Séries numériques

Vue d'ensemble

Les séries numériques sont l'aboutissement naturel du chapitre des suites : sommer une infinité de termes a-t-il un sens, et si oui lequel ? On y répond en étudiant la suite des sommes partielles $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ . Cette fiche regroupe les 10 théorèmes incontournables, les 4 démonstrations à savoir refaire et les pièges qui font perdre des points en DS comme aux concours.

Au programme MPSI (officiel) — Séries numériques à termes réels ou complexes : suite des sommes partielles, convergence et somme, reste, condition nécessaire de convergence, séries de référence (géométrique, harmonique, Riemann), séries à termes positifs (comparaison, équivalents, comparaison série-intégrale), convergence absolue, critère spécial des séries alternées (Leibniz), produit de Cauchy.

Prérequis

Maîtrise complète des suites numériques (convergence, monotonie, théorème de la limite monotone)
Manipulation des sommes finies et notations $\sum_{k = 0}^{n} u_{k}$
Comparaisons asymptotiques élémentaires : domination, équivalents, négligeabilité
Intégrales sur un segment et croissance/décroissance d'une fonction continue par morceaux

🎯 Accompagnement Majorant

Tu sais étudier une suite mais tu bloques dès qu'il faut sommer ? Les séries sont le piège n°1 de fin de premier semestre — confusion entre suite $(u_{n})$ et série $\sum u_{n}$ , erreurs sur les critères, mauvaise utilisation des équivalents. Nos mentors alumni X · Centrale · Mines remettent la mécanique en place en cours particuliers, exos sur-mesure tirés de tes DS.

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1. Définitions essentielles

Définition 1.1 — Série numérique

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite réelle (ou complexe). La série de terme général $u_{n}$ , notée $\sum u_{n}$ , est la donnée de la suite $(S_{n})_{n \in N}$ des sommes partielles :

S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .

Le terme $u_{n}$ s'appelle le terme général de la série ; $S_{n}$ en est la somme partielle d'ordre $n$ .

Définition 1.2 — Série convergente, série divergente

La série $\sum u_{n}$ est dite convergente si la suite $(S_{n})$ des sommes partielles converge dans $R$ (ou $C$ ). On appelle alors somme de la série la limite :

S = n = 0 \sum + \infty u_{n} = n \to + \infty lim S_{n} .

Sinon, la série est dite divergente. Étudier la nature d'une série, c'est dire si elle converge ou non.

⚠ Piège #1 — Ne pas confondre $(u_{n})$ et $\sum u_{n}$ . Une suite peut converger sans que la série associée converge (cf. la série harmonique :

\frac{1}{n} \to 0

mais

\sum \frac{1}{n}

diverge). Inversement, si

\sum u_{n}

converge, alors nécessairement

u_{n} \to 0

— mais la réciproque est fausse. Tiens toujours ces deux objets séparés dans ta tête.

Définition 1.3 — Reste d'une série convergente

Si $\sum u_{n}$ converge, de somme $S$ , on appelle reste d'ordre $n$ la quantité :

R_{n} = S - S_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k} .

Le reste mesure « ce qu'il manque » dans la somme partielle pour atteindre $S$ . Par définition, $R_{n} \to 0$ quand $n \to + \infty$ .

Définition 1.4 — Convergence absolue

La série $\sum u_{n}$ est dite absolument convergente si la série $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge. Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est dite semi-convergente.

Définition 1.5 — Série alternée

Une série alternée est une série de la forme $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ avec $a_{n} \geq 0$ pour tout $n$ . Les signes des termes alternent strictement.

Définition 1.6 — Série télescopique

Une série $\sum u_{n}$ est dite télescopique si son terme général s'écrit $u_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ pour une certaine suite $(a_{n})$ . Les sommes partielles se simplifient en cascade :

S_{n} = k = 0 \sum n (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{0} .

Donc $\sum u_{n}$ converge si et seulement si $(a_{n})$ converge, et sa somme vaut alors $lim a_{n} - a_{0}$ .

2. Condition nécessaire et séries de référence

2.1 — Condition nécessaire de convergence

Théorème 2.1 — Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro : $u_{n} n \to + \infty 0$ .

Démonstration (écart entre deux sommes partielles consécutives)

Supposons $\sum u_{n}$ convergente, de somme $S$ . Alors $S_{n} \to S$ et $S_{n - 1} \to S$ . Par différence :

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} n \to + \infty S - S = 0.

⚠ Piège majeur — La réciproque est FAUSSE.

u_{n} \to 0

ne suffit pas pour que

\sum u_{n}

converge. Contre-exemple culte : la série harmonique

\sum \frac{1}{n}

avec

\frac{1}{n} \to 0

mais qui diverge (cf. 2.2.b). Conséquence pratique : «

u_{n} \to 0

» ne te donne jamais la convergence — c'est seulement un premier filtre. En revanche, la contraposée est puissante : si $u_{n} \neq \to 0$ , alors $\sum u_{n}$ diverge (on parle de divergence grossière).

2.2 — Série géométrique

Théorème 2.2 — Série géométrique ★ À savoir démontrer

Soit $q \in R$ (ou $C$ ). La série $\sum q^{n}$ converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ . Dans ce cas :

n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q} .

Démonstration (somme partielle explicite)

Cas $q = 1$ : $S_{n} = n + 1 \to + \infty$ , la série diverge.

Cas $q \neq = 1$ : la formule classique pour la somme géométrique finie donne :

S_{n} = k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .

Le comportement de $S_{n}$ dépend donc de $(q^{n + 1})$ . Si $∣ q ∣ < 1$ , alors $q^{n + 1} \to 0$ , donc $S_{n} \to \frac{1}{1 - q}$ : convergence. Si $∣ q ∣ > 1$ , $∣ q^{n + 1} ∣ \to + \infty$ , donc $(S_{n})$ n'est pas bornée, divergence. Si $∣ q ∣ = 1$ et $q \neq = 1$ , alors $(q^{n})$ ne tend pas vers $0$ , donc $u_{n} \neq \to 0$ et la série diverge grossièrement (par la condition nécessaire).

💡 Exemple — Somme dyadique. Avec

q = \frac{1}{2}

, on retrouve l'identité bien connue

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2

. Plus généralement,

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2 ^{n}} = 1

(paradoxe de Zénon résolu).

2.3 — Série harmonique

Théorème 2.3 — Divergence de la série harmonique ★ À savoir démontrer

La série harmonique $n \geq 1 \sum \frac{1}{n}$ diverge, bien que son terme général tende vers $0$ . Plus précisément, $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \to + \infty$ .

Démonstration (paquets de longueur 2ᵏ — preuve d'Oresme)

Regroupons les termes par paquets dont les indices vont de $2^{k} + 1$ à $2^{k + 1}$ :

p_{0} \frac{1}{1} + p_{1} \frac{1}{2} + p_{2} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + p_{3} \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots

Chaque paquet $p_{k}$ (pour $k \geq 1$ ) contient $2^{k - 1}$ termes, tous $\geq \frac{1}{2 ^{k}}$ . Donc :

p_{k} = j = 2^{k - 1} + 1 \sum 2^{k} \frac{1}{j} \geq 2^{k - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2} .

Par conséquent, la somme partielle $S_{2^{N}} = 1 + p_{1} + p_{2} + \dots + p_{N} \geq 1 + \frac{N}{2}$ , qui tend vers $+ \infty$ avec $N$ . La sous-suite $(S_{2^{N}})$ est non bornée, donc $(S_{n})$ elle-même est non bornée. $(S_{n})$ étant croissante, le théorème de la limite monotone donne $S_{n} \to + \infty$ .

📝 Vitesse de divergence. On peut affiner (hors-prog MPSI mais culture) :

S_{n} = ln (n) + γ + o (1)

où

γ \approx 0, 5772

est la constante d'Euler-Mascheroni. La divergence est donc logarithmique, extrêmement lente : pour atteindre

S_{n} = 10

, il faut sommer environ

n = 12367

termes.

2.4 — Séries de Riemann

Théorème 2.4 — Séries de Riemann ★ À savoir démontrer

Soit $α \in R$ . La série $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Démonstration (comparaison série-intégrale)

Cas $α \leq 0$ : $\frac{1}{n ^{α}} \neq \to 0$ (la suite ne tend pas vers $0$ ), donc divergence grossière.

Cas $0 < α \leq 1$ : pour $n \geq 1$ et $α \leq 1$ , $\frac{1}{n ^{α}} \geq \frac{1}{n}$ . Par comparaison de séries à termes positifs avec la série harmonique (qui diverge), $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ diverge également.

Cas $α > 1$ : la fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t ^{α}}$ est continue, positive et décroissante sur $[1, + \infty [$ . Par décroissance, pour tout entier $k \geq 2$ et tout $t \in [k - 1, k]$ , on a $f (k) \leq f (t)$ , donc en intégrant sur $[k - 1, k]$ :

\frac{1}{k ^{α}} \leq \int_{k - 1}^{k} \frac{d t}{t ^{α}} .

En sommant pour $k$ variant de $2$ à $n$ :

S_{n} - 1 = k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{α}} \leq \int_{1}^{n} \frac{d t}{t ^{α}} = \frac{1}{α - 1} (1 - \frac{1}{n ^{α - 1}}) \leq \frac{1}{α - 1} .

Donc $(S_{n})$ est croissante (somme à termes positifs) et majorée par $1 + \frac{1}{α - 1}$ . Par le théorème de la limite monotone, $(S_{n})$ converge.

💡 Exemple — Le problème de Bâle. Pour

α = 2

, Euler a démontré (1734) :

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

. La preuve dépasse le programme MPSI mais la valeur est à connaître en culture mathématique.

🧑‍🏫 Verrouille les séries de référence

Riemann, géométrique, harmonique : les trois piliers du chapitre. Si tu hésites encore à dire instantanément la nature de $\sum \frac{1}{n ^{3/2}}$ ou $\sum (\frac{2}{3})^{n}$ , tu perds 1-2 points par DS. Une séance ciblée avec un mentor Majorant alumni X · Centrale et tu maîtrises les réflexes pour le DS suivant.

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3. Séries à termes positifs

Pour les séries à termes positifs (à partir d'un certain rang), la suite des sommes partielles $(S_{n})$ est croissante. Par le théorème de la limite monotone, convergence équivaut à « somme partielle majorée ». C'est ce qui rend les critères de comparaison si efficaces dans ce cadre.

Théorème 3.1 — Critère de comparaison (séries à termes positifs)

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles vérifiant $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang. Alors :

Si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $\sum u_{n}$ diverge, alors $\sum v_{n}$ diverge.

Théorème 3.2 — Critère par équivalents (termes positifs)

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites de réels strictement positifs telles que $u_{n} n \to + \infty \sim v_{n}$ . Alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature (toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes).

⚠ Piège — Équivalents et termes positifs. Le critère par équivalents exige que les termes soient de signe constant (positifs à partir d'un certain rang). Pour des séries de signe variable, un équivalent ne transmet pas la convergence. Contre-exemple :

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge (Leibniz),

v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n}

vérifie

u_{n} \sim v_{n}

mais

\sum v_{n}

diverge (somme de Leibniz convergente + harmonique divergente).

📐 Méthode-type — Étudier la nature d'une série à termes positifs. Dans l'ordre :

Vérifier la condition nécessaire : $u_{n} \to 0$ ? Si non, divergence grossière.
Chercher un équivalent $u_{n} \sim v_{n}$ où $v_{n}$ est une série de référence (géométrique, Riemann, harmonique).
Conclure par le critère par équivalents : même nature que la référence.
Si pas d'équivalent simple, encadrer ou dominer : $u_{n} \leq v_{n}$ avec $\sum v_{n}$ convergente connue (idéalement Riemann avec $α > 1$ ).
Cas pathologique : passer à la comparaison série-intégrale (voir 3.3).

Ne saute jamais l'étape 1 : un terme général qui ne tend pas vers

0

donne la conclusion en une ligne — ne perds pas 10 minutes à chercher un équivalent dans ce cas.

3.3 — Comparaison série-intégrale

Théorème 3.3 — Comparaison série-intégrale

Soit $f : [n_{0}, + \infty [\to R_{+}$ continue par morceaux, positive et décroissante. Alors la série $n \geq n_{0} \sum f (n)$ et l'intégrale $\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature. Plus précisément, pour tout $n \geq n_{0} + 1$ :

\int_{n_{0} + 1}^{n + 1} f (t) d t \leq k = n_{0} + 1 \sum n f (k) \leq \int_{n_{0}}^{n} f (t) d t .

💡 Exemple — Série de Bertrand simple. Étudions

\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n l n ( n )}

. La fonction

f (t) = \frac{1}{t l n ( t )}

est décroissante sur

[2, + \infty [

. Or :

\int_{2}^{x} \frac{d t}{t ln ( t )} = [ln (ln t)]_{2}^{x} = ln (ln x) - ln (ln 2) \to + \infty.

L'intégrale diverge, donc par comparaison série-intégrale,

\sum \frac{1}{n l n ( n )}

diverge également. Voilà un exemple où le critère par équivalents est inopérant (pas de

n^{α}

de référence directe).

4. Séries à termes quelconques

Pour les séries dont les termes changent de signe (ou sont complexes), les critères du §3 ne s'appliquent plus directement. Deux armes principales : la convergence absolue et le critère spécial des séries alternées.

4.1 — Convergence absolue implique convergence

Théorème 4.1 — Convergence absolue implique convergence

Soit $\sum u_{n}$ une série réelle ou complexe. Si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge. Et l'on a alors :

n = 0 \sum + \infty u_{n} \leq n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣.

📝 Stratégie pratique. Quand on étudie une série à termes quelconques, le premier réflexe est d'examiner

\sum ∣ u_{n} ∣

: si elle converge (par exemple par équivalent avec une Riemann à

α > 1

), c'est gagné. Si

\sum ∣ u_{n} ∣

diverge, on passe alors au critère de Leibniz (cas alterné) ou à une astuce ad hoc (Abel, transformation de la somme, etc., pour les concours).

4.2 — Critère spécial des séries alternées (Leibniz)

Théorème 4.2 — Critère de Leibniz ★ À savoir démontrer

Soit $(a_{n})$ une suite réelle vérifiant les trois conditions suivantes :

$a_{n} \geq 0$ pour tout $n$ (positivité),
$(a_{n})$ est décroissante,
$a_{n} \to 0$ .

Alors la série alternée $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ converge. De plus, en notant $S$ sa somme et $S_{n}$ sa somme partielle :

∣ R_{n} ∣ = ∣ S - S_{n} ∣ \leq a_{n + 1}, et R_{n} a le signe de (- 1)^{n + 1} .

Démonstration (sous-suites paires et impaires adjacentes)

Notons $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} a_{k}$ . On va montrer que les sous-suites $(S_{2 n})$ et $(S_{2 n + 1})$ sont adjacentes.

1) Monotonie de $(S_{2 n})$ : on calcule

S_{2 n + 2} - S_{2 n} = (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n + 1} + (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 2} = - a_{2 n + 1} + a_{2 n + 2} = - (a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2}) \leq 0,

car $(a_{n})$ est décroissante. Donc $(S_{2 n})$ est décroissante.

2) Monotonie de $(S_{2 n + 1})$ : de manière analogue,

S_{2 n + 3} - S_{2 n + 1} = a_{2 n + 2} - a_{2 n + 3} \geq 0,

donc $(S_{2 n + 1})$ est croissante.

3) Différence qui tend vers $0$ : $S_{2 n} - S_{2 n + 1} = - (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} \to 0$ .

Les deux sous-suites $(S_{2 n})$ (décroissante) et $(S_{2 n + 1})$ (croissante) sont donc adjacentes (avec $S_{2 n + 1} \leq S_{2 n}$ ). Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers la même limite $S$ . Le critère par sous-suites paires/impaires (suites numériques) donne alors $S_{n} \to S$ : la série converge.

Majoration du reste : pour $n$ pair, $S_{n + 1} \leq S \leq S_{n}$ (adjacence), donc $∣ S - S_{n} ∣ \leq ∣ S_{n} - S_{n + 1} ∣ = a_{n + 1}$ . Idem pour $n$ impair par symétrie.

💡 Exemple — Série harmonique alternée. La série

n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots

vérifie les hypothèses de Leibniz :

a_{n} = \frac{1}{n}

est positive, décroissante, tend vers

0

. Donc elle converge. Sa somme vaut

ln (2)

(résultat hors-prog mais à connaître). C'est l'exemple canonique de série semi-convergente : elle converge, mais

\sum ∣ u_{n} ∣ = \sum \frac{1}{n}

diverge.

4.3 — Produit de Cauchy

Définition 4.3 — Produit de Cauchy de deux séries

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries réelles ou complexes. Leur produit de Cauchy est la série $\sum w_{n}$ de terme général :

w_{n} = k = 0 \sum n u_{k} v_{n - k} = u_{0} v_{n} + u_{1} v_{n - 1} + \dots + u_{n} v_{0} .

Théorème 4.4 — Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes

Si les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy $\sum w_{n}$ est aussi absolument convergent, et :

n = 0 \sum + \infty w_{n} = (n = 0 \sum + \infty u_{n}) (n = 0 \sum + \infty v_{n}) .

💡 Exemple — Exponentielle complexe. Pour

z, z^{'} \in C

, les séries

\sum \frac{z ^{n}}{n !}

\sum \frac{z ^{' n}}{n !}

sont absolument convergentes. Leur produit de Cauchy a pour terme général :

w_{n} = k = 0 \sum n \frac{z ^{k}}{k !} \cdot \frac{z ^{' n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) z^{k} z^{' n - k} = \frac{( z + z ^{'} ) ^{n}}{n !},

par la formule du binôme. On retrouve ainsi la propriété fondamentale

exp (z) exp (z^{'}) = exp (z + z^{'})

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Ces erreurs reviennent chaque année dans les rapports de jury (CCINP, Mines-Ponts, Centrale, X-ENS) sur les épreuves comportant des séries. Elles coûtent typiquement entre 0,5 et 2 points par occurrence — et certaines invalident toute la question.

⚠ Erreur 1 — « $u_{n} \to 0$ donc $\sum u_{n}$ converge ». Faux absolu : c'est la réciproque du théorème de la condition nécessaire, et elle ne tient pas (cf. série harmonique). La condition

u_{n} \to 0

est nécessaire mais pas suffisante. Ne l'invoque jamais pour conclure à la convergence : utilise-la uniquement en contraposée pour invoquer une divergence grossière quand

u_{n} \neq \to 0

⚠ Erreur 2 — Appliquer le critère par équivalents à une série de signe variable. Le critère «

u_{n} \sim v_{n} \Rightarrow

même nature » exige des termes positifs (au moins à partir d'un certain rang). Pour

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

, aucun usage d'équivalent ne te donnera la convergence directement — il faut passer par Leibniz.

⚠ Erreur 3 — Vérifier seulement deux conditions de Leibniz sur les trois. Le critère exige : (1)

a_{n} \geq 0

, (2)

(a_{n})

décroissante, (3)

a_{n} \to 0

. Oublier la décroissance est l'erreur n°1. Exemple piège :

a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{n}

(alternance entre

0

\frac{2}{n}

) tend vers

0

mais n'est pas monotone — le critère ne s'applique pas, et la série

\sum (- 1)^{n} a_{n}

doit être étudiée par d'autres moyens.

⚠ Erreur 4 — Confondre « somme partielle » et « somme totale ». Notations à respecter scrupuleusement :

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}

(somme partielle, somme finie, toujours définie) versus

S = \sum_{k = 0}^{+ \infty} u_{k}

(somme totale, définie uniquement si la série converge). Écrire

\sum_{k = 0}^{+ \infty} u_{k}

avant d'avoir prouvé la convergence est une faute logique sanctionnée.

⚠ Erreur 5 — Sommer terme à terme deux séries sans précaution.

\sum (u_{n} + v_{n})

converge et vaut

\sum u_{n} + \sum v_{n}

si chacune des deux séries

\sum u_{n}

\sum v_{n}

converge. Si l'une diverge, on ne peut rien dire en général : par exemple,

\sum \frac{1}{n}

diverge et

\sum (- \frac{1}{n})

aussi, mais leur somme terme à terme est

\sum 0 = 0

. La règle de la somme exige la convergence individuelle préalable.

6. Pour aller plus loin

Les séries numériques sont le tremplin vers une large part du programme de spé. Voici les chapitres directement nourris par cette fiche :

Séries entières (spé) — généralisent les séries numériques avec un paramètre $x$ ; le rayon de convergence se calcule via les outils de cette fiche (D'Alembert, Cauchy, équivalents).
Séries de Fourier (spé) — décomposition des fonctions périodiques en somme infinie de cosinus et sinus ; convergence étudiée par convergence absolue ou Dirichlet.
Intégrales généralisées (1re année) — la comparaison série-intégrale crée un pont direct entre nature d'une série et nature d'une intégrale sur $[1, + \infty [$ .
Suites et séries de fonctions (spé) — convergence simple, uniforme, normale ; les critères vus ici se transposent avec une dépendance en $x$ .
Probabilités discrètes — l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs dans $N$ s'écrit $E (X) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n P (X = n)$ ; sa convergence est exactement celle d'une série à termes positifs.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu définir une série $\sum u_{n}$ comme la suite $(S_{n})$ des sommes partielles, et distinguer suite vs série ?
Sais-tu énoncer la condition nécessaire de convergence — et donner le contre-exemple à sa réciproque ?
Sais-tu démontrer que $\sum q^{n}$ converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ , avec somme $\frac{1}{1 - q}$ ?
Sais-tu démontrer que la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge (preuve par paquets) ?
Sais-tu énoncer ET démontrer le critère de Riemann ( $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge ssi $α > 1$ ) par comparaison série-intégrale ?
Sais-tu énoncer les critères de comparaison et d'équivalents — et la condition de signe constant ?
Sais-tu énoncer le théorème de comparaison série-intégrale, avec ses hypothèses précises ?
Sais-tu rédiger la chaîne « convergence absolue $\Rightarrow$ convergence » pour les séries complexes ?
Sais-tu énoncer les trois hypothèses du critère de Leibniz, et démontrer la convergence via deux sous-suites adjacentes ?
Connais-tu la majoration du reste $∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$ dans le cas Leibniz, et son utilité numérique ?
Sais-tu énoncer le théorème du produit de Cauchy et l'appliquer à $exp (z) exp (z^{'}) = exp (z + z^{'})$ ?
Sais-tu réciter la méthode-type pour étudier une série à termes positifs (5 étapes) ?

Démonstrations à savoir refaire

Série géométrique — somme partielle explicite, puis discussion sur $q^{n + 1}$
Divergence de la série harmonique — paquets de longueur $2^{k}$ , chacun $\geq \frac{1}{2}$
Critère de Riemann — comparaison série-intégrale pour $α > 1$ , comparaison à la harmonique sinon
Critère de Leibniz — sous-suites paires/impaires adjacentes, puis sous-suites de même limite

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Définitions essentielles

2. Condition nécessaire et séries de référence

2.1 — Condition nécessaire de convergence

2.2 — Série géométrique

2.3 — Série harmonique

2.4 — Séries de Riemann

3. Séries à termes positifs

3.3 — Comparaison série-intégrale

4. Séries à termes quelconques

4.1 — Convergence absolue implique convergence

4.2 — Critère spécial des séries alternées (Leibniz)

4.3 — Produit de Cauchy

5. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

6. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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Généralités sur les fonctions

Limites et continuité

Fonctions dérivables

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