Équations différentielles linéaires

Vue d'ensemble

Après les équations d'ordre 1 et 2 de sup, la MP passe au cas général : les systèmes différentiels linéaires $X^{'} = A (t) X + B (t)$ et les équations scalaires d'ordre $n$ . L'algèbre linéaire y prend le pouvoir : le théorème de Cauchy linéaire garantit l'existence et l'unicité GLOBALE de la solution d'un problème à condition initiale, et l'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un espace vectoriel de dimension $n$ . La solution générale se décompose en « solution particulière + solutions homogènes » — une structure AFFINE, exactement comme pour les systèmes linéaires $A X = b$ . Quand $A$ est à coefficients constants, la résolution passe par la réduction (valeurs propres, vecteurs propres) : les modes propres $e^{λ t} V$ sont les briques élémentaires. Ce chapitre est le pont entre l'algèbre linéaire et l'analyse. Cette fiche regroupe les 3 théorèmes incontournables, les 2 démonstrations à savoir refaire et les pièges relevés dans les rapports de jury.

Au programme MP (officiel) — Équations différentielles linéaires : systèmes

X^{'} = A (t) X + B (t)

avec

A, B

continues ; théorème de Cauchy linéaire (existence et unicité globales, admis) ; structure de l'espace des solutions (homogène : ev de dimension

n

; général : espace affine) ; système fondamental de solutions, wronskien ; résolution des systèmes à coefficients constants par réduction ; équation scalaire linéaire d'ordre

n

, méthode de variation des constantes.

Prérequis

Équations différentielles d'ordre 1 et 2 (1re année)
Réduction des endomorphismes : valeurs propres, diagonalisation
Algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires, dimension

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1. Systèmes linéaires et théorème de Cauchy

Définition 1.1 — Système différentiel linéaire

Un système différentiel linéaire d'ordre 1 s'écrit :

X^{'} (t) = A (t) X (t) + B (t),

où $X : I \to K^{n}$ est l'inconnue vectorielle, $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ sont continues sur l'intervalle $I$ . Il est homogène si $B = 0$ , avec second membre sinon.

Définition 1.2 — Problème de Cauchy

Un problème de Cauchy est la donnée du système et d'une condition initiale $X (t_{0}) = X_{0}$ ( $t_{0} \in I$ , $X_{0} \in K^{n}$ ). Résoudre le problème de Cauchy, c'est trouver LA solution passant par $X_{0}$ à l'instant $t_{0}$ .

Définition 1.3 — Équation scalaire linéaire d'ordre n

Une équation scalaire linéaire d'ordre $n$ $y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{0} (t) y = b (t)$ se ramène à un système d'ordre 1 en posant $X = (y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$ : alors $X^{'} = A (t) X + \tilde{B} (t)$ avec $A$ la matrice compagnon. Tous les résultats des systèmes s'y transposent (dimension $n$ , Cauchy, etc.).

Théorème 1.1 — Théorème de Cauchy linéaire (admis)

Soit $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ continues sur $I$ . Pour tout $(t_{0}, X_{0}) \in I \times K^{n}$ , le problème de Cauchy

X^{'} = A (t) X + B (t), X (t_{0}) = X_{0}

admet une unique solution, définie sur $I$ TOUT ENTIER. La différence avec le cas non linéaire est capitale : la solution est GLOBALE (pas de risque d'explosion en temps fini), grâce à la linéarité. Théorème admis en MP.

⚠ Piège — La solution est définie sur I tout entier (linéaire). Pour un système LINÉAIRE, la solution maximale est définie sur l'intervalle

I

de continuité de

A

B

— pas de « durée de vie » limitée. C'est FAUX pour les équations non linéaires (

y^{'} = y^{2}

explose en temps fini). Toujours préciser « linéaire » quand on invoque l'existence globale.

2. Structure de l'espace des solutions

Définition 2.1 — Système fondamental de solutions

Un système fondamental de solutions du système homogène $X^{'} = A (t) X$ est une base $(S_{1}, \dots, S_{n})$ de l'espace (vectoriel) de ses solutions. Toute solution homogène s'écrit alors de façon unique $X = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} S_{k}$ , avec $c_{k} \in K$ constants.

Théorème 2.1 — Structure de l'espace des solutions ★ À savoir démontrer

L'ensemble $S_{H}$ des solutions du système homogène $X^{'} = A (t) X$ est un espace vectoriel de dimension $n$ . L'ensemble $S$ des solutions de $X^{'} = A (t) X + B (t)$ est un espace affine de direction $S_{H}$ :

S = X_{part} + S_{H} = {X_{part} + \sum_{k} c_{k} S_{k}},

« solution générale = solution particulière + solution homogène générale ».

Démonstration (isomorphisme condition initiale)

$S_{H}$ est un espace vectoriel : si $S, T$ sont solutions de $X^{'} = A (t) X$ et $λ, μ \in K$ , alors $(λ S + μ T)^{'} = λ S^{'} + μ T^{'} = A (λ S + μ T)$ , donc $λ S + μ T \in S_{H}$ . C'est un sous-espace de $C^{1} (I, K^{n})$ .

Dimension $n$ : fixons $t_{0} \in I$ et considérons l'application $φ : S_{H} \to K^{n}, S \mapsto S (t_{0})$ . Elle est LINÉAIRE. Elle est BIJECTIVE : pour tout $X_{0} \in K^{n}$ , le théorème de Cauchy donne une unique solution homogène avec $S (t_{0}) = X_{0}$ (surjectivité + injectivité). Donc $φ$ est un isomorphisme, et $dim S_{H} = dim K^{n} = n$ .

Structure affine : si $X_{part}$ est une solution particulière, alors $X$ est solution ssi $X - X_{part}$ est solution homogène (par linéarité, $(X - X_{part})^{'} = A (X - X_{part})$ ). D'où $S = X_{part} + S_{H}$ . CQFD.

Définition 2.2 — Wronskien

Le wronskien d'une famille $(S_{1}, \dots, S_{n})$ de solutions de $X^{'} = A (t) X$ est le déterminant $W (t) = det (S_{1} (t) ∣ \dots ∣ S_{n} (t))$ . Propriété clé : soit $W$ est identiquement nul (famille liée), soit $W$ ne s'annule jamais (système fondamental). Il suffit donc de tester $W (t_{0}) \neq = 0$ en UN point pour garantir une base.

3. Résolution à coefficients constants

Théorème 3.1 — Modes propres d'un système à coefficients constants ★ À savoir démontrer

Soit $A \in M_{n} (K)$ CONSTANTE. Si $V$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $λ$ , alors $t \mapsto e^{λ t} V$ est une solution de $X^{'} = A X$ . Si $A$ est diagonalisable avec une base de vecteurs propres $(V_{1}, \dots, V_{n})$ (valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ), la solution générale est :

X (t) = k = 1 \sum n c_{k} e^{λ_{k} t} V_{k}, c_{k} \in K .

Démonstration (vérification + base de solutions)

Chaque mode est solution : soit $V$ tel que $A V = λV$ . Posons $X (t) = e^{λ t} V$ . Alors $X^{'} (t) = λ e^{λ t} V = e^{λ t} (λV) = e^{λ t} (A V) = A (e^{λ t} V) = A X (t),$ donc $X$ est bien solution de $X^{'} = A X$ .

Base de solutions : les $n$ fonctions $S_{k} (t) = e^{λ_{k} t} V_{k}$ sont solutions. En $t = 0$ , $S_{k} (0) = V_{k}$ : la famille $(S_{1} (0), \dots, S_{n} (0)) = (V_{1}, \dots, V_{n})$ est une base de $K^{n}$ (car $A$ diagonalisable), donc le wronskien $W (0) = det (V_{1} ∣ \dots ∣ V_{n}) \neq = 0$ . Par le théorème 2.1, $(S_{1}, \dots, S_{n})$ est un système fondamental : la solution générale est leur combinaison linéaire. CQFD.

📐 Méthode-type — Résoudre X' = AX + B(t) à coefficients constants.

Système homogène : réduire $A$ (valeurs propres $λ_{k}$ , vecteurs propres $V_{k}$ ). Écrire les modes $e^{λ_{k} t} V_{k}$ → base de $S_{H}$ .
Cas complexe : si $A$ réelle a des valeurs propres complexes conjuguées, combiner les modes conjugués pour obtenir des solutions RÉELLES (cos, sin via $e^{iω t}$ ).
Solution particulière : chercher $X_{part}$ (forme du second membre, ou variation des constantes).
Solution générale : $X = X_{part} + \sum_{k} c_{k} e^{λ_{k} t} V_{k}$ ; déterminer les $c_{k}$ par la condition initiale.

💡 Exemple — Un système 2×2. Résolvons

X^{'} = A X

avec

A = (1012)

. Valeurs propres :

λ_{1} = 1

(triangulaire),

λ_{2} = 2

. Vecteurs propres :

V_{1} = (0 1)

(pour

λ = 1

) et

V_{2} = (1 1)

(pour

λ = 2

, car

(A - 2 I) V = 0

donne

- v_{1} + v_{2} = 0

). Solution générale :

X (t) = c_{1} e^{t} (0 1) + c_{2} e^{2 t} (1 1) = (c _{2} e ^{2 t} c _{1} e ^{t} + c _{2} e ^{2 t}) .

On lit directement

y (t) = c_{2} e^{2 t}

puis

x (t) = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{2 t}

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4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

Les systèmes différentiels mêlent algèbre linéaire et analyse — les erreurs viennent souvent de la réduction. Relevé des rapports (Centrale, Mines-Ponts, CCINP) :

⚠ Erreur 1 — Oublier une solution : la dimension est n. L'espace des solutions homogènes a EXACTEMENT dimension

n

: il faut

n

solutions indépendantes. Pour un système

2 \times 2

, deux modes ; pour une équation scalaire d'ordre

3

, trois solutions. Donner une solution générale avec trop peu de constantes est une erreur structurelle fréquente.

⚠ Erreur 2 — Modes propres quand A n'est pas diagonalisable. La formule

X = \sum c_{k} e^{λ_{k} t} V_{k}

suppose

A

DIAGONALISABLE. Si

A

a une valeur propre multiple sans assez de vecteurs propres, il faut des solutions de la forme

P (t) e^{λ t}

(polynôme × exponentielle). Vérifier la diagonalisabilité avant d'appliquer la formule.

⚠ Erreur 3 — Solutions complexes non recollées en réel. Pour un système RÉEL avec valeurs propres complexes

λ = a \pm iω

, les modes

e^{λ t} V

sont complexes : il faut prendre parties réelle et imaginaire pour obtenir des solutions réelles (

e^{a t} cos ω t

e^{a t} sin ω t

). Laisser un

i

dans une solution réelle est sanctionné.

⚠ Erreur 4 — Confondre structure affine et vectorielle. Les solutions AVEC second membre forment un espace AFFINE (pas vectoriel) : la somme de deux solutions n'est PAS solution (elle vérifie

X^{'} = A X + 2 B

). Seule la DIFFÉRENCE de deux solutions est homogène. Ne pas traiter

S

comme un espace vectoriel.

⚠ Erreur 5 — Tester le wronskien en un mauvais point. Le wronskien est nul partout ou nul nulle part : tester

W (t_{0}) \neq = 0

en UN point choisi (souvent

t_{0} = 0

, où les valeurs sont simples) suffit. Inutile de le calculer pour tout

t

— mais attention à choisir un

t_{0}

où le calcul est effectif.

5. Pour aller plus loin

Les équations différentielles linéaires structurent une grande partie de la physique :

Oscillateurs couplés — modes propres, fréquences propres : de l'algèbre linéaire pure appliquée à la mécanique et l'électricité.
Portraits de phase — la nature des solutions (nœud, foyer, centre, col) se lit sur les valeurs propres de $A$ .
Exponentielle de matrice — $X (t) = e^{t A} X_{0}$ unifie toute la résolution ; $e^{t A}$ se calcule par réduction.
Équations aux dérivées partielles — séparation des variables : chaque mode est une équation différentielle linéaire.

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Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

À la veille d'une khôlle ou d'un DS, parcours cette checklist : tu dois pouvoir répondre « oui, sans hésiter » à chaque question.

Sais-tu écrire un système différentiel linéaire X' = A(t)X + B(t) ?
Sais-tu ramener une équation scalaire d'ordre n à un système (matrice compagnon) ?
Sais-tu énoncer le théorème de Cauchy linéaire (existence-unicité GLOBALE) ?
Sais-tu que la solution d'un système linéaire est définie sur I tout entier ?
Sais-tu que l'espace des solutions homogènes est de dimension n ?
Sais-tu le démontrer (isomorphisme S ↦ S(t₀)) ?
Sais-tu que les solutions avec second membre forment un espace AFFINE ?
Sais-tu ce qu'est un système fondamental et le wronskien ?
Sais-tu que e^(λt)V est solution quand AV = λV ?
Sais-tu résoudre X' = AX (A diagonalisable) par les modes propres ?
Sais-tu recoller des valeurs propres complexes en solutions réelles ?
Sais-tu quoi faire si A n'est pas diagonalisable (P(t)e^(λt)) ?

Démonstrations à savoir refaire

Structure des solutions — isomorphisme condition initiale, dimension n
Modes propres d'un système constant — e^(λt)V solution, base de solutions

Vue d'ensemble

Prérequis

1. Systèmes linéaires et théorème de Cauchy

2. Structure de l'espace des solutions

3. Résolution à coefficients constants

4. Erreurs classiques en copie (vues par les correcteurs)

5. Pour aller plus loin

Récap final — Ce qu'il faut absolument retenir

Démonstrations à savoir refaire

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