Espaces euclidiens

Vue d'ensemble

Un espace euclidien, c'est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire — l'outil qui apporte les notions de LONGUEUR, d'ANGLE et d'ORTHOGONALITÉ. Deux résultats structurent tout : l'inégalité de Cauchy-Schwarz (qui borne le produit scalaire par le produit des normes) et la projection orthogonale sur un sous-espace, qui réalise la MEILLEURE approximation d'un vecteur par un élément du sous-espace. Cette dernière est l'idée derrière les moindres carrés, l'approximation de fonctions, les séries de Fourier. On finit par les endomorphismes symétriques et le théorème spectral : ils se diagonalisent en base orthonormée — un résultat capital pour la physique (tenseurs, formes quadratiques, modes propres). Ce chapitre outille toute la PC. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme PC (officiel) — Espaces préhilbertiens réels et euclidiens : produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz ; orthogonalité, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, bases orthonormées ; projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, distance à un sous-espace ; endomorphismes symétriques, théorème spectral (diagonalisation en base orthonormée, admis).

Prérequis

Algèbre linéaire : espaces vectoriels, bases, applications linéaires
Réduction des endomorphismes (diagonalisation)
Trigonométrie, sommes finies

🎯 Accompagnement Majorant

Cauchy-Schwarz et la projection orthogonale sont des outils que les jurys adorent. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font maîtriser produit scalaire, bases orthonormées et projection jusqu'à l'automatisme — la clé des moindres carrés, de Fourier et du théorème spectral.

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1. Produit scalaire et bases orthonormées

Définition 1.1 — Produit scalaire, espace euclidien

Un produit scalaire sur un $R$ -espace vectoriel $E$ est une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ qui est :

bilinéaire (linéaire en chaque variable) ;
symétrique : $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ;
définie positive : $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ , avec égalité ssi $x = 0$ .

Un espace euclidien est un tel espace, de DIMENSION FINIE. Exemple : $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i} x_{i} y_{i}$ sur $R^{n}$ , ou $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g$ sur les fonctions continues.

Définition 1.2 — Norme euclidienne, orthogonalité

La norme euclidienne est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ . Deux vecteurs sont orthogonaux si $⟨ x, y ⟩ = 0$ (noté $x ⊥ y$ ). Une famille est orthonormée si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme $1$ : $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{ij}$ . On a le théorème de Pythagore : $x ⊥ y \Rightarrow ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ .

Théorème 1.1 — Inégalité de Cauchy-Schwarz ★ À savoir démontrer

Pour tous $x, y$ d'un espace préhilbertien réel :

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ ∥ y ∥,

avec ÉGALITÉ si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires. Elle entraîne l'inégalité triangulaire $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ (donc $∥ \cdot ∥$ est bien une norme).

Démonstration (trinôme du second degré)

Si $y = 0$ , l'inégalité est triviale ( $0 \leq 0$ ). Supposons $y \neq = 0$ et considérons, pour $t \in R$ , la fonction $P (t) = ∥ x + t y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} \geq 0,$ obtenue en développant par bilinéarité et symétrie. C'est un TRINÔME du second degré en $t$ (car $∥ y ∥^{2} > 0$ ), positif ou nul pour tout $t$ .

Un trinôme de signe constant a un discriminant négatif ou nul : $Δ = (2 ⟨ x, y ⟩)^{2} - 4∥ y ∥^{2} ∥ x ∥^{2} \leq 0$ , soit $⟨ x, y ⟩^{2} \leq ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2}$ . En prenant la racine carrée : $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥∥ y ∥$ . L'égalité ( $Δ = 0$ ) correspond à l'existence d'un $t_{0}$ avec $x + t_{0} y = 0$ , c'est-à-dire $x, y$ colinéaires. CQFD.

Définition 1.3 — Base orthonormée, procédé de Gram-Schmidt

Une base orthonormée (BON) est une base formée d'une famille orthonormée. Dans une BON $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , les coordonnées se lisent par produit scalaire : $x = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ . Le procédé de Gram-Schmidt construit, à partir d'une base quelconque, une BON en orthogonalisant puis normalisant les vecteurs un à un.

⚠ Piège — Cauchy-Schwarz exige un vrai produit scalaire. L'inégalité repose sur le caractère DÉFINI POSITIF (

∥ y ∥^{2} > 0

pour

y \neq = 0

). Une forme bilinéaire symétrique seulement positive (non définie) ne donne pas le cas d'égalité, et le trinôme peut être dégénéré. Toujours vérifier que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est bien un produit scalaire avant d'appliquer.

2. Projection orthogonale et endomorphismes symétriques

Définition 2.1 — Projection orthogonale

Soit $F$ un sous-espace de $E$ . Tout vecteur $x$ se décompose de façon UNIQUE en $x = x_{F} + x_{F^{⊥}}$ avec $x_{F} \in F$ et $x_{F^{⊥}} \in F^{⊥}$ (supplémentaire orthogonal). La projection orthogonale sur $F$ est $p_{F} (x) = x_{F}$ . Dans une BON $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ :

p_{F} (x) = k = 1 \sum p ⟨ x, e_{k} ⟩ e_{k} .

Théorème 2.1 — Le projeté orthogonal minimise la distance ★ À savoir démontrer

Le projeté orthogonal $p_{F} (x)$ est le vecteur de $F$ le plus PROCHE de $x$ , et la distance de $x$ à $F$ est :

d (x, F) = y \in F min ∥ x - y ∥ = ∥ x - p_{F} (x) ∥.

Démonstration (théorème de Pythagore)

Soit $y \in F$ quelconque. Décomposons $x - y = (x - p_{F} (x)) + (p_{F} (x) - y)$ . Le premier terme $x - p_{F} (x) \in F^{⊥}$ (par définition de la projection), et le second $p_{F} (x) - y \in F$ (différence de deux vecteurs de $F$ ). Ces deux vecteurs sont donc ORTHOGONAUX.

Par le théorème de Pythagore : $∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ p_{F} (x) - y ∥^{2} \geq ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} .$ Donc $∥ x - y ∥ \geq ∥ x - p_{F} (x) ∥$ pour tout $y \in F$ , avec ÉGALITÉ si et seulement si $∥ p_{F} (x) - y ∥ = 0$ , c'est-à-dire $y = p_{F} (x)$ . Le minimum est atteint en $p_{F} (x)$ , et $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ . CQFD.

Définition 2.2 — Endomorphisme symétrique

Un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien est symétrique (ou autoadjoint) si :

\forall x, y \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ .

De façon équivalente, sa matrice dans une BON est SYMÉTRIQUE ( $M =^{t} M$ ). Ces endomorphismes ont une propriété remarquable : ils se diagonalisent en base orthonormée (théorème spectral).

Théorème 2.2 — Théorème spectral (admis)

Tout endomorphisme symétrique $u$ d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe une BON de vecteurs propres. De façon matricielle, toute matrice symétrique réelle $S$ s'écrit :

S = P D^{t} P, P orthogonale (^{t} P P = I_{n}), D diagonale .

Les valeurs propres sont RÉELLES, et les sous-espaces propres sont orthogonaux entre eux. Théorème admis en PC ; ses conséquences (réduction des formes quadratiques, axes principaux) sont exigibles.

📐 Méthode-type — Calculer une projection ou une distance.

BON du sous-espace : obtenir une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ (Gram-Schmidt si besoin).
Projeté : $p_{F} (x) = \sum_{k} ⟨ x, e_{k} ⟩ e_{k}$ .
Distance : $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ (ou passer par $F^{⊥}$ si sa dimension est plus petite).
Endomorphisme symétrique : vérifier $M =^{t} M$ en BON, puis diagonaliser (valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux).

💡 Exemple — Projection sur une droite. Pour projeter

x

sur la droite

D = Vect (a)

avec

a \neq = 0

, on normalise

e = a /∥ a ∥

, puis

p_{D} (x) = ⟨ x, e ⟩ e = \frac{⟨ x , a ⟩}{∥ a ∥ ^{2}} a

. La distance de

x

à la droite est

d (x, D) = ∥ x - p_{D} (x) ∥

. C'est le calcul de base des moindres carrés (meilleure approximation par un multiple de

a

🧑‍🏫 La projection orthogonale au point

BON, projeté, distance, théorème spectral : les outils euclidiens des sujets de PC. Un mentor Majorant te fait manier Gram-Schmidt et la projection sans erreur, et relier le théorème spectral aux formes quadratiques de la physique — jusqu'à la maîtrise.

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3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Le cadre euclidien récompense la rigueur sur les définitions et les bases. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Utiliser p_F(x) = Σ ⟨x, eₖ⟩ eₖ dans une base NON orthonormée. Cette formule du projeté n'est valable que si

(e_{k})

est ORTHONORMÉE. Dans une base quelconque de

F

, il faut d'abord orthonormaliser (Gram-Schmidt), ou résoudre le système des équations normales. Appliquer la formule à une base quelconque donne un faux projeté.

⚠ Erreur 2 — Oublier une hypothèse du produit scalaire. Un produit scalaire est bilinéaire, symétrique ET défini positif. Oublier « défini » (

⟨ x, x ⟩ = 0 \Rightarrow x = 0

) laisse passer des formes dégénérées. Vérifier les TROIS propriétés avant de parler d'espace euclidien.

⚠ Erreur 3 — Confondre F⊥ et le complémentaire ensembliste.

F^{⊥} = {x : \forall y \in F, ⟨ x, y ⟩ = 0}

est un SOUS-ESPACE (l'orthogonal), pas le complémentaire ensembliste. On a

E = F \oplus F^{⊥}

(somme directe orthogonale) et

dim F^{⊥} = n - dim F

. Ne pas confondre les deux notions.

⚠ Erreur 4 — Croire toute matrice diagonalisable en base orthonormée. Le théorème spectral s'applique aux matrices SYMÉTRIQUES réelles. Une matrice diagonalisable quelconque ne l'est pas forcément en base ORTHONORMÉE (ses vecteurs propres peuvent ne pas être orthogonaux). La symétrie est essentielle.

⚠ Erreur 5 — Mauvais cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz. L'égalité

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∥ x ∥∥ y ∥

équivaut à la COLINÉARITÉ de

x

y

(pas seulement

x = y

). Idem pour l'inégalité triangulaire (égalité ssi même sens). Énoncer précisément le cas d'égalité, souvent demandé.

4. Pour aller plus loin

Le cadre euclidien irrigue les mathématiques et la physique de PC :

Séries de Fourier — projection sur les fonctions trigonométriques : la meilleure approximation en moyenne quadratique.
Moindres carrés — ajustement de données : projeter le vecteur des mesures sur l'espace des modèles.
Formes quadratiques — le théorème spectral donne les axes principaux (inertie, contraintes, tenseurs).
Mécanique quantique — les observables sont des opérateurs symétriques (hermitiens) : valeurs propres réelles = valeurs mesurables.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir un produit scalaire (bilinéaire, symétrique, défini positif) ?
Sais-tu ce qu'est la norme euclidienne et l'orthogonalité ?
Connais-tu le théorème de Pythagore (x ⊥ y ⟹ ||x+y||² = ||x||² + ||y||²) ?
Sais-tu démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz (trinôme, discriminant) ?
Connais-tu le cas d'égalité (colinéarité) ?
Sais-tu ce qu'est une base orthonormée et le procédé de Gram-Schmidt ?
Sais-tu écrire le projeté orthogonal p_F(x) = Σ ⟨x, eₖ⟩ eₖ (BON) ?
Sais-tu démontrer que le projeté minimise la distance (Pythagore) ?
Sais-tu que d(x, F) = ||x − p_F(x)|| ?
Sais-tu définir un endomorphisme symétrique (⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩) ?
Connais-tu le théorème spectral (diagonalisation en BON, valeurs propres réelles) ?
Sais-tu que la formule du projeté exige une base ORTHONORMÉE ?

Démonstrations à savoir refaire

Inégalité de Cauchy-Schwarz — trinôme ||x+ty||² ≥ 0, discriminant ≤ 0
Le projeté minimise la distance — décomposition orthogonale, Pythagore

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Produit scalaire et bases orthonormées

2. Projection orthogonale et endomorphismes symétriques

3. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

4. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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