ est valeur propre de $A$ si et seulement s'il existe $X \neq = 0$ tel que $A X = λ X$ , c'est-à-dire $(A - λ I_{n}) X = 0$ avec $X \neq = 0$ . Cela signifie exactement que la matrice $A - λ I_{n}$ a un noyau NON RÉDUIT à ${0}$ , donc qu'elle n'est PAS inversible.

Or une matrice carrée est non inversible si et seulement si son déterminant est nul. Donc $λ \in Sp (A) ⟺ det (A - λ I_{n}) = 0 ⟺ χ_{A} (λ) = 0$ . Les valeurs propres sont exactement les racines du polynôme caractéristique. CQFD.

⚠ Piège — Un vecteur propre est NON NUL par définition. Le vecteur nul vérifie

u (0) = λ \cdot 0

pour TOUT

λ

: il n'est vecteur propre d'aucune valeur propre. Exiger

x \neq = 0_{E}

est essentiel. En revanche,

0

PEUT être une valeur propre (si

u

n'est pas injectif) — ne pas confondre « valeur propre nulle » et « vecteur propre nul ».

2. Diagonalisation

Définition 2.1 — Endomorphisme diagonalisable

$u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ (dans cette base, sa matrice est diagonale). De façon équivalente, $A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable s'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que :

A = P D P^{- 1},

où les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres et $D$ porte les valeurs propres correspondantes sur sa diagonale.

Définition 2.2 — Matrices semblables

Deux matrices $A, B \in M_{n} (K)$ sont semblables s'il existe $P$ inversible telle que $B = P^{- 1} A P$ : elles représentent le MÊME endomorphisme dans des bases différentes. « $A$ est diagonalisable » signifie exactement « $A$ est semblable à une matrice diagonale ». Des matrices semblables ont même polynôme caractéristique, même trace, même déterminant et mêmes valeurs propres.

Théorème 2.1 — Caractérisation de la diagonalisabilité ★ À savoir démontrer

Pour $u$ endomorphisme de $E$ (dimension $n$ ), les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable ;
$E$ est la somme directe des sous-espaces propres : $E = ⨁_{λ \in Sp (u)} E_{λ}$ ;
$λ \in Sp (u) \sum dim E_{λ} = n$ .

En pratique : $u$ est diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres égale la dimension de l'espace.

Démonstration (somme directe des sous-espaces propres)

Les sous-espaces propres sont en somme directe. Montrons que des vecteurs propres $x_{1}, \dots, x_{p}$ associés à des valeurs propres DISTINCTES $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ sont libres. Supposons $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ . En appliquant $(u - λ_{2} Id) \circ \dots \circ (u - λ_{p} Id)$ , tous les termes s'annulent sauf le premier : $α_{1} \prod_{j \geq 2} (λ_{1} - λ_{j}) x_{1} = 0$ . Comme les $λ_{j}$ sont distincts et $x_{1} \neq = 0$ , $α_{1} = 0$ . De même chaque $α_{i} = 0$ : la famille est libre, donc les $E_{λ}$ sont en somme directe.

Équivalence. La somme $F = ⨁_{λ} E_{λ}$ est un sous-espace de $E$ , et $dim F = \sum_{λ} dim E_{λ}$ . Si $u$ est diagonalisable, une base de vecteurs propres se répartit dans les $E_{λ}$ , donc $dim F = n$ et $F = E$ . Réciproquement, si $\sum_{λ} dim E_{λ} = n$ , en réunissant des bases de chaque $E_{λ}$ (libres car en somme directe) on obtient une base de $E$ faite de vecteurs propres : $u$ est diagonalisable. CQFD.

Théorème 2.2 — Conditions suffisantes de diagonalisabilité

Deux critères pratiques (suffisants, non nécessaires) :

Si $A \in M_{n} (K)$ admet $n$ valeurs propres DISTINCTES dans $K$ , alors $A$ est diagonalisable (chaque sous-espace propre est de dimension $1$ , et il y en a $n$ ).
Pour chaque valeur propre : $1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}$ (la dimension du sous-espace propre est comprise entre $1$ et la multiplicité). $A$ est diagonalisable ssi $dim E_{λ} = m_{λ}$ pour TOUTE valeur propre, et $χ_{A}$ est scindé.

📐 Méthode-type — Diagonaliser une matrice.

Polynôme caractéristique : calculer $χ_{A} (λ) = det (A - λ I_{n})$ et le factoriser → valeurs propres et multiplicités.
Sous-espaces propres : pour chaque $λ$ , résoudre $(A - λ I_{n}) X = 0$ → base de $E_{λ}$ et sa dimension.
Test : $A$ diagonalisable ssi $\sum dim E_{λ} = n$ (équivaut à $dim E_{λ} = m_{λ}$ pour tout $λ$ ).
Écrire $A = P D P^{- 1}$ : $P$ = matrice des vecteurs propres (en colonnes), $D$ = diagonale des valeurs propres dans le MÊME ordre.

💡 Exemple — Diagonaliser et calculer une puissance. Soit

A = (3012)

χ_{A} (λ) = (3 - λ) (2 - λ)

: deux valeurs propres distinctes

3

2

→ diagonalisable. Vecteurs propres :

E_{3} = Vect (0 1)

E_{2} = Vect (- 1 1)

(résoudre

(A - 2 I) X = 0

x_{1} + x_{2} = 0

). Avec

P = (10 1 - 1)

D = (3002)

, on a

A = P D P^{- 1}

, d'où

A^{n} = P D^{n} P^{- 1}

avec

D^{n} = (3^{n} 0 0 2^{n})

— calcul de puissance immédiat.

🧑‍🏫 La diagonalisation au point

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

La réduction récompense la rigueur sur les dimensions et la factorisation. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Conclure « diagonalisable » dès qu'il y a des valeurs propres. Avoir des valeurs propres ne suffit PAS : il faut que la somme des dimensions des sous-espaces propres égale

n

. Une valeur propre multiple avec un sous-espace propre trop petit (

dim E_{λ} < m_{λ}

) empêche la diagonalisation. Toujours calculer les dimensions.

⚠ Erreur 2 — Oublier que χ doit être scindé. Sur

R

, une matrice peut avoir un polynôme caractéristique NON scindé (racines complexes) : elle n'est alors pas diagonalisable sur

R

(ex. une rotation plane). Préciser le corps : diagonalisable sur

C

n'implique pas sur

R

⚠ Erreur 3 — Confondre multiplicité et dimension du sous-espace propre. On a toujours

1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}

, mais l'égalité n'est PAS automatique. La multiplicité

m_{λ}

vient de

χ_{A}

; la dimension

dim E_{λ}

se calcule en résolvant

(A - λ I) X = 0

. Ne pas supposer

dim E_{λ} = m_{λ}

sans le vérifier.

⚠ Erreur 4 — Se tromper d'ordre entre P et D. Dans

A = P D P^{- 1}

, la

k

-ème colonne de

P

(un vecteur propre) doit correspondre au

k

-ème coefficient diagonal de

D

(sa valeur propre). Mélanger l'ordre donne une égalité fausse. Vérifier sur une colonne :

A P_{k} = λ_{k} P_{k}

⚠ Erreur 5 — Erreur de signe dans det(A − λI). Attention au signe de

λ

sur la diagonale : c'est

A - λ I

, donc on SOUSTRAIT

λ

à chaque terme diagonal. Un contrôle utile : la somme des valeurs propres (avec multiplicité) égale la TRACE de

A

, et leur produit égale

det A

4. Pour aller plus loin

La réduction est un outil transversal, omniprésent en PC :

Systèmes différentiels linéaires — la diagonalisation découple les équations : chaque mode évolue en $e^{λ t}$ .
Oscillateurs couplés — modes propres et fréquences propres se lisent sur les valeurs propres d'une matrice (physique des ondes, mécanique).
Endomorphismes symétriques — le théorème spectral garantit une base orthonormée de vecteurs propres (chapitre euclidien).
Mécanique quantique — les états stationnaires sont les vecteurs propres du hamiltonien, les énergies ses valeurs propres.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir valeur propre et vecteur propre (x ≠ 0) : u(x) = λx ?
Sais-tu définir le sous-espace propre E_λ = ker(u − λ Id) ?
Sais-tu que les valeurs propres sont les racines de χ_A(λ) = det(A − λI) ?
Sais-tu le démontrer (A − λI non inversible ⟺ det = 0) ?
Sais-tu ce que signifie « diagonalisable » (base de vecteurs propres, A = PDP⁻¹) ?
Sais-tu que u diagonalisable ⟺ E = ⊕ E_λ ⟺ Σ dim E_λ = n ?
Sais-tu démontrer que des sous-espaces propres sont en somme directe ?
Sais-tu que n valeurs propres distinctes ⟹ diagonalisable ?
Sais-tu que 1 ≤ dim E_λ ≤ m_λ (dimension bornée par la multiplicité) ?
Sais-tu qu'il faut χ scindé ET dim E_λ = m_λ pour tout λ ?
Sais-tu calculer Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹ une fois diagonalisée ?
Connais-tu les contrôles trace = Σλ et det = Πλ ?

Démonstrations à savoir refaire

Valeurs propres = racines de χ — A − λI non inversible ⟺ det = 0
Somme directe des sous-espaces propres — vecteurs propres à valeurs propres distinctes sont libres

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Éléments propres

2. Diagonalisation

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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