Équations différentielles linéaires

Vue d'ensemble

Les équations différentielles linéaires sont le premier vrai pont entre l'analyse MPSI et la physique : circuits RLC, oscillateurs, désintégration radioactive, mécanique du point — toutes leurs équations vivent ici. Ce chapitre te donne deux outils centraux : la résolution de l'ordre 1 (équation homogène par séparation des variables, particulière par variation de la constante) et la résolution de l'ordre 2 à coefficients constants via l'équation caractéristique et son discriminant. Au programme : 9 théorèmes incontournables, 4 démonstrations à savoir refaire et la grande règle universelle SG(E) = SG(H) + SP(E).

Au programme MPSI (officiel) — Équation différentielle linéaire d'ordre 1

y^{'} + a (x) y = b (x)

sur un intervalle, équation homogène, théorème de Cauchy linéaire, structure des solutions, principe de superposition, méthode de variation de la constante, méthode du facteur intégrant ; équation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x)

, équation caractéristique, résolution selon le signe du discriminant, recherche d'une solution particulière pour second membre exponentiel-polynomial.

Prérequis

Dérivation des fonctions usuelles et règles (produit, quotient, composée)
Calcul de primitives (exponentielles, polynômes, fonctions rationnelles simples)
Manipulation de l'exponentielle : $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$
Nombres complexes : forme $α + i β$ , formules d'Euler $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$

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Tu confonds encore équation homogène et équation complète, ou tu oublies la constante $K$ à chaque résolution ? C'est typique des deux premières semaines sur ce chapitre. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines te font enchaîner les résolutions jusqu'à ce que le réflexe SG(H) + SP(E) soit automatique, sur tes propres énoncés de colle et DS.

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Équation différentielle linéaire d'ordre 1

On appelle équation différentielle linéaire d'ordre 1 toute équation de la forme

(E) : y^{'} + a (x) y = b (x),

où $a$ et $b$ sont des fonctions données, continues sur un intervalle $I \subset R$ , à valeurs réelles ou complexes. L'inconnue est une fonction $y : I \to K$ dérivable.

Définition 1.2 — Équation homogène associée

L'équation homogène (ou sans second membre) associée à $(E)$ est

(H) : y^{'} + a (x) y = 0.

C'est l'équation que l'on obtient en remplaçant $b (x)$ par $0$ . Elle joue un rôle central : toute solution de $(E)$ se déduit d'une seule solution particulière de $(E)$ et des solutions de $(H)$ .

Définition 1.3 — Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

On appelle équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants toute équation de la forme

(E_{2}) : a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x),

où $a, b, c \in K$ avec $a \neq = 0$ sont des scalaires (constants !), et $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ , à valeurs dans $R$ ou $C$ . L'équation homogène associée est $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ .

Définition 1.4 — Équation caractéristique

L'équation caractéristique de $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ est l'équation polynomiale du second degré

a r^{2} + b r + c = 0,

d'inconnue $r \in C$ . Son discriminant est $Δ = b^{2} - 4 a c$ . C'est lui qui détermine la forme des solutions réelles : 3 cas selon le signe de $Δ$ .

Définition 1.5 — Problème de Cauchy

Un problème de Cauchy consiste à chercher la solution d'une équation différentielle qui vérifie une (ou plusieurs) condition(s) initiale(s) :

Pour l'ordre 1 : $y^{'} + a (x) y = b (x)$ et $y (x_{0}) = y_{0}$ , avec $x_{0} \in I$ et $y_{0} \in K$ donnés.
Pour l'ordre 2 : $a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x)$ et $y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}$ , avec $x_{0} \in I$ et $y_{0}, y_{1} \in K$ donnés.

Définition 1.6 — Solution générale, solution particulière

On note SG(H) l'ensemble (ou la forme générique) des solutions de l'équation homogène $(H)$ , et SP(E) une solution particulière quelconque de $(E)$ . Le théorème de structure ci-dessous dit que la solution générale de $(E)$ est SG(E) = SG(H) + SP(E).

⚠ Piège #1 du chapitre — l'intervalle de résolution $I$ . Une équation comme

x y^{'} + y = 1

n'est pas sous la forme normalisée

y^{'} + a (x) y = b (x)

tant qu'on n'a pas divisé par

x

. Or diviser par

x

impose de se placer sur un intervalle ne contenant pas

0

: soit

I =] - \infty, 0 [

, soit

I =] 0, + \infty [

. C'est l'erreur n°1 sanctionnée — toujours commencer une résolution en précisant l'intervalle

I

sur lequel

a

b

sont continues.

2. Ordre 1 — Théorèmes fondamentaux et résolution

2.1 — Théorème de Cauchy linéaire (existence et unicité)

Théorème 2.1 — Cauchy linéaire pour l'ordre 1

Soit $a, b : I \to K$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ . Pour tout $x_{0} \in I$ et tout $y_{0} \in K$ , le problème de Cauchy

{y^{'} (x) + a (x) y (x) = b (x) y (x_{0}) = y_{0}

admet une et une seule solution $y : I \to K$ , définie sur l'intervalle $I$ tout entier.

📝 Conséquence géométrique. Par chaque point

(x_{0}, y_{0})

du domaine

I \times K

, il passe exactement une courbe intégrale de

(E)

. Les courbes intégrales ne se croisent jamais — c'est ce qui permet de tracer leur portrait de phase sans ambiguïté.

2.2 — Théorème de structure des solutions

Théorème 2.2 — Structure SG(E) = SG(H) + SP(E) ★ À savoir démontrer

Soit $y_{P}$ une solution particulière de $(E) : y^{'} + a (x) y = b (x)$ . Alors les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions de la forme

y = y_{P} + y_{S},

où $y_{S}$ parcourt l'ensemble des solutions de l'équation homogène $(H) : y^{'} + a (x) y = 0$ . Autrement dit : SG(E) = SG(H) + SP(E).

Démonstration (équivalence par linéarité)

On note $L (y) = y^{'} + a (x) y$ . L'application $L$ est linéaire en $y$ : pour tous $y_{1}, y_{2}$ dérivables et $λ, μ \in K$ , $L (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ L (y_{1}) + μL (y_{2})$ . C'est l'identité-clé.

Sens direct. Si $y$ est solution de $(E)$ , alors $L (y) = b$ . Or $L (y_{P}) = b$ aussi par hypothèse. Donc $L (y - y_{P}) = L (y) - L (y_{P}) = b - b = 0$ , ce qui signifie que $y_{S} := y - y_{P}$ est solution de $(H)$ . On en déduit $y = y_{P} + y_{S}$ avec $y_{S} \in SG (H)$ .

Sens réciproque. Si $y_{S}$ est solution de $(H)$ ( $L (y_{S}) = 0$ ), alors $L (y_{P} + y_{S}) = L (y_{P}) + L (y_{S}) = b + 0 = b$ , donc $y_{P} + y_{S}$ est bien solution de $(E)$ .

Conclusion : les solutions de $(E)$ sont exactement les $y_{P} + y_{S}$ avec $y_{S} \in SG (H)$ . Cette démonstration s'étend mot pour mot à l'ordre 2 (et plus généralement à toute équation linéaire $L (y) = b$ avec $L$ opérateur linéaire).

Proposition 2.3 — Principe de superposition

Si $y_{1}$ est solution de $y^{'} + a (x) y = b_{1} (x)$ et $y_{2}$ solution de $y^{'} + a (x) y = b_{2} (x)$ , alors pour tous $λ, μ \in K$ , $λ y_{1} + μ y_{2}$ est solution de

y^{'} + a (x) y = λ b_{1} (x) + μ b_{2} (x) .

En particulier, si le second membre est une somme $b (x) = b_{1} (x) + b_{2} (x)$ , il suffit de trouver une solution particulière pour chaque $b_{i}$ et d'additionner.

💡 Exemple — Superposition. Pour résoudre

y^{'} + y = x + e^{2 x}

: on cherche

y_{P, 1}

pour le second membre

x

(forme polynomiale

a x + b

), puis

y_{P, 2}

pour le second membre

e^{2 x}

(forme

α e^{2 x}

). La somme

y_{P, 1} + y_{P, 2}

est une solution particulière de l'équation complète. On gagne un temps fou par rapport à un calcul direct par variation de la constante sur

x + e^{2 x}

2.3 — Résolution de l'équation homogène

Théorème 2.4 — Solutions de l'équation homogène ★ À savoir démontrer

Soit $a : I \to K$ continue et $A$ une primitive de $a$ sur $I$ . Les solutions de $(H) : y^{'} + a (x) y = 0$ sur $I$ sont exactement les fonctions

y_{S} (x) = K e^{- A (x)}, K \in K .

L'ensemble des solutions de $(H)$ est donc un $K$ -espace vectoriel de dimension 1, engendré par la fonction $x \mapsto e^{- A (x)}$ .

Démonstration (séparation des variables)

Étape 1 — Sens direct. Pour $y (x) = K e^{- A (x)}$ , on a $y^{'} (x) = - K A^{'} (x) e^{- A (x)} = - a (x) y (x)$ , donc $y^{'} + a (x) y = 0$ . C'est solution de $(H)$ .

Étape 2 — Sens réciproque. Soit $y$ une solution quelconque de $(H)$ sur $I$ . Considérons la fonction auxiliaire $φ (x) = y (x) e^{A (x)}$ . Elle est dérivable et

φ^{'} (x) = y^{'} (x) e^{A (x)} + y (x) A^{'} (x) e^{A (x)} = e^{A (x)} [y^{'} (x) + a (x) y (x)] = e^{A (x)} \cdot 0 = 0.

Donc $φ$ est constante sur $I$ ( $I$ est un intervalle, donc connexe). Notons $K = φ (x_{0})$ cette constante. On a $y (x) e^{A (x)} = K$ pour tout $x \in I$ , soit $y (x) = K e^{- A (x)}$ . C'est exactement la forme annoncée.

Astuce mnémo. Mémorise la fonction auxiliaire $φ (x) = y (x) e^{A (x)}$ : sa dérivée fait apparaître $y^{'} + a (x) y = 0$ . Cette technique du « facteur intégrant » reviendra en physique.

💡 Exemple canonique. Résoudre

y^{'} - 2 x y = 0

sur

R

. Ici

a (x) = - 2 x

, une primitive est

A (x) = - x^{2}

. Donc les solutions sont

y (x) = K e^{- A (x)} = K e^{x^{2}}

K \in R

. C'est la « cloche inversée » (gaussienne renversée) qu'on retrouve en probabilité et en thermique.

2.4 — Variation de la constante (méthode de Lagrange)

📐 Méthode-type — Résolution complète de $y^{'} + a (x) y = b (x)$ .

Préciser l'intervalle $I$ sur lequel $a$ et $b$ sont continues. Toujours.
Résoudre l'équation homogène $(H)$ : calculer $A (x) = \int a (x) d x$ puis $y_{S} (x) = K e^{- A (x)}$ .
Chercher une solution particulière de $(E)$ par variation de la constante : on cherche $y_{P}$ sous la forme $y_{P} (x) = K (x) e^{- A (x)}$ , où $K$ est maintenant une fonction inconnue (et plus une constante).
Injecter dans $(E)$ : après calcul (cf. démo), on obtient l'équation simplifiée $K^{'} (x) = b (x) e^{A (x)},$ d'où $K (x) = \int b (x) e^{A (x)} d x$ (primitive quelconque, sans constante !).
Conclure par $y_{P} (x) = K (x) e^{- A (x)}$ , puis la solution générale est $y (x) = K (x) e^{- A (x)} + C e^{- A (x)}, C \in K .$
(Si CI) Déterminer $C$ avec $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Théorème 2.5 — Formule de la variation de la constante ★ À savoir démontrer

Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$ . Une solution particulière de $(E) : y^{'} + a (x) y = b (x)$ est donnée par

y_{P} (x) = e^{- A (x)} \int b (x) e^{A (x)} d x .

Et la solution générale de $(E)$ sur $I$ est

y (x) = e^{- A (x)} [K + \int_{x_{0}}^{x} b (u) e^{A (u)} d u], K \in K .

Démonstration (méthode de Lagrange)

On cherche une solution de $(E)$ sous la forme $y (x) = K (x) e^{- A (x)}$ où $K$ est une fonction dérivable à déterminer (à l'opposé du cas homogène où $K$ était constante — d'où le nom « variation de la constante »). En dérivant le produit :

y^{'} (x) = K^{'} (x) e^{- A (x)} - K (x) a (x) e^{- A (x)} .

On injecte dans $y^{'} + a (x) y = b (x)$ :

K^{'} (x) e^{- A (x)} - K (x) a (x) e^{- A (x)} + a (x) K (x) e^{- A (x)} = b (x),

soit, après simplification miraculeuse des deux termes en $K (x) a (x)$ :

K^{'} (x) e^{- A (x)} = b (x), d’o \overset{u}{ˋ} K^{'} (x) = b (x) e^{A (x)} .

On intègre : $K (x) = \int b (x) e^{A (x)} d x$ (primitive sans constante — la constante redonnerait une solution de l'homogène, déjà comptée par $y_{S}$ ). Finalement $y_{P} (x) = e^{- A (x)} \int b (x) e^{A (x)} d x$ . La simplification des termes en $K (x) a (x)$ n'est pas un hasard : c'est parce que $e^{- A (x)}$ est solution de $(H)$ que la méthode marche.

💡 Exemple — Résolution complète. Résoudre

y^{'} + y = x

sur

R

A (x) = x

, homogène

y_{S} = K e^{- x}

. Variation :

K^{'} (x) = x e^{x}

, d'où par parties

K (x) = (x - 1) e^{x}

y_{P} (x) = x - 1

. Solution générale :

y (x) = x - 1 + K e^{- x}

2.5 — Méthode du facteur intégrant

📐 Méthode-type — Facteur intégrant (variante équivalente). Au lieu de la variation de la constante, on multiplie directement les deux membres de

y^{'} + a (x) y = b (x)

par le facteur intégrant

e^{A (x)}

, où

A

est une primitive de

a

. On obtient alors :

e^{A (x)} y^{'} (x) + a (x) e^{A (x)} y (x) = b (x) e^{A (x)}, soit (e^{A (x)} y (x))^{'} = b (x) e^{A (x)} .

En intégrant directement, on retrouve la formule de variation de la constante. C'est la même méthode, vue sous l'angle « rendre le membre de gauche exactement intégrable ». Choisis celle dans laquelle tu te sens le plus à l'aise — les concours acceptent les deux.

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3. Ordre 2 à coefficients constants

3.1 — Théorème de Cauchy à l'ordre 2

Théorème 3.1 — Cauchy linéaire pour l'ordre 2

Soit $a, b, c \in K$ (avec $a \neq = 0$ ) et $f : I \to K$ continue. Pour tout $x_{0} \in I$ et tous $y_{0}, y_{1} \in K$ , le problème de Cauchy

{a y^{''} (x) + b y^{'} (x) + cy (x) = f (x) y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}

admet une unique solution définie sur $I$ tout entier. À l'ordre 2, deux conditions initiales sont nécessaires (position et vitesse, en physique).

3.2 — Structure et superposition

Proposition 3.2 — Structure des solutions à l'ordre 2

Toute solution de $(E_{2}) : a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x)$ est de la forme $y_{P} + y_{S}$ , où $y_{P}$ est une solution particulière de $(E_{2})$ et $y_{S}$ parcourt les solutions de l'équation homogène $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ . Les solutions de l'homogène forment un $K$ -espace vectoriel de dimension 2.

📝 Pourquoi dimension 2 ? À l'ordre 1, un seul paramètre libre (la constante

K

) suffisait à décrire toutes les solutions de l'homogène. À l'ordre 2, il en faut deux (notées

K_{1}, K_{2}

), parce que le théorème de Cauchy demande deux conditions initiales (position + vitesse) pour fixer une solution unique. Cette dimension correspond exactement à l'ordre de l'équation différentielle.

3.3 — Équation caractéristique et discriminant Δ

Théorème 3.3 — Recherche de solutions de l'homogène en

e^{r x}

La fonction $x \mapsto e^{r x}$ est solution de $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ si et seulement si $r$ vérifie l'équation caractéristique

a r^{2} + b r + c = 0.

Justification immédiate : en injectant $y = e^{r x}$ , $y^{'} = r e^{r x}$ , $y^{''} = r^{2} e^{r x}$ , on obtient $e^{r x} (a r^{2} + b r + c) = 0$ , équivalent à $a r^{2} + b r + c = 0$ puisque $e^{r x} \neq = 0$ .

Théorème 3.4 — Solutions de l'homogène selon le discriminant Δ ★ À savoir démontrer

On pose $Δ = b^{2} - 4 a c$ . La forme des solutions réelles de $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ (avec $a, b, c \in R$ ) dépend du signe de $Δ$ :

Cas Δ > 0 — deux racines réelles distinctes $r_{1}, r_{2}$ : $y_{S} (x) = K_{1} e^{r_{1} x} + K_{2} e^{r_{2} x}, K_{1}, K_{2} \in R .$
Cas Δ = 0 — racine double $r_{0} = - b / (2 a)$ : $y_{S} (x) = (K_{1} x + K_{2}) e^{r_{0} x}, K_{1}, K_{2} \in R .$
Cas Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées $α \pm i β$ : $y_{S} (x) = e^{α x} (K_{1} cos (β x) + K_{2} sin (β x)), K_{1}, K_{2} \in R .$

Démonstration du cas Δ < 0 (passage du complexe au réel)

Supposons $a, b, c \in R$ et $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ . L'équation caractéristique $a r^{2} + b r + c = 0$ admet alors deux racines complexes conjuguées :

r_{1} = α + i β, r_{2} = α - i β, o \overset{u}{ˋ} α = \frac{- b}{2 a} \in R, β = \frac{- Δ}{2 a} \in R^{*} .

Étape 1. Dans $C$ , les solutions complexes de l'homogène forment un $C$ -espace vectoriel de dimension 2, engendré par $e^{r_{1} x}$ et $e^{r_{2} x}$ . Toute solution complexe s'écrit $y (x) = C_{1} e^{(α + i β) x} + C_{2} e^{(α - i β) x}$ avec $C_{1}, C_{2} \in C$ .

Étape 2. Pour extraire les solutions réelles, on utilise la formule d'Euler $e^{\pm i β x} = cos (β x) \pm i sin (β x)$ . Réécrivons :

y (x) = e^{α x} [C_{1} (cos β x + i sin β x) + C_{2} (cos β x - i sin β x)] = e^{α x} [(C_{1} + C_{2}) cos β x + i (C_{1} - C_{2}) sin β x] .

Étape 3. Pour que $y$ soit à valeurs réelles, on pose $K_{1} = C_{1} + C_{2} \in R$ et $K_{2} = i (C_{1} - C_{2}) \in R$ (cela impose $C_{2} = \overline{C_{1}}$ , c'est-à-dire des constantes complexes conjuguées). On obtient alors la forme annoncée :

y_{S} (x) = e^{α x} (K_{1} cos (β x) + K_{2} sin (β x)), K_{1}, K_{2} \in R .

Étape 4 — Réciproque. Toute fonction de cette forme est solution (calcul direct). L'espace des solutions réelles est un $R$ -ev de dimension 2, engendré par $e^{α x} cos (β x)$ et $e^{α x} sin (β x)$ . Lecture physique : $α$ = taux d'amortissement, $β$ = pulsation propre — c'est la signature des oscillations amorties (RLC, ressort + frottement fluide).

📝 Forme physique — amplitude et déphasage. En physique, on réécrit souvent la solution du cas Δ < 0 sous la forme :

K_{1} cos (β x) + K_{2} sin (β x) = A cos (β x - φ),

avec

A = K_{1}^{2} + K_{2}^{2}

(amplitude) et

cos φ = K_{1} / A

sin φ = K_{2} / A

(déphasage). Cette écriture, équivalente, met en évidence l'amplitude des oscillations et leur déphasage.

3.4 — Recherche d'une solution particulière

📐 Méthode-type — Solution particulière selon la forme de $f (x)$ . Le principe : on essaie une forme attendue calquée sur

f

, avec coefficients inconnus à ajuster. Identification ⇒ solution.

$f (x) = P (x)$ polynôme de degré $n$ . On cherche $y_{P}$ sous forme polynomiale, de degré :
- $n$ si $c \neq = 0$ (cas générique)
- $n + 1$ si $c = 0$ et $b \neq = 0$
- $n + 2$ si $c = 0$ et $b = 0$
Identification des coefficients à la main.
$f (x) = e^{k x} P (x)$ (exponentielle × polynôme). On pose le changement de fonction inconnue $y (x) = e^{k x} z (x)$ . En injectant, on obtient une nouvelle équation différentielle en $z$ , du même ordre, mais avec second membre polynomial $P (x)$ . On se ramène au cas 1.
$f (x) = e^{α x} cos (β x) P (x)$ ou $e^{α x} sin (β x) P (x)$ . On résout dans $C$ avec second membre $e^{(α + i β) x} P (x)$ (cas 2), puis on prend la partie réelle (pour $cos$ ) ou la partie imaginaire (pour $sin$ ) de la solution complexe obtenue.

💡 Exemple — Second membre polynomial. Résoudre

y^{''} - 2 y^{'} + y = 2 x^{2} - 8 x + 5

. Ici

c = 1 \neq = 0

, on cherche

y_{P} (x) = a x^{2} + b x + d

. En injectant et en identifiant les coefficients, on obtient

a = 2

b = 0

d = 1

, donc

y_{P} (x) = 2 x^{2} + 1

💡 Exemple — Exponentielle × polynôme avec $k$ racine. Pour

y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = (2 x + 1) e^{x}

, la caractéristique

r^{2} - 4 r + 3 = 0

a pour racines

1

3

. Comme

k = 1

est racine, on pose

y = e^{x} z

; l'équation en

z

devient

z^{''} - 2 z^{'} = 2 x + 1

, polynomiale de degré 2. On trouve

y_{P} (x) = e^{x} (- \frac{1}{2} x^{2} - x)

⚠ Piège — $k$ racine de l'équation caractéristique. Quand

f (x) = e^{k x} P (x)

et que

k

est racine de

a r^{2} + b r + c = 0

, la forme « attendue »

y_{P} = e^{k x} Q (x)

avec

de g Q = de g P

ne marche pas : on tombe sur

0 = P (x)

. Il faut monter le degré (de 1 si

k

est racine simple, de 2 si

k

est racine double). Le changement

y = e^{k x} z

gère ça automatiquement — c'est pour ça qu'on le recommande.

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des équations différentielles. Elles coûtent typiquement entre 1 et 3 points par occurrence — et certaines sont éliminatoires.

⚠ Erreur 1 — Oublier de préciser l'intervalle $I$ . Sur une équation comme

x y^{'} + y = 1

, on doit impérativement annoncer « on se place sur

I =] 0, + \infty [

» (ou

] - \infty, 0 [

) avant de diviser par

x

. Sans cette précision, la division est non justifiée et le correcteur retire les points. Et les solutions sur

] - \infty, 0 [

] 0, + \infty [

ne se recollent pas automatiquement en

0

: il faut une étude de raccord.

⚠ Erreur 2 — Oublier la constante $K$ dans la solution générale de l'homogène. Écrire

y_{S} (x) = e^{- A (x)}

au lieu de

y_{S} (x) = K e^{- A (x)}

est l'erreur n°2 du chapitre. Sans le

K

, tu donnes une seule solution de

(H)

au lieu de toutes — et tu rates la résolution du problème de Cauchy ensuite (impossibilité d'ajuster la CI).

⚠ Erreur 3 — Variation de la constante mal exécutée. Trois sous-erreurs courantes : (a) oublier de dériver le produit

K (x) e^{- A (x)}

en appliquant la règle du produit (oubli du terme

K (x) \cdot (- a (x)) e^{- A (x)}

) ; (b) garder une constante d'intégration en calculant

K (x) = \int b (x) e^{A (x)} d x + C

— cette constante

C

redonne une solution de l'homogène, déjà comptée dans

y_{S}

, et génère un terme parasite ; (c) confondre les rôles de

K

constante (homogène) et

K (x)

fonction (variation).

⚠ Erreur 4 — Confondre les 3 cas de l'ordre 2. Le cas Δ = 0 donne

(K_{1} x + K_{2}) e^{r_{0} x}

, pas

K_{1} e^{r_{0} x} + K_{2} e^{r_{0} x}

(qui se réduit à une seule constante !). Le facteur

x

devant

K_{1}

est essentiel : il fournit la deuxième solution indépendante, sans laquelle l'espace ne serait que de dimension 1. Démonstration en exercice classique de colle.

⚠ Erreur 5 — Conditions initiales appliquées trop tôt. Appliquer

y (x_{0}) = y_{0}

sur

y_{P}

seul (la solution particulière) au lieu de

y = y_{P} + y_{S}

(la solution générale) est l'erreur structurale n°1 de ce chapitre. Les CI s'appliquent toujours sur la solution générale — c'est elle qui contient les paramètres libres (

K

à l'ordre 1,

K_{1}

K_{2}

à l'ordre 2) à fixer par les CI.

5. Pour aller plus loin

Les équations différentielles linéaires irriguent à la fois le programme d'analyse MPSI et toute la physique de prépa. Les chapitres qui les réinvestissent directement :

Mécanique du point — Oscillateur harmonique, oscillateur amorti : équation $\overset{x}{¨} + 2 λ \overset{x}{˙} + ω_{0}^{2} x = f (t)$ , résolution exactement comme dans cette fiche, les 3 régimes (apériodique, critique, pseudo-périodique) sont les 3 cas du discriminant.
Électrocinétique — Circuits RC, RL, RLC en régime transitoire : exactement les mêmes équations, avec $τ = R C$ ou $τ = L / R$ comme constante de temps. Tu retrouveras la solution exponentielle $K e^{- t / τ}$ du cas homogène.
Espaces vectoriels (algèbre linéaire) — La structure « SG(E) = SG(H) + SP(E) » se généralise à tout système linéaire $L (y) = b$ : c'est un théorème d'algèbre linéaire (sous-espace affine = sous-espace vectoriel + un vecteur).
Séries entières (spé) — Beaucoup d'équations différentielles non résolubles en termes élémentaires se résolvent par recherche d'une solution sous forme de série entière $\sum a_{n} x^{n}$ . On retombe sur une récurrence linéaire entre les $a_{n}$ .

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Tu veux verrouiller équations diff + mécanique + électrocinétique avant le DS ? Nos stages intensifs vacances (1 semaine, 25h) reprennent les 3 chapitres ensemble (parce qu'ils le sont, en vrai), avec exos type concours et khôlles blanches. Encadrés par des alumni X-ENS, Centrale et Mines qui ont passé ces concours il y a 2 ans.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire la forme normalisée d'une équa diff linéaire d'ordre 1 et d'ordre 2 à coefficients constants, et préciser sur quel intervalle $I$ on travaille ?
Sais-tu énoncer le théorème de Cauchy linéaire pour l'ordre 1 et l'ordre 2 (existence, unicité, condition initiale) ?
Sais-tu démontrer le théorème de structure SG(E) = SG(H) + SP(E) en utilisant la linéarité de l'opérateur $L$ ?
Sais-tu démontrer que les solutions de $y^{'} + a (x) y = 0$ sont les $K e^{- A (x)}$ , en passant par la fonction auxiliaire $φ (x) = y (x) e^{A (x)}$ ?
Sais-tu énoncer et appliquer le principe de superposition ( $b = b_{1} + b_{2}$ ⇒ découper la recherche de $y_{P}$ ) ?
Sais-tu dérouler la méthode de variation de la constante (Lagrange) en 5 minutes, sans hésiter ?
Sais-tu démontrer la formule $K^{'} (x) = b (x) e^{A (x)}$ et en déduire la formule de variation de la constante ?
Connais-tu les 3 cas du discriminant Δ pour l'ordre 2 (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0) avec la forme exacte des solutions ?
Sais-tu démontrer le passage du complexe au réel dans le cas Δ < 0 via la formule d'Euler (deux racines conjuguées $α \pm i β$ → $e^{α x} (K_{1} cos β x + K_{2} sin β x)$ ) ?
Connais-tu les 3 stratégies pour chercher $y_{P}$ selon que $f$ est polynomial, exponentiel-polynomial, ou exponentiel-trigonométrique ?
Sais-tu adapter le degré du polynôme essayé selon que $c = 0$ , $b = 0$ , ou ni l'un ni l'autre ?
Sais-tu appliquer les conditions initiales sur la solution générale (et pas sur $y_{P}$ seule) pour fixer $K_{1}, K_{2}$ ?

Démonstrations à savoir refaire

Structure SG(E) = SG(H) + SP(E) — linéarité de l'opérateur $L (y) = y^{'} + a (x) y$ + double implication
Solutions de l'homogène $y^{'} + a (x) y = 0$ — fonction auxiliaire $φ (x) = y (x) e^{A (x)}$ , dérivée nulle, constante
Formule de variation de la constante — méthode de Lagrange, simplification miraculeuse des termes en $K (x) a (x)$
Cas Δ < 0 à l'ordre 2 — racines complexes $α \pm i β$ → formule d'Euler → forme réelle $e^{α x} (K_{1} cos β x + K_{2} sin β x)$

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Ordre 1 — Théorèmes fondamentaux et résolution

2.1 — Théorème de Cauchy linéaire (existence et unicité)

2.2 — Théorème de structure des solutions

2.3 — Résolution de l'équation homogène

2.4 — Variation de la constante (méthode de Lagrange)

2.5 — Méthode du facteur intégrant

3. Ordre 2 à coefficients constants

3.1 — Théorème de Cauchy à l'ordre 2

3.2 — Structure et superposition

3.3 — Équation caractéristique et discriminant Δ

3.4 — Recherche d'une solution particulière

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

Fiches associées

Nombres réels

Suites numériques

Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

Logarithmes, exponentielles et puissances

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